題型專訓：平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式（題型專訓）一、知識清單知識點01平方差公式平方差公式:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2公式的幾種變化：①位置變化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2②系數(shù)變化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2③指數(shù)變化：（a2+b2）(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=④增項變化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)2-c2⑤連用公式變化：（a+b）(a-b)(a2+b2)=（a2-b2）(a2+b2)=（a2）2-（b2）2=⑥公式逆運算：a2-b2=(a+b)(a-b)知識點02完全平方公式完全平方公式:兩數(shù)和(差)的平方,等于它們的平方和,加(減)它們積的2倍.即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍公式的變化：①a2+b2=(a+b)2-2ab；②a2+b2=(a-b)2+2ab；③(a+b)2=(a-b)2+4ab；④(a-b)2=(a+b)2-4ab⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab知識點03平方差和完全平方差區(qū)別平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍二、題型專訓題型01判斷是否可用平方差公式運算.【例題】下列各式中不能用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．【變式訓練】1．下列能使用平方差公式的是（

）A． B． C． D．2．下列各式中，不能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．題型02運用平方差公式進行運算.【例題】（2023上·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）計算：(1)；(2)．題型03利用平方差公式進行簡便運算.【例題】（2023上·吉林長春·八年級?？茧A段練習）用簡便方法計算：(1)(2)【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)．2．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)．(2)．(3)．題型04平方差公式與幾何圖形.【例題】（2023上·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學校聯(lián)考期中）圖1、圖2分別由兩個長方形拼成．(1)圖1中圖形的面積為，圖2中圖形的面積為．（用含有a、b的代數(shù)式表示）(2)由（1）可以得到等式：．(3)根據(jù)你得到的等式解決下列問題：①計算：．②若，求的值．【變式訓練】1．（2023上·陜西安康·八年級校聯(lián)考階段練習）【實踐操作】（1）如圖，在邊長為的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（），把圖中形的紙片按圖剪拼，改造成了一個大長方形如圖，用含、的式子表示圖中大長方形的面積為______；

（2）請寫出圖、圖、圖驗證的乘法公式為：______；【應用探究】（3）利用（）中驗證的公式簡便計算：；（4）計算：．2．（2023上·山東濟南·七年級山東省濟南稼軒學校?？茧A段練習）實戰(zhàn)與探究，如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的公式是______（請選擇正確的一個）．A．

B．

C．(2)請應用上面的公式完成下列各題：①已知，，則______；②計算：；③計算：題型05運用完全平方公式進行運算【例題】（2023上·河南信陽·八年級?？茧A段練習）用乘法公式計算(1)(2)【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)．題型06利用完全平方公式進行簡便運算【例題】用簡便方法計算：．【變式訓練】1．用簡便算法計算(1)(2)題型07通過對完全平方公式變形求值【例題】（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）已知：，，求下列各式的值：(1)；(2)．【變式訓練】1．已知，，求下列代數(shù)式的值．(1)(2)2．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．題型08求完全平方式中的字母系數(shù)【例題】已知關(guān)于x的式子是某個多項式的完全平方，那么A是．【變式訓練】1．若是一個完全平方式，則．2．若整式是完全平方式，請寫出所有滿足條件的是．題型09完全平方式在幾何圖形中的應用【例題】（2023上·江蘇·九年級專題練習）我們已經(jīng)學習了乘法公式的多種運用，可以運用所學知識解答：求代數(shù)式的最小值．解答如下：解：，，∴當時，的值最小，最小值是，∴，∴當時，的值最小，最小值是，∴的最小值是．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題．(1)知識再現(xiàn)：當______時，代數(shù)式的最小值是______；(2)知識運用：若，當______時，有最______值（填“大”或“小”），這個值是______；(3)知識拓展：若，求的最小值．【變式訓練】1．例：求代數(shù)式的最小值.解：，，，當時，代數(shù)式有最小值，仿照以上方法，完成下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大值.2．我們已學完全平方公式：，觀察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列問題：(1)代數(shù)式有最（填大或?。┲?，這個值=．(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設(shè)計一個盡可能大的花圃，如圖設(shè)長方形一邊長度為米，完成下列任務．①用含的式子表示花圃的面積；②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？題型10完全平方公式在幾何圖形中的應用【例題】現(xiàn)有長與寬分別為、的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關(guān)于、的關(guān)系式：（用、的代數(shù)式表示出來）；圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(2)若，，則；；(3)如圖3，點是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓練】1．將完全平方公式進行適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學問題，例如：若，，求的值．解：因為，所以，即．又因為，所以．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，則；(2)若，，求的值；(3)兩個正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為．2．如圖①，正方形是由兩個長為a、寬為b的長方形和兩個邊長分別為a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關(guān)系式，這個關(guān)系式是；(2)若m滿足，請利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求的值；(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．

參考答案題型01判斷是否可用平方差公式運算.【例題】下列各式中不能用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：A、，可以使用平方差公式；B、，可以使用平方差公式；C、，可以使用平方差公式；D、，兩項都不相同，可變形為完全平方公式，不能使用平方差公式．故選：D．【變式訓練】1．下列能使用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；B、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；C、不能使用平方差公式，故本選項不符合題意；D、能使用平方差公式，故本選項符合題意；故選：D2．下列各式中，不能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、，能用平方差公式進行計算，不符合題意；B、，不能用平方差公式進行計算，符合題意；C、，能用平方差公式進行計算，不符合題意；D、，能用平方差公式進行計算，不符合題意；故選B．題型02運用平方差公式進行運算.【例題】（2023上·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題主要考查多項式乘以多項式，平方差公式：（1）利用多項式乘以多項式的法則即可求解；（2）利用平方差公式即可求解；（3）利用平方差公式即可求解；（4）利用平方差公式即可求解；（5）利用平方差公式即可求解．掌握多項式乘以多項式以及平方差公式的法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；（2）原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；（3）原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；（4）原式利用平方差公式計算即可得到結(jié)果；．【詳解】（1）；（2）（3）；（4）．【點睛】此題考查了運用平方差公式進行計算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·上海·七年級假期作業(yè)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連續(xù)運用平方差公式求解即可；（2）連續(xù)運用平方差公式求解即可；【詳解】（1）；（2）．【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關(guān)鍵．題型03利用平方差公式進行簡便運算.【例題】（2023上·吉林長春·八年級校考階段練習）用簡便方法計算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)，利用平方差公式計算即可得；（2）根據(jù)，利用平方差公式計算即可得．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點睛】本題考查了利用平方差公式進行運算，熟記平方差公式是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式計算即可；（2）根據(jù)平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了平方差公式，熟記平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)39996(3)2022【分析】（1）（2）（3）運用平方差公式即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式【點睛】本題考查平方差公式的運用．熟記公式形式是解題關(guān)鍵．題型04平方差公式與幾何圖形.【例題】（2023上·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學校聯(lián)考期中）圖1、圖2分別由兩個長方形拼成．(1)圖1中圖形的面積為，圖2中圖形的面積為．（用含有a、b的代數(shù)式表示）(2)由（1）可以得到等式：．(3)根據(jù)你得到的等式解決下列問題：①計算：．②若，求的值．【答案】(1)(2)(3)①3700；②5【分析】本題考查平方差公式與幾何面積．（1）利用長方形的面積公式作答即可；（2）根據(jù)兩個圖形的面積相等，即可得出等式；（3）①利用（2）中的等式進行計算即可；②先用平方差公式進行化簡，再代值計算即可．解題的關(guān)鍵是得到．【詳解】（1）解：圖2中圖形的面積為；故答案為：；（2）由（1）可得：；故答案為：；（3）①；②∵，∴．【變式訓練】1．（2023上·陜西安康·八年級校聯(lián)考階段練習）【實踐操作】（1）如圖，在邊長為的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（），把圖中形的紙片按圖剪拼，改造成了一個大長方形如圖，用含、的式子表示圖中大長方形的面積為______；

（2）請寫出圖、圖、圖驗證的乘法公式為：______；【應用探究】（3）利用（）中驗證的公式簡便計算：；（4）計算：．【答案】（）；（）；（）；（）．【分析】（）利用長方形的面積等于長乘以寬即可；（）圖中大長方形的面積等于圖的陰影部分面積，分別計算即可得出；（）觀察（）的的乘法公式的特點是兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差，故將拆成，將拆成即可；（）利用將各個因其進行因式分解后，再將各因式通分相加，發(fā)現(xiàn)每相鄰兩個的乘積為，故答案為第一個因式乘以最后一個因式；本題考查了“數(shù)形結(jié)合”中的平方差公式及其靈活運用，解題的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律．【詳解】（），，，，故答案為：；（）圖中大長方形的面積等于圖的陰影部分面積，∴，故答案為：；（）原式，，；（）原式，，，．2．（2023上·山東濟南·七年級山東省濟南稼軒學校?？茧A段練習）實戰(zhàn)與探究，如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的公式是______（請選擇正確的一個）．A．

B．

C．(2)請應用上面的公式完成下列各題：①已知，，則______；②計算：；③計算：【答案】(1)B(2)①4；②5050；③【分析】本題考查平方差公式的證明與使用，考查求和公式，掌握這些是本題關(guān)鍵．（1）根據(jù)陰影部分寫出兩個圖形中陰影部分面積的代數(shù)式，再得出二者相等的結(jié)論；（2）使用（1）得出的公式對本題中的平方差進行因式分解即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：圖一中的陰影部分面積為：，圖二中陰影部分面積為：，而這兩者面積相等，所以有：．故選：B．（2）解：①，又，．②，，，原式．③．題型05運用完全平方公式進行運算【例題】（2023上·河南信陽·八年級?？茧A段練習）用乘法公式計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式進行求解即可；（2）先把看做一個整體利用平方差公式去中括號，再根據(jù)完全平方公式去小括號即可得到答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計算即可；（2）根據(jù)完全平方公式計算即可；（3）根據(jù)完全平方公式計算即可；（4）先提出負號，再完全平方公式計算即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握這一公式的特征是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可得答案；（2）兩次利用完全平方公式計算即可得答案；（3）將原式變形，利用平方差公式計算，再利用完全平方公式計算即可得答案．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）.．【點睛】本題考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：；完全平方公式：；熟練掌握兩公式并靈活運用是解題關(guān)鍵，運用整體思想，將多項式看成一項，可創(chuàng)造條件套用公式．題型06利用完全平方公式進行簡便運算【例題】用簡便方法計算：．【詳解】解：原式．【變式訓練】1．用簡便算法計算(1)(2)【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式題型07通過對完全平方公式變形求值【例題】（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）已知：，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)5(2)1【分析】本題考查了完全平方公式的計算，變形計算．（1）根據(jù)公式變形計算即可．（2）根據(jù)公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，解得．（2）解：∵，，∴，∴．【變式訓練】1．已知，，求下列代數(shù)式的值．(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2），，，．2．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．【詳解】（1）∵，∴．（2）∵，∴．題型08求完全平方式中的字母系數(shù)【例題】已知關(guān)于x的式子是某個多項式的完全平方，那么A是．【答案】、和【詳解】解：①∵，∴，②若是多項式的平方，則；故答案為：、和．【變式訓練】1．若是一個完全平方式，則．【答案】11或/或【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴，∴，解得或，故答案為：11或．2．若整式是完全平方式，請寫出所有滿足條件的是．【答案】或或【詳解】解：當為和的中間項時；當為和的中間項時；當為和的中間項時；故答案為：或或．題型09完全平方式在幾何圖形中的應用【例題】（2023上·江蘇·九年級專題練習）我們已經(jīng)學習了乘法公式的多種運用，可以運用所學知識解答：求代數(shù)式的最小值．解答如下：解：，，∴當時，的值最小，最小值是，∴，∴當時，的值最小，最小值是，∴的最小值是．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題．(1)知識再現(xiàn)：當______時，代數(shù)式的最小值是______；(2)知識運用：若，當______時，有最______值（填“大”或“小”），這個值是______；(3)知識拓展：若，求的最小值．【答案】(1)，(2)，大，(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式將原式整理后即可確定最小值；（2）將等式右邊配方后即可確定當取何值時能取到最小值；（3）首先得到有關(guān)的關(guān)系式，根據(jù)完全平方公式將原式整理后確定最小值即可．【詳解】（1）解：∵，∴當時，有最小值；故答案為：，；（2）解：∵，∴當時有最大值；故答案為：，大，；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴當時，的最小值為．【點睛】本題考查完全平方公式及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．例：求代數(shù)式的最小值.解：，，，當時，代數(shù)式有最小值，仿照以上方法，完成下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大值.【詳解】（1）解：，，，當時，代數(shù)式有最小值；（2），，，當時，代數(shù)式有最大值．2．我們已學完全平方公式：，觀察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列問題：(1)代數(shù)式有最（填大或?。┲担@個值=．(2)解決實際問題：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木欄圍成一個長方形花圃，為了設(shè)計一個盡可能大的花圃，如圖設(shè)長方形一邊長度為米，完成下列任務．①用含的式子表示花圃的面積；②請說明當取何值時，花圃的最大面積是多少平方米？【詳解】（1）解：，∵，∴，∴代數(shù)式有最小值，最小