中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題18《弦圖模型》

中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題18《弦圖模型》中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題18《弦圖模型》中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題18《弦圖模型》xxx公司中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題18《弦圖模型》文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度專題18《弦圖模型》破解策略1．內(nèi)弦圖如圖，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，則△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．證明因?yàn)椤螦BC＝∠BFC＝90°所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°．所以∠ABE＝∠FCB．又因?yàn)锳B＝BC．所以△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．2．外弦圈如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N，P，Q在正方形ABCD邊上，且四邊形MUPQ為正方形，則△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．證明因?yàn)椤螧＝∠QMN＝∠C＝90°，所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°，所以∠BQM＝∠NMC．又因?yàn)镼M＝MN，所以△QBM≌△MCN．同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ．3．括展（1）如圖，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于點(diǎn)E．所以△ABE≌△BHE≌△AHB．（2）如圖，在Rt△QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以△QBM≌△BLK．證明因?yàn)椤螧LK＝90°，QM⊥BK，所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝90°所以∠QMB＝∠K，又因?yàn)镼B＝BL．所以△QBM≌△BLK．例題講解例1四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在的直線上，連結(jié)CE，以CE為邊，作正方形CEFG（點(diǎn)D，F(xiàn)在直線CE的同側(cè)），連結(jié)BF．當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時，AE＝1，求BF的長．解如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，延長FH交BC的延長線于點(diǎn)K．因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形CEFG是正方形，根據(jù)“弦圖模型”可得△ECD≌△FEH，所以FH＝ED＝AD－AE＝3，EH＝CD＝4．因?yàn)镃DHK為矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1．所以FK＝FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝．5．所以BF＝＝例2如圖，△BCD為等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∠BAC＝45°，若S△ACD＝4．5，求AC的長．解如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BF交EB的延長線于點(diǎn)F．由“外弦圖模型”可得△BFD≌△CEB，所以BF＝CE．易證AE＝BE，所以AC＝EF，所以S△ACD＝AC·EF＝AC2＝4．5，從而AC＝3．例3某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請你給出證明．（1）如圖1，在矩形ABCD中，EF⊥CH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)F，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G．H求證：＝（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若＝，則＝．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD－5，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求的值．解（1））如圖4．過點(diǎn)A作AP∥EF．交CD于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于點(diǎn)Q．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形．所以AB∥DC，AD∥BC．所以四邊形AEFP，四邊形BHGQ都是平行四邊形，所以AP＝EF，GH＝BQ．又因?yàn)镃H⊥EF．所以AP⊥BQ．所以∠QAT＋∠AQT＝90°．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠DAB＝∠D＝90°，所以∠DAP＋∠DPA＝90°，所以∠AQT＝∠DPA．所以△PDA∽△QAB．所以＝，所以＝．（2）因?yàn)镋F⊥GH，AM⊥BN．所以由（1）中的結(jié)論可得＝，＝．所以＝＝．（3）如圖5．過點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A且平行于BC的直線于點(diǎn)P，交BC的延長線于點(diǎn)S．則四邊形ABSR是平行四邊形．因?yàn)椤螦BC＝90°，所以四邊形ABSR是矩形．所以∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．因?yàn)锳M⊥DN．所以由（1）中的結(jié)論可得＝．設(shè)SC＝x，DS＝y(tǒng)，則AR＝BS＝5＋x．RD＝10－y，所以在Rt△CSD中，x2＋y2＝25．在Rt△ARD中．（5＋x）2＋（10－y）2＝100．聯(lián)立方程組，得（舍），或．所以AR＝5＋x＝8，所以＝＝＝．進(jìn)階訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線，y＝（k＞0）同時經(jīng)過點(diǎn)B．且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．∠AOB＝∠OBA＝45°，則k＝____．2．如圖，巳知∠ABC＝90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD＝BC．E是直線BC上的一點(diǎn)，且CE＝BD．直線AE，DC相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由．

3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，且不與A，D重合．BP的垂直平分線分別交CD，AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，垂足為Q，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．EH與BP交于點(diǎn)M．求證：HF＝AP．參考答案：專題18：弦圖模型1．1＋．【提示】過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，直線AM，BD交于點(diǎn)N，則四邊形OMND為矩形，易證△AOM≌△ABN，所以AM＝BN＝，OM＝AN＝，BD＝－，OD＝＋，所以點(diǎn)B（＋，－），根據(jù)雙曲線表達(dá)式，有（＋）·（＋）＝k，解得k＝1＋．2．∠APD＝45°，為固定值．【提示】如圖，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連結(jié)DF，CF．可得AF∥CE，AF＝CE，所以四邊