2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二部分考點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練考點(diǎn)四十一空間直線、平面的垂直

四十一空間直線、平面的垂直-,基礎(chǔ)落實(shí)練? 3()分鐘6()分一、單選題(每小題5分，共20分)(2021?哈爾濱模擬)若a,b,c,m,〃為空間直線，a,￡為平面，則下列說法錯(cuò)誤的是()a//b,bl.c,則a_Lcmla,〃_L￡,則a_L￡mla,〃JL￡,?！ā?則加〃〃a,6是異面直線，則a,6在。內(nèi)的射影為兩條相交直線【解析】選D.由于兩平行線與任意直線所成的角都相等可知A正確，不符合題意；由平面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理可知B正確，不符合題意；由平面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得C正確，不符合題意；由于兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是平行直線、相交直線、一條直線和直線外的一點(diǎn),故D錯(cuò)誤，符合題意.下列四個(gè)命題中：①存在這樣的四面體力靦，使物=90°；②存在這樣的四面體力靦，使1加=/力〃。=90°；③存在這樣的四面體4靦，使ABA2BDC=9C；④存在這樣的四面體4靦，使/ABC=/ABD=NDBC=/ACgQ0°；其中真命題是()A.①③④B.①②③C.②③④D.①②【解析】選B.對(duì)于①，存在這樣的四面體力靦，使/4%=/比》=/徹=90°,如圖1所示，故①正確；圖1對(duì)于②，存在這樣的四面體4比〃WABC=/ABD=/ADC=9C,如圖2所示，故②正確;對(duì)于③，存在這樣的四面體4靦，度/ABC=/ABD=/BDC=9G：如圖2所示，故③正確;

對(duì)于④，若/ABC=/ABD=/DBC=4ACD=90°,則這樣的四面體不存在，故④錯(cuò)誤，故真命題是①②③.（2021?昆明模擬）如圖，已知￡,6分別是正方體力式945G〃的棱6GCG的中點(diǎn)，設(shè)。為二面角〃-力占〃的平面角，則sin。=（ ）r/EBr/EB【解析】選C.如圖，設(shè)正方體46C24AG〃的棱長為2,在平面被力內(nèi)過點(diǎn)〃作〃憶熊于點(diǎn)〃，連接D\H,"則N〃物即是二面角〃-小〃的平面角且4￡=卷不了=鄧,11由8械=77X2X2=3?AE?DH=24解得〃4解得〃〃=-左，所以〃〃=（2021?成都模擬）下列命題中錯(cuò)誤的是（A.如果平面■平面￡,那么平面。內(nèi)一定存在直線平行于平面￡

B.如果平面。不垂直于平面￡,那么平面。內(nèi)一定不存在直線垂直于平面￡C.如果平面平面平面￡_!_平面an尸=/,那么/_L平面/D.如果平面平面￡,那么平面。內(nèi)所有直線都垂直于平面￡【解析】選D.A.如圖所示：在正方體中，平面4PC冗L平面如比；AF//平面4切C,故正確，不符合題意;B.如果平面。內(nèi)存在直線垂直于平面￡,則平面。垂直于平面￡,故正確，不符合題意;C.如圖所示:在7內(nèi)取一點(diǎn)Q,作QMLCP,QN1.CD,因?yàn)槠矫鎍_L平面平面￡_L平面所以QML平面a,0V_L平面￡,又因?yàn)閍nB=l,所以QML1,QNL1,又QMCQN=Q,則/_L平面7，故正確，不符合題意；D.如圖所示：在正方體中，平面加^6支L平面陽比；AF//平面PMC,故錯(cuò)誤，符合題意.二、多選題（每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）5.已知勿，〃是兩條不重合的直線,5.已知勿，〃是兩條不重合的直線,A.若/_La,nl.a,則勿〃〃￡是兩個(gè)不重合的平面，則（）B.若必〃。，n//a,則加〃〃C.若加〃a,mlB,則a_L￡D.若a_L￡,m//a,nilB,則勿_L〃【解析】選AC.對(duì)于A,若他La,nl.a,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得加〃〃，所以A正確；對(duì)于B,若加〃a,n//a,則加〃〃或勿與〃相交或以與〃異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若加//a,則。內(nèi)有直線〃與勿平行，又/J_￡,則〃JL￡,所以a_L￡,所以C正確；對(duì)于D,若a_L￡,m//a,n〃3,則加與〃的關(guān)系為平行、相交或異面，所以D錯(cuò)誤.6.（2021?聊城模擬）已知等邊三角形力比1的邊長為6,M,N分別為力8的中點(diǎn)，將△力明V沿的V折起至△/'MN,在四棱錐7 中，下列說法正確的是（ ）A.直線脈〃平面/BCB.當(dāng)四棱錐力'-幽◎體積最大時(shí)，二面角冊(cè)6為直二面角C.在折起過程中存在某位置使碘平面/NCD.當(dāng)四棱錐4-網(wǎng)窗體積最大時(shí)，它的各頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為39n【解析】選ABD.因?yàn)榈腣〃比；/小平面BC,6以=平面4'BC,所以直線m〃平面/BC,A符合題意；因?yàn)樗睦忮F4' 底面積為定值，所以當(dāng)點(diǎn)力‘到平面,如圈距離最大時(shí)體積最大，所以當(dāng)二面角力'-廨3為直二面角時(shí)，滿足題意，8符合題意；對(duì)于C,如圖，若朋1平面NC,則如,又"DLMN,ADLMN,A'DCAD=D,可知明￥_1_平面力'AD,所以4ALMN,又MNCBN=N,所以4'4_L平面*力，這顯然不可能，。不符合題意；A,1B當(dāng)四棱錐，體積最大時(shí)，二面角/ 為直二面角，如圖，由/儂-g,取肉的中點(diǎn)￡,則￡是等腰梯形拗緲外接圓圓心.Q是△4/外心，作廢工平面MNCB,如平面A'MN,則。是四棱錐力'-網(wǎng)徵的外接球的球心，目OF=DE=XL,A'f=#）.2設(shè)四棱錐/⑦的外接球半徑??,3Q則#=/戶+0戶=1,所以球表面積是39n.三、填空題（每小題5分，共10分）7.已知兩條不同的直線加，n,兩個(gè)不重合的平面。，￡,給出下面五個(gè)命題:①/〃n,ml.a=nl.a；②a〃￡,maa,nu￡=0〃〃；③n,m//a0nlia；④/_La,m//￡=a_L￡；⑤a〃￡,m//n,/J_a=〃_L￡.其中命題正確的序號(hào)為.【解析】①因?yàn)槲稹āǎ琺la,所以〃_La,故正確；②因?yàn)?。〃?ga,nu8,所以加〃〃或異面，故錯(cuò)誤；③因?yàn)榧印āǎ琺//a,所以〃〃?；颉╱a,故錯(cuò)誤；④如圖所示：

因?yàn)?4〃平面B、BCC\.平面B、BCC\n平面4ABB尸BB、,所以力4〃班,又因?yàn)锳4」平面ABCD,所以仍」平面ABCD,又能u平面56CG,所以平面平面加徵，故正確;⑤因?yàn)榧印ā?，ml.a,所以〃J_a,又。〃￡,所以故正確.答案：①④⑤.位于山西省朔州市應(yīng)縣佛宮寺內(nèi)的釋迦塔，俗稱應(yīng)縣木塔，是我國現(xiàn)存最高最古老的木結(jié)構(gòu)塔式建筑，木塔頂部可以近似地看成一個(gè)正八棱錐，其側(cè)面和底面的夾角大小為30°,則該正八棱錐的高和底面邊長之比為.（參考數(shù)據(jù)：該正八棱錐的高和底面邊長之比為.（參考數(shù)據(jù)：tan22.5°=啦-1）【解題指南】本題考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).先把問題抽象成數(shù)學(xué)模型，再用立體幾何知識(shí)求解.【解析】如圖所示:點(diǎn)〃是正八棱錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)〃是底面的中心，是底面的一條邊,〃是46的中點(diǎn)，根據(jù)題意知仁22.5°,因?yàn)閠an22.5°=4-1,a,、.n, BMa/2+Ia,儀AB=a，則加lan22.5。=2~又因?yàn)槎娼窃铝?。的大小?0。，即仞=30°,所以“。獷tan31。亞a,即正八棱錐的高和底面邊長之比為中答案:四、解答題（每小題10分，共20分）.如圖，在四棱錐￡4舒中，底面力靦是直角梯形，AD//BC,NBAD=90°,已知處=夕。=3小,AD=2,48=/,BC=3.（1）證明：ACLPD-,（2）若二面角￡43〃的余弦值為:，求四棱錐24靦的體積.【解析】（1）過〃作〃及1宛交函于點(diǎn)￡,則龐,EC=BC-AD=\,在Rt△旌中,CgyjDE+EG=7（?。?2=2,取4。中點(diǎn)6,連接用FD,因?yàn)榱Α?切=2,PA=PC=3小,所以47_LZF,ACLPF,又因?yàn)镻FCFD=F,且PF,FDc平面PFD,所以月CL平面打明又由平面分。所以4C_L&Z（2）由題意知，二面角八月3〃的余弦值為:，由（1）知，二面角A/C〃的平面角為/時(shí)，故cos4PFD=g,在Rt△44。中可得AXylAa+BC=2^3,O所以"=；AC=y/3,所以PF=7p#—AF='（3?。?一（/）z=2乖,設(shè)點(diǎn)P到平面月比7?的距離為力，則力=依sinZ.PFD=2-^>又梯形4靦的面積為S=J(2+3)X:=平，遼rm4?土加 , AA,AU工r 15m 8鏡 20故四棱錐門力靦的體積X號(hào)一X-^-=7..如圖，已知三棱柱力比‘-464的底面是正三角形，側(cè)面防GC是矩形，〃，N分別為6G6K的中點(diǎn)，夕為4V上一點(diǎn).過區(qū)G和一的平面交46于￡,交AC于EB(1)證明：AAJ/MN,且平面44既L平面即GQ；(2)設(shè)。為△45。的中心.若力勿平面即。況且42=明求直線旦夕與平面4?V所成角的正弦值.【解析】(1)因?yàn)闄C(jī)N分別為BC,8G的中點(diǎn)，底面為正三角形，B所以AN=EM,四邊形的M/為矩形，4N1AC,所以做〃腑，因?yàn)?4〃郎，所以44〃削因?yàn)榫蚅8G,4、_L8G,MNCA、N=N,所以5G_L平面44的V,因?yàn)?Gu平面即GE所以平面平面即GE綜上，AA.//MN,平面4加ML平面陽(2)因?yàn)槿庵舷碌酌嫫叫?，平面即C16與上下底面分別交于5G,EF,所以EF//B.CJ/BC,因?yàn)?0〃面用GE46t平面4如I”平面4眥41rl平面仍5GQ現(xiàn)所以力0〃掰四邊形加邠9為平行四邊形，

因?yàn)?。是正三角形的中心，AO^AB,所以443掰AM=?,AP,PN=BC=BC=3EF,由（1）知直線在平面4力掰V內(nèi)的投影為PN,直線與平面4加你所成角即為等腰梯形EFCB中RE與7W所成角,在等腰梯形砒福中，令EF=3過￡作碼8G于〃，nl 匚~,B、HJ10則川=5。=副=3,RH=1,&E=yllO,sinAB,EH=—,所以直線與平面4AW所成角的正弦值為耍.素養(yǎng)提升練2（）素養(yǎng)提升練2（）分鐘4。分.已知正方體4M48a〃的體積為16啦，點(diǎn)刀在平面48G〃上，且4,。到P的距離分別為2,2^/3,則直線爐與平面以我耳所成角的正弦值為（）【解析】選B.如圖所示:設(shè)正方體的棱長為a,則#=16，^,故a=2*\^2,即4B=2yj^,所以A\C\=yj2a=4,連接C\P,d^CP—cC=7（24）2-（2?2=2,所以4—2,則點(diǎn)P在4c上且為中點(diǎn)，連接然與BD交于0,連接OP,可知4d平面BDDB,3,.（多選題）（2022?濰坊模擬）一副三角板由一塊有一個(gè)內(nèi)角為60°的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示，NB=NF=90°,N4=60°,/〃=45°,BC=DE=y^,現(xiàn)將兩塊三角形板拼接在一起，得三棱錐?464取比'中點(diǎn)。與4C中點(diǎn)機(jī)則下列判斷中正確的是（）CBCB6。_1_面OFM4。與面力物所成的角為定值C.三棱錐尸冽體積為定值4D.若平面比五平面48。，則三棱錐尸4%外接球體積為gn【解析】選ABD.對(duì)于A,因?yàn)椤ㄊ潜?的中點(diǎn)，〃是“'的中點(diǎn)，所以M0〃48,/MOC=/ABC=90°,得BCtOM,由△86F為等腰直角三角形，可得比工明又MOCFO=O,MO,Rt平面OFM,所以6cL平面OFM,所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B,由選項(xiàng)A可得，〃'與平面如V所成的角為依=60°,為定值，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C, 的面積為定值，但三棱錐產(chǎn)冽的高會(huì)隨著6點(diǎn)的位置移動(dòng)而變化，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)槠矫姹菷_L平面46G平面66Fn平面ABC=BC,FOcl平面BCF,所以RZL平面ABC,又OMa平面ABC,所以O(shè)MLFO,又BC=DE=y{i,/為。=60°,所以FO=^^=2，又絲=1,則為仁^,所以MF=qF0+O/=1,在直角三角形46。中，朗4=物=/=^47=1,則也=地=欣：=版,所4 4以點(diǎn)〃為三棱錐尸/比外接球的球心，所以該外接球的體積為V--n? 71，所以選項(xiàng)D正確.3.已知三棱錐?4a'的頂點(diǎn)都在球。上，AB=2#,BC=l,AC=5,平面總四L平面且為_L加，則球。的體積為.【解題指南】求球的半徑關(guān)鍵是利用球的性質(zhì)：線面垂直、線線垂直確定球心的位置.【解析】如圖所示，O2

分別取力區(qū)力。的中點(diǎn)q,a,因?yàn)?4=2/，BC=\,AC=5,所以ABA.BC又PALPB,所以。，Q分別為截面處反截面48c外接圓的圓心,又平面PABL平面ABC,0x0，//BC,所以平面PAB,所以。為球心0,所以球的半徑為4萬，4 125所以球的體積為夕n/?*=—n.3 6Fa12Fa125答案：ji.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若加_L。，n//a,則/②若/_La,n//a,則/_La.③若/_La,a"B,則0_L￡.④若/_La,ml.B,則?！ā?其中正確命題的序號(hào)是(寫出所有正確命題的序號(hào)).【解析】對(duì)于①，若〃〃。，過直線〃作平面￡,使得aC￡=a,則a〃〃，因?yàn)?_La,aua,所以勿J_a,所以/_La,故①正確.對(duì)于②，mA.n,〃〃。只能推出勿與面內(nèi)有些線垂直，不能得出它垂直于面內(nèi)任意一條直線，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，必垂直于另一個(gè)，故③正確.對(duì)于④，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，故④正確.答案：①③④.已知四棱錐84仇力中，為，平面力比〃且必=a,底面/用力是邊長為6的菱形，4ABe=60°.(1)求證：平面質(zhì)_L平面用G⑵設(shè)然與切交于點(diǎn)。，"為。。中點(diǎn)，若二面角小川■〃的正切值是2m,求a：6的值.【解析】⑴因?yàn)闉镴"平面［靦，H七平面［靦，所以為，物，因?yàn)樗倪呅?8(力為菱形,所以47_1_物，又因?yàn)?m必=4所以8〃_L平面處C,因?yàn)?t平面加，所以平面質(zhì)_1_平面PAC.⑵過。作OHLPM交PM于H,連接DH,因?yàn)槿鏮L平面PAC,所以由三垂線定理可得DHLPM,bb,0bb,0M=~3b?OHAP

AM=—n—=—4^OMPM從而0H=