2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講稿之第22講 軌跡方程（原卷版）

第22講軌跡方程一．選擇題（共5小題）1．過(guò)點(diǎn)斜率為正的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．，是橢圓上相異的兩點(diǎn)，滿足，分別平分，，則外接圓半徑的最小值為A． B． C． D．2．方程表示A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓3．若動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且和定圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為A．雙曲線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線一支4．已知圓和圓，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為A． B． C． D．5．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)軌跡方程是A． B． C． D．二．填空題（共7小題）6．兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．7．設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，為圓周上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則的軌跡方程為8．已知點(diǎn)，，圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為．9．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線，則的方程為．10．方程所表示的曲線是．11．若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離是它到直線的距離的倍，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．12．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，且、，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則直線與的交點(diǎn)所在的曲線方程為．三．解答題（共28小題）13．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記的軌跡為曲線，求的方程，并說(shuō)明是什么曲線．14．已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于5．（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；（2）記（1）中的軌跡為，線段，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程．15．設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．16．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求直線被曲線截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)．17．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若直線與曲線相切，求的值．18．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線．求的方程．19．已知圓的方程為，定點(diǎn)，求過(guò)定點(diǎn)且和圓外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程．20．已知兩圓，．動(dòng)圓與兩圓都相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．21．在三角形中，，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，，求頂點(diǎn)的軌跡方程．22．直角三角形的直角頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，，，，作于，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線，（1）求曲線的軌跡方程；（2）求曲線的軌跡方程；（3）設(shè)直線與曲線交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求的最大值．23．動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．24．若動(dòng)圓與圓外切，又與直線相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．25．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足．求點(diǎn)的軌跡方程．26．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．已知△為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．27．設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．28．已知拋物線的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線，分別交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（Ⅱ）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程．29．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足為和的等差中項(xiàng)．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)作直線交于，兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程．30．已知點(diǎn)，圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．求的軌跡方程．31．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，，點(diǎn)，并且直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求．32．如圖，橢圓，，為常數(shù)），動(dòng)圓，．點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于，，，四點(diǎn)．（Ⅰ）求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓與相交，，，四點(diǎn)，其中，．若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值．33．已知是拋物線的頂點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓圓心，求點(diǎn)的軌跡方程．34．已知橢圓與拋物線有公共的焦點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為定值？若存在，則求出點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．35．已知橢圓的離心率為，橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，且，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的面積；（Ⅲ）求證：直線與直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值．36．已知橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與坐標(biāo)軸不垂直的直線交于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且為垂足．問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得的長(zhǎng)為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．37．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，．點(diǎn)在上，，△的周長(zhǎng)為，面積為．（1）求的方程．（2）設(shè)的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，則____．（從以下①②③三個(gè)問(wèn)題中任選一個(gè)填到橫線上并給出解答）．①求直線和交點(diǎn)的軌跡方程；②是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立；③過(guò)點(diǎn)作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，得到直線，試探究：直線是否恒過(guò)定點(diǎn)．38．已知拋物線，直線交于拋物線于、兩點(diǎn)，．（1）求拋物線的方程．（2）互相垂直的直線、分別切拋物線于、兩點(diǎn)，試求兩切線交點(diǎn)的軌跡方程．39．已知橢圓的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)．（