高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題（10）立體幾何（理科）及答案

專題十立體幾何6.【2021高考福建，理17】【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)．【解析】解法一：〔Ⅰ〕如圖，取的中點(diǎn)，連接，，又G是BE的中點(diǎn)，，又F是CD中點(diǎn)，，由四邊形ABCD是矩形得，，所以．從而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以．(Ⅱ)如圖，在平面BEC內(nèi)，過點(diǎn)B作,因?yàn)椋忠驗(yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，那么A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)．因?yàn)锳B平面BEC，所以為平面BEC的法向量，設(shè)由取得.從而所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為．24.【2021高考浙江，理17】試題解析：〔1〕設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，∴，∵，∴，故平面，由，分別，的中點(diǎn)，得且，從而，∴四邊形為平行四邊形，故，又∵平面，∴平面；〔2〕作，且，連結(jié)，由，，得，由，，得，由，得，因此為二面角的平面角，由，，，得，，由余弦定理得，.【3.【2021高考山東，理17】試題解析：(I)證法一：連接，設(shè)，連接，在三棱臺中，為的中點(diǎn)可得所以四邊形為平行四邊形那么為的中點(diǎn)又為的中點(diǎn)所以又平面平面所以平面．證法二：在三棱臺中，由為的中點(diǎn)因?yàn)槠矫嫠云矫妗睮I〕解法一：設(shè)，那么在三棱臺中，為的中點(diǎn)由，可得四邊形為平行四邊形，因此又平面所以平面在中，由，是中點(diǎn)，所以因此兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系所以可得故設(shè)是平面的一個法向量，那么由可得可得平面的一個法向量因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€法向量，所以所以平面與平面所成的解(銳角)的大小為解法二：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接由平面，得又所以平面因此所以即為所求的角所以平面與平面所成角〔銳角〕的大小為.7.【2021高考天津，理17】【答案】(I)見解析；(II)；(=3\*ROMANIII).【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，，又因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，得.(I)證明：依題意，可得為平面的一個法向量，，由此可得，，又因?yàn)橹本€平面，所以平面(II)，設(shè)為平面的法向量，那么，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的一個法向量，那么，又，得，不妨設(shè)，可得7.【2021高考湖北，理19】【答案】〔Ⅰ〕詳見解析；〔Ⅱ〕.故是面與面所成二面角的平面角，設(shè)，，有，在Rt△PDB中,由,得,那么,解得.所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，.〔解法2〕〔Ⅰ〕如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，那么，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，于是，即.又，而，所以.因,,那么,所以.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為.〔Ⅱ〕由，所以是平面的一個法向量；由〔Ⅰ〕知，，所以是平面的一個法向量.假設(shè)面與面所成二面角的大小為，那么，解得.所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，.5.【2021高考陜西，理18】【答案】〔I〕證明見解析；〔II〕．(II)由，平面平面，又由〔I〕知，，所以為二面角的平面角，所以.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以得?設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，那么，得，取，，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為.1.【2021高考北京，理17】〔Ⅲ〕由〔I〕知平面EFCB，那么，假設(shè)平面，只需，，又，，解得或，由于，那么.2.【2021高考廣東，理18】【答案】〔1〕見解析；〔2〕；〔3〕．【解析】〔1〕證明：∵且點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴；〔2〕∵是矩形，∴，又平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又、平面，∴，，∴即為二面角的平面角，在中，，，，∴即二面角的正切值為；〔3〕如下列圖所示，連接，∵，即，∴，∴為直線與直線所成角或其補(bǔ)角，在中，，，由余弦定理可得，∴直線與直線所成角的余弦值為．4.【2021高考湖南，理19】試題解析：解法一由題設(shè)知，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直∴，而二面角的余弦值為，因此，解得，或者〔舍去〕，此時，設(shè)，而，由此得點(diǎn)，，∵平面，且平面的一個法向量是，∴，即，亦即，從而，于是，將四面體視為以為底面的三棱錐，那么其高，故四面體的體積.解法二〔1〕如圖c，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵，是梯形的兩腰，是的中點(diǎn)，∴，于是由知，，∴，，，四點(diǎn)共面，由題設(shè)知，，，∴平面，因此①，∵，∴，因此，于是，再由①即知平面，又平面，故；〔2〕如圖d，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，那么平面，∵平面，∴