必然現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象(重要)匯總

必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象在自然界和人的實(shí)踐活動(dòng)中經(jīng)常遇到各種各樣的現(xiàn)象， 這些現(xiàn)象大體可分為兩類：一類是確定的，例如“在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100C時(shí)必然沸騰。”“向上拋一塊石頭必然下落?！?，“同性電荷相斥，異性電荷相吸?！钡鹊龋@種在一定條件下有確定結(jié)果的現(xiàn)象稱為 必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象） ；另一類現(xiàn)象是隨機(jī)的， 例如：在相同的條件下， 向上拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上， 也可能是反面朝上，不論如何控制拋擲條件， 在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果是什么， 這個(gè)試驗(yàn)多于一種可能結(jié)果， 但是在試驗(yàn)之前不能肯定試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。 同樣地同一門大炮對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行多次射擊（同一型號(hào)的炮彈） ，各次彈著點(diǎn)可能不盡相同，并且每次射擊之前無法肯定彈著點(diǎn)的確切位臵， 以上所舉的現(xiàn)象都具有隨機(jī)性， 即在一定條件下進(jìn)行試驗(yàn)或觀察會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果（也就是說，多于一種可能的試驗(yàn)結(jié)果） ，而且在每次試驗(yàn)之前都無法預(yù)言會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果 （不能肯定試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果） ，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。再看兩個(gè)試驗(yàn)：試驗(yàn)Ⅰ：一盒中有十個(gè)完全相同的白球，攪勻后從中摸出一球；試驗(yàn)Ⅱ：一盒中有十個(gè)相同的球，其中 5個(gè)白球，5個(gè)黑球，攪勻后從中任意摸取一球。對(duì)于試驗(yàn)Ⅰ 而言，在球沒有取出之前， 我們就能確定取出的球必是白球， 也就是說在試驗(yàn)之前就能判定它只有一個(gè)確定的結(jié)果這種現(xiàn)象就是必然現(xiàn)象 （必然現(xiàn)象）。對(duì)于試驗(yàn)Ⅱ來說，在球沒有取出之前，不能確定試驗(yàn)的結(jié)果（取出的球）是白球還是黑球，也就是說一次試驗(yàn)的結(jié)果（取出的球）出現(xiàn)白球還是黑球，在試驗(yàn)之前無法肯定。對(duì)于這一類試驗(yàn)而言，驟然一看，似乎沒有什么規(guī)律而言，但是實(shí)踐告訴我們， 如果我們從盒子中反復(fù)多次取球 （每次取一球， 記錄球的顏色后仍把球放回盒子中攪勻） ，那么總可以觀察到這樣的事實(shí)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n相當(dāng)n白 n黑大時(shí)，出現(xiàn)白球的次數(shù) n白和出現(xiàn)黑球的次數(shù) n黑是很接近的，比值 n（或n）會(huì)逐漸穩(wěn)定于 2，出現(xiàn)這個(gè)事實(shí)是完全可以理解的， 因?yàn)楹凶又械暮谇驍?shù)與白球數(shù)相等，從中任意摸一球取得白球或黑球的“機(jī)會(huì)”相等。試驗(yàn)Ⅱ所代表的類型，它有多于一種可能的結(jié)果，但在試驗(yàn)之前不能確定試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果，這類試驗(yàn)所代表的現(xiàn)象成為隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)于試驗(yàn)而言，一次試驗(yàn)看不出什么規(guī)律，但是“大數(shù)次”地重復(fù)這個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)的結(jié)果又遵循某些規(guī)律，這些規(guī)律稱之為“統(tǒng)計(jì)規(guī)律” 。在客觀世界中，隨機(jī)現(xiàn)象是極為普遍的，例如“某地區(qū)的年降雨量” ，“某電話交換臺(tái)在單位時(shí)間內(nèi)收到的用戶的呼喚次數(shù)”，“一年全省的經(jīng)濟(jì)總量”等等。隨機(jī)試驗(yàn)上面對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)做了描述性定義，下面進(jìn)一步明確它的含義，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述條件：（ 1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的，可知道的 （在試驗(yàn)之前就可以知道的）并且不止一個(gè)；（ 3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。稱這樣的試驗(yàn)是一個(gè) 隨機(jī)試驗(yàn)，為方便起見， 也簡稱為試驗(yàn)，今后討論的試驗(yàn)都是指隨機(jī)試驗(yàn)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象概率論是從數(shù)量側(cè)面研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛， 并且有獨(dú)特的概念和方法， 同時(shí)與其它數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系它是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，就是利用概率論的結(jié)果，深入研究統(tǒng)計(jì)資料， 觀察這些隨機(jī)現(xiàn)象并發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律性， 進(jìn)而作出一定精確程度的判斷， 將這些研究結(jié)果加以歸納整理， 形成一定的數(shù)學(xué)模型雖然概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在方法上如此不同，但做為一門學(xué)科，它們卻相互滲透，互相聯(lián)系。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，不僅在天文、氣象、水文、地質(zhì)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等學(xué)科有其應(yīng)用，且在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、商業(yè)、軍事、電訊等部門也有廣泛的應(yīng)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡史概率論被稱為“賭博起家”的理論。概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)中葉，是一門比較古老的數(shù)學(xué)學(xué)科，有趣的是：盡管任何一門的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生與發(fā)展都不外乎是生產(chǎn)、 科學(xué)或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的推動(dòng)，然而概率論的產(chǎn)生，卻起始于對(duì)賭博的研究，當(dāng)時(shí)兩個(gè)賭徒約定賭若干局，并且誰先贏 c局便是贏家， 若一個(gè)賭徒贏 a局（a<c），另一賭徒贏 b局（b<c）時(shí)終止賭博，問應(yīng)當(dāng)如何分賭本？最初正是一個(gè)賭徒將問題求教于巴斯葛， 促使巴斯葛同費(fèi)爾瑪討論這個(gè)問題， 從而他們共同建立了概率論的第一基本概念——數(shù)學(xué)期望。1657年惠更斯也給出了一個(gè)與他們類似的解法。在他們之后， 對(duì)于研究這種隨機(jī) （或稱偶然） 現(xiàn)象規(guī)律的概率論做出了貢獻(xiàn)的是貝努里家族的幾位成員， 雅科布給出了賭徒輸光問題的詳盡解法， 并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個(gè)定理（貝努里定理）這是研究偶然事件的古典概率論中極其重要的結(jié)果， 它表明在大量觀察中， 事件的頻率與概率是極其接近的， 歷史上第一個(gè)發(fā)表有關(guān)概率論論文的人是貝努里，他于 1713年發(fā)表了一篇關(guān)于極限定理的論文， 概率論產(chǎn)生后的很長一段時(shí)間內(nèi)都是將古典概型作為概率來研究的，直到 1812年拉普拉斯在他的著作《分析概率論》中給出概率明確的定義，并且還建立了觀察誤差理論和最小二乘法估計(jì)法， 從這時(shí)開始對(duì)概率的研究， 實(shí)現(xiàn)了從古典概率論向近代概率論的轉(zhuǎn)變。概率論在二十世紀(jì)再度迅速發(fā)展起來， 則是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展迫切地需要研究有關(guān)一個(gè)或多個(gè)連續(xù)變化著的參變量的隨機(jī)變數(shù)理論即隨機(jī)過程論， 1906年俄國數(shù)學(xué)家馬爾可夫（ 1856-1922）提出了所謂“馬爾可夫鏈”的數(shù)學(xué)模型對(duì)發(fā)展這一理論做出貢獻(xiàn)的還有柯爾莫哥洛夫（俄國） 、費(fèi)勒（美國） ；1934年俄國數(shù)學(xué)家辛欽又提出了一種在時(shí)間中均勻進(jìn)行著的平穩(wěn)過程的理論。 隨機(jī)過程理論在科學(xué)技術(shù)有著重要的應(yīng)用， 開始建立了馬爾可夫過程與隨機(jī)微分方程之間的聯(lián)系。1960年，卡爾門（ 1930—英國）建立了數(shù)字濾波論，進(jìn)一步發(fā)展了隨機(jī)過程在制導(dǎo)系統(tǒng)中的應(yīng)用。概率論的公理化體系是柯爾莫哥洛夫 1933年在集合論與測度論的基礎(chǔ)上建立起來的，從而使概率論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。我國的概率論研究起步較晚， 從1957年開始，先驅(qū)者是許寶馬錄先生。 1957年暑期許老師在北大舉辦了一個(gè)概率統(tǒng)計(jì)的講習(xí)班， 從此，我國對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的研究有了較大的發(fā)展， 現(xiàn)在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)系各專業(yè)的必修課之一， 也是工科，經(jīng)濟(jì)類學(xué)科學(xué)生的公共課， 許多高校都成立了統(tǒng)計(jì)學(xué) （特別是財(cái)經(jīng)類高校） 。今年來，我國科學(xué)家對(duì)概率統(tǒng)計(jì)也取得了較大的成果。五、學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門處理隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科， 初學(xué)者對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念感到很抽象， 基本方法難以掌握， 習(xí)題難做。 但是只要講究學(xué)習(xí)方法，勤奮努力， 不利因素就會(huì)轉(zhuǎn)化為有利因素， 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之難恰好能培養(yǎng)大家分析問題和解決問題的能力，總之：1、深刻理解，牢固掌握基本概念。2、多做練習(xí)，很抓解題基本功。六、主要參考書目：復(fù)旦大學(xué)編 概率論第一分冊 概率論第二分冊 數(shù)理統(tǒng)計(jì) （兩冊）2、中山大學(xué) 梁之瞬 鄧集賢 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（上下冊）3、南開大學(xué) 周概容 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4、浙江大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章事件與概率本章是概率論部分的基本概念和基本知識(shí)， 是學(xué)習(xí)以后各章所必不可少的。一、教學(xué)目的與要求1、理解事件的概念，熟練掌握事件的運(yùn)算法則，事件間的各種關(guān)系；掌握概率的幾種定義， 熟悉并會(huì)用概率性質(zhì)進(jìn)行概率的有關(guān)計(jì)算；3、掌握條件概率的定義，并能應(yīng)用有關(guān)條件概率的公式（乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式）計(jì)算概率；4、掌握幾種概型（古典概型、幾何概型、貝努里概型）概率的計(jì)算；5、理解事件獨(dú)立性的概念， 并會(huì)用獨(dú)立性的性質(zhì)進(jìn)行概率的計(jì)算。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是各種類型概率的計(jì)算；難點(diǎn)是有關(guān)事件概率的計(jì)算。1.1隨機(jī)事件與樣本空間隨機(jī)事件與樣本空間是概率論中的兩個(gè)最基本的概念。基本事件與樣本空間對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)來說，我們感興趣的往往是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。例如擲一枚硬幣， 我們關(guān)心的是出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面這兩個(gè)可能結(jié)果。 若我們觀察的是擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，則可能出現(xiàn)的結(jié)果有（正、正） 、（正、反） 、（反、正） 、（反、反）四種，如果擲三枚硬幣，其結(jié)果還要復(fù)雜，但還是可以將它們描述出來的，總之為了研究隨機(jī)試驗(yàn)，必須知道隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果?；臼录ǔ?，據(jù)我們研究的目的， 將隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果， 稱為基本事件。因?yàn)殡S機(jī)事件的所有可能結(jié)果是明確的， 從而所有的基本事件也是明確的， 例如：在拋擲硬幣的試驗(yàn)中“出現(xiàn)反面” ，“出現(xiàn)正面”是兩個(gè)基本事件，又如在擲骰子試驗(yàn)中“出現(xiàn)一點(diǎn)” ，“出現(xiàn)兩點(diǎn)” ，“出現(xiàn)三點(diǎn)” ，??，“出現(xiàn)六點(diǎn)”這些都是基本事件。樣本空間基本事件的全體， 稱為樣本空間。也就是試驗(yàn)所有可能結(jié)果的全體是樣本空間，樣本空間通常用大寫的希臘字母 表示， 中的點(diǎn)即是基本事件，也稱為樣本點(diǎn)，常用 表示，有時(shí)也用 A,B,C等表示。在具體問題中，給定樣本空間是研究隨機(jī)現(xiàn)象的第一步。例1、一盒中有十個(gè)完全相同的球， 分別有號(hào)碼 1、2、3?? 10，從中任取一球，觀察其標(biāo)號(hào)，令 i取得球的標(biāo)號(hào)為 i，i1,2,3?? 10則1,2,3,,10,i標(biāo)號(hào)為i,i1,2,,102,,10為基本事件（樣本點(diǎn)）例2在研究英文字母使用狀況時(shí)，通常選用這樣的樣本空間：空格，A,B,C,X,Y,Z例1，例2討論的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)， 是比較簡單的樣本空間。例3討論某尋呼臺(tái)在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)， 可能結(jié)果一定是非負(fù)整數(shù)而且很難制定一個(gè)數(shù)為它的上界，這樣，可以把樣本空間取為 0,1,2,這樣的樣本空間含有無窮個(gè)樣本點(diǎn)，但這些樣本點(diǎn)可以依照某種順序排列起來，稱它為可列樣本空間。例4討論某地區(qū)的氣溫時(shí)，自然把樣本空間取為 ,或a,b。這樣的樣本空間含有無窮個(gè)樣本點(diǎn)， 它充滿一個(gè)區(qū)間， 稱它為無窮樣本空間。從這些例子可以看出，隨著問題的不同，樣本空間可以相當(dāng)簡單，也可以相當(dāng)復(fù)雜，在今后的討論中， 都認(rèn)為樣本空間是預(yù)先給出定的， 當(dāng)然對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題或一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，考慮問題的角度不同，樣本空間也可能選擇得不同。例如：擲骰子這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 若考慮出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)， 則樣本空間 1,2,3，4，5，6；若考慮的是出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)還是出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則樣本空間 奇數(shù)、偶數(shù) 。由此說明，同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可以有不同的樣本空間。在實(shí)際問題中， 選擇恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g來研究隨機(jī)現(xiàn)象是概率中值得研究的問題。隨機(jī)事件再看例1樣本空間 1,2,3， ,10下面研究這些問題。A球的標(biāo)號(hào)為 3，B球的標(biāo)號(hào)為偶數(shù) ，c球的標(biāo)號(hào)不大于 5其中A為一個(gè)基本事件，而 B與C則由基本事件所組成。例如：B發(fā)生（出現(xiàn)）必須而且只須下列樣本點(diǎn)之一發(fā)生 2、4、6、8、 10，它由五個(gè)基本事件組成。同樣地，C發(fā)生必須而且只須下列樣本點(diǎn)之一發(fā)生 1、2、3、4、5。無論基本事件還是復(fù)雜事件，它們在試驗(yàn)中發(fā)生與否，都帶有隨機(jī)性，所以叫做隨機(jī)事件或簡稱為事件，習(xí)慣上用大寫英文字母 A,B,C等表示，在試驗(yàn)中如果出現(xiàn) A中包含了某一個(gè)基本事件 ，則稱作 A發(fā)生，并記作 A。我們知道， 樣本空間 包含了全體基本事件， 而隨機(jī)事件不過是由某些特征的基本事件組成的， 從集合論的角度來看， 一個(gè)隨機(jī)事件不過是樣本空間 的一個(gè)子集而已。如例1中 1,2,3， ,10。顯然A,B,C都是的子集，它們可以簡單的表示為A3，B2,4,6,8,10，C 1，3，5，7，9因?yàn)槭撬谢臼录M成，因而在一次試驗(yàn)中，必然要出現(xiàn) 中的某一基本事件 ，也就是在試驗(yàn)中 必然要發(fā)生， 今后用 表示一個(gè)必然事件，可以看成 的子集。相應(yīng)地空集 ，在任意一次試驗(yàn)中不能有 ，也就是說 永遠(yuǎn)不可能發(fā)生，所以 是不可能事件，實(shí)質(zhì)上必然事件就是在每次試驗(yàn)中都發(fā)生的事件，不

可能事件就是在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，必然事件與不可能事件的發(fā)生與否，已經(jīng)失去了“不確定性”即隨機(jī)性，因而本質(zhì)上不是隨機(jī)事件，但為了討論問題的方便，還是將它看作隨機(jī)事件。例3一批產(chǎn)品共 10件，其中 2件次品，其余為正品，從中任取 3件則A恰有一件正品 ，B恰有兩件正品 ，C至少有兩件正品D={三件中至少有一件次品 }這些都是隨機(jī)事件而三件中有正品 為必然事件3件都是正品 為不可能事件，對(duì)于這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說，基本事件總數(shù)為 C130個(gè)。事件的關(guān)系與運(yùn)算對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)而言， 它的樣本空間 可以包含很多隨機(jī)事件， 概率論的任務(wù)之一就是研究隨機(jī)事件的規(guī)律， 通過對(duì)較簡單事件規(guī)律的研究在掌握更復(fù)雜事件的規(guī)律，為此需要研究事件之間和事件之間的關(guān)系與運(yùn)算。若沒有特殊說明，認(rèn)為樣本空間 是給定的，且還定義了 中的一些事件，A,B， Aii1,2等，由于隨機(jī)事件是樣本空間的子集，從而事件的關(guān)系與運(yùn)算和集合的關(guān)系與運(yùn)算完全相類似。1事件的包含關(guān)系定義：若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生，則稱事件 B包含了 A，或稱 A是 B的特款，記作AB或BA。比如前面提到過的A球的標(biāo)號(hào)為 6，這一事件就導(dǎo)致了事件B球的標(biāo)號(hào)為偶數(shù) 的發(fā)生，因?yàn)槊綐?biāo)號(hào)為 6的球意味著偶數(shù)的球出現(xiàn)了，所以AB可以給上述含義一個(gè)幾何解釋，設(shè)樣本空間是一個(gè)正方體， A,B是兩個(gè)事件，也就是說， 它們是的子集，“A發(fā)生必然導(dǎo)致 B發(fā)生”意味著屬于 A的樣本點(diǎn)在 B中由此可見，事件 AB的含義與集合論是一致的。特別地，對(duì)任何事件 AAA例3設(shè)某種動(dòng)物從出生生活至 20歲記為 A，從出生到 25記為B,則BA2事件的相等

設(shè)A,B,若AB，同時(shí)有 BA，稱 A與 B相等，記為 A=B，易知相等的兩個(gè)事件 A,B總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生， 在同一樣本空間中兩個(gè)事件想等意味著它們含有相同的樣本點(diǎn)。3并（和）事件與積（交）事件定義：設(shè)A,B,稱事件“A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”為A和B的和事件或并事件。記作 AB實(shí)質(zhì)上AB“A或B發(fā)生”AA,A,AAAAB若AB，則ABB,AAB,BAB設(shè)某種圓柱形產(chǎn)品，若底面直徑和高都合格，則該產(chǎn)品合格。例3、設(shè)某種圓柱形產(chǎn)品，若底面直徑和高都合格，則該產(chǎn)品合格。令A(yù)=｛直徑不合格 ｝，B=｛高度不合格 ｝，則AB=｛產(chǎn)品不合格 ｝。推廣：件為設(shè)n個(gè)事件 A1,A2 , ,An ，稱“ A1,A2, , Ann 中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事推廣：件為AiA1,A2, ,An的并，記作 A1 A2 An或 i1和事件的概念還可以推廣到可列個(gè)事件的情形。設(shè)A,B，稱“ A與 B同時(shí)發(fā)生”這一事件為A和B的積事件或交事件。記作AB或AB顯然A ,AA,AAA,ABA,ABB若AB，則ABA如例7中，若 C=｛直徑合格 ｝，D=｛高度合格 ｝，則CD=｛產(chǎn)品合格｝。推廣:設(shè)n個(gè)事件 A1,A2,,An，稱“ A1,A2,,An同時(shí)發(fā)生”這一事件為nA1,A2, ,An的積事件。記作 A1 A2 An或 A1A2 An或 i1Ai4差事件

定義：設(shè)A,B，稱“A發(fā)生 B不發(fā)生” 這一事件為 A與 B的差事件， 記作AB如例7中AB={該產(chǎn)品的直徑不合格，高度合格}，明顯地有ABAAB,AA5對(duì)立事件定義：稱“A”為A的對(duì)立事件或稱為 A的逆事件，記作 AAAAAA由此說明，在一次試驗(yàn)中 A與A有且僅有一個(gè)發(fā)生。即不是A發(fā)生就是 A發(fā)生。顯然AA，由此說明 A與A互為逆事件。ABAB例8、設(shè)有 100件產(chǎn)品，其中 5件產(chǎn)品為次品，從中任取 50件產(chǎn)品。記A={50件產(chǎn)品中至少有一件次品 }則A{50件產(chǎn)品中沒有次品 }={50件產(chǎn)品全是正品 }由此說明，若事件 A比較復(fù)雜，往往它的對(duì)立事件比較簡單，因此我們在求復(fù)雜事件的概率時(shí)，往往可能轉(zhuǎn)化為求它的對(duì)立事件的概率。互不相容事件（互斥事件）定義：若兩個(gè)事件 A與B不能同時(shí)發(fā)生，即 AB，稱A與B為互不相容事件（或互斥事件） 。注意：任意兩個(gè)基本事件都是互斥的。推廣：設(shè) n個(gè)事件 A1,A2,,An兩兩互斥，稱 A1,A2,,An互斥（互不相容）若A，B為互斥事件，則 A，B不一定為對(duì)立事件。但若 A，B為對(duì)立事件，則A，B互斥。事件的運(yùn)算法則1）交換律 ABBA,ABBA2）結(jié)合律 ABCABC,ABCABC3）分配律 ABCACBCABCACBCAi Ai Ai Ai4) 對(duì)偶原則 i1i1i1i1例9例9設(shè)A,B,C為中的隨機(jī)事件，試用A與B發(fā)生而 C不發(fā)生A發(fā)生， B與C不發(fā)生恰有一個(gè)事件發(fā)生恰有兩個(gè)事件發(fā)生三個(gè)事件都發(fā)生 ABC至少有一個(gè)事件發(fā)生 AA,B,C 都不發(fā)生A,B,C 不都發(fā)生A,B,C 不多于一個(gè)發(fā)生 ABCA,B,C不多于兩個(gè)發(fā)生A,B,C表示下列事件。ABC或ABCABC或ABCABCABCABCABCABCABCBC或3)4)5)之并ABCABCABCABCABC或ABBCCAABC例 10：試驗(yàn)Ｅ：袋中有三個(gè)球編號(hào)為１ .２.３，從中任意摸出一球，觀察其號(hào)碼，記Ａ＝球的號(hào)碼小于 3Ｂ＝球的號(hào)碼為奇數(shù) Ｃ＝球的號(hào)碼為 3試問：１)Ｅ的樣本空間為什么？２)Ａ與Ｂ，Ａ與Ｃ，Ｂ與Ｃ是否互不相容？３)Ａ，Ｂ，Ｃ對(duì)立事件是什么？4)A與 B的和事件，積事件，差事件各是什么？解：設(shè)i摸到球的號(hào)碼為 i,i1,2,3)則Ｅ的樣本空間為 1,2,3；)A1,2，B1,3，C3Ａ與Ｂ，Ｂ與Ｃ是相容的，Ａ與Ｃ互不相容；)A3，B2，C1,2；)AB，AB1，AB2。四事件域事件是的子集，如果事件的這些子集歸在一起，則得到一個(gè)類，稱作事件域，記作 F。即 FA:A ,A為事件

,為事件F， F因?yàn)槲覀冇懻摿耸录g的運(yùn)算 “ ” “ ”和“-”,如果 A，B都是事件，即 A,BF，自然要求 AB,AB,A-B也是事件，因此，若 AF，BF就要求ABF，ABF，A-BF。用集合論的語言來說， 就是事件域 關(guān)于運(yùn)算 “ ”“ ”和“-”是封閉的，事件域應(yīng)該滿足如下要求：）F；nAi.n.則i1nAi.n.則i1F。）若 AiF,i=1,2,3在集合論中，滿足上述三條件的集合類稱為布爾代數(shù)（ 代數(shù)）所以事件域是一個(gè)布爾代數(shù)，對(duì)于樣本空間 ，如果F是的一切子集的全體，那么顯然 F是一個(gè)布爾代數(shù)。1.2概率與頻率一、概率與頻率的概念對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)事件，在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生，雖然不能預(yù)先知道，但是它們在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性是有大小之分的。比如擲一枚均勻的硬幣，那么隨機(jī)事件 A（正面朝上）和隨機(jī)事件 B（正面朝下）發(fā)生的可能性是一樣的（都為1/2）。又如袋中有 8個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取一球。當(dāng)然取到白球的可能性要大于取道黑球的可能性。 一般地，對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)事件都可以找到一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，該數(shù)值作為發(fā)生的可能性大小的度量。定義1.1:隨機(jī)事件 A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值） ，稱為A發(fā)生的概率，記為 P（A）。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說，它發(fā)生可能性大小的度量是自身決定的，并且是客觀存在的。 概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量是自身的屬性。 一個(gè)根本問題是，對(duì)于一個(gè)給定的隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量——概率，究竟有多大呢？再來看，擲硬幣的試驗(yàn)，做一次試驗(yàn)，事件 A（正面朝上）是否發(fā)生是不確定的，然而這是問題的一個(gè)方面， 當(dāng)試驗(yàn)大量重復(fù)做的時(shí)候， 事件A發(fā)生的次數(shù)，也稱為頻數(shù)，體現(xiàn)出一定的規(guī)律性，約占總試驗(yàn)次數(shù)的一半，也可寫成fn（A）=A發(fā)生的頻率 =頻數(shù) /試驗(yàn)總次數(shù) 接近與 1/2一般的，設(shè)隨機(jī)事件 A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn) nA次，比值fn（A）=nA/n稱為事件 A在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率歷史上有人做過擲硬幣的試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)者nnAfn(A)蒲豐404020480.5070K．皮爾遜1200060190.5016K．皮爾遜24000120120.5005從上表可以看， 不管什么人去拋， 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增多時(shí)， fn（A）總是在0.5附近擺動(dòng)而逐漸穩(wěn)定與 0.5。從這個(gè)例子可以看出， 一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件 A，在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率 fn（A），當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù) n逐漸增多時(shí)， 它在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，而逐漸穩(wěn)定與這個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)是客觀存在的，“頻率穩(wěn)定性”的性質(zhì)，不斷地為人類的實(shí)踐活動(dòng)所證實(shí)，它揭示了隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性。limnAP(A)nn 嗎？不正確limnAP(A)nn 嗎？不正確-N定義，若limnAP(A)nn成立則 0,N0,nNnAP(A)

n而頻率具有隨機(jī)性， nN，并不能保證nA P(A)n恒成立。試判斷“頻率的極限就是概率” 這句話是否正確？即例如，當(dāng) nAn時(shí)，取 1PA，上述不等式就不成立。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中不能沿用數(shù)學(xué)分析中的一般極限定義了。二、頻率的性質(zhì)nA由頻率的定義 fn(A)=n，0nAn,很快可以得到頻率的性質(zhì)，1、非負(fù)性： fn(A)0；2、規(guī)范性： 若為必然事件，則 fn()=1；3、有限可加性： 若A,B互不相容即 AB=,則fnAB=fn(A)+fn(B)nnAnB由這三條基本性質(zhì)，還可以推出頻率的其它性質(zhì)：4、不可能事件的頻率為 0， fn()=0；5、若 AB，則 fn(A)fn(B)，由此還可以推得 fn(A)1；6、對(duì)有限個(gè)兩兩互不相容的事件的頻率具有可加性， 即若 AiAj (1i,jmnmfn(Ai) fn(Ai)ij),則i1=i1由于概率是頻率的穩(wěn)定值，因此頻率具有的性質(zhì)，概率也應(yīng)有相應(yīng)的性質(zhì)：1、非負(fù)性 :P(A) 0；2、規(guī)范性 :P()1。注意：性質(zhì)2反過來不一定成立。 就是說概率為 1的事件不一定為必然事件。0的事件不一定為不可能事件，這方面的例子在下一章再舉。3、有限可加性 :若Ai F，i1,2,3，?， n，且 AiAj (ij)，則nnP()Ai P(Ai)i1 i1即有限個(gè)互不相容的事件的和事件的概率等于這些事件的概率之和。因AA，AA，從而有 P(A)P(A)=1。由此可知， 給定一個(gè)隨機(jī)事件， 也就確定了一個(gè)樣本空間 、事件域F和概率P其中F是一個(gè)布爾代數(shù)， P是定義在 F上的一個(gè)非空、規(guī)范的有限可加集函數(shù)?！?.3古典概型先討論一類最簡單的隨機(jī)試驗(yàn)，它具有下述特征：1)樣本空間的元素 (基本事件) 只有有限個(gè)， 不妨設(shè)為 n個(gè)，記為1， 2，?，n；2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有 P(1)P(2)?=P(n)。稱這種數(shù)學(xué)模型為 古典概型。它在概率論中具有非常重要的地位， 一方面它比較簡單， 既直觀，又容易理解，另一方面它概括了許多實(shí)際內(nèi)容，有很廣泛的應(yīng)用。對(duì)上述古典概型，它的樣本空間 1， 2，?，n，事件域 F為的所有子集的全體，這時(shí)連同 ，在內(nèi)，F(xiàn)中含有2n個(gè)事件，并且從概率論的有限可加性知 1=P()P(1)P(2)?P(n)1于是P(1)P(2)?=P(n)=nAF，若 A是k個(gè)基本事件之和，即TOC\o"1-5"\h\zA=i1i2? ikA包含的有利事件數(shù)基本事件總數(shù)kA包含的有利事件數(shù)基本事件總數(shù)則 P(A)kn 基本事件總數(shù)所以在古典概型中， 事件 A的概率是一個(gè)分?jǐn)?shù)， 其分母是樣本點(diǎn) (基本事件)總數(shù) n，而分子是事件 A包含的基本事件數(shù) k。例如：將一枚硬幣連續(xù)擲兩次就是這樣的試驗(yàn)， 也是古典概型， 它有四個(gè)基本事件，(正、正) ， (正、反) ， (反、正) ，(反、反) ，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的1可能結(jié)果都是 4。但將兩枚硬幣一起擲，這時(shí)試驗(yàn)的可能結(jié)果為(正、反) ，(反、反) ，(正、2正)但它們出現(xiàn)的可能性卻是不相同的， (正、反)出現(xiàn)的可能性為 4，而其它它不是古典概型， 對(duì)此歷史上曾經(jīng)有過爭論， 達(dá)朗貝爾曾誤為這三種結(jié)果的判別一個(gè)概率模型是否為古典概型，關(guān)鍵是看“等可能性”條件滿不滿足。而對(duì)此又通常根椐實(shí)際問題的某種對(duì)稱性進(jìn)行理論分析，而不是通過實(shí)驗(yàn)來判斷。由古典概型的計(jì)算公式可知，在古典概型中，若 p（A）=1,則A=。同樣，若PA0，則A。不難驗(yàn)證，古典概型具有非負(fù)性、規(guī)范性和有限可加性。利用古典概型的公式計(jì)算事件的概率關(guān)鍵是要求基本事件總數(shù)和 A的有利事件數(shù)，則需要利用數(shù)列和組合的有關(guān)知識(shí)，且有一定的技巧性。（一）摸球問題例1.在盒子中有五個(gè)球（三個(gè)白球、二個(gè)黑球）從中任取兩個(gè)。問取出的兩個(gè)球都是白球的概率？一白、一黑的概率？2分析：說明它屬于古典概型，從 5個(gè)球中任取 2個(gè)，共有 C5種不同取法，可以2將每一種取法作為一個(gè)樣點(diǎn)。則樣本點(diǎn)總數(shù) C5是有限的。由于摸球是隨機(jī)的，因此樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的，因此這個(gè)問題是古典概型。解：設(shè)A=取到的兩個(gè)球都是白球 ，B=取到的兩個(gè)球一白一黑2TOC\o"1-5"\h\z基本事件總數(shù)為 C5PA C32A的有利事件數(shù)為 C32, C52C1C1C1C1 PA CC3C22B的有利事件數(shù)為 C3C2， C5。由此例我們初步體會(huì)到解古典概型問題的兩個(gè)要點(diǎn)：首先要判斷問題是屬于古典概型，即要判斷樣本空間是否有限和等可能性；計(jì)算古典概型的關(guān)鍵是“記數(shù)” ，這主要利用排列與組合的知識(shí)。在古典概型時(shí)常利用摸球模型， 因?yàn)楣诺涓判椭械拇蟛糠謫栴}都能形象化地用摸球模型來描述， 若把黑球做為廢品， 白球看為正品， 則這個(gè)模型就可以描述產(chǎn)品的抽樣檢查問題，假如產(chǎn)品分為更多等級(jí)，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，則可以用更多有多種顏色的摸球模型來描述。例 2：在盒子中有十個(gè)相同的球，分別標(biāo)為號(hào)碼 1，2，3，??， 9，10，從中任摸一球，求此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。解一：令 i所取的球的號(hào)碼為 ii1,2,,10

令A(yù)=所取球的號(hào)碼為偶數(shù)則1,2 10令A(yù)=所取球的號(hào)碼為偶數(shù)A含有 5個(gè)基本事件5P(A)10，則A=，則A=所取球的號(hào)碼為奇數(shù)1A,A,p(A)2此例說明了在古典概型問題中， 選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g， 可使我們的解題變的簡潔。例3：一套五冊的選集，隨機(jī)地放到書架上，求各冊書自左至右恰好成 1，2，3，4，5的順序的概率。TOC\o"1-5"\h\z解：將五本書看成五各球，這就是一個(gè)摸球模型， 基本事件總數(shù) 5！令A(yù)=各冊自左向右或成自右 向左恰好構(gòu)成 1，2，3，4，5順序21P(A)A包含的基本事件數(shù)為 2， 5!60例4：從 52張撲克牌中取出 13張牌來，問有 5張黑桃、三張紅心、 3張方塊、2張草花的概率是多少？解：基本事件數(shù)為： C5123令A(yù)表示13張牌中有 5張黑桃、3張紅心、3張方塊、2張草花5332A包含的基本事件數(shù)為： C13C13C13C13P(AP(A) C153C133C133C1C51230.01293。TOC\o"1-5"\h\z例5：設(shè)有 n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到 N個(gè)房間中的任意一間去住( n≤N)，求下列事件的概率：A=指定的n個(gè)房間各有一人住 ；B=恰好有n個(gè)房間，其中各有一人住 。解：因?yàn)槊恳粋€(gè)人有 N個(gè)房間可供選擇(沒有限制每間房住多少人) ，所以n個(gè)人住的方式共有 Nn種，它們是等可能的。n個(gè)人都分到指定的 n間房中去住，保證每間房中個(gè)有一人住；第一人有 n分法，第二人有 n-1種分法，??最后一人只能分到剩下的一間房中去住，共有 n(n-1)?? .21種分法，即 A含有n！個(gè)基本事件：n!P(A)=Nnn個(gè)人都分到的 n間房中，保證每間只要一人，共有 n!種分法，而 n間房未指定，故可以從 N間房中任意選取， 共有CNn種取法，故B包含了 CNn種取法。CNnn!P(B)=Nn，又如在擲骰子試驗(yàn)中“出現(xiàn)一點(diǎn)” 。注意：分房問題中的人與房子一般都是有個(gè)性的， 這類問題是將人一個(gè)個(gè)地往房間里分配，處理實(shí)際問題時(shí)要分清什么是“人” ，什么是“房子” ，一般不可顛倒，常遇到的分房問題有：n個(gè)人相同生日問題， n封信裝入 n個(gè)信封的問題(配對(duì)問題) ，擲骰子問題等，分房問題也稱為球在盒子中的分布問題。從上述幾個(gè)例子可以看出， 求解古典概型問題的關(guān)鍵是在尋找基本事件總數(shù)和有利事件數(shù)， 有時(shí)正面求較困難時(shí)， 可以轉(zhuǎn)化求它的對(duì)立方面， 要講究一些技巧。例6：某班級(jí)有 n個(gè)人(n<365)問至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率是多大？解：假定一年按 365天計(jì)算，將 365天看成365個(gè)“房間” ，那么問題就歸結(jié)為摸球問題；令A(yù)=至少有兩個(gè)人的生日在 同一天 則A的情況比較復(fù)雜(兩人、三人??在同一天) ，但A的對(duì)立事件 An個(gè)人的生日全不相同 ,這就相當(dāng)于分房問題中的 2)“恰有n個(gè)房間，其中各住一人” ；CNnn! N!P(A)Nn=Nn(Nn)!(N=365)P(A)P(A)1N!∴P(A)=1-Nn(Nn)!(N=365)這個(gè)例子就是歷史上有名的“生日問題” ，對(duì)于不同的一些 n值，計(jì)算得相應(yīng)的P（A）如下表：ｎ１０２０２３３０４０５０Ｐ（Ａ）0.120.410.510.710.890.97表所列出的答案足以引起大家的驚奇， 因?yàn)椤耙粋€(gè)班級(jí)中至少有兩個(gè)人生日相同”這個(gè)事件發(fā)生的概率并不如發(fā)多數(shù)人想象的那樣小， 而是足夠大， 從表中可以看出，當(dāng)班級(jí)人數(shù)達(dá)到 23時(shí)，就有半數(shù)以上的班級(jí)會(huì)發(fā)生這件事情，而當(dāng)班級(jí)人數(shù)達(dá)到50人時(shí)，竟有 97％ 的班級(jí)會(huì)發(fā)生上述事件，當(dāng)然這里所講的半數(shù)以上，有97％都是對(duì)概率而言的，只是在大數(shù)次的情況下（就要求班級(jí)數(shù)相當(dāng)多） ，才可以理解為頻率。從這個(gè)例子告訴我們“直覺”并不可靠，從而更有力的說明了研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要性。例 7：在電話號(hào)碼簿中人取一個(gè)號(hào)碼（電話號(hào)碼由 7個(gè)數(shù)字組成） ，求取到的號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率？解：此時(shí)將０－９這 10個(gè)數(shù)子看成“房子” ，電話號(hào)碼看成“人” ，這就可以歸結(jié)為“分房問題（ 2）”。令Ａ＝取到的號(hào)碼有由完全不同的數(shù)字組成P170則 P（A）＝ 107當(dāng)然這個(gè)問題也可以看成摸球問題，將這十個(gè)數(shù)字看成 10個(gè)球，從中有放回的取7次，要求 7次取得的號(hào)碼都不相同。（三）隨機(jī)取數(shù)問題例8：從 1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中等可能地、有放回的連續(xù)抽取 3個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：TOC\o"1-5"\h\zA=三個(gè)數(shù)字完全不相同 ；B=三個(gè)數(shù)字中不含 1和5；C=三個(gè)數(shù)字中 5恰好出現(xiàn)了兩次 ；D=三個(gè)數(shù)字中至少有一次出現(xiàn) 5。

P53解：基本事件數(shù)為： 53， A的有利事件數(shù)為 P53， 故P(A)＝ 53＝0.4833C32C的B的有利事件數(shù)為 33(三個(gè)數(shù)只能出現(xiàn) 2，3，4)，故 P(B)＝ 53C32C的三個(gè)數(shù)字中 5恰好出現(xiàn)兩次，可以是三次中的任意兩次，出現(xiàn)的方式為1種，剩下的一個(gè)數(shù)只能從 1，2，3，4中任意選一個(gè)數(shù)字，有 P4種選法，故C32P41 12有利事件數(shù)為 C32P41，故 P(C)= 53=125事件D包含了5出現(xiàn)了一次， 5出現(xiàn)兩次， 5出現(xiàn)三次三種情況D的有利事件數(shù)為： C311(P41)2+C3212P41+C331330.48830.488。C311(P41)2C3212P41C331故P(D)=5故P(D)=或可以轉(zhuǎn)化為求 D的對(duì)立事件 D的概率D=三個(gè)數(shù)字中 5一次也不出現(xiàn) 說明三次抽取得都是在 1，2，3，4中4334任取一個(gè)數(shù)字，故含有 43個(gè)基本事件 P(D)=1-P(D)=1-54=0.488。例 9：在0,1,2,,9這十個(gè)數(shù)字中無重復(fù)地任取 4個(gè)數(shù)字，試求取得的 4個(gè)數(shù)字能組成四位偶數(shù)的概率。解：設(shè)A=取得的4個(gè)數(shù)字能組成四位偶數(shù)44從10個(gè)數(shù)中任取 4個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，共有 P10種排列方式，所以共有 P10個(gè)基本事件。下面考慮 A包含的基本事件數(shù)， 分兩種情況考慮一種是 0排在個(gè)位上， 有 P93種選法，另一種是 0不排在個(gè)位上，有 P41P81P82種，所以 A包含的基本事件數(shù)為P93 P41P81P82413 112 4P9+P4P8P8，故P(A)= P10 =90 0.4556或先從0，2，4，6，8這5個(gè)偶數(shù)中任選一個(gè)排在個(gè)位上，有 P51種排法，然后從剩下的 9個(gè)數(shù)字中任取 3個(gè)排在剩下的 3個(gè)位臵上， 有 P93種排法,故個(gè)位上是偶數(shù)的排法共有 P51P93種，但在這種四個(gè)數(shù)字的排列中包含了“ 0”排在首位的情形，故應(yīng)除去這種情況的排列數(shù)。故A的有利場合數(shù)為： P51P93-P41P11P82例 10：任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的平方數(shù)的末位數(shù)字是 1的概率。分析：不能將正整數(shù)的全體取為樣本空間， 這樣的樣本空間是無限的， 談上不等可能的。解：因?yàn)橐粋€(gè)正整數(shù)的平方的末位數(shù)只能取決于該正整數(shù)的末位數(shù)， 它們可以是0，1，2??， 9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，現(xiàn)任取一個(gè)正整數(shù)的含義，就是這十個(gè)數(shù)字等可能地出現(xiàn)的，換句話說，取樣本空間 0,1,2,,9。TOC\o"1-5"\h\z記A=該數(shù)的平方的末位數(shù)字是 1那么A包含的基本事件為 2，A=1,9，21故P(A)=105；該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是 1,則B=1,3,7,9 ，42P(B)=105；C=該數(shù)的立方后的最后兩位數(shù)字都是 1一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字取決于該數(shù)的最后的兩位數(shù)字， 所以樣本空間含有 102個(gè)樣本點(diǎn)。則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是 1，設(shè)最后的第二位數(shù)字是 a,那么該數(shù)立方的最后兩個(gè)數(shù)字為 1和3a個(gè)個(gè)位數(shù)，要使 3a的個(gè)位數(shù)為 1，必須 a=7，應(yīng)而 A包含171這一點(diǎn)，故 P(C)=100§1.4概率的公理化定義及概率的性質(zhì)一、幾何概率一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 如果數(shù)學(xué)模型是古典概型， 那么描述這個(gè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間 ,文件域F和概率 P已在前面得到解決。在古典概型中，試驗(yàn)的結(jié)果是有限的，受到了很大的限制。 在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到試驗(yàn)結(jié)果是無限的情況的。 例如，若我們在一個(gè)面積為 S的區(qū)域 中，等可能的任意投點(diǎn)，這里等可能的確切意義是這樣的：在區(qū)域 中有任意一個(gè)小區(qū)域 A，若它的面積為 SA,則點(diǎn)A落在A中的可能性大小與 SA成正比，而與 A的位臵及形狀無關(guān)。如果點(diǎn) A落在區(qū)域 A這個(gè)隨機(jī)事件仍記為 A，則由 P()=1可得P(A)=S,這一類概率稱為 幾何概率。同樣，如果在一條線段上投點(diǎn)， 那么只需要將面積改為長度， 如果在一個(gè)立方體內(nèi)投點(diǎn)，則只需將面積改為體積。例1：(會(huì)面問題)甲乙兩人約定在 6時(shí)到7時(shí)之間某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率。解：以x和y分別表示甲乙約會(huì)的時(shí)間，則0x60,0y60。兩人能會(huì)面的充要條件是xy15在平面上建立直角坐標(biāo)系(如教材圖)則(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為 60米的正方形， 而可能會(huì)面的時(shí)間由圖中陰影部分表示。這是一個(gè)幾何概率問題，SA602452 7由等可能性 P(A)=S= 602 =16。例2蒲豐(Buffon)投針問題。平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為 a(a>0)，向平面任意投擲一枚長為 l(l<a)的針，試求針與平行線相交的概率。解：假設(shè) x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角，有0xa2，0x,平面上的一個(gè)矩形 ，a,x0 ,0xaxlsin這時(shí)為了針與平行線相交，其條件為 2A是圖中的陰影部分laA,xxsin,0x22lsind02TOC\o"1-5"\h\zSA a2lP(A)=S= 2 =a若l,a為已知，則以 值代入上式，即可計(jì)算得 P（A）的值。反過來，若P（A）的值，也可以用上式去求 ，而關(guān)于 P（A）的值，可以用頻率去近\o"CurrentDocument"n 2lN似它。如果投針 N次， 其中針與平行線相交 n次，則頻率為 N，于是 na這是一個(gè)頗為奇妙的方法， 只要設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。 使一個(gè)事件的概率與某一未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)實(shí)驗(yàn)，以頻率近似概率即可以求未知數(shù)的近似數(shù)。當(dāng)然實(shí)驗(yàn)次數(shù)要相當(dāng)多， 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展。 人們用計(jì)算機(jī)來模擬所設(shè)計(jì)的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。使得這種方法得以廣泛的應(yīng)用。 將這種計(jì)算方法稱為 隨機(jī)模擬法 ，也稱為TOC\o"1-5"\h\z蒙特—卡洛法 。幾何概率的意義及計(jì)算， 與幾何圖形的面積， 長度和體積 （刻度）密切相關(guān)，因此所考慮的事件應(yīng)是某種可定義測度的集合， 這類集合的并、 交，也應(yīng)該是事件。甚至對(duì)他們的可列次并，交也應(yīng)該有這個(gè)要求。例如在 [0，1]中投一點(diǎn)的隨\o"CurrentDocument"1 11機(jī)實(shí)驗(yàn)，若記 A為該點(diǎn)落入 [0，2]中這個(gè)事件 ，而以 An記該點(diǎn)落在 2n1,2nnAi中這一事件。 N=1，2，3??則A=i1 。如果所投點(diǎn)落入某區(qū)域的概論等于該區(qū)間的長度，則

P(A)P(AP(A)P(Ai)i1這里碰到事件及概率的可列運(yùn)算綜上所述，幾何概率應(yīng)具有如下性質(zhì)：對(duì)任何事件 A，P(A) 0P( )=1若A1， A2?? .兩兩互不相容，則nnP( Ai) P(Ai)i1=i1前兩個(gè)性質(zhì)與古典概型相同，而有限可加性，則可推廣到可列個(gè)事件成立，這個(gè)性質(zhì)稱為可列可加性。二、概率的公理化定義到二十世紀(jì)， 概率論的各個(gè)領(lǐng)域已經(jīng)得到了大量的成果， 而人們對(duì)概率論在其他基礎(chǔ)學(xué)科和工程技術(shù)上的應(yīng)用已出現(xiàn)了越來越大的興趣，但是直到那時(shí)為止，關(guān)于概率論的一些基本概念如事件， 概率卻沒有明確的定義， 這是一個(gè)很大的矛盾，這個(gè)矛盾使人們對(duì)概率客觀含義甚至相關(guān)的結(jié)論的可應(yīng)用性都產(chǎn)生了懷疑，由此可以說明到那時(shí)為止， 概率論作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支來說， 還缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，這就大大妨礙了它的進(jìn)一步發(fā)展。十九世紀(jì)末以來， 數(shù)學(xué)的各個(gè)分支廣泛流傳著一股公理化潮流， 這個(gè)流派主長將假定公理化，其他結(jié)論則由它演繹導(dǎo)出，在這種背景下， 1933年俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在集合與測度論的基礎(chǔ)上提出了概率的公理化定義這個(gè)結(jié)構(gòu)綜合了前人的結(jié)果， 明確定義了基本概念， 使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。 對(duì)近幾十年來概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用， 柯爾莫哥洛夫的公里已經(jīng)廣泛地被接受。在公理化結(jié)構(gòu)中，概率是針對(duì)事件定義，即對(duì)于事件域 F中的每一個(gè)元素A有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)與之對(duì)應(yīng)。 一般的把這種從集合到實(shí)數(shù)的映射稱為集合函數(shù)。因此，概率是定義在事件域 F上的一個(gè)集合函數(shù)。 此外在公理化結(jié)構(gòu)中也規(guī)定概率應(yīng)滿足的性質(zhì)，而不是具體給出它的計(jì)算公式或方法。概率應(yīng)具有什么樣的性質(zhì)呢？經(jīng)過概率與頻率之間的關(guān)系、古典概型，幾何概型的分析可知，概率應(yīng)具有非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性。從而有如下定義：定義：定義在事件域 F上的一個(gè)集合函數(shù) P稱為概率。 如果它滿足如下三個(gè)條件：非負(fù)性： AF，P(A)0；2．規(guī)范性： P()=1；nn

P( Ai) P(Ai)可列可加性：若 AiF，i1,2,且兩兩互不相容。有 i1 =i1通過描述一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該有幾樣?xùn)|西1)樣本空間 ；2)事件域( -代數(shù)) F； 3)概率(F上的規(guī)范測度) P習(xí)慣上常將這三者寫成( ,F,P)，并稱它是一個(gè)概率空間。由此，給出一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，數(shù)量就可以把它抽象成一個(gè)概率空間( ,F,P)。三、概率的性質(zhì)由概率的非負(fù)性、規(guī)范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性質(zhì)：不可能事件的概率為 0，即 P( )=0；概率具有有限可加性： 即若 AiAj= (1ijn)，nnP(Ai) P(Ai)則i1=i1；對(duì)任一隨機(jī)事件 A，有 P(A)=1-P(A)；若AB則P(A-B)=P(A)-P(B)。證：A B，則 A=B+(A-B)又BA(A-B)=P(A)=P(B)+P(A-B)即P(A-B)=P(A)-P(B)推論 1：若 A B,則P(A)P(B)；推論 2：對(duì)任一事件 A,P(A)1；推論 3：對(duì) A， BF ,則P(A-B)=P( A)-P(AB)。5)對(duì)任意兩個(gè)事件 A、B，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)推論 1：P(AB)P(A)+P(B)；推論 2：設(shè)A1，A2，An為n個(gè)隨機(jī)事件，則有TOC\o"1-5"\h\znn n n nP(Ai) Ai P(AiAj) P(AiAjAk) 1n1P Aii1=i1 1ijn 1ijkn i1此公式稱為概率的一般加法公式。特別地：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)nP(Ai)推論 3： i1 P(A1)+P(A2)+P(A3)+?? +P(An)。從性質(zhì)2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般來說由有限可加性并不能推出可列可加性，這兩者之間的差異可以用另一個(gè)形式來描述。設(shè) AnF(n=1,2,3??)且 An An1則稱{An}是 F中的一個(gè)單調(diào)不減的集合序列。定義：對(duì)于 F上的集合函數(shù) P，若對(duì) F中的任一單調(diào)不減的集合序列 {An}有l(wèi)imP(An)P(limAn) limAn Ann =n，則稱集合函數(shù) P在F上是下連續(xù)的，其中 n =n1類似可定義上連續(xù)性定理 1：若 P是F上非負(fù)的、規(guī)范的集函數(shù)。則 P具有可列可加性的充要條件是P是有限可加的；P在F上是下連續(xù)的，亦稱為連續(xù)性公理定理的證明可參見復(fù)旦大學(xué)概率論第一冊 P50例 1：設(shè) A， B互不相容，且 P( A) =p， P( B) =q試求P(AB),P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)解：P(AB)=P(A)+P(B)=p+qP(AB)=P(A)=1-pP(AB)=0P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=qP(AB)=1-P(AB)=1-p-q例 2：設(shè) P（ A） =p， P（ B） =q， P（AB）=r，求 P（ AB）、 P（AB）、P（AB）。解：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=p+q-rP（AB）=P（A）-P（AB）=p-（p+q-r）=r-qP（AB）=P（AB）=1-P（AB）=1-p-q+rTOC\o"1-5"\h\z例 3．設(shè) ABC為三個(gè)事件，且 AB C。證明 P（ A） +P（ B） -P（ C） 1證：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）又 ABC所以 P（ AB）P（ C）所以 P（ A）+P（ B） -P（ C） P（ A B）1即 P（ A） +P（ B） -P（ C）111例4：設(shè) P（ A） =P（ B） =P（ C） =8。 P（ AB） =4。 P（ BC） =P（ AC）=0求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）因?yàn)锳BCBC所以0P（ABC） P（BC）所以 P（ABC）=0從而 P（ABC）=1/8+1/8+1/8-1/4=1/8例 5：設(shè) A， B， C為任意三個(gè)事件，證明 P（ AB） +P（ AC） -P（ BC） P（ A）證：AA（BC）所以 P（A） P（A（BC））=P（ABAC）=P（AB）+P（AC）-P（ABC）又P（ABC）P（BC）所以 P（AB）+P（AC）-P（BC） P（A）例6：某人一次寫了 n封信，又寫了 n個(gè)信封，如果他任意將 n張信紙裝入 n個(gè)信封中問至少有一封信的信紙和信封是一致的概率是多少？解：令A(yù)i={第i張信紙恰好裝進(jìn)第 i個(gè)信封},i=1，2，3?nN則P（Ai）=1/ni1P（Ai）=1

11P(AiAj)=1/n(n-1)i=1,2,.n 1ijnP(AiA11P(AiAj)=1/n(n-1)i=1,2,.n 1ijnP(AiAj)=Ccn(n1)2!P(AiAjAk)1ijkn=Cnn(n1)(n2)=3!11P(A1A2?An)=Cnnn!=n!AiP(Ai)P(AiAj)P(i1i11ijnn1-1)n1P(A1A2? An)=1-2!3!?+(-1)n1n!n充分大時(shí)，它近似于是 1-e1這個(gè)例子就是歷史上有名的“匹配問題”或“配對(duì)問題”條件概率、全概率公式和貝葉斯公式一．條件概率前面討論了事件和概率這兩個(gè)概念， 對(duì)于給定的一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， 要求出一個(gè)指定的隨機(jī)事件 AF的概率P（A）,需要花很大的力氣，現(xiàn)在將討論繼續(xù)引入深入，設(shè)兩個(gè)事件 A， BF則有加法公式 P（A B） =P（ A） +P（ B） -P（ AB）。特別地，當(dāng) A， B為互不相容的兩個(gè)事件時(shí)，有 P（ A B） =P（ A） +P（ B）此時(shí)有 P（ A）及 P（ B）即可求得 P（ A B） ，但在一般情形下，為求得 P（ A B）還應(yīng)該知道 P（ AB） 。因而很自然要問，能不能通過 P（ A） ， P（ B）求得 P（ AB），先看一個(gè)簡單的例子。例1．考慮有兩個(gè)孩子的家庭， 假定男女出生率一樣， 則兩個(gè)孩子 （依大小排列）的性別分別為（男，男） ，（男，女） ，（女，男） ，（女，女）的可能性是一樣的。若記 A=“隨機(jī)抽取一個(gè)這樣的家庭中有一男一女” ，﹜1則 P（A）=2但如果我們事先知道這個(gè)家庭至少有 一個(gè)女孩，則上述事件2的概率為 3。這兩種情況下算出的概率不同，這也很容易理解，因?yàn)樵诘诙N情況下我們多知道了一個(gè)條件。記 B=“這個(gè)家庭中至少有一個(gè)女孩” ，因此我們算得的概率是“在已知事件B發(fā)生的條件下， 事件A發(fā)生”的概率，這個(gè)概率稱為條件概率，記為 P（A|B）。2423P（AB）P（A|B）=3=4=P（B）這雖然是一個(gè)特殊的例子， 但是容易驗(yàn)證對(duì)一般的古典概型， 只要 P（B）>0上述等式總是成立的，同樣對(duì)幾何概率上述關(guān)系式也成立。1．條件概率的定義定義1.若（,F,）是一個(gè)概率空間Ｂ F， 且Ｐ（Ｂ） >0.P（AB）對(duì)任意Ａ F，稱 P（A|B）=P（B）為在已知事件Ｂ發(fā)生的條件下事件Ａ發(fā)生的條件概率。

不難驗(yàn)證條件概率Ｐ (.|B)具有概率的三個(gè)基本性質(zhì)非負(fù)性： ＡFＰ(Ａ｜Ｂ)≥０TOC\o"1-5"\h\z規(guī)范性：Ｐ( ｜Ｂ)＝１可列可加性： AiF(i=1，2??) ，且 A1,A2??互不相容，P AiBPAiB有i1 i1由此可知，對(duì)給定的一個(gè)概率空間( ,F,)和事件 BF,如果Ｐ(Ｂ) >０，則條件概率Ｐ (.|B)也是(Ω，F(xiàn))上的一個(gè)概率測度 ,特別，當(dāng) B=Ω時(shí)， P(.|B)就是原來的概率測度 P(〃 ),所以不妨將原來的概率看成條件概率的極端情形，還可以驗(yàn)證4)P(B)=0(5)P(AB)=1-P(AB)(6)P(A1 A2B(6)P(A1 A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)由條件概率的定義可知，當(dāng) P(A)>0時(shí)P(AB)=P(A)P(BA)同理當(dāng)P(B)>0時(shí),P(AB)=P(B)P(AB)這個(gè)公式稱為乘法公式乘法公式可以推廣到 n個(gè)事件的情形，P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2...An1)P(AnP(AnA1A2...An1)>0)例2：甲、乙兩市都位于長江下游，據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道在一年中的雨天的比例甲市占 20%，乙市占 18%，兩地同時(shí)下雨占 12%。記A=甲市出現(xiàn)雨天 B=乙市出現(xiàn)雨天求： 1)兩市至少有一市是雨天的概率；2)乙市出現(xiàn)雨天的條件下，甲市也出現(xiàn)雨天的概率；3)甲市出現(xiàn)雨天的條件下，乙市也出現(xiàn)雨天的概率。

解：1)P(AB)0.26P(AB)0.67P(BA)0.60例3例3：(抽簽問題)有一張電影票，7個(gè)人抓鬮決定誰得到它，問第 i個(gè)人抓到票的概率是多少？ (i=1，2，?， 7)解：設(shè) Ai=“第 i個(gè)人抓到票” ， (i=1，2，?， 7)顯然16顯然16PA1 71,PA 67如果第二個(gè)人抓到票的話，必須第一個(gè)人沒有抓到票。這就是說 A2 A1，所以 A2 A2A1于是可以利用概率的乘法公式， 因?yàn)樵诘谝粋€(gè)人沒有抓到票的情況下， 第二個(gè)人有希望在剩下的 6個(gè)鬮中抓到電影票，TOC\o"1-5"\h\zPA2A1 1所以類似可得2 1 6，所以類似可得61 1PA2 PA2A1 PA1PA2A1 76 7651 1P A3 P A1 A2A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1A2765 7，1PA7 1三、全概率公式例 4：有外形相同的球分別裝兩個(gè)袋子，設(shè)甲袋有 6只白球，4只紅球，乙袋中有3只白球6只紅球，現(xiàn)在先從每袋中各任取一球再從取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。解：令B=最后取出的球是白球 ，顯然導(dǎo)致 B發(fā)生的“原因”可能是取出的二球中有0只或1只或2只白球，因此，如果令 Ai=先取出的二球有只白球 ，i=0，1，2則B=BA0 BA1BA2由概率的有限可加性P(B)=P(BA0)+P(BA1)+P(BA2)TOC\o"1-5"\h\z在由乘法公式 7P(B)=P(A0)P(BA0)+P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)=15上例中采用的方法是概率論中頗為有用的方法，為了求比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解為兩個(gè)(或若干個(gè))互不相容的較簡單的事件的并，求出這些較簡單事件的概率， 再利用加法公式， 即的所要求的復(fù)雜事件的概率， 將這中方法一般化便得到下述定理：nBi定理1：設(shè) B1,B2?? .是一列互不相容的事件，且有 i1=,對(duì)任何事件 A，nP(Bi)PAB有P(A)=i1 P(ABi)證明：見書例5：某工廠有四條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一中產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%，又這四條流水線的不合格品率為 5%，4%，3%，及 2%，現(xiàn)在從出廠的產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少？( 0.0325)一般地，能用全概率公式解決的問題都有以下特點(diǎn)：該隨機(jī)變量可以分為兩步， 第一步試驗(yàn)有若干個(gè)可能結(jié)果， 在第一步試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行第二次試驗(yàn)，又有若干個(gè)結(jié)果；如果要求與第二步試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的概率，則用全概率公式。例 6：某保險(xiǎn)公司認(rèn)為，人可以分為兩類，第一類是容易出事故的，另一類，則是比較謹(jǐn)慎，保險(xiǎn)公司的統(tǒng)計(jì)數(shù)字表明，一個(gè)容易出事故的人在一年內(nèi)出一次事故的概率為 0.04，而對(duì)于比較謹(jǐn)慎的人這個(gè)概率為 0.02，如果第一類人占總?cè)藬?shù)的 30%，那么一客戶在購買保險(xiǎn)單后一年內(nèi)出一次事故的概率為多少？(0.026)已知一客戶在購買保險(xiǎn)單后一年內(nèi)出一次事故，那么，他屬于那一類型的人？P(BA)=13,P(BA)=13A=客戶購買保險(xiǎn)單后一年內(nèi)出一次事故B=他屬于容易出事故的人四、貝葉斯公式在上面的計(jì)算中，事實(shí)上已經(jīng)建立了一個(gè)極為有用的公式：定理 2：若 B1,B2?? .是一列互不相容的事件，且nBii1 =,P(Bi)>0,i1,2 P(Bi)P(ABi)P(Bj)P(ABj)則對(duì)任一事件 A,P(A)>0有P(BiA)=j1貝葉斯公式在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有著多方面的應(yīng)用，假定 B1,B2??是導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的“原因” ,P(Bi)稱為先驗(yàn)概率，它反映了各種“原因”發(fā)生的可能性的大小， 一般是以往經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)， 在這次試驗(yàn)前已經(jīng)知道， 現(xiàn)在若試驗(yàn)產(chǎn)生了事件 A，這個(gè)信息將有助與探討事件發(fā)生的“原因” ，條件概率 P(ABi)稱為后驗(yàn)概率，它反映了試驗(yàn)之后對(duì)各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新知識(shí)，例如在醫(yī)療診斷中，有人為了診斷病人到底是患了 B1,B2,中的那一種病，對(duì)病人進(jìn)行觀察與檢查，確定了某個(gè)指標(biāo) (譬如體溫、脈搏、轉(zhuǎn)氨酶含量等)他想用這類指標(biāo)來幫助診斷， 這時(shí)可以用貝葉斯公式來計(jì)算有關(guān)概率， 首先必須確定先驗(yàn)概率P(Bi)這實(shí)際上是確定患各種疾病的大小， 以往的資料可以給出一些初步數(shù)據(jù)(稱為發(fā)病率) ，其次要確定 P(ABi)這當(dāng)然要依靠醫(yī)學(xué)知識(shí)，一般地，有經(jīng)驗(yàn)的醫(yī)生 P(ABi)掌握得比較準(zhǔn)，從概率論的角度 P(BiA)的概率較大，病人患Bi種病的可能性較大，應(yīng)多加考慮，在實(shí)際工作中檢查指標(biāo) A一般有多個(gè)，綜合所有的后驗(yàn)概率， 會(huì)對(duì)診斷有很大的幫助， 在實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)自動(dòng)診斷或輔助診斷中，這種方法是實(shí)用價(jià)值的。例 7：用甲胎蛋白法普查肝癌，令 C=被檢驗(yàn)者患肝癌A=甲胎蛋白法檢查結(jié)果為陽性則C=被檢驗(yàn)者未患肝癌A甲胎蛋白法檢查結(jié)果為陰性由過去資料 P(AC)=0.95,P(AC)=0.90又已知某地居民的肝癌發(fā)病率 P(C)=0.0004，在普查中查出一批甲胎蛋白檢查結(jié)果為陰性的人，求這批人中患有肝癌的概率 P(CA)解：由貝葉斯公式P(C)P(AC)0.00040.95P(CA)=P(C)P(AC)P(C)P(AC)=0.00040.950.99960.10.0038由此例可知道，經(jīng)甲胎蛋白法檢查結(jié)果為陽性的人群中，其實(shí)真正患肝癌的人還是很少的， (只占 0.38%)，把P(C|A)=0.0038和已知的 P(A|C)=0.95及P(AC)=0.90對(duì)比一下是很有意思的。因此，雖然檢驗(yàn)法相當(dāng)可靠， 但是被診斷為肝癌的人確實(shí)患肝癌的可能性并不大。獨(dú)立性一、 獨(dú)立性概念兩個(gè)事件的獨(dú)立性例1、設(shè)袋中有五個(gè)球(三新兩舊)每次從中取一個(gè)，有放回地取兩次，記TOC\o"1-5"\h\zA=｛第一次取得新球｝ B=｛第二次取得新球｝ 。求：P(A),P(B),P(B|A)。33 3解：顯然 P(A)=5P(B)= 5P(B|A)= 5P(B|A)=P(B)由此可得 P(AB)=P(A)P(B)。定義：設(shè) A、BF,若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件 A、B是相互獨(dú)立的，簡稱為獨(dú)立的。依這個(gè)定義， 必然事件 與不可能事件 與任何事件都相互獨(dú)立的， 因?yàn)楸厝皇录c不可能事件的發(fā)生與否， 的確不受任何事件的影響， 也不影響其它事件是否發(fā)生。TOC\o"1-5"\h\z例2：分別擲兩枚均勻的硬幣， 另A｛硬幣甲出現(xiàn)正面｝= ,B=｛硬幣乙出現(xiàn)正面｝ ,驗(yàn)證事件 A,B是相互獨(dú)立的。驗(yàn)證： Ω=｛(正、正) (正、反) (反、正) (反、反) ｝A=｛(正、正) (正、反) ｝B=｛(反、正) (正、正) ｝AB=｛(正、正) ｝11

P(A)=P(B)=2P(AB)=4=P(A)P(B)所以 A、B是相互獨(dú)立的。實(shí)質(zhì)上，在實(shí)際問題中，人們常用直覺來判斷事件間的”相互獨(dú)立”性，事實(shí)上，分別擲兩枚硬幣， 硬幣甲出現(xiàn)正面與否和硬幣乙出現(xiàn)正面與否， 相互之間沒有影響，因而它們是相互獨(dú)立的，當(dāng)然有時(shí)直覺并不可靠。例3：一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)=｛一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩｝ ，B=｛一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩｝對(duì)下述兩種情形，討論 A和B的獨(dú)立性。1)家庭中有兩個(gè)小孩 ； 2)家庭中有三個(gè)小孩。解： 1)有兩個(gè)小孩的家庭，這時(shí)樣本空間為：TOC\o"1-5"\h\zΩ={(男、男) ，(男、女) ，(女、男) ，(女、女) }A={(男、女) ，(女、男) }B={(男、男) ，(男、女) ，(女、男) }AB={(男、女) ，(女、男) }13 1于是P(A)=2,P(B)=4,P(AB)=2由此可知 P(AB)P(A)P(B)所以A與B不獨(dú)立。2)有三個(gè)小孩的家庭，樣本空間Ω ={(男、男、男) ，(男、男、女) ，(男、女、男)，(女、男、男) (男、女、女) ，(女、女、男) ，(女、男、女) ，(女、女、女)}。1由等可能性可知，這 8個(gè)基本事件的概率都是 8，這時(shí)A包含了6個(gè)基本事件， B包含了 4個(gè)基本事件， AB包含了 3個(gè)基本事件3 63 41P(AB)=8 P(A)= 84P(B)=8 2顯然P(AB)=P(A)P(B)，從而A與B相互獨(dú)立。多個(gè)事件的獨(dú)立性；定義 2、設(shè)三個(gè)事件 A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)稱A,B,C相互獨(dú)立。由三個(gè)事件的獨(dú)立性可知，若 A、B、C兩兩相互獨(dú)立，反之不一定成立。例4.一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色第四面上同時(shí)染上紅、黑、白三色，以 A、B、C分別記投一次四面體，出現(xiàn)21紅、白、黑顏色的事件，則 P(A)=P(B)=P(C)=421P(AB)=P(BC)=P(AC)=41P(ABC)=4故A、B、C兩兩相互獨(dú)立但不能推出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)同樣地 由 P( ABC) =P( A) P( B) P( C)不能推出 A、 B、 C兩兩相互獨(dú)立。定義3.對(duì)n個(gè)事件 A1,A2,，An若對(duì)于所有可能的組合 1ijkn有 P(AiAj)=P(Ai)p(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)p(Aj)p(Ak)??P(A1A2 An)=P(A1)p(A2) p(An)則稱 A1,A2 An相互獨(dú)立。n個(gè)事件相互獨(dú)立，則必須滿足 2nn1個(gè)等式。顯然n個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們中的任意 m(2mn)個(gè)事件也相互獨(dú)立。二、獨(dú)立性的性質(zhì)定理1四對(duì)事件 {A、B}，{A,B}，{A，B}、{A、B}中有一對(duì)相互獨(dú)立，則其它三對(duì)也相互獨(dú)立。定理2設(shè)A1,A2,,An相互獨(dú)立，則將其中任意 m個(gè)( 1mn)換成其對(duì)立事件，則所得n個(gè)事件也相互獨(dú)立。 特別地，若A1,A2 An相互獨(dú)立， 則A1,A2,An也相互獨(dú)立。三、獨(dú)立性的應(yīng)用1、相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率的計(jì)算設(shè)A1,A2An相互獨(dú)立，則P(A1A2 An)=1-P(A1A2 An)=1-P(A1A2 An)=1-P(A1)P(A2)P(An)這個(gè)公式比起獨(dú)立的場合，要簡便的多，它簡便的多，它經(jīng)常用的到例6.假若每個(gè)人血清中含有肝炎病的概率為 0.4%，混合 100個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？解：設(shè) Ai={第I個(gè)人血清中含有肝炎病毒 }i1,2,,100可以認(rèn)為 A1,A2A100