14.1.4整式的乘法第4課時修訂建議

“14.1.4整式的乘法”第4課時修訂建議

【Summary】對人教版八年級上冊“14.1.4整式的乘法”（第4課時）進(jìn)行了詳細(xì)分析，指出了教材編排中影響學(xué)生學(xué)習(xí)的諸多原因，并提出了三條旨在提高課時認(rèn)知效果、發(fā)揮教材使用價值的建議，供教材再版時參考.【Key】教材分析;修訂建議;學(xué)材再建在人教版八年級上冊“第十四章整式的乘法與因式分解”中，有這樣一課時的教學(xué)內(nèi)容，它既不是整式的乘法，也不是因式分解，而是整式的除法.在談及這一節(jié)課時，不少教師認(rèn)為“整式的除法”出現(xiàn)在“整式的乘法”中，是不太合理的.此外，還有老師就教學(xué)內(nèi)容的延續(xù)性和時效性上也提出了自己的看法.細(xì)想想，有些還是蠻有道理的.現(xiàn)從教材分析出發(fā)，將老師們的一些想法整理出來，供教材再版時參考.1教材分析1.1教材簡述教材開篇明義，介紹本課時將在學(xué)習(xí)了整式的加法、減法、乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”，利用整式的乘法來討論整式的除法.接下來重點(diǎn)學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪除法的性質(zhì)、單項式相除的法則和商式為整式的多項式除以單項式的法則三個內(nèi)容.內(nèi)容1同底數(shù)冪除法的性質(zhì)1.2教材分析本課時的教材編排體系十分清晰：三項探索內(nèi)容，兩組例題和一組練習(xí).整個教學(xué)流程始終緊扣“除法是乘法的逆運(yùn)算”展開，不管是開頭的同底數(shù)冪的除法法則，還是后來的單項式除以單項式、多項式除以單項式，都是從一個除法算式的結(jié)果探索入手，在逆用相關(guān)乘法算式的基礎(chǔ)上得到結(jié)果，并分析結(jié)果的特征，從而獲得運(yùn)算的法則.僅就本課時教材的內(nèi)在聯(lián)系而言，這樣的編排是可行的，一方面，學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知是有基礎(chǔ)的，他們在前面已經(jīng)深入學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方等整式乘法的知識，應(yīng)該具備了將已有知識應(yīng)用到新知探索過程中的能力;另一方面，本節(jié)課的新知探索是有著內(nèi)在延續(xù)性的，同底數(shù)冪的除法法則的獲得不僅給后面的探索提供了知識基礎(chǔ)，還為兩個法則的探索積累了寶貴的活動經(jīng)驗(yàn).如此緊湊的內(nèi)容銜接和有序的流程安排，讓這一與單元主題“整式乘法和因式分解”不搭的數(shù)學(xué)知識有了立足之處，按理來說，按照教材給定的流程學(xué)習(xí)這么多內(nèi)容，學(xué)生是不會有障礙且會學(xué)有所獲的.2問題分析不少老師按照教材給定的內(nèi)容和流程實(shí)施了本節(jié)課的教學(xué)，但取得的效果卻不盡如人意.他們在課后交流中，從教材到學(xué)情反映了不少問題.其中，較為典型的有以下幾個.2.1課時內(nèi)容的單元入編不合理如文頭所言，本章的章名是“整式的乘法與因式分解”.整式的乘法和因式分解是互逆的，把這兩個內(nèi)容放在一章中，還是較為合理的.但是如果將一課時“整式的除法”加到這一單元來，給人的感覺是很突兀的：是乘法嗎？不是，是除法.而本節(jié)的前后都是乘法：本節(jié)是“14.1整式的乘法”，前面幾課時探索的都是乘法，后一節(jié)“14.2乘法公式”探索的是平方差公式和完成平方公式，也是乘法.在這樣一個“乘法”為王的版塊中，將這樣一課時的除法內(nèi)容嵌入其中，極容易形成知識的“孤島”，被孤立與淡忘也就在所難免.要知道，本課時探索的單項式的除法、多項式除以單項式是整式除法的兩個類別，而接下來探索多項式除以單項式、多項式除以多項式則要在“第十五章分式”中，這中間要隔著“14.2乘法公式”和“14.3因式分解”整整8課時的新課.完成這些教學(xué)任務(wù)，至少需要兩周的教學(xué)時間.如此長的時間間隔，加之學(xué)習(xí)內(nèi)容的“地位”又不高，想要學(xué)生不忘記是很難的.因此，將這一課時內(nèi)容編入到“第十四章整式的乘法與因式分解”中，是不太合理的.2.2活動經(jīng)驗(yàn)的延續(xù)應(yīng)用不到位這是為什么呢？在前面幾課中，探索同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的性質(zhì)，都是應(yīng)用乘方的意義來推導(dǎo)的.連續(xù)多課時的新知探索，同一活動經(jīng)驗(yàn)的反復(fù)應(yīng)用，讓學(xué)生形成了探索整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算的基本活動經(jīng)驗(yàn).當(dāng)他們看到“計算am÷an（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）”時，自然而然地會想到用乘方的意義來解決問題了.然而，教材給出的探索過程卻沒有選擇這樣一條“熟悉的道路”，而是引導(dǎo)學(xué)生從“除法是乘法的逆運(yùn)算”的角度展開探索，通過算式am-n·an=am得出am÷an=am-n.從算理上分析，這是沒有問題的.但從實(shí)際教學(xué)的成效看，學(xué)生是不認(rèn)同這一推導(dǎo)過程的，好些學(xué)生對am-n的出現(xiàn)是不太理解的，因?yàn)樵谇懊鎸W(xué)生學(xué)過的整數(shù)指數(shù)要么是單獨(dú)的一個數(shù)字或字母，要么是加法，這兒突然冒出個指數(shù)是m-n冪來，是不太容易理解的.教材沒有將本單元前面幾課時積累下的活動經(jīng)驗(yàn)延續(xù)應(yīng)用，而是另起爐灶用了新的思路，這讓教師和學(xué)生都是十分費(fèi)解的.此外，學(xué)生對數(shù)中的乘法和除法互逆的理解是可以的，但將這一體驗(yàn)遷移到整式中，確實(shí)是較為困難的，因而，讓學(xué)生從除法是乘法的逆運(yùn)算來生長單項式除法、結(jié)果為整式的多項式除以單項式的法則，難度同樣不小.從這個層面上講，教材通過運(yùn)用“除法是乘法的逆運(yùn)算”來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納新的運(yùn)算的算理，給學(xué)生的認(rèn)知造成了不小的障礙.2.3同類例題的分散探索耗時多本課時的例8是兩道計算題：（1）28x4y2÷7x3y;（2）-5a5b3c÷15a4b，這兩道題是單項式除以單項式.而在同一本教材的131頁“15.1.2分式的基本性質(zhì)”中，例3的第1題是約分-25a2bc3[]15ab2c，和前面兩題一樣，這道題也是單項式除以單項式，與前兩題最大的差別就是這里得到的結(jié)果是個分式，而前兩題得到的結(jié)果是整式.商式的不同，運(yùn)算方法是不是也不同呢？不是的.三道題的運(yùn)算方法是完全一致的：把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式（分子）或除式（分母）里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為被除式（分子）或除式（分母）的一個因式.在學(xué)習(xí)了因式分解后，這種算法實(shí)際上就是“利用分式的基本性質(zhì)同時約去分子（被除式）、分母（除式）的公因式”.把一組完全可以并到一起的例題，分到整式和分式這兩個不同的區(qū)域、在較為接近的時段內(nèi)探索，是不太可能將例題的集中示范價值發(fā)揮出來的，而給出兩種本質(zhì)相同但表述不同的運(yùn)算法則，一定會給學(xué)生的算理理解和運(yùn)算執(zhí)行產(chǎn)生干擾，對其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展是不利的.最后，我們有必要來算個時間賬，原本可以用一道例題解決的問題，現(xiàn)在用了三道，還不談例題配套的練習(xí)，這樣的教學(xué)時耗費(fèi)花在單項式除以單項式上，或許有點(diǎn)多了吧.3修訂建議3.1課時后移，歸入分式版塊在談及如何整合教學(xué)內(nèi)容前，我們有必要先來梳理一下《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（下稱《課標(biāo)（2011版）》）對整式運(yùn)算提出的要求：能進(jìn)行簡單的整式加法和減法運(yùn)算;能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算（其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）.顯然，《課標(biāo)（2011版）》并沒有對“整式的除法”提出要求，這就說明教材單獨(dú)編排“整式的除法”這樣一課時的教學(xué)內(nèi)容是完全沒有必要的.但在《課標(biāo)（2011版）》中，對分式提出的“能進(jìn)行簡單的分式加、減、乘、除運(yùn)算”的要求是肯定涉及到了兩個整式相除的問題，事實(shí)上，兩個整式A、B相除，即A÷B，把除號改寫成分?jǐn)?shù)線，就是分式A[]B.這一觀點(diǎn)并非筆者提出的，而是教材在抽象分式定義時給出的：在分析實(shí)際情境抽象出的一組式子時，教材說“這些式子都是A[]B（即A÷B）的形式”，進(jìn)而把“A，B表示兩個整式，并且B中含有字母的形如A[]B式子叫做分式”.因此，研究兩個整式A，B的除法，實(shí)際上就是研究分式A[]B的約分.至于約分的結(jié)果是什么，在教材131頁例3約分前明確陳述：分式的約分，一定要約去分子和分母所有的公因式，使得結(jié)果成為最簡分式或整式.所以，我們完全沒有必要把商式為整式的單項式除以單項式和多項式除以單項式“獨(dú)立”出去，放在“整式的乘法”中單獨(dú)研究，而讓分式約分類型缺失，不成體系.筆者建議教材再版時，將本課時內(nèi)容并入“分式”版塊.3.2合理拆分，重組教學(xué)內(nèi)容從實(shí)際教學(xué)效果的角度考量，筆者建議將這一課時的內(nèi)容并到“15.1.2分式的基本性質(zhì)”中，并根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的需求和數(shù)學(xué)發(fā)展的需要進(jìn)行課時（小節(jié)）內(nèi)容的重組：將“分式的基本性質(zhì)”單列成節(jié)“15.1.2分式的基本性質(zhì)”，主要探索分式的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用（教材例2）;將“同底數(shù)冪的除法和零指數(shù)運(yùn)算”并入“15.2.3整數(shù)指數(shù)冪”（分式的乘方除外）并整體前移，放在“15.1.2分式的基本性質(zhì)”，形成“15.1.3整數(shù)指數(shù)冪”，探索同底數(shù)冪的除法，整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算的推廣，零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和小于1的正數(shù)的科學(xué)記數(shù)法等知識，為后續(xù)分式運(yùn)算夯實(shí)基礎(chǔ);將約分和通分單獨(dú)編排成“15.1.4約分和通分”，將單項式相除、商為整式的多項式除以單項式等改變?yōu)榉质叫问讲⑷氡竟?jié).這樣的重組編排，每一節(jié)課的教學(xué)核心都可以凸顯出來，對達(dá)成《課標(biāo)（2011版）》中提出關(guān)于與之相關(guān)的教學(xué)目標(biāo)“了解最簡分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分”能起到很好的促進(jìn)作用.教學(xué)課時的變動和教學(xué)內(nèi)容的整合，必然會帶來配套練習(xí)的調(diào)整：將“14.1整式的乘法”第四課時“練習(xí)”合理分解“15.1.2分式的基本性質(zhì)”、“15.1.3整數(shù)指數(shù)冪”和“15.1.4約分和通分”中去，根據(jù)原有內(nèi)容的位置確定練習(xí)的新的位置;將“習(xí)題14.1”中的與本課時配套題組并入“習(xí)題15.1”中去.在練習(xí)合并過程中，在將所有除法全部用分式呈現(xiàn)的同時，我們還要做好“削枝強(qiáng)干”的工作，要重新審視課時內(nèi)容，將一些不能突出課時核心的練習(xí)刪減剔除.總之，配套練習(xí)的設(shè)計應(yīng)服務(wù)于課時教學(xué)，服務(wù)于小節(jié)教學(xué)，服務(wù)于單元教學(xué)，無利于這三者的，不用也罷.3.3延用經(jīng)驗(yàn)，統(tǒng)一運(yùn)算原理對初中生而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，能積累基本活動經(jīng)驗(yàn)是不太容易的，能夠主動提取已有經(jīng)驗(yàn)并用以解決新的問題，那就更難了.所以，面對“計算am÷an（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）”，學(xué)生給出“回到乘方的定義推理”的思路，教師應(yīng)該感到欣慰：“14.1整式的乘法”前三課時的內(nèi)容沒白學(xué)，耗費(fèi)在性質(zhì)探索上的時間是值得的.既然學(xué)生能想到回到乘方定義去，能想到用老的套路解決新的問題，那么，在教材是不是也可以遵循這樣一條“老路”形成知識生長路徑，讓學(xué)生在自己的認(rèn)知通道上越走越歡呢？筆者建議再版教材時，將“計算am÷an（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）”用乘方的定義來進(jìn)行推導(dǎo)，具體過程上面已經(jīng)給了，這里就不再贅述了.除了“同底數(shù)冪的除法”外，筆者以為此外，不管是單項式除以單項式，多項式除以單項式，還是單項式除以多項式，多項式除以多項式，它們都是整式的除法，自然應(yīng)該有同一的運(yùn)算原理和運(yùn)算方法.說實(shí)話，用“除法是乘法的逆運(yùn)算”來發(fā)現(xiàn)和歸納除法法則，不要說學(xué)生暈，就是老師有時也有點(diǎn)暈.但如果我們換個角度：將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用（約分和通分）遷移到分式中來，實(shí)際教學(xué)效果還是不錯的.因此，在上面的內(nèi)容2、3后移后，將其運(yùn)算原理與其他類別的約分統(tǒng)一為分式的基本性質(zhì)，并規(guī)定共同的要求：約分，要約去分子和分母的所有公因式，使所得結(jié)果為最簡分式或整式.作為人教版教材的忠實(shí)擁躉，為了教材的完美，我一直努力地提“意見”，這些意見來自于教學(xué)中的不舒服，來自于師生對話中的不順暢，來自于教材閱讀中的不匹配……本文又是一次