概率論與數(shù)理統(tǒng)計-理工類簡明版-2-4課件

連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)負可積函數(shù)使得對任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量，稱的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù).的性質(zhì)，由定義及分布函數(shù)(1)(2)存在非易見概率密度具有下列性質(zhì)：注：上述性質(zhì)有明顯的幾何意義.連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)負可積1連續(xù)型隨機變量及其概率密度(1)(2)易見概率密度具有下列性質(zhì)：注：上述性質(zhì)有明顯的幾何意義.反之，可證一個函數(shù)若滿足上述性質(zhì)，則該函數(shù)一定可以作為某一連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).完連續(xù)型隨機變量及其概率密度(1)(2)易見概率密度具有下列2連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)1.對一個連續(xù)型隨機變量若已知其密度函數(shù)則概據(jù)定義，可求得其分布函數(shù)同時，還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率：2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)1.對一個連續(xù)型隨機變量若已知其3連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率故對連續(xù)型隨機變量有為0.3.若在點處連續(xù)，則(1)連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值4連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)3.若在點處連續(xù)，則(1)由定義和積分上限函數(shù)導數(shù)公式即得，由(1)式得：(2)可將上式理解為：在點的密度恰好是落在區(qū)間上的概率之比的極限(比與區(qū)間長度連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)3.若在點處連續(xù)，則(1)由定義5連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)在點的密度恰好是落在區(qū)間上的概率之比的極限(比與區(qū)間長度較線密度的定義）.由(2)式，若不計高階無窮小，則有即，落在小區(qū)間上的概率近似等于完連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)在點的密度恰好是落在區(qū)間上的概率6例1設隨機變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù)解當當例1設隨機變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù)解當當7解當當當故完解當當當故完8例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)(2)求的分布函數(shù)(3)求完例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)(2)求的分布函數(shù)(9例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)解由得解得于是的概率密度為例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)解由得解得于是的概率10解由得解得于是的概率密度為其它.完解由得解得于是的概率密度為其它.完11例2設隨機變量具有概率密度(2)求的分布函數(shù)解的分布函數(shù)為例2設隨機變量具有概率密度(2)求的分布函數(shù)解的分布函數(shù)為12解.完解.完13例2設隨機變量具有概率密度(3)求解例2設隨機變量具有概率密度(3)求解14例2設隨機變量具有概率密度(3)求解或完例2設隨機變量具有概率密度(3)求解或完15例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(1)概率(2)的密度函數(shù).解由連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì),有(1)(2)的密度函數(shù)為例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(1)概率(2)的密度函數(shù).解由16例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(2)的密度函數(shù).解(2)的密度函數(shù)為完例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(2)的密度函數(shù).解(2)的密度17均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它易見，記為上服從均勻分布，則稱在區(qū)間注：在區(qū)間上服從均勻分布的隨機變量其取值落在中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的，且與子區(qū)間的和度成正比.事實上，子區(qū)間任取均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它易見，記為上服從18均勻分布是相同的，且與子區(qū)間的和度成正比.事實上，子區(qū)間任取易求得的分布函數(shù)完均勻分布是相同的，且與子區(qū)間的和度成正比.事實上，子區(qū)間任取19例4某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45等時刻有汽車到達此站,如果乘客到達此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解以7:00為起點0,以分為單位,依題意例4某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即20解以7:00為起點0,以分為單位,依題意為使候車時間少于5分鐘,乘客必須在7:10到7:15之間,或在7:25到7:30之間到達車站,故所求概率為即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.完解以7:00為起點0,以分為單位,依題意為使候車時間少21指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為其中則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，簡記為易見，的幾何圖形如圖.注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間，例如，乘客在公交指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為其中則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分22指數(shù)分布注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間，例如，乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等，易求得的分布其它服從指數(shù)分布的隨機變量具有無記憶性，有因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應用.函數(shù)即對任意()*指數(shù)分布注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間，例如23指數(shù)分布服從指數(shù)分布的隨機變量具有無記憶性，有即對任意()*若表示某一元件的壽命，使用了小時，它總共能使用至少則式表明：()*已知元件指數(shù)分布服從指數(shù)分布的隨機變量具有無記憶性，有即對任意(24指數(shù)分布若表示某一元件的壽命，使用了小時，它總共能使用至少則式表明：()*已知元件概率與從開始使用時算起率相等，一性質(zhì)是指數(shù)分布具有廣泛應用的重要原因.即元件對它使用過小時沒有記憶,完它至少能使用小時的概具有這小時的條件指數(shù)分布若表示某一元件的壽命，使用了小時，它總共能使用至少則25例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解由題設知,的分布函數(shù)為由此得到各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數(shù),例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件26例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數(shù),所求概率為則完例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件27正態(tài)分布定義若隨機變量的概率密度為其中和都是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記為易見，又利用泊松積分參見相關(guān)知識點①易證，正態(tài)分布定義若隨機變量的概率密度為其中和都是常數(shù)，則稱服從參28正態(tài)分布易證，注：正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布，在十九世紀前葉由高斯加以推廣，故又常稱為高斯分布.一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而其中每一個因素都不起主導作用，正態(tài)分布易證，注：正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布，在十29正態(tài)分布一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而其中每一個因素都不起主導作用，則它服從正態(tài)分布.例如，產(chǎn)品的質(zhì)量指標，元件的尺寸，某地區(qū)成年男子的身高、體重，測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差，信號噪聲，農(nóng)作物的產(chǎn)量等等都服從或近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的圖形特征完正態(tài)分布一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而30正態(tài)分布的圖形特征1.密度曲線關(guān)于對稱；2.曲線當時達到最大值3.曲線在處有拐點且以正態(tài)分布的圖形特征1.密度曲線關(guān)于對稱；2.曲線當時達到最大31正態(tài)分布的圖形特征3.曲線在處有拐點且以軸為漸近線；4.確定了曲線中峰的陡峭程度.的分布函數(shù)：完正態(tài)分布的圖形特征3.曲線在處有拐點且以軸為漸近線；4.確定32標準正態(tài)分布正態(tài)分布當時稱為標準正態(tài)分布，此時，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.標準正態(tài)分布正態(tài)分布當時稱為標準正態(tài)分布，此時，其密度函數(shù)和33標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.定理設則而對標準正態(tài)分布的函數(shù)人們利用的近似計算方法計算求出其近似值，并編制了標準正態(tài)分布表.完標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布34定理設則證明的分布函數(shù)為所以證畢.完定理設則證明的分布函數(shù)為所以證畢.完35標準正態(tài)分布表的使用1.表中給出了時的數(shù)值，當時，利用正態(tài)分布的對稱性(如下圖)，易見有2.若則標準正態(tài)分布表的使用1.表中給出了時的數(shù)值，當時，利用正態(tài)分36標準正態(tài)分布表的使用2.若則3.若則故的分布函數(shù)完標準正態(tài)分布表的使用2.若則3.若則故的分布函數(shù)完37例6設求解這里故查表得0.9772;例6設求解這里故查表得0.9772;38例6設求解￡<6.10{XP};3094.0=完例6設求解￡<6.10{XP};3094.0=完39準則設則同理，如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是準則設則同理，如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是40準則如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是但它的值幾乎全部集中在范圍的可能性僅占不到此為0.3%.這在統(tǒng)計學上稱為準則(三倍標準差原則).超出這個完準則如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是但它的值幾乎全部集中在41例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線應定為多少?解設獲獎分數(shù)線為立的即則求使成例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線42例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線應定為多少?解設獲獎分數(shù)線為立的即則求使成查表得解得定為78分.故分數(shù)線可完例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線43例8解假設某地區(qū)成年男性的身高(單位:厘米)求該地區(qū)成年男性的身高超過厘米的概率.根據(jù)假設且表示該地區(qū)成年男性的身高超過厘米,可得完例8解假設某地區(qū)成年男性的身高(單位:厘米)求該地區(qū)成年男性44例9在電源電壓不超過200伏,在200~240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設電源電壓服從正態(tài)分布試求:(1)該電子元件損壞的概率(2)該電子元件損壞時,電源電壓在200~240伏的概率解引入事件{電壓不超過200伏},{電壓不超過200~240伏},例9在電源電壓不超過200伏,在200~240伏和超45解引入事件{電壓不超過200伏},{電壓不超過200~240伏},{電壓超過240伏};{電子元件損壞}.由條件知因此252525解引入事件{電壓不超過200伏},{電壓不超過200~46解252525解25252547解(1)由題設條件,于是由全概率公式,有(2)由貝葉斯公式,有完解(1)由題設條件,于是由全概率公式,有(2)由貝葉斯公式,48例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根據(jù)假設記表示螺栓為合格品.則解于是規(guī)定螺服從參數(shù)的正態(tài)分布.內(nèi)為合格品,栓長度在試求螺栓為合例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根49例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根據(jù)假設記表示螺栓為合格品.則解于是規(guī)定螺服從參數(shù)的正態(tài)分布.內(nèi)為合格品,栓長度在試求螺栓為合即螺栓為合格品的概率等于0.9544.完例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根50內(nèi)容小結(jié)1.如果對隨機變量的分布函數(shù)存在非負可積函數(shù)使得對于任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量,稱為的概率密度函數(shù).連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.常用連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布標準正態(tài)分布內(nèi)容小結(jié)1.如果對隨機變量的分布函數(shù)存在非負可積函數(shù)使得對于51內(nèi)容小結(jié)2.常用連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布標準正態(tài)分布其中正態(tài)分布應用極為廣泛,在本課程中我們一直要和它打交道.在第4章中,還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象完都近似服從正態(tài)分布.內(nèi)容小結(jié)2.常用連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布標準正態(tài)分52連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)非負可積函數(shù)使得對任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量,度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).存在稱的概率密為基本性質(zhì):1.對一個連續(xù)型隨機變量2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)非負可53連續(xù)型隨機變量及其概率密度基本性質(zhì):1.對一個連續(xù)型隨機變量2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.3.若在點處連續(xù),則(1)4.落在小區(qū)間上的概率近似等于即,(2)完連續(xù)型隨機變量及其概率密度基本性質(zhì):1.對一個連續(xù)型隨機變量54均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它記為上則稱在區(qū)間注：在區(qū)間上其取值落在中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的,且與子區(qū)間的長度成正比.服從均勻分布,服從均勻分布的隨機變量均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它記為上則稱在區(qū)間55均勻分布的分布函數(shù)完注：在區(qū)間上其取值落在中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的,且與子區(qū)間的長度成正比.服從均勻分布的隨機變量均勻分布的分布函數(shù)完注：在區(qū)間上其取值落在中任意等長度的子區(qū)56指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布,簡記為注：指數(shù)分布常用來描述時間,例如,乘客在公交車站等車的時間,其它,元件的壽命等,的分布函數(shù)因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應用.電子對某一事件發(fā)生的等待指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布,57指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布,簡記為其它,的分布函數(shù)服從指數(shù)分布的隨機變量具有無記憶性,有即對其它,完任意指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布,58正態(tài)分布定義若隨機變量的概率密度為其中和都是常數(shù),則稱服從參數(shù)記為注：正態(tài)分布是概率論中在十九世紀前葉由高斯加以推廣,故又常稱為高斯分布.研究表明:一個隨機變量如果受到大量獨立因素的影響則它一般服從正態(tài)分布.(無主導因素),和的正態(tài)分布,為最重要的連續(xù)型分布,正態(tài)分布定義若隨機變量的概率密度為其中和都是常數(shù),則稱服從參59正態(tài)分布注：正態(tài)分布是概率論中在十九世紀前葉由高斯加以推廣,故又常稱為高斯分布.研究表明:一個隨機變量如果受到大量獨立因素的影響則它一般服從正態(tài)分布.(無主導因素),最重要的連續(xù)型分布,例如,產(chǎn)品的質(zhì)量指標,元件的尺寸,年男子的身高、體重,測量誤差,平或垂直偏差,信號噪聲等等,從正態(tài)分布.正態(tài)分布的圖形特征某地區(qū)成射擊目標的水都服從或近似服完正態(tài)分布注：正態(tài)分布是概率論中在十九世紀前葉由高斯加以推廣,60正態(tài)分布的圖形特征1.密度曲線關(guān)于對稱；2.曲線當時達到最大值3.曲線在處有拐點且以軸為漸近線;4.確定了曲線的位置,確定了曲線中峰的陡峭程度.的分布函數(shù)：完正態(tài)分布的圖形特征1.密度曲線關(guān)于對稱；2.曲線當時達到最大61標準正態(tài)分布正態(tài)分布當時稱為標準正態(tài)分布，此時，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.標準正態(tài)分布正態(tài)分布當時稱為標準正態(tài)分布，此時，其密度函數(shù)和62標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.定理設則而對標準正態(tài)分布的函數(shù)人們利用的近似計算方法計算求出其近似值，并編制了標準正態(tài)分布表.完標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布63標準正態(tài)分布表的使用1.2.若則3.若則故的分布函數(shù)標準正態(tài)分布表的使用1.2.若則3.若則故的分布函數(shù)64標準正態(tài)分布表的使用3.若則故的分布函數(shù)完標準正態(tài)分布表的使用3.若則故的分布函數(shù)完65課堂練習1.已知求2.某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布已經(jīng)其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概念均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?完課堂練習1.已知求2.某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布已經(jīng)66練習解答1.已知求解練習解答1.已知求解67練習解答1.已知求解練習解答1.已知求解68練習解答1.已知求解完練習解答1.已知求解完69練習解答2.某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布已經(jīng)其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概念均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?解由根據(jù)密度函數(shù)關(guān)于對稱,有又由查表得于是練習解答2.某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布已經(jīng)其壽命在270練習解答解由根據(jù)密度函數(shù)關(guān)于對稱,有又由查表得于是故又即查表得于是完練習解答解由根據(jù)密度函數(shù)關(guān)于對稱,有又由查表得于是故又即查表71連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)負可積函數(shù)使得對任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量，稱的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù).的性質(zhì)，由定義及分布函數(shù)(1)(2)存在非易見概率密度具有下列性質(zhì)：注：上述性質(zhì)有明顯的幾何意義.連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)負可積72連續(xù)型隨機變量及其概率密度(1)(2)易見概率密度具有下列性質(zhì)：注：上述性質(zhì)有明顯的幾何意義.反之，可證一個函數(shù)若滿足上述性質(zhì)，則該函數(shù)一定可以作為某一連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).完連續(xù)型隨機變量及其概率密度(1)(2)易見概率密度具有下列73連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)1.對一個連續(xù)型隨機變量若已知其密度函數(shù)則概據(jù)定義，可求得其分布函數(shù)同時，還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率：2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)1.對一個連續(xù)型隨機變量若已知其74連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率故對連續(xù)型隨機變量有為0.3.若在點處連續(xù)，則(1)連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值75連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)3.若在點處連續(xù)，則(1)由定義和積分上限函數(shù)導數(shù)公式即得，由(1)式得：(2)可將上式理解為：在點的密度恰好是落在區(qū)間上的概率之比的極限(比與區(qū)間長度連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)3.若在點處連續(xù)，則(1)由定義76連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)在點的密度恰好是落在區(qū)間上的概率之比的極限(比與區(qū)間長度較線密度的定義）.由(2)式，若不計高階無窮小，則有即，落在小區(qū)間上的概率近似等于完連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)在點的密度恰好是落在區(qū)間上的概率77例1設隨機變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù)解當當例1設隨機變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù)解當當78解當當當故完解當當當故完79例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)(2)求的分布函數(shù)(3)求完例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)(2)求的分布函數(shù)(80例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)解由得解得于是的概率密度為例2設隨機變量具有概率密度(1)確定常數(shù)解由得解得于是的概率81解由得解得于是的概率密度為其它.完解由得解得于是的概率密度為其它.完82例2設隨機變量具有概率密度(2)求的分布函數(shù)解的分布函數(shù)為例2設隨機變量具有概率密度(2)求的分布函數(shù)解的分布函數(shù)為83解.完解.完84例2設隨機變量具有概率密度(3)求解例2設隨機變量具有概率密度(3)求解85例2設隨機變量具有概率密度(3)求解或完例2設隨機變量具有概率密度(3)求解或完86例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(1)概率(2)的密度函數(shù).解由連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì),有(1)(2)的密度函數(shù)為例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(1)概率(2)的密度函數(shù).解由87例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(2)的密度函數(shù).解(2)的密度函數(shù)為完例3設隨機變量的分布函數(shù)為求(2)的密度函數(shù).解(2)的密度88均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它易見，記為上服從均勻分布，則稱在區(qū)間注：在區(qū)間上服從均勻分布的隨機變量其取值落在中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的，且與子區(qū)間的和度成正比.事實上，子區(qū)間任取均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它易見，記為上服從89均勻分布是相同的，且與子區(qū)間的和度成正比.事實上，子區(qū)間任取易求得的分布函數(shù)完均勻分布是相同的，且與子區(qū)間的和度成正比.事實上，子區(qū)間任取90例4某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45等時刻有汽車到達此站,如果乘客到達此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解以7:00為起點0,以分為單位,依題意例4某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即91解以7:00為起點0,以分為單位,依題意為使候車時間少于5分鐘,乘客必須在7:10到7:15之間,或在7:25到7:30之間到達車站,故所求概率為即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.完解以7:00為起點0,以分為單位,依題意為使候車時間少92指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為其中則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，簡記為易見，的幾何圖形如圖.注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間，例如，乘客在公交指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為其中則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分93指數(shù)分布注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間，例如，乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等，易求得的分布其它服從指數(shù)分布的隨機變量具有無記憶性，有因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應用.函數(shù)即對任意()*指數(shù)分布注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間，例如94指數(shù)分布服從指數(shù)分布的隨機變量具有無記憶性，有即對任意()*若表示某一元件的壽命，使用了小時，它總共能使用至少則式表明：()*已知元件指數(shù)分布服從指數(shù)分布的隨機變量具有無記憶性，有即對任意(95指數(shù)分布若表示某一元件的壽命，使用了小時，它總共能使用至少則式表明：()*已知元件概率與從開始使用時算起率相等，一性質(zhì)是指數(shù)分布具有廣泛應用的重要原因.即元件對它使用過小時沒有記憶,完它至少能使用小時的概具有這小時的條件指數(shù)分布若表示某一元件的壽命，使用了小時，它總共能使用至少則96例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解由題設知,的分布函數(shù)為由此得到各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數(shù),例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件97例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.解各元件的壽命是否超過1000小時是獨立的,用表示三個元件中使用1000小時損壞的元件數(shù),所求概率為則完例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其參數(shù)求3個這樣的元件98正態(tài)分布定義若隨機變量的概率密度為其中和都是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記為易見，又利用泊松積分參見相關(guān)知識點①易證，正態(tài)分布定義若隨機變量的概率密度為其中和都是常數(shù)，則稱服從參99正態(tài)分布易證，注：正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布，在十九世紀前葉由高斯加以推廣，故又常稱為高斯分布.一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而其中每一個因素都不起主導作用，正態(tài)分布易證，注：正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布，在十100正態(tài)分布一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而其中每一個因素都不起主導作用，則它服從正態(tài)分布.例如，產(chǎn)品的質(zhì)量指標，元件的尺寸，某地區(qū)成年男子的身高、體重，測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差，信號噪聲，農(nóng)作物的產(chǎn)量等等都服從或近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的圖形特征完正態(tài)分布一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而101正態(tài)分布的圖形特征1.密度曲線關(guān)于對稱；2.曲線當時達到最大值3.曲線在處有拐點且以正態(tài)分布的圖形特征1.密度曲線關(guān)于對稱；2.曲線當時達到最大102正態(tài)分布的圖形特征3.曲線在處有拐點且以軸為漸近線；4.確定了曲線中峰的陡峭程度.的分布函數(shù)：完正態(tài)分布的圖形特征3.曲線在處有拐點且以軸為漸近線；4.確定103標準正態(tài)分布正態(tài)分布當時稱為標準正態(tài)分布，此時，其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.標準正態(tài)分布正態(tài)分布當時稱為標準正態(tài)分布，此時，其密度函數(shù)和104標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.定理設則而對標準正態(tài)分布的函數(shù)人們利用的近似計算方法計算求出其近似值，并編制了標準正態(tài)分布表.完標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布105定理設則證明的分布函數(shù)為所以證畢.完定理設則證明的分布函數(shù)為所以證畢.完106標準正態(tài)分布表的使用1.表中給出了時的數(shù)值，當時，利用正態(tài)分布的對稱性(如下圖)，易見有2.若則標準正態(tài)分布表的使用1.表中給出了時的數(shù)值，當時，利用正態(tài)分107標準正態(tài)分布表的使用2.若則3.若則故的分布函數(shù)完標準正態(tài)分布表的使用2.若則3.若則故的分布函數(shù)完108例6設求解這里故查表得0.9772;例6設求解這里故查表得0.9772;109例6設求解￡<6.10{XP};3094.0=完例6設求解￡<6.10{XP};3094.0=完110準則設則同理，如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是準則設則同理，如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是111準則如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是但它的值幾乎全部集中在范圍的可能性僅占不到此為0.3%.這在統(tǒng)計學上稱為準則(三倍標準差原則).超出這個完準則如圖，盡管正態(tài)隨機變量的取值范圍是但它的值幾乎全部集中在112例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線應定為多少?解設獲獎分數(shù)線為立的即則求使成例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線113例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線應定為多少?解設獲獎分數(shù)線為立的即則求使成查表得解得定為78分.故分數(shù)線可完例7設某項競賽成績?nèi)舭磪①惾藬?shù)的10%發(fā)獎,問獲獎分數(shù)線114例8解假設某地區(qū)成年男性的身高(單位:厘米)求該地區(qū)成年男性的身高超過厘米的概率.根據(jù)假設且表示該地區(qū)成年男性的身高超過厘米,可得完例8解假設某地區(qū)成年男性的身高(單位:厘米)求該地區(qū)成年男性115例9在電源電壓不超過200伏,在200~240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設電源電壓服從正態(tài)分布試求:(1)該電子元件損壞的概率(2)該電子元件損壞時,電源電壓在200~240伏的概率解引入事件{電壓不超過200伏},{電壓不超過200~240伏},例9在電源電壓不超過200伏,在200~240伏和超116解引入事件{電壓不超過200伏},{電壓不超過200~240伏},{電壓超過240伏};{電子元件損壞}.由條件知因此252525解引入事件{電壓不超過200伏},{電壓不超過200~117解252525解252525118解(1)由題設條件,于是由全概率公式,有(2)由貝葉斯公式,有完解(1)由題設條件,于是由全概率公式,有(2)由貝葉斯公式,119例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根據(jù)假設記表示螺栓為合格品.則解于是規(guī)定螺服從參數(shù)的正態(tài)分布.內(nèi)為合格品,栓長度在試求螺栓為合例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根120例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根據(jù)假設記表示螺栓為合格品.則解于是規(guī)定螺服從參數(shù)的正態(tài)分布.內(nèi)為合格品,栓長度在試求螺栓為合即螺栓為合格品的概率等于0.9544.完例10格品的概率.已知某臺機器生產(chǎn)的螺栓長度(單位:厘米)根121內(nèi)容小結(jié)1.如果對隨機變量的分布函數(shù)存在非負可積函數(shù)使得對于任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量,稱為的概率密度函數(shù).連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.常用連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布標準正態(tài)分布內(nèi)容小結(jié)1.如果對隨機變量的分布函數(shù)存在非負可積函數(shù)使得對于122內(nèi)容小結(jié)2.常用連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布標準正態(tài)分布其中正態(tài)分布應用極為廣泛,在本課程中我們一直要和它打交道.在第4章中,還將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象完都近似服從正態(tài)分布.內(nèi)容小結(jié)2.常用連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布標準正態(tài)分123連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)非負可積函數(shù)使得對任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機變量,度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).存在稱的概率密為基本性質(zhì):1.對一個連續(xù)型隨機變量2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義如果對隨機變量的分布函數(shù)非負可124連續(xù)型隨機變量及其概率密度基本性質(zhì):1.對一個連續(xù)型隨機變量2.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.3.若在點處連續(xù),則(1)4.落在小區(qū)間上的概率近似等于即,(2)完連續(xù)型隨機變量及其概率密度基本性質(zhì):1.對一個連續(xù)型隨機變量125均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它記為上則稱在區(qū)間注：在區(qū)間上其取值落在中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的,且與子區(qū)間的長度成正比.服從均勻分布,服從均勻分布的隨機變量均勻分布定義若連續(xù)型隨機變量的概率密度為其它記為上則稱在區(qū)間126均勻分布的分布函數(shù)完注：在區(qū)間上其取值落在中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的概率是相同的,且與子區(qū)間的長度成正比.服從均勻分布的隨機變量均勻分布的分布函數(shù)完注：在區(qū)間上其取值落在中任意等長度的子區(qū)127指數(shù)分布定義若隨機變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布,簡記為注：指數(shù)分布常用來描述時間,例如,乘客在公交車站等車的時間,其它,元件的壽命等,的分布函數(shù)因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應用.電子對某一事件發(fā)