上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1.已知在R/aABC中，ZC=90°，AC=3,8c=4,則tanA的值為（ ）-4 -3 -4A.- B." C.一 P."3 5 5.已知向量M和石都是單位向量，那么下列等式成立是（ ）A.a=b B.]+b=2 C.a-b=0 D.同=同.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）, ,A.y=~~~- 13.y=Vx2-2 c.y=x-2 P.x~-2y=（x-2）2-x24.將拋物線y=x2-3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線表達(dá)式是（）A.y=x2-\ B.y=x1-5 C.y=（x+2）2-3P.y=（x-2）--3$如圖，傳送帶和地面所成斜坡坡度i=l:2.4,如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過(guò)的路程是（）傳送帶////////////////////////A.10米 B.24米 C25米 D.26米6.如圖，在RSABC中，ZACB=90°,。是邊AB上一點(diǎn)，過(guò)。作。氏LA8交邊BC于點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AE,如果tanNE4C=—,S?cef=1,那么SM8c的值3B“ CFA.3 B.6 C.9 D.12二、填空題.如果=3:2,那么上一=.ci+b.計(jì)算：3萬(wàn)一；（2萬(wàn)一4日）=.q.如果拋物線y=》2—。經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）,那么。的值是.ro.如果拋物線y=（左+1）/有最高點(diǎn)，那么左取值范圍是.11.如果拋物線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（—2,0）和8（5,0）,那么該拋物線對(duì)稱(chēng)軸是直線.12..沿著x軸正方向看，拋物線>=/一2在y軸左側(cè)的部分是的（填“上升”或嚇降”）..點(diǎn)尸是線段AB上的一點(diǎn)，如果Ap2=8p.A8，那么大的值是.AB.已知VA8C:VAB'C,頂點(diǎn)A、B、C分別與頂點(diǎn)4,B'，C'對(duì)應(yīng)，AD、分別是3。、8'。'邊上的中線，如果BC=3,AD=2.4,ffC=2,那么A'D的長(zhǎng)是..如圖，AB//CD,AD>5c相交于點(diǎn)E,過(guò)E作防//CD交BD于點(diǎn)F,如果AB=3,CD=6,那么EE的長(zhǎng)是..如圖，梯形ABCD中，AD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,AD=4,BC=9,那么BO=.如圖，圖中提供了一種求cotl5°的方法，作R/aABC,使NC=90°,ZABC=30°,再延長(zhǎng)C8到點(diǎn)。，使80=84,聯(lián)結(jié)AO,即可得NO=15°,如果設(shè)AC=t,則可得CO=（2+JJ）r,那么cotl50=cot￡>=A*=2+G，運(yùn)用以上方法，可求得cot22.5°的值是..如圖，在RsABC,ZC=90°,AC=6,BC=8,。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊A5上，將aBQE沿直線。E翻折，使得點(diǎn)8落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)8'處，線段87）交邊A5于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)AB',當(dāng)aAB'/是直角三角形時(shí)，鴕的長(zhǎng)為.三、解答題.計(jì)算：——3n2呦 2sin60°.cot300-2cos45°1,2.0.已知二次函數(shù)的解析式為y=]X--2x.（1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y= +k的形式:（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖中所示的平面宜角坐標(biāo)系xOy內(nèi)描點(diǎn)，畫(huà)出該函2,如圖，在aABC中，點(diǎn)G是aABC的重心，聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)交邊AC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)G作GE//BC交邊AC于點(diǎn)E.（1）如果入月=￡,AC=b>用￡、B表示向量Bd；（2）當(dāng)AG_L8。，BG=6,NG4￡>=45°時(shí)，求AE的長(zhǎng).22.圖1是一款家用落地式取暖器，如圖2是其放置在地面上時(shí)側(cè)面示意圖，其中矩形ABC。是取暖器的主體，等腰梯形班下。是底座，BE=CF,烘干架連桿G”可繞邊CD上一點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，以調(diào)節(jié)角度，已知CZ）=50cm,BC=8cm,EF=20cm,DH=12cm,GH=\5cm,NCEE=30°,當(dāng)NGHO=53°時(shí)，求點(diǎn)G到地面的距離.（精確到0.1cm）【參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.80,cos53°=06（）,r?n53°?1.33,6之1.731

圖1圖123.如圖，在aABC中,點(diǎn)。、G在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，23.如圖，在aABC中,EGIIAB.AE、BD交于點(diǎn)F，BF=AG.（1）求證：ABFE?ACGE；（2）當(dāng)ZA￡G=NC時(shí)，求證：AB2=AGAC.2.4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(—1,0)、8(3,0)、C(0,3),拋物線y=ax2+bx+c A>B兩點(diǎn).(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式；(2)在(1)題的條件下，點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第三象限，當(dāng)NPBC=NACE時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；(3)如果拋物線曠=以2+灰+。的頂點(diǎn)。位于aBOC內(nèi)，求。的取值范圍.

r2s.如圖，在aABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,過(guò)點(diǎn)A作射線AA勿/8C,點(diǎn)。、E是射線AM上的兩點(diǎn)(點(diǎn)O不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在點(diǎn)。右側(cè))，連接30、BE分別交邊AC于點(diǎn)F、G,3BE=NC.(1)當(dāng)4￡)=1時(shí)，求F8的長(zhǎng)(2)設(shè)AO=x,FG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交邊8c于點(diǎn)如果△08〃是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出AO的長(zhǎng).上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題「I1.已知在R/aABC中，ZC=90°，AC=3,BC=4,則tanA的值為（「I3A.-4【答案】B【解析】【分析】銳角A的對(duì)邊a與鄰邊人的比叫做NA的正切，記作taM,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：在放aABC【詳解】解：在放aABC中,.“BC4??tanA==—AC3故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題時(shí)注意：在R/4ACB中,ZC=90°,貝lJtanA=3.b2.已知向量。和5都是單位向量，那么下列等式成立的是（ ）A.a=b B.a+b=2 C?a—b=0 D.向明【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量1和B都是單位向量，，可知I萬(wàn)1=底1=1，由此即可判斷.【詳解】解：A、向量1和區(qū)都是單位向量，但方向不一定相同，則斤=5不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.B、向量5和B都是單位向量，但方向不一定相同，則1+8=2不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.C、向量M和5都是單位向量，但方向不一定相同，則1一萬(wàn)=0不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.。、向量萬(wàn)和5都是單位向量，則屈|=區(qū)|=1，故本選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、單位向量，屬于概念題目，記住概念是解題的關(guān)鍵3.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）Ay=~i— B.y=Jx'—2 C.y=x~-2 D.x-2 Jy=（x-2）2-x2【答案】C【解析】【分析】形如y=ax2+bx+c6和），a,b,c是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)，b稱(chēng)為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，x為自變量，y為因變量，據(jù)此解題.【詳解】A.y=一一右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤：x—2y=Jf-2右邊是二次根式,不是整式，不是二次函數(shù)，故B錯(cuò)誤：y=f—2是二次函數(shù)，故C正確；y=（x—2）~—4x+4-爐=-4x+4是一次函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵..將拋物線y=x2-3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線表達(dá)式是（）Ay=x2-l B.y=x2-5 C.y=（x+2））-3D.y=（x-2卜3【答案】D【解析】【分析】先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y=f-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,再利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)規(guī)律得到點(diǎn)（0,-3）平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-3）,然后利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出平移后得到的拋物線的解析式.【詳解】解：???原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,，y=x2-3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-3）,二新拋物線表達(dá)式是y=（x-2）2-3.故答案為：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移；得到新拋物線的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)..如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過(guò)的路程是（）傳送帶////////////////////////A.10米 B.24米 C.25米 D.26米【答案】P【解析】【分析】根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案.【詳解】解：如圖，R E D由題意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,AE=10米，AE1BD,?I-,BE2.4，BE=24米，...在Rt/iABE中，AB=dAE?+BE2=26（米）?故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了坡度坡角問(wèn)題.此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意理解坡度的定義.6.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,。是邊A8上一點(diǎn)，過(guò)。作O凡LAB交邊BC于

點(diǎn)E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡聯(lián)結(jié)AE,如果tan/EAC=g,Sacef=1,那么S“8c的值是（ ）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)tanNE4C=—,可得幺='，由△"TsaABC，可得相似比為3AC3 3從而得到面積比為g,進(jìn)而求出答案.【詳解】；NACB=90。,???NBAC+NB=90°,JZADF=90°t???NBAC+N尸=90。，：?/B=/F,又；ZECF=NAC8=90。,:?△ECFs^ACB,ECCF

~AC~~BCECCF

~AC~~BC=tanZEAC=-3??7 -Q，°4ACB7又,**SaECF=1，??Saabc=9?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的意義，相似三角形的性質(zhì)和判斷，掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.二、填空題7.如果。：/?=3:2,那么 =.3【答案】-【解析】【分析】設(shè)a=3k,然后用k表示出b,最后代入一L計(jì)算即可.a+b【詳解】解：設(shè)a=3k■:a:b=3:23k：b=3：2>即3b=6k,解得b=2k?a3k_3k_3a+b3k+2k5k53故答案為一.5【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例化簡(jiǎn)求值，設(shè)出中間量、分別表示出a、b成為解答本題的關(guān)鍵.8.計(jì)算：3M-/（2萬(wàn)-4/?）=.【答案】2a+2b【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，從而可得答案.【詳解】解：3a--^2a-4b^=3a-a+2b=2a+2b.故答案為：2a+2石.【點(diǎn)睛】本題考查的向量的線性運(yùn)算，掌握向量的加，減，數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.q.如果拋物線y= 。經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）,那么。的值是.【答案】4【解析】【分析】將點(diǎn)（2,0）代入拋物線解析式y(tǒng)= 即可求得a的值.【詳解】解：?.?拋物線y=Y-a經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）,得：0=4a解得，a=4,故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，代入已知量即可求得未知量.ro.如果拋物線y=(Z+l)f有最高點(diǎn)，那么攵的取值范圍是.【答案】k<-\【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)>=(2+1)%2有最高點(diǎn)，得出拋物線開(kāi)口向下，即k+i<o,即可得出答案.詳解】解：???拋物線y=(&+l)f有最高點(diǎn)，二拋物線開(kāi)口向下，Ak+KO,?'<k<-1>故答案為：k<-\.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的最值與開(kāi)口方向的特點(diǎn).11.如果拋物線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)和8(5,0),那么該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線.【答案】%=12【解析】3【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得對(duì)稱(chēng)軸為直線x二2.2【詳解】??,拋物線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—2,0)和3(5,0),-2+53/.該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2故答案為：%=-.2【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的對(duì)稱(chēng)性，掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵..沿著x軸正方向看，拋物線y=/-2在y軸左側(cè)的部分是的(填“上升”或“下降”).【答案】下降【解析】【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，直觀判斷即可.【詳解】拋物線y=f—2的圖象如圖所示:可以看出，在y軸左側(cè)部分下降，故答案為：下降【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出正確圖象是解決問(wèn)題關(guān)鍵.AP.點(diǎn)P是線段A8上的一點(diǎn)，如果人尸=8「-45，那么——的值是.AB【答案】避二12【解析】AP【分析】設(shè)AB=1,AP=x,則BP=l-x,代入AP2=BP?AB求出x的值，最后代入——即AB可.【詳解】解:設(shè)AB=1,AP=x,則BP=l-x,；AP2=BP?AB.\x2=(1-x)?1,即x2+x-l=0,解得X=在/或x=T-6(舍)2 275-1/.APV5-1.~AB~-1-=2故答案為叵11.2【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，設(shè)出合適的未知數(shù)、根據(jù)比例列式求出未知數(shù)成為解答本題的關(guān)鍵.14.已知VA8C:NA!SC',頂點(diǎn)A、B、。分別與頂點(diǎn)A',B'，C'對(duì)應(yīng)，A。、A'。分別是8C、5'C'邊上的中線，如果8c=3，A￡>=2.4,8C=2,那么A。的長(zhǎng)是，Q【答案】-【解析】【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出相似比等于對(duì)應(yīng)邊上的中線的比進(jìn)而得出答案.【詳解】解：如圖，B D CVAABC^AAiBiCi,BC=3,AD=2.4,BCADan32.4 = 即一= B'CA'D'2A'D'oA'D'=~.5o故答案為：—.5【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，A'ffC=2,正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.1S.如圖，AB//CD,AD.5c相交于點(diǎn)E，AB=3,8=6,那么ER的長(zhǎng)是 .A, J.BJ過(guò)E作EF//CD交BD于點(diǎn)、F，如果【答案】2【解析】Ap4D3 1【分析】選證明人鉆叱△。？。得到?一=__利用比例性質(zhì)得到EDCD62DE2—=-,再證明砂〃A6,則可判斷△。瓦'saD43,然后利用相似比可得到DA3pp2——=一，問(wèn)題可解.AB3【詳解】解：?.?AB〃C￡),.?△ABEsADECAEAB31? 'ED~CD~6~2DE2? ?■——9DA3OEF//CD,AB//CD,UEFI/AB,.?△DEFsGAB，EFDE2TOC\o"1-5"\h\z? = =一ABAD3'2二EF=-AB=-x3=2,3故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形時(shí)，應(yīng)注意利用圖中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形.16.如圖，梯形ABC。中，AD//BC,NA=90。，ZfiDC=90°,AD=4,BC=9,那么B￡>=.B C【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意可知△ABDs/\dCB,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出答案.【詳解】解：在直角梯形ABC。中，VAD//BC,ZA=90。，ZBDC=90°,AZADB=ZDBC,ZA=ZBDC,.".△ADB^ADCB,.ADBDXVAD=4?BC=9,；.BD=6故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考察了直角梯形和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出△ABD^ADCB.17.如圖，圖中提供了一種求cotl5°的方法，作RhABC，使NC=90°,ZABC=30°,再延長(zhǎng)C8到點(diǎn)Q,使BD=H4,聯(lián)結(jié)AO，即可得"=15°,如果設(shè)AC=t,則可得CD=（2+Ji）/,那么cotl5°=cotO=C2=2+G，運(yùn)用以上方AC法，可求得cot22.5。的值是.【答案】V2+1【解析】【分析】作放aA5C,使NC=90°,Z4BC=45°,再延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。，使%>=84,聯(lián)結(jié)AO，即可得NO=22.5°,設(shè)AC=r,然后用t表示出CD,最后根據(jù)余切的定義作答即可.【詳解】解：如圖：作R/aABC,使NC=90°,ZABC=45°,再延長(zhǎng)CB到點(diǎn)O,使BD=BA,聯(lián)結(jié)40，即可得NO=22.5°設(shè)AC=t,則BC=t,AB=BD=V2t所以DC=BC+AB=t+&t=(1+&)t所以cot22.5°=生=i+5/2,ACt故答案為1+&.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數(shù)，構(gòu)造出含45。的直角三角形，再作輔助線得到22.5。角的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.工8.如圖，在RhABC，ZC=90°.AC=6,BC=8,。是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊ABh.將aBDE沿直線DE翻折，使得點(diǎn)B落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)8'處，線段8'￡>交邊AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AB',當(dāng)aAB'F是直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為.【答案】2或一17【解析】【分析】分兩種情況討論，當(dāng)NAq'=90。時(shí)，則4尸。=90°,利用銳角三角函數(shù)先求解。E，BF，B'F,設(shè)8E=x,再表示B'E,EF,再利用勾股定理求解x即可得到答案；當(dāng)NAB'F=90°時(shí)，如圖，連接AO，過(guò)E作四，8￡＞于H，先證明：Rt^ADC^ADB',再證明NADE=90。，設(shè)BE=5x,利用D8的銳角三角函數(shù)可得EH=3,BH=4x,DH=4—4x,AE=【詳解】解：?rAC=6,BC=8,ZC=：.AB=\Q,■■■。是8C的中點(diǎn)，：.BD=CD=B'D=4,當(dāng)NAFB'=90°時(shí)，則NBFD=90°.AB5DB：.DF=—,5BT=4--=-,55mc D B設(shè)BE=x,則 = EF=BF-x=—5:.x=2,即：BE=2.10-5x,利用勾股定理求解X可得答案.90。，—X,當(dāng)NAB'E=9()°時(shí)，如圖，連接AO,過(guò)E作E//JL6D于H，同理可得：8=3。=9￡>=4,?：AD=AD，ZC=90°.Rt?ADC^^ADB'(HL)：.ZADC=ZADB',?.ZBDE=4BDE，：.ZADB'+ZB'DE=90°=NAOE,設(shè)BE=5x,,DAC3EH由sin8==-= ,AB5BEEH—3x,BH=4x,.?.O”=4-4x,/.D￡：2=(3x)2+(4-4x)2,AE2=(1O-5x)2,AZ>2=62+42=52,.?.(10-5x)2=52+(3x)2+(4_旬2,當(dāng)N3'AF=90°,不合題意，舍去.40綜上：BE的長(zhǎng)為2或一.

40故答案為：2或.17【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論.三、解答題工?計(jì)算:-2sin60°.tai?45工?計(jì)算:-2sin60°.cot300-2cos45°【答案】72【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.j2x、6-1也【詳解】解：原式2亞2飛-垃【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.2.0.已知二次函數(shù)的解析式為y=gx2-2x.(1)用配方法把該二次函數(shù)解析式化為y=a(x+，〃)2+Z的形式:(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖中所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，畫(huà)出該函【答案】(【答案】(1)y=g(x-2)2-2；(2)見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）直接利用配方法即可把該二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式;（2）列表、描點(diǎn)、連線，畫(huà)出函數(shù)的圖象即可.【詳解】解：（1）y=^x2-2x=g（f-4x）1,=-(x-4x+4-4)=*-2)2_2【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象，正確掌握配方法以及畫(huà)二次函數(shù)圖象的步驟是解題關(guān)鍵.2L如圖，在aABC中，點(diǎn)G是aABC的重心，聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)BG并延長(zhǎng)交邊AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)G作GE//8C交邊AC于點(diǎn)E.（1）如果而=￡,AC=b-用￡、B表示向量8日；(2)當(dāng)AG_L8。，BG=6,NG4￡>=45°時(shí)，求AE的長(zhǎng).— 2 1- L【答案】(1)BG=—彳4+1方；(2)AE-4a/2?【解析】—> |—> —>2T【分析】(1)由G是重心，可得AO=]8,BG^-BD,因?yàn)閼?yīng))=啟+&>，可得—> —>1—>BD=-a+-b,進(jìn)而求出§3；(2)根據(jù)G是重心，求出。G=3,因?yàn)锳AG。是等腰直角三角形，勾股定理計(jì)算出4慶3亞，由A￡>=OC,DC=3DE求出DE=0,相加即可.【詳解】解：⑴1?1BD=BA+AD,?，點(diǎn)G是RdABC的重心，：.AD^^AC,??—>—>—>—>? = AC=bfAD=—a,2fT1T，BD=—a+-b2— 2T2-17BG=—BD=—(-a+3b),f2-1-BG=一一a+-b.3 3(2)???G是三角形的重心,；?BG=2GD,AD=DC,?：BG=6,:.GD=3,VAG.LBD,ZGAD=45\：,AG=GD=3fA￡>=732+32=3x/2>■:GEHBC,.DEGD\"~DC~~BD~3.?.OE=&,二AE=AD+DE=45/2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算、勾股定理解題是關(guān)鍵.22.圖1是一款家用落地式取暖器，如圖2是其放置在地面上時(shí)的側(cè)面示意圖，其中矩形ABC。是取暖器的主體，等腰梯形跳下。是底座，BE=CF,烘干架連桿G”可繞邊CO上一點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn)，以調(diào)節(jié)角度，己知C￡>=50c7”，BC=8c，n,EF=20cm,DH=\2cm,GH=\5cm,ZCFE=30°.當(dāng)NGHO=53°時(shí)，求點(diǎn)G到地面的距離.(精確到0.1cm)【參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.80,cos53°?06(),ran53°?1.33,6=1.73]圖1 圖2[答案】點(diǎn)G到地面的距離為50.5cm.【解析】【分析】過(guò)H作HRLAB,在RSHGR中，利用三角函數(shù)求出GR的長(zhǎng)，再根據(jù)RB=CH=DC-DH,求出RB長(zhǎng)，即可求出G到B的長(zhǎng)度，過(guò)C作CT_LEF,過(guò)B作BQ1EF,通過(guò)證明ABEQ四△CFT,得出EQ=FT,在RsCFT中，利用三角函數(shù)求出CT=BQ的長(zhǎng)，由GQ=GB+BQ即可求出答案；【詳解】解：如圖，過(guò)H作HRLAB,VZGHD=53°,且AB〃CD,.?.ZHGR=53°,在RtAHGR中，GR=cos53°xGH=cos53°x15=9,???GB=GR+RB=9+(50-12)=47,過(guò)C作CT_LEF,過(guò)B作BQ_LEF,貝ljNCTF=NBQE=90。,BE=CF,Z.ZE=ZF,.,.△BEQ^ACFT,AEQ=FTBQ=CT,*.*BC=8cm,EF=20cm,:.EQ=FT=6cm,在RSCFT中，ZCFT=30°,J3lCT=BQ=tan30°xFT=-x6=273，GQ=GB+BQ=47+273=47+2x1.73=50.46?50.5(cm),答：點(diǎn)G到地面的距離約為50.5cm.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、銳角三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)值求線段長(zhǎng).23.如圖，在aABC中，點(diǎn)。、G在邊AC上，點(diǎn)、E在邊BC上,DB=DC,EGIIAB■AE、BD交于點(diǎn)F,BF=AG.(1)求證：ABFERCGE；(2)當(dāng)NAEG=NC時(shí)，求證：AB2=AGAC.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】CCiC?E【分析】（1）由EG〃AB易證△CGEs/\CAB,由性質(zhì)得J=—匕由比例性質(zhì)得CACB—,由已知BF=AG比例式變?yōu)橄x(chóng)=笠，由已知￡出=。。，利用等邊對(duì)等角AGBE BFBE得NFBE=ZGCE,利用兩邊成比例夾角相等知/\BFE^/\CGE；（2）由EG//AB,利用性質(zhì)內(nèi)錯(cuò)角相等NBAE=NAEG,由已知NA￡G=NC,推出ABBEZBAE=ZC,又NABE=NCBA共用，可證aABEs/\CBA,由性質(zhì)一=—,BCABZBEA=ZBAC,把比例變等積得AB?=BC?BE，由（1）利用性質(zhì)NBEF=NCEG,ZBFE=ZCGE,推出NBAC=/GEC=NABC=NEGC,利用等角對(duì)等邊得AC=BC,GC=EC,利用等量代換得AG=BE,可證Afi2=AC?AG.【詳解】（1）EG//AB,.,.ZCGE=ZCAB,ZCEG=ZCBA,.,.△CGE^ACAB,.CGCE**C^-CB'?CG_CE即CG_CE',CA-CGCB-CEAGBE'BF=AGCGCE?一?? ,BFBE；DB=DC,/.ZDBC=ZDCB,B[JZFBE=ZGCE,ABFEsACGE,(2),/EG!/AB,.,,ZBAE=ZAEG,，NBAE=NC,又,.?/ABE=NCBA共用,/.△ABE^ACBA,ABBE—=—,ZBEA=ZBAC,BCABab2=bc.be,由⑴△BFEs/\CGE,ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,??EG//AB,?.ZABC=ZGEC,ZBAC=ZEGC,ZBAC=ZGEC=ZABC=ZEGC,,.AC=BC,GC=EC,\AG=BE,AB2=BC.BE=AC.AG.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)利用換比的方法證三角形相似，會(huì)利用相似證角等轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(—1,0)、8(3,0)、C(0,3),拋物線y=ox?+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式；(2)在(1)題的條件下，點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第三象限，當(dāng)NP8C=NACB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：(3)如果拋物線y="2+fcr+c的頂點(diǎn)。位于aBOC內(nèi)，求。的取值范圍.【答案】(1)y=—x2+2x+31(2) —j；(3)—；<a<0.【解析】【分析】⑴將點(diǎn)A(—1,0)、8(3,0)、。(0,3)代入拋物線丁=這2+灰+以利用待定系數(shù)法即可求解；(2)先證明△AOC絲AEOBIASA)得出E(0,-1),利用待定系數(shù)法求出直線PB的解析式，根據(jù)P是直線與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)根據(jù)拋物線y=?2+bx+c經(jīng)過(guò)4(一1,0)、3(3,0),求得拋物線解析式，從而表示出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，當(dāng)x=l時(shí)，y=2,根據(jù)D位于aBOC內(nèi)部，列出關(guān)于a的不等式即可求解.【詳解】(1)將點(diǎn)A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=ax?+bx+ca—b+c=O得：《9a+3b+c=0,c-3a=-1解得：<b=2,c=3，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3.(2)如圖：%=iVB(3,0%=iVB(3,0),C(0,3),X，OB=OCAZOBC-ZOCB當(dāng)/PBC=NACB時(shí)，貝Ij/PBC-/OBC=NACB-NOCB即NPBO=/ACO設(shè)PB交y軸于點(diǎn)E,在^AOCffiAEOB中[NPBO=NACO<OB=OC,ZEOB=ZAOCAAOC^AEOB(ASA)

.\OE=OA=1AE(O,-1)設(shè)PB的解析式為y=mx+n將B(3,0),E(0,?1)代入3"/+〃=0)tn=—3,n=-1：,直線PB的解析式為y=1x-l,'1.y=-x—1TOC\o"1-5"\h\z聯(lián)立解析式f 3 ,y——+2x+3* 4解得

出=3解得

出=0' 13,,2 913'一豆)，(3)如圖，Vy=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-l,0)、B(3,0)/.y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a—2。對(duì)稱(chēng)軸為直線X= =1,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4a)2a由B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式為y=-x+3當(dāng)x=l時(shí)，y=2因此當(dāng)D位于△BOC內(nèi)時(shí)0<-4a<2解得一1<a<02

即a的取值范圍是-L<a<0.2【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得AAOC四△EOB,從而得到E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.2s.如圖，在aABC中，ZABC=90°,AB=3,