大物上-第7章靜電場講稿

研究對象：研究方法：第7章靜電場靜電場—

相對觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場。場的方法（高斯定理環(huán)路定理）力線法（電力線、電感線）實驗定律（庫侖定律）7.1.1電荷及其守恒定律（ElectricChargeandconservationlaw

）7.1

點電荷庫侖定律電荷有如下的基本性質：實驗觀察表明,自然界只存在負電荷和正電荷。相斥，異種電荷相吸。(n取正、負整數(shù))電荷量的基本單元是電子電荷e，其中物體所帶電荷量只能取分立的、不連續(xù)量值，稱為電荷的量子化。同種電荷夸克問題7.1.2

點電荷（PointCharges）忽略帶電體本身的大小和形狀,而將其抽象成帶電荷的點。電荷連續(xù)分布的帶電體

——電荷守恒定律一個不與外界交換電荷的系統(tǒng)，電量的代線密度:代數(shù)和始終保持不變?！腚姾擅芏任矬w的電量與它的運動狀態(tài)無關，即：在不同的參照系內觀察，物體的電量不變。這個結論稱為電荷的相對論不變性。——理想模型面密度:體密度:無論是何種分布，電荷元視為點電荷。7.1.3庫侖定律（Coulomb?sLaw）在真空中，兩個靜止的點電荷之間的相互作用力的大小與它們電荷電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。作用力方向

設則電介質中e=

e0er

電介質的介電常數(shù)。er(≥1)電介質的相對介電常數(shù)，真空中—真空介電常數(shù)是什么將我們的世界保持在一起呢？

7.2.1

電場（ElectricField）

電荷周圍存在一種特殊形態(tài)的物質,7.2

電場電場強度電場對外表現(xiàn):電場對引入其中的電荷有力的作用；當電荷在電場中移動時,電場對它要做功，電場使場中的導體產(chǎn)生靜電感應現(xiàn)象；電場對引入其中的介質有極化作用；電場電荷電荷稱為電場。具有質量、能量、動量等。表明電場有能量。7.2.2

電場強度（ElectricField）引入試驗電荷qo,定義電場強度為對產(chǎn)生的電場，場強為單位：NC－1或V

m－1試驗電荷含義——尺寸與電量?！獔鰪姷釉碚f明：1）2）一般：E=E(x,y,z)，特殊：E=C。用表示,其定義為:為了描述電場對電荷的施力性質，引入一個基本物理量－－電場強度，簡稱場強。+2q-q滿足如下要求的曲線稱為電場線：通過垂直于的單位面積的電場線條數(shù)等于其切線方向是該點電ABC靜電場線的性質在無電荷處，任何兩條電場線不相交。起自正電荷,止于負電荷。該點處的量值；場的方向一、電場線（ElectricFieldLines)不閉合。（有源場）（無旋、保守場）四、場強的計算（Electric-FieldCalculations)任意帶電體電場：點電荷系電場：點電荷電場:dq

在空間某點的場強:帶電體分成無數(shù)個電荷元(電荷元視為點電荷)選取適當?shù)淖鴺讼?寫出的各個分量；積分求出

此步最好利用電荷分布的對稱性，判斷電場的方向,減少計算.帶電體的場強

例7.2求電偶極子軸線和中垂線上距離中心較遠處一點的場強。解：如圖系統(tǒng)稱為電偶極子，物理性質用電矩表示，定義為（方向由－指向＋）軸線上點A兩電荷在A處電場為（與同向）中垂軸上點B在r>>l時方向與電矩相反。在r>>l時例7.3

試求真空中一均勻帶電直線外任意一點的場強，設直線長為L，電荷線密度為，設直線外場點P到直線的垂直距離為x，P點與帶電直線的上下端點的連線與垂線的夾角分別為和p是對稱點時當時計算均勻帶電圓環(huán)軸線上p點場強分析表明而且在圓環(huán)中心處，x＝0，E＝0例7.4解：在x》R時xxrdlP

計算均勻帶電圓盤軸線上場強視為圓環(huán)組合例7.5解：2/322)(4xrdqxdE+pe=23220)(241rxrdrx+pspe=]1[2)(422202322xRxrxrdrxEoRo+-es=+peps=Tò

有兩個均勻帶電的“無限大”平板A、B例7.6電荷面密度分別為，求兩板之間和外側的場強AB例1計算均勻帶電半圓環(huán)圓心處場強。解：對稱分析得出ql=l=Rddldq且2424RRdRdqdEpeqlpe==RdREExpelqqpelp2sin40===ò0=yE例20cos，式中為半徑R與X軸所成夾角，如圖所示，試求環(huán)心O處的電場強度。解：一四象限電荷為“正”二三象限電荷為“負”對稱分析：Ey＝0，故O半徑為R的帶電細圓環(huán)，其電荷線密度òj==cosdEEExjpelcos42ò=lRdlEjpejjl=òpcos4cos2020RRdX++--iRiEExvvvel-=-=407.3.1

電介質的極化（DielectrcPolarization）一、偶極子模型分子中所有正電荷和

無外場時，正、負7.3靜電場中的電介質電位移矢量無極分子電子云原子核HHNNH4HHHe負電荷分別集中于兩個幾何點上，稱作正、負電荷的“重心”，于是中性分子可用等效偶極子替代。電荷重心重合，等效偶極子的偶極矩為零。

無外場時,正、負電荷重心不重合,等效有極分子ClHHClOHH2OHHHNNH3H二、介質電極化無極分子的位移極化之前：之后：位移極化演示偶極子的偶極矩不為零。無電偶極矩。正負電荷中心重合，產(chǎn)生感生電偶極矩。正負電荷中心不重合，之前：之后：有極分子轉向極化由于分子的極化導致介質端面上出現(xiàn)的電荷束縛電荷產(chǎn)生的電場與外加電場方向相反取向極化稱為束縛電荷，這種現(xiàn)象稱為電極化。介質內電場為是隨機的，無宏觀電偶極矩。電偶極矩取向是有序的，有宏觀電偶極矩。電偶極矩取向單位體積電介質中電矩的矢量和稱為電極化強度矢量，以表示，即單位為：C/m2

帶電平面內電介質的電極化強度

這表明，在均勻各向同性的電介質中電極化強度的大小等于電極化產(chǎn)生的極電荷面密度。++++++++++++++--------------7.3.2電極化強度-表征電介質極化程度

自由電荷產(chǎn)生的電場強度介質中的電場強度

極化電荷所產(chǎn)生的電場強度由于

有++++++++++++++--------------束縛電荷和自由電荷的關系電極化強度與電場強度的關系定義電位移矢量為稱為電極化率定義則對各向同性介質，則與的關系是—介電常數(shù)7.3.3電位移矢量7.4高斯定理滿足如下要求的曲線稱為電場線：通過垂直于的單位面積的電場線條數(shù)等于其切線方向是該點電7.4.1

電場線與電位移線ABC靜電場線的性質在無電荷處，任何兩條電場線不相交。起自正電荷,止于負電荷。該點處的量值；場的方向一、電場線（ElectricFieldLines)不閉合。（有源場）（無旋、保守場）滿足如下要求的曲線稱為電位移線：其切線方向是該點電位與電場線區(qū)別起自自由正電荷,止于負自由電荷。二、電位移線（ElectricDisplacementLines)各向同性電介質中電位移線密度是電場線通過垂直于的單位面積的電位移線條數(shù)dΦe等于該點處的量值；移的方向ABC的倍。7.4.2

電通量（ElecthicFlux）

通過電場中任一給定面的電位移線的總數(shù)均勻場、平面曲面、任意電場稱為通過該面的電通量，用e表示。平面與線垂直平面與不垂直換言之：穿出閉合面的電位移閉合曲面、任意電場

規(guī)定：①閉合曲面法線方向是由里②若D與en

的夾角θ<90°,否則為負；向外為正;則e為正，線為正，穿入的為負。θθ+q7.4.3

高斯定理(Gauss′sLaw)

通過任意閉合曲面S電通量,等于該閉合曲面包圍自由電荷代數(shù)和,與S外電荷無關，即證明點電荷q位于球面中心+qr顯然，結果與電荷在球面內位置無關。分析得出，包圍點電荷q的任意閉合曲面S'與球面S的電通量相同，都是qS'S②點電荷q

位于任意閉合曲面內q1q2q3③通過不包圍自由電荷的任意閉合曲面的電通量恒為零④任意閉合曲面有電荷分布對多個點電荷，每個點電荷有+q（2）高斯定理是反映靜電場性質的基本方程，即靜電場是有源場，正電荷是源頭。（1）選取的閉合曲面稱為高斯面。它并非客觀存在。D是高斯面上的值，是總電位移。推廣到電荷的連續(xù)分布，有（是電荷體密度）（5）任意閉合曲面內外均有電荷分布判斷：??B.由，求D。形狀：由場的對稱性決定（曲面上各部分要么使

n

與D

平行，要么使

n

與D垂直，且n

與D平行的那部分曲面上各點D

相等）。大?。洪]合面通過待求場點，且包圍部分或全部電荷。A.選取高斯面由高斯定理求對稱電場場強的步驟：7.4.4利用高斯定理求靜電場的分布C.由關系式求E。

均勻帶電球面的電場(q)r>Rr<RErROE~r

op一、球對稱的情況均勻帶電球體的電場Rr1P1s1(r、R、球體內e1、球體外e2

)r1<RRr1P1s1r2s2P2r2>RErROE~r關系113rDr=1113rEre=2224qDrp=22224rqEpe=“無限大”均勻帶電平面的電場（s）二、面對稱的情況

“無限長”均勻帶電線的電場()rlP三、柱對稱的情況“無限長”均勻帶電圓柱面的電場(、R)lrPr

<Rr

>RR“無限長”均勻帶電圓柱體的電場（r、R、ε）R+r

>Rr

<RlrP下面討論幾種電場的特點1、點電荷電場2、均勻帶電直線的電場有限長無限長3、均勻帶電平面的電場有限大帶電面無限大帶電面例1計算場分布drrkrrDr20244p×=p×ò42krD=4rkp=e42krE=244rkRD=2044rkREe=Rr<4Rkp=drrkrrDR20244ppò×=×Rr>)0(Rrkr<<=r7.5.1

電場力的功(WorkDonebytheElectricFieldForce)q0>0

由ab7.5電場力的功電勢點電荷電場點電荷的電場力是保守力。點電荷系產(chǎn)生的電場根據(jù)場的疊加原理，.故總電場力為：總功為：展開后得到：

由場強疊加定理推知——任何靜電場力都是靜電場的環(huán)流定律選b點為勢能零點，即一般靜電場電勢能保守力功A=-Ep=-(Eb-Ea)靜電場是保守力場或有勢場。保守力。7.5.2

電勢(ElectricPotential)

電勢在數(shù)值上等于該點處單位正電荷的電勢的單位是：伏特（V）電勢差（電壓）：電場力的功:推論電勢能,即單位正電荷從該點移到參考點時電場力做的功。電荷分布是有限區(qū)域時,通常選擇在無限遠處電荷分布（擴展到）無限遠處時,一般取有限7.5.3

電勢疊加原理一、點電荷電場中的電勢電勢零點（參考點）的選擇為電勢零點。遠處的某點為電勢零點。

若干帶電體產(chǎn)生的電場，某點電勢等于每個帶電體單獨存在時在該點產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。二、點電荷系電場中的電勢

rqqqoq【例1】已知：q、r，求：1）Uo=?2）3）,π4)101rqUe=解：4321UUUU===且)()200UUqAo-=￥?￥00Uq-=0)3?￥￥-=-AWWo000>=Uq

三、連續(xù)帶電體電場中的電勢(可以由高斯定理求得)(dq視為點電荷,帶電體有限大)(dUp視情況而定,dq不是點電荷)計算半徑為R、所帶電量是q的均勻帶電圓環(huán)軸線上一點P的電勢。求和得例1解：對電荷元dq=dl,有xxrdlPR22044xRqrdqUoqo+pe=pe=ò004q4xoqxRUX>>Rpepeì=??=í???rdqdUope=4已知真空中一均勻的帶電線（R,λ）求延長線上一點，o點的電勢2ln442pel=pel==òòRR0ldldUU++++OAB例3電荷線密度為，求圓心O點的電勢。O++++++++++++++++分析：真空中均勻帶電線形狀如圖所示AB=DE=R，2ln442pel=pel==òòRRABldldUUel=peql=òp440RRdUBCDel+pel=42ln2oUBCDABUU+=2DEBCDABoUUUU++=DEBAdldql=C計算半徑為R、所帶電量是q的均勻帶電球面電場中一點P的電勢。球內外電場是選擇積分路徑是r的方向，則例2O解：Ur0???íì>pe<=RrrrqRrEorr340rqrdrrqUorope=.pe=ò￥443rr外RqrdrrqdrUoRrRope=.pe+.=òò￥4403rr內例4求各區(qū)域電勢分布。解：計算各區(qū)域電場強度[1]求各區(qū)域電勢分布（均勻帶電球面，空間介質）BArrrr><或)11(4BArrQ-pe=QrD=p×2424rQDp=24rQEpe=BArrr<<0=EArr<BrBAArQ+Q-òòòò￥￥++==BBAArrrrrrEdrEdrEdrU1Edr例4各區(qū)域電場強度值[2][3]òòò￥￥+==BBrrrrEdrEdrEdrU2)11(4BrrQ-pe=Brr>03===òò￥￥rrEdrEdrUBArrr<<ABBrArQ+Q-BArrrr><或0=EBArrr<<24rQEpe=一、帶電體的能量(EnergyStorageinCapacitors)1.帶電體的能量帶電體的電量Q是外力克服電場力不斷從無限遠移動電量dq的結果，如圖情況下有外力總功為依據(jù)功能原理

7.5.4電場的能量d

帶電系統(tǒng)的能量為力不斷從B板移動電量dq的結果以平板電場為例，A板的電量Q是外力克服電場UAUB+Q-Q兩板間電勢差為電場的總能量為V是平板電場空間的體積，定義稱為電場能量體密度。上式雖由平板電場特例導出，但普遍適用。d+Q-Q例17計算帶電面電場存儲的能量。解：球面電場分布是電場能量密度是Rq（點電荷等勢面）（正負點電荷等勢面）（帶電平板等勢面）7.6電場強度與電勢關系電勢相同點形成的曲面稱為等勢面。7.6.1等勢面電勢相同點形成的曲面稱為等勢面。在靜電場中，沿等勢面移動電荷，電場力做功在靜電場中，電場線與等勢面正交。

畫等勢面:電場線方向指向電勢降落的方向。相鄰等勢面電勢值間隔要相等。等勢面密處場強大，反之場強小。為零。7.6.2場強與電勢的關系（RelationshipofElectricFieldandPotential)沿等勢面法線方向沿等勢面任意方向UU+dUdndlPQ稱法線方向為電勢梯度方向M場強的方向是電勢減少最快的方向電場強度是該點電勢梯度負值。直角坐標系:球坐標系引用哈密頓算符有場強的大小等于電勢沿場強方向的減少率，與該點電勢值本身并無直接關系。

計算半徑為R、所帶電量是q的均勻帶電圓環(huán)軸線上一點P的場強。例16解：已知P點電勢是xxrdlPRzy7.7.1

靜電平衡（ElectrostaticBalance）導體內部

導體表面與表面垂直導體是等勢體放置在靜電場中導體，產(chǎn)生靜電感應現(xiàn)象，7.7靜電場中的導體靜電平衡條件加電場前加電場后當導體中沒有電荷做宏觀運動的狀態(tài)時，稱為靜電平衡狀態(tài)。一、靜電平衡二、導體電荷的分布(ChargesonConductors)在帶電導體處于靜電平衡時，電荷分布滿足：導體上的電荷只能分布在導體表面上；無空腔導體有空腔導體空腔體疑問腔內有電荷曲率大處，電荷面密度大,附近的電場亦強。

證明如圖，滿足等電勢同樣如圖，由高斯定理1.尖端放電；2.靜電屏蔽；3.靜電除塵7.7.2

靜電屏蔽（electrostaticshielding）自學[例7.20]

半徑為R1的導體帶有電荷q，球外有一個內、外半徑為R2、R3

的同心導體球殼，殼上帶有電荷q‘。求:(1)球及外球殼的電勢U1和U2；(2)兩球的電勢差ΔU；(3)以導線把球和殼連接在一起后，U1、U2和ΔU分別是多少？(4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，U1、U2和ΔU是多少？解（1）（2）R1R2qR3q'-q+q3020101π4π4π4RqqRqRqUeee￠++-+=3030302π4π4π4RqRqRqqUeee+-+￠+=30π4Rqqe￠+=)11(π4210RRqU-=De解:（3）[例7.20]

半徑為R1的導體帶有電荷q，球外有一個內、外半徑為R2、R3

的同心導體球殼，殼上帶有電荷q′。求:(1)兩球的電勢U1和U2；

(2)兩球的電勢差ΔU；(3)以導線把球和殼連接在一起后，U1、U2和ΔU分別是多少？(4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，U1、U2和ΔU是多少？R1R2qR3q′（4）-q+q3021π4RqqUUe￠+==0=DU02=UURqRqUD=-=20101π4π4ee7.7.3

電容器的電容(CapacitorsandCapacitance)電容器:二、電容器電容的計算（CalculationofCapacitance)單位：F、μF、μμF儲存電荷和電能的“容器”。電容器由兩塊導體（極板）組成，其儲存電荷能力用物理量電容表征，定義為一、電容器dUAUB+s-s1.平板電容器A板:B板:2.圓柱形電容器lrRBRAABOOA板:B板:3.球形電容器lrRBRAABOOPrRARBABA板:

B板:電容器的大小、形狀、板間電介質。10決定電容器電容的因素是：PrRARBAB20電容器電容的儲能是：以平板電容器為例例計算球形電容器電場中所儲存的能量解：兩極板之間的場強為drrEdVWRRe2242121p×e=w=òòCQRRRRQRRQ21221221221421)11(8=-ep=-ep=QrD=p×2424rQEpe=221Eee=wQ-Q+例一.一球形電容器，在外球殼的內半徑b和內外導體間的電壓U維持恒定的條件下，內球半徑a為多大時，才能使內球面外側電場強度最??？這個最小的電場強度和相應的電場能量各是多少？abUO.R例二.如圖,半徑為R的導體球原來帶電為Q,現(xiàn)將一點電荷q放在球外離球心距離為x（>R）處，導體球上的電荷在P點（OP=R/2）產(chǎn)生的場強和電勢.由靜電平衡

UP=UO

解：由于靜電感應，使電荷重新分布,球內處處場強為零.因此P點總的電場強度也為零.x????＋＋＋＋＋＋＋q+..PR/27.如圖，金屬球A和金屬球殼B同心放置，它們原先都不帶電。設球A半徑為R0，球殼B的內、外半徑分別為R1和R2。求下列情況下A、B的電勢差

.解：（1）使B帶電（2）使A帶電（3）使A帶電，使B帶電（4）使A帶電，將B外表面接地；

（1）B內等電勢。（2）（3）同（2）結果（4）0=￠ABUò=10RRABdrEU內drrqRRoò=1024pe÷???è?-=01114RRqpe0ò=10RRABdrEU內drrqRRoò-=1024pe7．如圖所示，金屬球A和金屬球殼B同心放