2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第13講：圖形的相似

2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第13講：圖形的相似.比例的性質(zhì)(1)比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng).(2)常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若且=￡■,則ad=bc.bd②合比性質(zhì).若包=￡,則至曳=￡士包.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"bd b d③分比性質(zhì).若旦=￡,則空”=￡二包.\o"CurrentDocument"bd b d④合分比性質(zhì).若旦=￡_,則亙也=￡也.bda-bc-d⑤等比性質(zhì).若旦=￡>=???=旦(6+d+?“+〃W0),則a+c+ +m=典.bdn b+d+ +nn.比例線段(1)對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比(即它們的長(zhǎng)度比)與另兩條線段的比相等，如a^=cd(即ad=6c),我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.(2)判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系..黃金分割(1)黃金分割的定義：A C*S如圖所示，把線段A8分成兩條線段AC和BC(AOBC),且使AC是A8和BC的比例中項(xiàng)(即A8：AC=AC：BC),叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段A8的黃金分割點(diǎn).其中AC=y^~1AB^0.6\SAB,并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).2(2)黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值.黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°,頂角為36°.這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：返二1；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°,頂角為108°：這種2三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金比：返」.2(3)黃金矩形：黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為返二L.平行線分線段成比例(1)定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(2)推論1：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.(3)推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例..相似圖形(1)相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.(2)相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.(3)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形..相似多邊形的性質(zhì)(1)如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.(2)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.(3)全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形.(4)相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等..相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.(2)相似三角形(多邊形)的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高)的比也等于相似比.(3)相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方..相似三角形的判定（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似;（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似..相似三角形的判定與性質(zhì)（1）相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可..相似三角形的應(yīng)用（1）利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度.①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決.②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度.（2）利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）.①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離,常常構(gòu)造“4”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形.②測(cè)量方法：通過測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度.（3）借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度.利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.10.平行投影（1）物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（底面，墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.（2）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影.（3）平行投影中物體與投影面平行時(shí)的投影是全等的.（4）判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的.如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影.（5）正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.一、選擇題（共10小題）（2022?淮安區(qū)模擬）已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且則下列比例式能成立的是（）.ABBPnBPAB「APBP ABBPA.——=——B.——=——C.——=——D.——=——APAB APBP ABAP APPA2.（2021?西吉縣二模）下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的為（ ）A.2cm,3cm,4cm,5cm B.2.5cm,3.5cm,4.5cm?6.5cmC.1.\cm,2.2cm,4Acm,8.8c/n D.\cm,3cm,4cm,6cm（2021?蕪湖模擬）已知AASCsaoe尸，若周長(zhǎng)比為4:9,則AC:。尸等于（ ）A.4:9 B.16:81 C.3:5 D.2:3（2021?饒平縣校級(jí)模擬）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其有題譯文如下：“有一根竹竿在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)15尺.同時(shí)立一根1.5尺的小標(biāo)桿，它的影長(zhǎng)是0.5尺.如圖所示，則可求得這根竹竿的長(zhǎng)度為（）尺.A.50 B.45 C.5 D.4.5（2021?涼山州模擬）如圖，直線4〃4/4,兩條直線AC和短產(chǎn)與4，12,4分別相交于TOC\o"1-5"\h\z點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)。、E、F.則下列比例式不正確的是（ ）八ABDEaABDE〃ACDF~EFBCA?=B?=C?= L）.=BCEF ACDF ABDE EDAC（2021?蛇響區(qū)一模）下列圖形一定是相似圖形的是（ ）A.任意兩個(gè)菱形 B.任意兩個(gè)正三角形C.兩個(gè)等腰三角形 D.兩個(gè)矩形（2020?龍海市校級(jí)一模）如圖，若。、E分別為AABC中AB、AC邊上的點(diǎn)，且ZAED=ZB,A￡）=3,AC=6,DB=5,則 的長(zhǎng)度為（ ）（2020?開平區(qū)一模）如圖，四邊形ABCQ中，AB//DC,ZABC=90°,AB=4,CD=\,BC=4.在邊BC上取一點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似，甲認(rèn)為這樣的點(diǎn)P只存在1個(gè)，乙認(rèn)為這樣的點(diǎn)P存在不止1個(gè)，則（）BC

BCA.甲的說法正確A.甲的說法正確C.甲、乙的說法都正確B.乙的說法正確D.甲、乙的說法都不正確TOC\o"1-5"\h\z（2020?江城區(qū)一模）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1:4,則它們的周長(zhǎng)之比為（ ）A.1:4 B.1:2 C.2:1 D.1:16（2005?溫州）若凹=3,則小的值為（ ）b5ba8 心3 廠3 n55 5 2 8二、填空題（共5小題）（2022?興義市二模）若±=2,則交2= .V3y（2022?蘇州一模）如圖，某人跳芭蕾舞，踮起腳尖時(shí)顯得下半身比上半身更修長(zhǎng).若以裙子腰節(jié)為分界點(diǎn)，身材比例正好符合黃金分割，已知從腳尖到頭頂高度為176cs,那么裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為 cm.（結(jié)果保留根號(hào)）176cm176cm（2021?錫山區(qū)一模）如果一條對(duì)角線把凸四邊形分成兩個(gè)相似的三角形，那么我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)凸四邊形的相似對(duì)角線，在凸四邊形ABCD中，AB=AC=y/3,AD=CD=-，點(diǎn)E、點(diǎn)尸分別是邊A￡>,邊8c上的中點(diǎn).如果AC是凸四邊形ABCD的2相似對(duì)角線，那么EF的長(zhǎng)等于—.（2021?任城區(qū)一模）如圖，ADHBEHCF,AB=3,BC=6,￡>￡=2,則 的值為.（2020?浙江自主招生）商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)。、最高銷售限價(jià)6（b>a）以及實(shí)數(shù)x（0<x<1）確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+x（b-a）,這里，x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得（c-a）是S-c）和S-a）的比例中項(xiàng)，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于.三、解答題（共7小題）（2022?泌陽(yáng)縣四模）下面時(shí)某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法找出一條線段的中點(diǎn)的片段,請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).小明：如圖：①以3為端點(diǎn)作射線助0；②在線段相同側(cè)作= ,AN,A"交于點(diǎn)C;③在線段AB另一側(cè)作= = ,AQ,BP交于點(diǎn)D;④連接C￡）交他于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為45的中點(diǎn).小軍：我認(rèn)為小明的方法很有創(chuàng)意，但思路與中垂線的作法相仿，我可以給出完全不同的另外一種思路.如圖：①以8為端點(diǎn)作線段8C,延長(zhǎng)8c到。使DC=3C；②連接AD；③過C作CE//AD交AB于￡,點(diǎn)E即為AB的中點(diǎn)；任務(wù)：（1）小明得到4C=8C, =的依據(jù)是.A.角平分線的定義；B.平行線分線段成比例；C.等角對(duì)等邊；D.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.（2）小軍作圖得到的點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)判斷并說明理由：（3）如圖，已知NC8D=60°,AD=BD=CB=CA=\2,F,G分別為線段線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，ZGFC=30°,直接寫出AG的最大值.

（2022?大渡口區(qū)模擬）計(jì)算:(1)已知x:y=2:3,若x+y=15,求x,y的值.(2)解方程：3x(x-2)=x-2.（2021?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在A4BC中，四邊形。班E是平行四邊形.求證:^ADEs怔FC^ADEs怔FC.B（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，己知矩形ABCQ.（1）作出正方形AB/石，點(diǎn)石，點(diǎn)F分別在線段AO,8C上（尺規(guī)作圖）;（2）若4）=8,點(diǎn)E為線段AD的黃金分割點(diǎn)且AE>￡D,求AE的長(zhǎng).IDID（2020?淮安模擬）在一張比例尺為1:20的地圖上，有一塊多邊形區(qū)域的周長(zhǎng)是24cm,面積是20c77,求這個(gè)區(qū)域的實(shí)際周長(zhǎng)和