平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為求能量允許值

量子力學(xué)常用積分公式(n>0)Jxneaxdx=—Xneax——jXn-le(n>0)Jeaxsinbxdx=—竺—(asinbx—bcosbx)

a2+b2Jeaxcosaxdx=—竺一(acosbx+bsinbx)a2+b2Jxsinaxdx=—sinax——xcosaxTOC\o"1-5"\h\za2aJx2sinaxdx=蘭sinax+-x)cosaxa2a2aJxcosaxdx=—cosax+xsinaxa2a(7Jx2cosaxdx=至cosax+(———)sinax)a2aa3x；c~/i—i1、八廠Tax2+c+——=ln(w'ax+^ax2+c)(a>0)22/a(8)JJax2+cdx=<TOC\o"1-5"\h\zc―a、(a<0)―arcsin。x)2y—ac(a<0)「一，2sinnxdx0

r(n—1)!!兀n!!2

（n=正偶數(shù)）I(n-1)!!

n!!（I(n-1)!!

n!!（n=正奇數(shù)）(a>0)sinax,(10)J"dx=0x(a<0)(n=正整數(shù)a>0)兀1——2(a<0)(n=正整數(shù)a>0)0an+11，兀(12)Je-ax2dx=02\a

MX2ne-ax2dx=(^02n+1\a2n+1n!』3x2n+1e-ax2dx=02an+1M業(yè)竺dx次ox22(16)j3xe(16)j3xe-axsinbxdx=02ab(a2+b2)2(a>0)(a>0)f3a2-b2xe-axcobxd=(a>0)0(a2+b2)2第二章：函數(shù)與波動(dòng)方程…、1[1]試用量子化條件，求諧振子的能量[諧振子勢(shì)能V（x）=5mo2x2]（解）（甲法）可以用Wilson-Sommerfeld的量子化條件式:jpdq=nhA*0Bx<——a—,在量子化條件中，令P=mx為振子動(dòng)量,q=x為振子坐標(biāo)，設(shè)總能量E-P2mo2x2則E=+2m2mo2x2P\2m(E-」代入公式得:j-P2mo2x2則E=+2m2mo2x2P\2m(E-」代入公式得:j、2m(E—mo；x2)dx=nh(2)2jam?^a2-x2dx=nh(2)—a積分得:m^a2k=nh1①遍乘二一得2k廠h①,E==n方①2k［乙法］也是利用量子化條件，大積分變量用時(shí)間t而不用位移x，按題意振動(dòng)角頻率為?，直接寫出位移x，用t的項(xiàng)表示：求微分:dq=dx=a①cosstdt(4),求積分:P=mx=ma?cos①t(5)將(4)(5)代量子化條件：jpdq=ma2?2"cos2wtdt=nh2kT是振動(dòng)周期,T=——，求出積分，得①m?a2m?a2k=nhE=n=n方①2kn=1,2,3正整數(shù)n=1,2,3正整數(shù)#［2］用量子化條件，求限制在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的能量，箱的長寬高分別為a,b,c.(解)三維問題，有三個(gè)獨(dú)立量子化條件,可設(shè)想粒子有三個(gè)分運(yùn)動(dòng)，每一分運(yùn)動(dòng)是自由運(yùn)動(dòng).設(shè)粒子與器壁作彈性碰撞，則每碰一次時(shí),與此壁正交方向的分動(dòng)量變號(hào)(如PT-P)，其余分動(dòng)量不變，設(shè)想粒子從某一分運(yùn)動(dòng)完成一個(gè)周期，此周期中動(dòng)量與位移同時(shí)變號(hào),量子化條件：jpdq=nh=2p\^x=2apJpdq=nh=2pjbdy=2bpyyyy0yjpdq=nh=2pjcdz=2cpzzzz0z(2)p,p,p都是常數(shù)，總動(dòng)量平方p=t'p2+p2+p2總能量是:xyzxyz「p21E=2—=2—(p2+p2+p2)nhnhnh[(f)2+(一)2I(z)22a2b2cnnn[(x)2+(丁)2+(z)2]abc,n,n=1,2,3正整數(shù).1]h28mxyz[3]平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,求能量允許值.（解）解釋題意:平面轉(zhuǎn)子是個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體，它的位置由一坐標(biāo)（例如轉(zhuǎn)角平）決定，它的運(yùn)動(dòng)是一種剛體的平面平行運(yùn)動(dòng).例如雙原子分子的旋轉(zhuǎn).按剛體力學(xué)，轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量I①，但?=（P是角速度,能量是E=11?2利用量子化條件，將p理解成為角動(dòng)量,q理解成轉(zhuǎn)角P，一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)理解成旋轉(zhuǎn)一周,則有jpdq=J2兀I?dp=2兀I?=nh（1）說明①是量子化的nhnh?=—2兀I(2)(n=1,2,3..)(2)⑶代入能量公式,得能量量子化公式:E=11?2=|-（罕）2=^2^2⑶」」JL#[4]有一帶電荷e質(zhì)量—的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，垂直于平面方向磁場(chǎng)是B,求粒子能量允許值.o(解)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓半徑是,，線速度是V，用高斯制單位，洛倫茲與向心力平衡條件是：Bevmv2又利用量子化條件，令又利用量子化條件，令P=電荷角動(dòng)量mrvdQ=2兀mrv=nhq=轉(zhuǎn)角中(2)即mrv=nh(3)由(1)(2)求得電荷動(dòng)能=1mv2=Bhn22mc再求運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中的磁勢(shì)能，按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場(chǎng)中的勢(shì)能磁矩*場(chǎng)強(qiáng)電流*線圈面積*場(chǎng)強(qiáng)ev*兀尸2*B==,v是電荷的旋轉(zhuǎn)頻率,ccc代入前式得Behn運(yùn)動(dòng)電荷的磁勢(shì)能=(符號(hào)是正的)2mcBehn一一-點(diǎn)電荷的總能量=動(dòng)能+磁勢(shì)能=E=(n=1,2,3)2mc#mc2[5]對(duì)高速運(yùn)動(dòng)的粒子(靜質(zhì)量m)的能量和動(dòng)量由下式給出：mc2(1)mv2TOC\o"1-5"\h\zP=(2)?云試根據(jù)哈密頓量H=E=、；m2c4+c2p2(3)及正則方程式來檢驗(yàn)以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度并證明它大于光速.(解)根據(jù)(3)式來組成哈氏正則方程式組:q=興，本題中q=v,p=P，因而dpii6:.V=—\:m2c4+c2p2=.(4)從前式解出p(用V表示)即得到(2).又若將(2)代入(3),就可得到(1)式.其次求粒子速度V和它的物質(zhì)波的群速度V間的關(guān)系.運(yùn)用德氏的假設(shè)Gp=hk于(3)式右方，又用E=柚于（3）式左方，遍除h:m2c4①=+c2k2=①(k)V加按照波包理論，波包群速度Vg是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù):m2c4m2c4+c2p2、+c2k2\h2最后一式按照（4）式等于粒子速度V，因而VG=V。又按一般的波動(dòng)理論，波的相速度Vg是由下式規(guī)定V=U“=（。是頻率）pk利用（5）式得知,m2c4L.+c2>c"力2k2(6)故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)當(dāng)超過光速。最后找出VG和Vp的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運(yùn)用德氏波假設(shè):E_力3_c2_c2phkvVG#[6]（1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律nsi似=nsi似（2）光的波動(dòng)論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難：如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動(dòng)遵守最小作用量原理8』pdl=0認(rèn)為p=mv則5ipdl=0這將導(dǎo)得下述折射定律nsind=nsina1331Ev。這明顯違反實(shí)驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對(duì)論效應(yīng)，則對(duì)自由粒子：P=--仍就成立，E是C2粒子能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)E仍不變，仍有8jpdl=0，你怎樣解決矛盾?(解)甲法：光線在同一均勻媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定點(diǎn)A到定點(diǎn)B的路徑是兩段直線：光程I=naq+nqb設(shè)A，B到界面距離是a,b(都是常量)有I=naseca+nbseca又AB沿界面的投影c也是常數(shù)，因而a，a存在約束條件:12atga+btga=c⑵求(1)的變分，而將a,以看作能獨(dú)立變化的，有以下極值條件1251=nasecatgada+nbsecatgada=0(3)TOC\o"1-5"\h\z11112222再求(2)的變分asecada+bsecada=5c=0(3)與(4)消去da和da得12nsina=nsina(5)1122［乙法］見同一圖，取X為變分參數(shù)，取0為原點(diǎn)，則有：I=n\-a2+x2+ny'b2+(c—x2)求此式變分，令之為零，有：5I=直里—"一方板=0\-a2+X2\；b2+(c一x)2這個(gè)式子從圖中幾何關(guān)系得知，就是(5).(2)按前述論點(diǎn)光若看作微粒則粒子速度v應(yīng)等于光波的群速度"弓光程原理作8』vdl=0,依前題相速v=§-，而v=§-=cn,n是折射率,n是波前陣面更引起的，而GpvGvGp波陣面速度則是相速度v，這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.8』ndl-0前一非難是將光子的傳播速度v看作相速度vp的誤解.#[7]當(dāng)勢(shì)能U(r)改變一常量C時(shí)，即V(r)-V(r)+c，粒子的波函數(shù)與時(shí)間無關(guān)部分變否?能量本征值變否？(解)設(shè)原來的薛定諤方程式是d2W2m-一/+[E-V⑴卬=0將方程式左邊加減相等的量Cv得：dx2方2票+2m{[E+C]-[V(x)+C]}v=0dx2方2這兩個(gè)方程式從數(shù)學(xué)形式上來說完全相同，因此它們有相同的解v(x),從能量本征值來說,后者比前者增加了C。#[8]設(shè)粒子勢(shì)能的極小值是E>Vnmin(證)先求粒子在某一狀態(tài)中的平均值能量E力2E=jjjV*[-史V2+V(r)v]d3x2mu其中動(dòng)能平均值一定為正：—…方2一T=jjjV*(^—V2)vd3x2m=-旦B!{V[V*Vv]-Vv*Vv}dT2m=-h2B!v?(v*Vv)dT+力2JUVv*VvdT2m2m*VvdT用高斯定理:T=-胃jj(v*Vv)-ds+2m

?VWt中間一式的第一項(xiàng)是零，因?yàn)椤跫俣M足平方可積條件，因而T>0因此E=T+V>V，能讓能量平均值V>V.因此E>V.令w=*（本征態(tài)）則E=E而E>Vmm得證#[9]設(shè)粒子在勢(shì)場(chǎng)V（r）中運(yùn)動(dòng)（1）證明其能量的平均值是:E=JWdx2=J[空Vw*?Vw]dx(1)2m其中W是能量密度（2）證明能量守恒公式3W一(2)——+V?*VvdT(2)dtTOC\o"1-5"\h\z_方2dw*8w（能流密度）其中S=-—V+Vw*)2mdt初（能流密度）（證明）（1）三維粒子的能量算符是（證明）（1）三維粒子的能量算符是:H=—V2W+Vw(3)2m求H在狀態(tài)w中的平均值E=JJJw*Hwdx=JJJw*(—V2w+Vw)d3x2mTOC\o"1-5"\h\zTT由于中*V2中=V(中*V中)—VW*VW，將此式代入前一式：E=JJJ—墾｛V(中*VW)—VW*V中｝dx3+JJJ中*VWdx2mrr=-歸JJJ｛V(W*VW)dx3+歸JJJvW*VWdx3+JJJw*VWdx2m2mrrr最末一式按高斯定理化為面積分-加JJJv(w*VW)dx3=JJw*VW?dS2mrS若W滿足平方可積條件，^glimW*VW=0，s考慮為無限遠(yuǎn)處的界面。結(jié)果證得公式⑴rT8⑵求⑴式中能量密度W的時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)，注意W。W*一般都含時(shí)間，VW,VW*也是如dwa,h2___、此，因而：=—{—0W*0W+W*0W}atat2m方2

2m一_aw_aw*-、{VW*v——+v——0W}+atatataw*aw——vw+w*v-at墮{V?[VW?.竺+萱.vw]-[竺2matatataw*+——v2w]}ataw*aw+vw+w*vatat方2一一awaw*_aw*方》一一=—v-[vw*?——+——?vw]+——[^―v2w+vw]2matatat2maw方2--+——[-—v2w*+vw*]at2m粒子滿足含時(shí)間薛定諤方程及其共軛方程式:aw方2--如=-〃v2w+vwat2maw*-hi方2L…=-v2w*+vw*2mh2aw*-aw_■—[——?vw+—vw*]則有2matataw—aw*awawaw*——=—v?S+—=—v?Satatatatat公式⑵得證。[10]設(shè)N個(gè)粒子的哈密頓量為:H工墾v2+尤p[I—-—]⑴2m11iji=1i=1w(rrr,t)是它的任一態(tài)函數(shù)，定義:12Np(—,t)=^pi(—,t)⑵—(—,t)=Zj(r,t)⑶p(r,t)=』???』d3rd3r…d3rw*w1133N—(—,t)=—』??Jd3rd3r-d3r(w*vw-wvw*)112im33n115pr八求證：+v?J=0⑷otdp0V一、[證明]按定義:專=瓦乙p.(r,t)i=Zj???』d3r..d3rd3r,0...d3r—=Zj???』d3r..d3rd3r,0...d3r—W*WNdt0W0W*=0Jd3r.d3r1d3r1…d3%(W*—+-^W)i

=0("t)i多粒子的體系的狀態(tài)W(rrr,t)應(yīng)當(dāng)滿足多粒子薛定諤方程式，寫出這個(gè)方程式和其共2N軛方程式："航0W=E(-2-v2)w+￡vjkwkjkn如告二￡(-務(wù)vk2)w?+知w*

kjk0W0W*將前二式等式右方的式子代替左方的—，亍，代進(jìn)式⑸dtot(6a)(6b)dpidt2一一—(W*v2W-WV2w*)k...￡-+j??Jd3r?3rd3r…0-—(W*v.W-Wv.W*)jk=-J.Jd3r...d3rd3r???d3r.0_L(w*v2w-wv2w*)k=-J???』d3r..d3rd3rd3r.Z_Lv?(w*vw-wvW*)2im,kkkkTOC\o"1-5"\h\zv?r三￡v?Ej(r,t)iiiii—?—?=(v+v+—v…)[j(r,t)+—j(r,t)+—]12i11ii—?—?—?=v?j(r,t)+v?j(r,t)+...v?j(r,t)…111222-iii

—ZLJd3r?.d3rd3r…d3rxV-(W*VW—WVW*)2im1i—1i+1N,iiii竺=￡也=￡』???』d3r-d3rd3r…d3rx￡-Lv-(W*VW—WVW*)dtdt1i—1i+1N2im,kkkiik_(9)將⑼式兩個(gè)求和合一，注意到i。k的項(xiàng)不存在，因而⑻⑼等值異號(hào)。［11］設(shè)W］與%是薛定諤方程式兩個(gè)解，證明川中"0,t壯卜無t)dx3與時(shí)間無關(guān)。T［證明］試將此式對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)，再利用W*1,W2所滿足的薛定諤方程式，有:\當(dāng)d3X1dtjjj\當(dāng)d3X1dt,.dW因—hi—dt方2—一2—V2W*1+VWdWh2LL+hid「=-2V2W2+VW2—ffjw*Wd3x=jjj上(V2W*W+W*?VW)d3xTOC\o"1-5"\h\zdt122mi1212—jjj1(VW*w2—?VW*W2)d3xT=hfflV?(VW*W+W*?VW)d3x2mi1212T=_Ljj(vw*w+w*.vw)?ds2mi12127最后一道等號(hào)是利用高斯定理將題給的體積分(T)變換成(T)的包圍面S的面積分，若甲「甲2滿足平方可積條件limW=0,limVW=0rT81r—s1等，可使這面積分等于零。所以體積分jjjW*1(x,tW2(x,t)dx3是與時(shí)間無關(guān)的。T#［12］考慮單粒子的薛定諤方程式：dh2ihdtW(x,t)=——V2W(x,t)+［V(x)+iV2(x)W(x,t)

V1,V2為實(shí)函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積D內(nèi)，粒子幾率“喪失”或“增加”的速率。解：要證明幾率不守恒，可以計(jì)算總幾率的時(shí)間變化率，先考察空間一定體積Q中粒子出現(xiàn)的總幾率，按Born假設(shè)，總幾率是P頊k叫3XQ求總幾率的時(shí)間變化率蘭=C廁斗d3X項(xiàng)V*竺+立中）d3X（1）dtdtdtdtdv再根據(jù)薛定諤方程式和其共軛方程式求出后"*和飛廠dVdv再根據(jù)薛定諤方程式和其共軛方程式求出后"*和飛廠dVh1h-V2V+—[v+ivV2mihhVV、dt2midt

dV*hi121一-—[匕-iV2V*（2）將（2）代入（1），化簡后得竺=jjj{-_LV*V2V-W2V*)+當(dāng)VV}d3XTOC\o"1-5"\h\zdt2mihQ利用高斯定理將右方第一項(xiàng)變形：dP=jjj{—上V?V*VV-VVV*)}d3X+2川中*VVd3Xdt2mih2QQ（3）=—jjj_LV*VV-VVV*）-dS+-』Bv*VVd3X

Q2mihQ（3）如果粒子的運(yùn)動(dòng)范圍是無限的，并且符合平方可積條件，則在無限遠(yuǎn)處VT0，wV*—0，因而（3）式的面積分等于0。（4）dP=-』Bv*V(XVd3Xdth2Q這證明總幾率P=jjJVVd3X不守恒，因?yàn)閐p。（4）dtQ如果考察有限體積Q之內(nèi)總幾率的變化率，令：=h/LL、J三叩*Vv-wW*)2mi（3）式改寫為:

(5)空=』了.ds+2肌at(5)ap八于是空間Q內(nèi)粒子幾率減少或增加的速度，at右方-jjJ-ds是指Q的包圍面Sap八于是空間Q內(nèi)粒子幾率減少或增加的速度，at右方-jjJ-ds是指Q的包圍面S上幾率流[13]對(duì)于一維自由運(yùn)動(dòng)粒子，設(shè)W（x,0）=8（x）求"（x,t）2。（解）題給條件太簡單，可以假設(shè)一些合理的條件，既然是自由運(yùn)動(dòng)，可設(shè)粒子動(dòng)量是〃，能量是E，為了能代表一種最普遍的一維自由運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為粒子的波函數(shù)是個(gè)波包（許多平面波的疊加），其波函數(shù)：TOC\o"1-5"\h\zW（x,t）=-^"g）e；3-Ei）dp（1）%2兀；p=一3這是一維波包的通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令t=0應(yīng)有W（x,0）=^^"Np）e；pxdp（2）\.'2兀；p=一3但按題意，此式等于8（X）。但我們知道一維8函數(shù)一種表示是：8（x）=eikxdk（3）將（2）（3）二式比較：知道k=p，并且求得8（p）=「一，于是（1）成為；；2兀；W（x,t）=；Me”-Ei）dp（4）廠「p2這是符合初條件的波函數(shù)，但p,E之間尚有約束條件E=：（因?yàn)槭亲杂闪Ｗ樱?m總能量等于動(dòng)能），代入（4）1p2,.、，W（x,t）=^―；j8e；（px-2m）dp（5）將此式變形成高斯積分，容易得到所需結(jié)果：1imx2[^m.xW（x,t）=-^―；e2；tj°e一2m；（P一2"dp

r元利用積分匕，-知=血V（x,t）V（x,t）=e2nt2兀力12mhn

it寫出共軸函數(shù)（前一式，變號(hào)）:\lmh^2兀力2ht.12兀力W（W）212mh^mX=（2兀方）2t2nht本題也可以用FresnelW（W）2一8-斜婦匕W京00W3/）1|mhTi干訕x2用課本公式得，=—（l+一8-斜婦匕W京00w*g）2兀力A1t#［14］在非定域勢(shì)中粒子的薛定譜方程式是：薩wG,）=一加*中G,D+jvG,無如G‘，t）d3xr（1）dt2mX1求幾率守恒對(duì)非定域勢(shì)的要求。此時(shí)，只依賴于波函數(shù)中在空間一點(diǎn)的幾率波是否存在？［解］按題意，是要求寫出幾率守恒的條件，從這個(gè)條件尋出V（x,/）應(yīng)當(dāng)遵守的要求。幾率守恒的條件是：r）—iff平*中刁3尤=0dt（Q甲合中*\或中*+d3xr=0\dtdt\Q與［13］題類似，可寫出［1］的共軸方程式：*中*G,t）+inu*G,義）p*Gp況3/（3）dt2mx，'將⑴和［3］中的聲和虧想等同的式子代入到⑵式中去，就得到如下的條件:-hJJJ^P*02W—W02中J/3X+—TOC\o"1-5"\h\z2mihiQIffw*G,無加Go。一1?G,元X*G:1）日3尤日3寸=0Qxfxf將前式等號(hào)左方第一項(xiàng)變成面積分［高斯定理］,第二項(xiàng)變成六重積分：ff（p*v中-W0W*）在+42mihi（4）iTG,鏟知G:J-wG,tU無，卻*G，,t\d^x-d^x'=0OV前式等號(hào)左方第一項(xiàng)由于波函數(shù)平方可積條件（中*T。，中Of。當(dāng)XT8時(shí)）可消去,因wG,f）和wG',0形式相同,XX’對(duì)易：(5)wn?*G,》Lg,f）-v*G,無，i^pG,「）*3X?』3寸=0(5)。尤'這積分式定積分，它等于零的可能性要求被積函數(shù)為零，艮KvG,”=.*G,xO因此vG,無'）必須是無，無'實(shí)函數(shù)。#［15］寫出動(dòng)量表象中的薛定諤方程式。［解］本題可有二中［A］含時(shí)間薛定諤方程式，［B］定態(tài)薛定諤方程式。［A］寫出含時(shí)間薛氏方程式：如岑一土v2中+uG知為將前式變換成動(dòng)量表象，可寫出含時(shí)間的表象變換式：中G，t）=—-X—jjjwG，t）eip-x/力d3p

\2nh）3/2Tw（p，t）=一jjj中G，t，頁-x/hd3x喝力力/2T（1）（2）（3）為了能用（3）變換（1）式，將（1）式遍乘—廠」e頃項(xiàng)/h9兀h力/2對(duì)空間積分:10h、/2

—ip-x/hd3x一h212m0h札jjjv2中e-ip一h212m0h札1(2兀hB2—ip-x/hd3x^左方變形hi^(kJB*W(x，te—p-x/hd3xdtEh力/2=hi—V(p，t)所等號(hào)右方第一積分是可以用三重積分的分部積分來變形的，這式寫成標(biāo)量:<Yei.x+pyy+pzz)/hdxdydz—1h2。2合2合2<Yei.x+pyy+pzz)/hdxdydzjjj3ei(px+py+pz)/hdxdydzdx2zyxei^pxx+pyy+pzZ)/hdydz8dydz-s=ei（pxx+pyy+pzz）/力8dydz-sxy^—e'Cxx+pyy+pzz）方dxdydzdx'=-^xjjje'1（Pxx+p）,y+Pzz）/力dxdydz力zyx8dydz-8=—-P^jj中e'1（pxx+pyy+pzz）/力力xy+（蟲^）2fffe'1（Pxx+Pyy+Pzz）/力理dxdydz力8dydz-8jjjei（pxx+pyy+pzz）/hWdxdydz加zyxd2d2關(guān)于d^的積分按同法計(jì)算，（5）式的結(jié)果是/1、.土項(xiàng)-（2兀h、/22m

W（x,t》-ip-x/hdxdydz=當(dāng)jjj呂2m也兀h力/=§（p,t）再計(jì)算（4）式右方第二積分-f_J-r—jjjV（x）W（x，te-ip'-x/hd3x也兀h）3/2TjjjvGijJU'，te-ip'-x/hd3pf]喝h）3/2TTpe-ip-x/hd3x=—^—jjjw（p'，t）[fffvG^i（p-p）-x/hd3x]d3p'2兀hTpT（7）=jjjG（p，p'）-v（pf，t）d3（7）Tp

但最后一個(gè)積分中G(p,p')三一!一jjjV(x-i(P'-p)-x/力d3x2兀hT指坐標(biāo)空間，Tp指動(dòng)量相空間，最后將（4）（6）（7）綜合起來就得到動(dòng)量表象的積分方程式如下：五i^~W（p，t）="^wG，t）+jjjG（p，p'，（p'，t）d3p'⑻dt2mT

p若要將定態(tài)薛定諤方程式從坐標(biāo)表象變成動(dòng)量表象，運(yùn)算步驟和上面只有很少的差別，設(shè)粒子能量為E，坐標(biāo)表象的薛氏方程：V2wG)+E-V(x)!pG)=02m動(dòng)量表象方程也是積分方程式，其中G（p，p'）是這個(gè)方程式的核（Kernel）-w（p）+Ew（p）-iffG（p，p，W（p，，t）d2p'=0（9）2mTp#[16]*設(shè)在曲線坐標(biāo)（q1q2q3）中線元ds表為ds2=g.dqidqk寫出這曲線坐標(biāo)中的薛定諤方程式，寫出球面坐標(biāo)系中的薛定諤方程式。一8x一8x一dx（解）dx=—dq1+—dq2+—同樣關(guān)于y,z有類似的二式。（這里為書寫方便q的上11±273標(biāo)改成下標(biāo)。）*參看Amer.J.Phys.V>l.41.1973-11ds2=dx2+dy2+dz2=8x——"8qJ+?Idq2dq222ox—

l°q3Jds2=dx2+dy2+dz2=8x——"8qJ+?Idq2dq222ox—

l°q3J+件J2

l°q3)+1圭Il°q3Jdq23OqOqOqOqOqOq121-121212」

dqdq2323+2dxdx+dydy

dqdqdqdqdz+8q8qdqdq31zdxdxx令g，k=Z（—^—）為坐標(biāo)變換系數(shù):xyzik設(shè)沿曲線坐標(biāo)等勢(shì)面的單位矢量是a1,agrad-=V-=竺i+d-

dx7+d-kdqdq2323+2dxdx+dydy

dqdqdqdqdz+8q8qdqdq31zdxdxx令g，k=Z（—^—）為坐標(biāo)變換系數(shù):xyzik設(shè)沿曲線坐標(biāo)等勢(shì)面的單位矢量是a1,agrad-=V-=竺i+d-

dx7+d-kdydza8中—1gu8q1+g22dq2d-+里V-g33dq3[a122V2-=div(grad-)=一g11d+——dq2代入直角坐標(biāo)薛定諤方程式:ggdqgdq22331111-[皿d-d——]+一「g-[―11gdqdqg3312223gao.1[g^3竺]33d中T-]}dq3(1)2mggg8q1122331[工

g11d-]+二[dqdqd「ggd-A-]dq2+—[g11g22竺-]}+V,(qqq加(qdq3g33dq2'qt)=—{x(qqq)y(qqq)z(qqq)t}23123123123Vr=V{x(qq2qj...}1一2一3-1%%(2)在球坐標(biāo)情形x=rsin0cosW，y=rsin0sinw，z=rcos0式正交坐標(biāo)系g22if]g333z3w2=rsin0代入后得"3W‘hi—3t化簡得3"

hi—3th2f3(3W'[{—Ir2—~2mr23rk3r)+二打竺]sin203叭3w)sin0303W，\瀝0日#[17g22if]g333z3w2=rsin0代入后得"3W‘hi—3t化簡得3"

hi—3th2f3(3W'[{—Ir2—~2m