人教版數(shù)學(xué)必修二全冊(cè)教案

5§1.1.2溫州市五十一中學(xué)俞美丹一、教學(xué)內(nèi)容解析余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個(gè)重要定理。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”這兩個(gè)三角形全等”。同時(shí)學(xué)生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能更深地體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。教學(xué)目標(biāo)解析二、1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。2、通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。4、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1、通過(guò)前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問(wèn)題：①已知三角形的任意兩個(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個(gè)角與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個(gè)角的問(wèn)題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。第1頁(yè)共6頁(yè)2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對(duì)余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對(duì)余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。四、教學(xué)支持條件分析為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來(lái)，將精力放在對(duì)定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來(lái)完成。當(dāng)使用計(jì)算器時(shí)，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時(shí)用等號(hào)，當(dāng)取其近似值時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號(hào)。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時(shí)用約等號(hào)。、教學(xué)基本流程：表示第三條邊。②余弦定理的證明：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導(dǎo)學(xué)生自己探索獲得定理的證明。、教學(xué)情景：BA2C試解決。學(xué)生1—方案1：如果卷尺足夠長(zhǎng)的話，可以在島對(duì)岸小路上取一點(diǎn)C（如圖2似乎在△ABC中已知AC、BC的長(zhǎng)及夾角C的大小，可以求AB的長(zhǎng)了。學(xué)生2—方案2：在島對(duì)岸可以取C、D兩點(diǎn)圖中∠1、∠2、∠3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求ACBCD中，用正弦定理求出ABC中，已知AC、BC及∠，似乎可以求AB的長(zhǎng)了。教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問(wèn)題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關(guān)系？222師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。學(xué)生3：在△ABC中，如圖4，過(guò)C作CD⊥，垂足為。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD=bcos∠1;C在Rt△BCD中，BD=asin∠2,CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBDb2222BA22D=ab2abcos(12)22圖422學(xué)生4：如圖5，過(guò)A作⊥，垂足為D。CDabBAc圖5cADBD222bCD(aCD)222ab2aCD22ab2abcosC22學(xué)生5：如圖5，AD=bsinC，CD=bcosC，∴c=（bsinC）+（a-）=a+b-2abcosC22222類似地可以證明b=a+c-2accosB，c=a+b-2abcosC。222222教師總結(jié)：以上的證明都是把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，化一般為特殊，再C為鈍角或直角時(shí)，同樣都可以得出以上結(jié)論，這也正是本節(jié)課的重點(diǎn)—余弦定理。的思維更加嚴(yán)密。師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過(guò)程種，我們用向量法比較簡(jiǎn)便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì)有什么想法？成功的樂(lè)趣。學(xué)生6：如圖6，C記ABc,CBa,CAbcABCBCAab）a）abBA22c圖6a2b22ab即cab2abcosC222cab2abcosC222C體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標(biāo)表示，AB長(zhǎng)度又可以聯(lián)系到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，你會(huì)有什么啟發(fā)？第4頁(yè)共6頁(yè)學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在△ABC中，AC=b，BC=a.222222理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空間的深度和廣度。的三角形問(wèn)題。例1：①在△ABC中，已知a=，b=，∠C=60°，求邊。②在△ABC中，已知a=7，b=，c=5，求、、C。兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。④小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無(wú)論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過(guò)是它變式即推論也很協(xié)調(diào)。可以興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。⑤作業(yè)然后利用三角公式進(jìn)行推導(dǎo)證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問(wèn)題中的一種非常重要的思想方法。第2題：在△ABC中，已