中考數(shù)學專題訓練-正方形的判定和性質

中考專題訓練——正方形的判定和性質.如圖，在矩形A8CC中，點E,尸分別在邊AB,BC上，AFLDE,5.AF=DE,A尸與OE相交于點G.(1)求證：矩形ABCO為正方形:(2)若AE：￡8=2：1,ZXAEG的面積為4,求四邊形8EGF的面積..已知：如圖，邊長為4的菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,若NCAD=NDBC.(1)求證：四邊形ABCO是正方形.(2)E是0B上一點，BE=l,且。MICE,垂足為4,OH與OC相交于點凡求線段。產的長..如圖，菱形EFG”的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCQ的邊AB、CD、DA±.,連接CE(1)求證：NHEA=NCGF；(2)當AH=OG時，求證：菱形EFGH為正方形.

.如圖，已知四邊形A8CQ為正方形，AB=3五,點E為對角線4c上一動點，連接OE,過點￡作EELOE,交8c于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.(1)求證：矩形DEFG是正方形；(2)探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由..如圖①，在正方形ABCZ)中，點E,尸分別在AB、BC上，且AE=B凡(1)試探索線段4尸、OE的數(shù)量關系，寫出你的結論并說明理由；(2)連接EF、DF,分別取4E、EF、FD、D4的中點〃、/、J、K,則四邊形”〃K是什么特殊平行四邊形？請在圖②中補全圖形，并說明理由..如圖，已知正方形A8CD,P是對角線AC上任意一點，PMLAD,PN±AB,垂足分別為點M和N,PELPB交AD于點E.(1)求證：四邊形M4NP是正方形；(2)求證：EM=BN..如圖，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,AC=BC=4,。是A8的中點，E,F分別是AC,BC上的點(點E不與端點A,C重合)，且AE=CF,連接E尸并取E尸的中點0,連接。。并延長至點G,使GO=O。，連接。E,DF,GE,GF.

(1)求證：四邊形EDFG是正方形；(2)當點E在什么位置時，四邊形EDFG的面積最??？并求四邊形EDFG面積的最小值.值..如圖，已知四邊形4BCO為正方形，AB=2V^，點E為對角線AC上一動點，連接OE,過點E作EFLOE.交射線8c于點尸，以DE、E尸為鄰邊作矩形。EFG,連接CG.①求證：矩形。EFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值：若不是，請說明理由.A D.平行四邊形4BCC的對角線AC和8。交于。點，分別過頂點8,C作兩對角線的平行線交于點E,得平行四邊形08EC.(1)如果四邊形A8CC為矩形(如圖)，四邊形OBEC為何種四邊形？請證明你的結論：(2)如果四邊形A8CO是正方形，四邊形08EC也是正方形嗎？如果是，請給予證明：如果不是，請說明理由.D C.如果尸是正方形A8C￡)內的一點，且滿足NAPB+NOPC=180°,那么稱點P是正方形A8CO的“對補點”.(1)如圖1,正方形ABCD的對角線AC,BD交于點M,求證：點M是正方形ABCD的對補點；(2)如圖2,在平面直角坐標系中，正方形A8CD的頂點A(1,1),C(3,3).除對角線交點外，請再寫出一個該正方形的對補點的坐標，并證明.

.已知：如圖，E是正方形A8CO的對角線BO上的點，連接AE、CE.（1）求證：AE=CEi（2）若將△4BE沿AB翻折后得到△ABF,當點E在8。的何處時，四邊形AFBE是正方形？請證明你的結論..如圖所示，有四個動點P,Q,E,尸分別從正方形A8co的四個頂點出發(fā)，沿著A8,BC,CD,D4以同樣速度向B,C,D,4各點移動.（1）試判斷四邊形PQEr是否是正方形，并證明；（2）PE是否總過某一定點，并說明理由..在平面直角坐標系中，OEFG為正方形，點F的坐標為（1,1）.將一個最短邊長大于&的直角三角形紙片的直角頂點放在對角線F0上.（1）如圖，當三角形紙片的直角頂點與點尸重合，一條直角邊落在直線尸。上時，這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分（即陰影部分）的面積為:（2）若三角形紙片的直角頂點不與點0,F重合，且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交,當這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分的面積是正方形面積的一半時，試確定三角形紙片直角頂點的坐標（不要求寫出求解過程），并畫出此時的圖形.

.(1)如圖矩形ABCC的對角線AC、BD交于點0,過點。作。P〃OC,1.DP=OC,連接CP,判斷四邊形CODP的形狀并說明理由.(2)如果題目中的矩形變?yōu)榱庑危Y論應變?yōu)槭裁?？說明理由.(3)如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?，結論又應變?yōu)槭裁?？說明理由..四邊形ABCO為正方形，點E為線段AC上一點，連接OE,過點E作交射線BC于點F,以。E、E尸為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.(1)如圖1,求證：矩形OEFG是正方形；(2)若A8=2,CE=\f2>求CG的長度；(3)當線段QE與正方形4BCO的某條邊的夾角是30°時，直接寫出NEFC的度數(shù)..如圖，在矩形ABC。中，AD=6,CD=8,菱形E/G”的三個頂點E、G、〃分別在矩形ABCO的邊48、CD、D4上，AH=2,連接CE(1)當0G=2時，求證：四邊形EFG”是正方形；(2)當AFCG的面積為2時，求CG的值.DGCEB.已知，如圖，矩形ABCC中，AD=6,DC=1,菱形EFG”的三個頂點E,G,”分別在矩形4BC。的邊AB,CD,DA±,AH=2,連接CF.(1)若OG=2,求證四邊形EFG”為正方形;(2)若OG=6,求AFCG的面積；(3)當OG為何值時，AFCG的面積最小..如圖，RtZ\CE尸中，ZC=90°,NCEF,NCFE外角平分線交于點A,過點A分別作直線CE,C尸的垂線，B,。為垂足.ZEAF=°(直接寫出結果不寫解答過程)；(2)①求證：四邊形ABC。是正方形.②若BE=EC=3,求。尸的長.(3)如圖(2),在△PQR中，NQPR=45°,高PH=5,QH=2,貝ijHR的長度是(直接寫出結果不寫解答過程)..如圖1,在正方形4BCO中，G為線段80上一點，連接AG,過G作4GLGE交BC于E,連接AE.(1)求證：BG=DG+近BE；(2)如圖2,A8=4,E為BC中點、,P,Q分別為線段AB,AE上的動點，滿足QE=JgAP,則在P,Q運動過程中，當以PQ為對角線的正方形PRQS的一邊恰好落在AABE的某一邊上時，直接寫出正方形PRQS的面積..四邊形A8CO為正方形，點E為線段AC上一點，連接。E,過點E作交射

線BC于點F,以OE、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.(1)如圖，求證：矩形。EFG是正方形：(2)若AB=2近,CE=2,求CG的長；(3)當線段OE與正方形ABC。的某條邊的夾角是40°時，直接寫出NEFC的度數(shù).備用圖備用圖參考答案；.如圖，在矩形A8C。中，點E,尸分別在邊A8,8C上，AFVDE,MAF=DE,AF與OE相交于點G.(1)求證：矩形ABCO為正方形:(2)若4E：EB=2：1,ZVIEG的面積為4,求四邊形BEGF的面積.【分析】(1)根據(jù)矩形的性質得ND4B=NB=90°,由等角的余角相等可得NAOE=NBAF,利用AAS可得△ABFgZXDAE(A4S),由全等三角形的性質得AO=A8,即可得四邊形ABC。是正方形；(2)根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解決問題.【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。是矩形，...ND4B=NB=90°,'：DE±AF,：.ZDAB=ZAGD=90°,?,.ZBAF+ZDAF=90°,ZADE+ZDAF=90°,NBAF=ZADE,在△ABF和△￡>>1￡；中，，ZBAF=ZADE<Nabf=Ndae，DE=AFAAASf^ADAE(AAS),J.AD^AB,?四邊形A8C3是矩形，...四邊形ABCQ是正方形；(2)解：V/\ABF^/\DAE,：.BF=AE,"：AE：EB=2：1.設AE=2x,EB=x,：.BF=AE=2x,AB=3x,AF=Vab2+bf2=?：NEAG=NFAB,NAGE=NB=90°,：.△A￡Gs/\AF8,.?.△AEG的面積：△AFB的面積=4由Ap2=4/：13/=4：13,ZXAEG的面積為4,.?.△AFB的面積為13,二四邊形BEG尸的面積=13-4=9.2.已知：如圖，邊長為4的菱形ABCQ的對角線4C與8。相交于點O,若NCAD=NDBC.(1)求證：四邊形ABC￡>是正方形.(2)E是08上一點，BE=\,且DHLCE,垂足為“，?！迸cOC相交于點凡求線段0尸的長.【分析】(1)由菱形的性質得出AO〃BC,ZBAD=2ZDAC,NABC=2NDBC,得出NBAD+ZABC=\SO°,證出N84O=N4BC,求出NBAO=90°,即可得出結論；(2)由正方形的性質得出ACJ_8O,AC=BD,CO=&AC,DO=^-BD,得出NC08=2 2NQOC=90°,CO=DO,證出/ECO=/E￡W,證明△ECOg△尸CO(ASA),即可得出結論.【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。是菱形，C.AD//BC,ZBAD=2ZDAC,NABC=2NDBC,：.ZBAD+ZABC=\SOC,,■:NCAD=NDBC,：.ZBAD=ZABC,；.2NBA"180°,AZBAD=90°,四邊形ABC。是正方形；(2)解：?.?四邊形ABC。是正方形，A8=8C=4,：.ACA.BD,AC=BD=4近,：.OB=CO=—AC=2y/2>DO=—BD=2y]2>2 2：.NCOB=NDOC=90°,CO=DO,\'DH±CE,垂足為，，AZDHE=90°,NEDH+NDEH=90°,VZECO+ZDEH=90°,二NECO=NEDH,在△￡(%>和△尸CO中，fZC0E=ZD0F=90o<OC=OD ，ZECO=ZFDO：.￡\ECO^^FDO(ASA),：.OE=OF."：BE=\,:.OE=OF=OB-BE=2近-1.3.如圖，菱形EFG”的三個頂點E、G、”分別在正方形ABC。的邊AB、CD、D4上，連接C凡(1)求證：NHEA=NCGF；(2)當A〃=OG時，求證：菱形EFG”為正方形.A EB【分析】(D連接GE,根據(jù)正方形的性質和平行線的性質得到NAEG=NCGE,根據(jù)菱形的性質和平行線的性質得到N，EG=NFGE,解答即可；(2)證明RtA/ME^RtAGDW,得到NAHE=NOGH,證明NG”E=90°,根據(jù)正方形的判定定理證明.【解答】證明：(1)連接GE,"：AB//CD,：.NAEG=NCGE,,JGF//HE,：.ZHEG=NFGE,：.NHEA=NCGF；(2)I?四邊形ABC。是正方形，.?./￡>=NA=90°,?.?四邊形EFGH是菱形，：.HG=HE,在RtZX/ME和RtZ\G￡W中，[AH=DG,Ihe=hg'ARtA/ME^RtAGD//(HL),:.NAHE=NDGH,又NDHG+ZDGH=90°,：.ZDHG+ZAHE=90°,AZGWE=90°,菱形EFG//為正方形;4.如圖，已知四邊形A8CO為正方形，AB=3近,點E為對角線AC上一動點，連接。E,過點E作EFLOE,交BC于點F,以OE、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.(1)求證：矩形OEFG是正方形：(2)探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.【分析】(1)作出輔助線，得到EN=EM,然后判斷NOEN=/FEM,得到FEM,則有DE=E尸即可；(2)同(1)的方法判斷出△AOEgZkCCG得到CG=AE,即：CE+CG=CE+AE=AC=6.【解答】解：(1)如圖，作EW_L8C于M,ENLCD于N,:.NMEN=90°,,/點E是正方形ABCD對角線上的點，：.EM=EN,；NOE尸=90°,,NDEN=NMEF,:NDNE=NFME=90°,在和△尸EM中，fZDNE=ZFME?EN=EM，ZDEN=ZFEM：.ADEN迫叢FEM(ASA),：.EF=DE,?.?四邊形OEFG是矩形，二矩形CEFG是正方形；

CE+CG的值是定值，定值為6,理由如下:正方形DEFG和正方形ABCD,：.DE=DG,AD=DC,■:ZCDG+ZCDE=ZADE+ZCDE=90°,:.NCDG=ZADE,AD=CD在.?.△4OE和△CQG中，＜NaDE=/CDG，DE=DG：.(SAS),：.AE=CG,...CE+CG=CE+AE=AC=6aB=Mx3&=6是定值.點E,點E,尸分別在AB、BC上，且AE=B凡(1)試探索線段4尸、OE的數(shù)量關系，寫出你的結論并說明理由;(2)連接E/、DF,分別取AE、EF、FD、D4的中點〃、人人K,則四邊形”〃K是什么特殊平行四邊形？請在圖②中補全圖形，并說明理由.C圖②C圖②【分析】(1)根據(jù)已知利用S4S判定由全等三角形的判定方法可得到AF=DE.(2)根據(jù)已知可得KJ,IJ,都是中位線，由全等三角形的判定可得到四邊形四邊都相等且有一個角是直角，從而來可得到該四邊形是正方形.【解答】解：(1)AF=OE.■:ABCD是正方形,：.AB=AD,ZDAB=ZABC=90°,；AE=BF,：.AF=DE.(2)四邊形”〃K是正方形.如下圖，H、/、J、K分別是AE、EF、FD、D4的中點,：.HI=KJ=—AF,HK=IJ=—ED,2 2AF=DE,：.HI=KJ=HK=U,，四邊形是菱形，:.ZADE=ZBAF,VZADE+ZAED=90°,/.ZBAF+ZAED=90",ZAOE=90°:.NKHI=90°,四邊形H〃K是正方形.圖②6.如圖，已知正方形ABC。，P是對角線AC上任意一點，PM±AD,PNLAB,垂足分別為點M和N,PELPB交AD于點E.(1)求證：四邊形M4NP是正方形；【分析】(1)根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形M4NP是矩形，再根據(jù)角平分線的性質得：PM=PN,可得結論：（2）證明△EPM名△BPN,可得結論.【解答】證明：（1）?.?四邊形ABCO是正方形，/.ZDAB=90°,AC平分/ZMB,（1分）?:PMLAD,PN1AB,：.ZPMA=ZPNA=90°,二四邊形AMNP是矩形，（2分）,.?4（7平分/。48,PMLAD,PN1AB,：.PM=PN,（3分）二四邊形M4VP是正方形；（4分）?.?四邊形ABCO是正方形，:.PM=PN,NMPN=90°,:NEPB=9Q°,/.NMPE+NEPN=NNPB+/EPN=9G°,/.NMPE=NNPB,（5分）在△EPM和中，fZPMA=ZPNB=90°[PM=PN >ZMPE=ZNPB△EPA/名叢BPN（.ASA）,（6分）:.EM=BN.（7分）.如圖，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,AC=BC=4,。是A8的中點，E,F分別是AC,BC上的點（點E不與端點A,C重合），且4E=CF,連接EF并取EF的中點。，連接。。并延長至點G,使GO=O。，連接。E,DF,GE,GF.（1）求證：四邊形EZ5FG是正方形；（2）當點E在什么位置時，四邊形ECFG的面積最??？并求四邊形ECFG面積的最小值.G-CA D B【分析】（1）連接CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得出/4=/。（7/=45°、AD=CD,結合AE=CF可證出（S4S）,根據(jù)全等三角形的性質可得出。E=OF、ADE=NCDF,通過角的計算可得出NECF=90°,再根據(jù)。為E尸的中點、GO=OD,即可得出GO_LEF,且GD=20D=EF,由此即可證出四邊形ECFG是正方形：

（2）過點。作。E'，AC于E',根據(jù)等腰宜角三角形的性質可得出。E'的長度，從而得出2WDEV2近,再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值.【解答】（1）證明：連接CD,如圖1所示.:△ABC為等腰直角三角形，NACB=90°,。是AB的中點，：.ZA=ZDCF=45",AD=CD.'AE=CF在△AOE和△CO尸中，</A=/DCF，AD=CD:AADE當ACDF（SAS）,：.DE=DF,NADE=NCDF.VZADE+ZEDC=90°,:.NEDC+NCDF=NEDF=90°,...△EC尸為等腰直角三角形.為EF的中點，GO=OD,：.GDA.EF,且GO=2OD=￡F,四邊形EQFG是正方形；（2）解：過點。作。E'_LAC于E',如圖2所示.,.?△ABC為等腰直角三角形，NACB=90°,AC=BC=4,：.DE'=Abc=2,AB=4?,點E'為AC的中點，：.2^DE<2y/2（點E與點E'重合時取等號）.,4WSw邊形ecfg=0￡2<8.當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4.圖2圖2A B圖1.如圖，已知四邊形ABC。為正方形，AB=2V歷，點E為對角線AC上一動點，連接。后，過點E作EF1_OE.交射線BC于點F,以OE、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.①求證：矩形OEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.【分析】（1）作出輔助線，得到EN=EM,然后判斷/OENn/kEM,得到△DENgAFEM,則有OE=EF即可；（2）同（1）的方法證出△A。E0△C。G得到CG=AE,得出CE+CG=CE+A￡=AC=4即可.【解答】①證明：過E作EML8C于M點，過E作ENLCD于N點，如圖所示:?.,正方形ABC。AZBCD=90°,NECN=45°：.NEMC=aENC=NBCO=90°且NE=NC,二四邊形EMCN為正方形,四邊形OEFG是矩形，二EM=EN,4DEN+NNEF=NMEF+NNEF=9Q°NDEN=NMEF,又NDNE=NFME=90°,fZDNE=ZFME在△￡)￡N和△F￡："中，＜EN=EM ，ZDEN=ZFEM:.ADEN沿4FEM(ASA),：.ED=EF,矩形。EFG為正方形，②解：CE+CG的值為定值，理由如下:?.?矩形OEFG為正方形，：.DE=DG,NEDC+NCDG=90°?四邊形ABC。是正方形，'：AD=DC,ZADE+ZEDC=90a：.ZADE=ZCDG,AD=CDZADE=ZCDGDE=DG.?.△4OE絲ZXCOG(SAS),：.AE=CG：.AC=AE+CE=y/2AB=y/2X2料=4,/.CE+CG=4是定值..平行四邊形4BCC的對角線AC和8。交于。點，分別過頂點8,C作兩對角線的平行線交于點E,得平行四邊形OBEC.(1)如果四邊形A8CC為矩形(如圖)，四邊形OBEC為何種四邊形？請證明你的結論：(2)如果四邊形A8CO是正方形，四邊形03EC也是正方形嗎？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.D C【分析】(1)由平行線可得四邊形OBEC為平行四邊形，又矩形對角線互相平分且相等，則可得四邊形08EC為菱形；(2)由平行線可得四邊形OBEC為平行四邊形，又正方形對角線互相垂直、平分且相等,則可得四邊形OBEC為正方形.【解答】解：(1)四邊形OBEC是菱形.證明：'JBE//OC,CE//OB,二四邊形OBEC為平行四邊形.又?.?四邊形ABCD是矩形，OC=OB,平行四邊形OBEC為菱形;(2)四邊形OBEC是正方形.證明：'：BE//OC,CE//OB,：.四邊形OBEC為平行四邊形.又?..四邊形ABC。是正方形，：.OC=OB,NBOC=90°,.??平行四邊形08EC為正方形..如果P是正方形A8CQ內的一點，且滿足NAPB+NOPC=180°,那么稱點尸是正方形48CO的“對補點”.(1)如圖1,正方形ABCD的對角線AC,BD交于點M,求證：點M是正方形ABCD的對補點；(2)如圖2,在平面直角坐標系中，正方形ABCO的頂點4(1,1),C(3,3).除對角線交點外，請再寫出一個該正方形的對補點的坐標，并證明.【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCC是正方形，得到于是得到結論；(2)如圖2,延長C。交y軸于E,延長CB交x軸于F,則四邊形CEOF是正方形連接OC,EF交于P,推出A,C在直線y=x上，得到A在。C上，根據(jù)全等三角形的性質得到NAP3=NAPB,得到NCPD+/APB=180°,于是得到結論.【解答】解：(1)???四邊形ABC。是正方形，J.AC1BD,：.ZAMB=ZCMD=90°,/.ZAMB+ZCMD=ISOQ,:.點M是正方形ABCD的對補點；(2)如圖2,點、P(S,3)是該正方形的對補點，22延長CD交y軸于E,延長CB交x軸于凡則四邊形CEOF是正方形連接OC,EF交于P,VA(1,1),C(3,3),：.A,C在直線y=x上，.?.A在0c上,'AD=AB在△APO與AAPB中，，ZDAP=ZBAP=45°，AP=AP:./XAPD^/XAPB,：.ZAPD=ZAPB,:.NDPE=NBPF,VZEPC+ZAPF=180°,：.ZCPD+ZAPB=18O°,：.p（3,3）是該正方形的對補點..已知：如圖，E是正方形A8CD的對角線BO上的點，連接AE、CE.(1)求證：AE=CE；(2)若將△A8E沿A8翻折后得到△ABF,當點E在8。的何處時，四邊形AFBE是正方形？請證明你的結論.【分析】(1)利用正方形的性質和SAS證明即可；(2)由折疊的性質得出NF=NAEB,AF=AE,BF=BE,由直角三角形斜邊上的中線性質得出4E=」BD=BE=OE,證出4E=BE=A尸=B尸，得出四邊形AFBE是菱形，AE2LBD,即可得出結論.【解答】(1)證明：?.?四邊形ABCQ是正方形，：.AB=CB,ZBAD=ZABC=90°,NABE=NCBE=45°,在△ABE和△CBE中，'AB=CB?ZABE=ZCBE，BE=BE:.△ABEgACBE(SAS),：.AE=CE.(2)解：點E在BO的中點時，四邊形AF8E是正方形；理由如下：由折疊的性質得：NF=NAEB,AF=AE,BF=BE,VZBAD=90°,E是8。的中點，:.AE=：D=BE=DE,2?；BF=BE,；.AE=BE=AF=BF,二四邊形AFBE是菱形，E是正方形ABC。對角線的交點，J.AELBD,：.ZAEB=90°,四邊形AF8E是正方形..如圖所示，有四個動點P,Q,E,尸分別從正方形A8CC的四個頂點出發(fā)，沿著AB,BC,CD,D4以同樣速度向B,C,D,A各點移動.(1)試判斷四邊形P0E尸是否是正方形，并證明；(2)PE是否總過某一定點，并說明理由.B0C【分析】(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形.(2)證PE是否過定點時，可連接AC,證明四邊形4PCE為平行四邊形，即可證明PE過定點.【解答】解：(1)在正方形48C。中，AP=BQ=CE=DF,AB=BC=CD=DA,：.BP=QC=ED=FA.又?.?/BAO=NB=NBC￡)=NO=90°,:.叢AFPBPQ9RCQE經叢DEF.:.FP=PQ=QE=EF,NAPF=NPQB.四邊形尸QE尸是菱形，VZFP(2=90°,二四邊形PQEF為正方形.(2)連接AC交尸￡于。,B0C?.*AP平行且等于EC,/.四邊形APCE為平行四邊形.???。為對角線AC的中點，，對角線PE總過AC的中點.13.在平面直角坐標系xOy中，OEFG為正方形，點尸的坐標為(1,1).將一個最短邊長大于近的直角三角形紙片的直角頂點放在對角線FO上.(1)如圖，當三角形紙片的直角頂點與點尸重合，一條直角邊落在直線尸0上時，這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分(即陰影部分)的面積為1；~2~(2)若三角形紙片的直角頂點不與點0,尸重合，且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交,當這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分的面積是正方形面積的一半時，試確定三角形紙片直角頂點的坐標(不要求寫出求解過程)，并畫出此時的圖形.2 2(2)如圖，正方形GFEO的面積為1,當重合的面積為正方形GFEO的面積的一半時，有兩種情況：①四邊形OSCB的面積為1時，易證得四邊形ACDO為正方形，△ABCgZXDSC,有四2邊形OSCB的面積與正方形ACZ50的面積相等，故有OO=OA=Y2即點C的坐標為

（返,迎）2 2（返,迎）②四邊形尸SC8的面積為工時，易證得四邊形ACCF為正方形，△ABC絲/XOSC,有四2邊形F5CB的面積與正方形AC。。的面積相等，故有4。=以=返■即點C的坐標為（12-叵一近）.2 2【解答】解：（1）S=2O￡?EF=L；2 2（2）如圖，正方形GFEO的面積為1,當重合的面積為正方形GFEO的面積的一半時,有兩種情況:①四邊形OSCB的面積為工時，易證得四邊形ACO。為正方形，LABC94DSC,有四2邊形OSCB的面積與正方形ACOD的面積相等，故有0。=。4=返?即點C的坐標為2返,叵）,2 2②四邊形kSCB的面積為1時，易證得四邊形AC。尸為正方形，△ABCgZXDSC,有四2邊形FSCB的面積與正方形ACQO的面積相等，故有尸。="=亞即點C的坐標為（1214.（1）如圖矩形48CQ的對角線AC、BD交于點0,過點。作OP〃OC,RDP=OC,連接CP,判斷四邊形COOP的形狀并說明理由.（2）如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?，結論應變?yōu)槭裁矗空f明理由.（3）如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?，結論又應變?yōu)槭裁矗空f明理由.B【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得出oo=oc,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定推出即可；（2）根據(jù)菱形的性質得出NOOC=90°,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形COCP是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定推出即可；（3）根據(jù)正方形的性質得出OO=OC,ZDOC=90°,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CO3P是平行四邊形，根據(jù)正方形的判定推出即可；【解答】解：（1）四邊形CODP的形狀是菱形，理由是：?..四邊形ABCD是矩形，：.AC=BD,OA=OC=—AC,OB=OD=—BD,2 2：.OC=OD,'：DP//OC,DP=OC,四邊形CODP是平行四邊形，,：OC=OD,平行四邊形COOP是菱形；（2）四邊形CODP的形狀是矩形,理由是：,??四邊形ABC7）是菱形，：.ACA.BD,：.ZDOC=90°,'JDP//OC,DP=OC,：.四邊形CODP是平行四邊形，VZDOC=90°,二平行四邊形CODP是矩形；（3）四邊形CODP的形狀是正方形,理由是：???四邊形ABC。是正方形，：.AC±BD,AC=BO,OA=OC=^AC,OB=OD=^-BD,2 2/.ZDOC=90°,OD=OC,'：DP//OC,DP=OC,四邊形CODP是平行四邊形，VZDOC=90",OD=OC二平行四邊形CODP是正方形..四邊形A8CO為正方形，點E為線段AC上一點，連接。E,過點E作EF_LOE,交射線BC于點尸，以OE、EF為鄰邊作矩形OEFG,連接CG.（1）如圖1,求證：矩形OEFG是正方形；（2）若A8=2,CE=M，求CG的長度；（3）當線段OE與正方形ABC。的某條邊的夾角是30°時，直接寫出NEFC的度數(shù).【分析】（1）作EP_LC。于尸，EQJ_BC于Q,證明Rt/XEQF絲RtZXEPQ,得到EF=EQ,根據(jù)正方形的判定定理證明即可：（2）通過計算發(fā)現(xiàn)E是4C中點，點尸與C重合，△CCG是等腰直角三角形，由此即可解決問題.（3）分兩種情形考慮問題即可；【解答】（1）證明：作EP_LCO于P,EQ_LBC于Q,ZDCA=ZBCA,：.EQ=EP,；NQEF+NFEC=45°,NPED+NFEC=45°,:.NQEF=NPED,在RtAEQF和RtAEPD中，fZQEF=ZPED"EQ=EP，ZEQF=ZEPD...RtZXEQF絲RtZkEPQ(ASA),：.EF=ED,二矩形。EFG是正方形；(2)如圖2中，在RtZ\ABC中.AC=?AB=2近,?；EC=&,:.AE=CE,...點/與C重合，此時aoCG是等腰直角三角形，易知CG=&.圖2(3)①當。E與AO的夾角為30°時，點尸在BC邊上，ZADE=30°,則/COE=90°-30°=60°,在四邊形COE尸中，由四邊形內角和定理得：ZEFC=360°-90°-90°-60°=120°,②當OE與0c的夾角為30°時，點尸在BC的延長線上，ZCDE=30°,如圖3所示：VZHCF=ZDEF=90°,NCHF=NEHD,：.ZEFC=ZCDE=3Q°,綜上所述，ZEFC=120°或30°.圖1.如圖，在矩形A8CZJ中，AD=6,8=8,菱形EFG”的三個頂點E、G、〃分別在矩形A8CC的邊48、CD、DA±,AH=2,連接CF.(1)當OG=2時，求證：四邊形EFGH是正方形：(2)當△尸CG的面積為2時，求CG的值.AB

AB【分析】(1)由于四邊形48CD為矩形，四邊形HEFG為菱形,那么N￡)=NA=90°,HG=HE,而AH=DG=2,易證從而有NDHG=NHEA,等量代換可得NAHE+NDHG=90°,易證四邊形7/EFG為正方形；(2)過產作FMJ_OC于M,根據(jù)AB〃CC,可得/AEG=NMGE,同理有NHEG=NFGE,利用等式性質有NAE〃=NMGF,再結合NA=NM=90°,HE=FG,可證△A”E也△MFG,利用三角形面積解答即可.【解答】(1)證明：在矩形ABCO中，有乙4=/。=90°,AZDG//+ZD/7G=90°.在菱形EFGH中，EH=GH'：AH=2,DG=2,：.AH=DG,.,.RtAA￡//^RtAD/7G(HL).:.NAHE=NDGH.:.NAHE+NDHG=90°....四邊形EFG”...四邊形EFG”是正方形.DGCMA EB(2)過尸作FM_LOC于M,則/正MG=90°....NA=NFMG=90°.連接EG.由矩形和菱形性質，知A8〃OC,HE//GF,：.NAEG=NMGE,NHEG=NFGE,：.ZAEH=ZMGF.;EH=GF,AAEH4AMGF.：.FM=AH=2.■:Safcg=氏G?FM=/XCGX2=2，：.CG=2.17.已知，如圖，矩形4BCO中，AD=6,DC=1,菱形EFG，的三個頂點E,G,H分別在矩形ABC。的邊AB,CD,DA±,AH=2,連接CF.(1)若OG=2,求證四邊形EFG"為正方形；(2)若OG=6,求△FCG的面積；(3)當0G為何值時，△FCG的面積最小.DGCF.B【分析】(1)由于四邊形ABC。為矩形，四邊形HEFG為菱形，那么NO=NA=90°,HG=HE,而AH=DG=2,易證從而有NDHG=NHEA,等量代換可得乙44￡+/。46=90°,易證四邊形HEFG為正方形：(2)過尸作尸M_LOC,交。C延長線于M,連接GE,由于A8〃C。，可得NAEG=NMGE,同理有/“EG=/FGE,利用等式性質有N4EH=NMGF,再結合NA=/M=90°,HE=FG,可證從而有FM=/M=2(即無論菱形EFG”如何變化，點F到直線C。的距離始終為定值2),進而可求三角形面積；(3)先設DG=x,由第(2)小題得，S&FCG=1-x,在△AHE中，AE^AB=1,利用勾股定理可得”產＜53,在RtZXEWG中，再利用勾股定理可得/+16W53,進而可求x^V37，從而可得當x=西時，Z\GC尸的面積最小?【解答】解：(1)???四邊形ABC。為矩形，四邊形HEFG為菱形，.,.ZD=ZA=90°,HG=HE,又AH=DG=2,：.Rt^AHE^Rt/^DGH(HL),:.NDHG=NHEA,VZA//￡+Z//EA=90°,；.NAHE+NDHG=90°,；.NEHG=90°,.?.四邊形”EFG為正方形：(2)過尸作FMJ_￡)C,交。C延長線于M,連接GE,'.'AB//CD,:.NAEG=NMGE,'：HE//GF,：.NHEG=NFGE,：.ZAEH=ZMGF,在和△MFG中，ZA=ZA/=90°,HE=FG,:.叢AHE§4MFG,

：.FM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化，點尸到直線CD的距離始終為定值2,SAFCG4'XFHXGC4'X2X（7-6）=1：（3）設OG=x,則由第（2）小題得，S?fcg=1-x,在中，AEWAB=7,,,.?+16^53,:年,，S"CG的最小值為7f屈，此時。G=J藥，...當OG=J歷時，ZXFCG的面積最小為（7二萬）.DGCM18.如圖，RtZ\CEF中，ZC=90°,ZCEF,/CFE外角平分線交于點A,過點A分別作直線CE,CT的垂線，B,。為垂足.（1）ZEAF=45°（直接寫出結果不寫解答過程）；（2）①求證：四邊形ABCO是正方形.②若BE=EC=3,求。F的長.（3）如圖（2）,在△PQR中，NQPR=45°,高PH=5,QH=2,貝UHR的長度是至（直接寫出結果不寫解答過程）.7.圖1 圖2【分析】（1）根據(jù)平角的定義得到/QFE+/BEF=360°-90°=270°,根據(jù)角平分線的定義得至|J/4FE=L/￡>FE,NAEF=L/BEF,求得N4EF+N4尸E=2（ZDFE+2 2 2NBEF）,根據(jù)三角形的內角和定理即可得到結論;(2)①作AG_LEF于G,如圖1所示：則NAGE=NAGF=90°,先證明四邊形ABCQ是矩形，再由角平分線的性質得出A8=A。，即可得出四邊形A8CC是正方形：②設OF=x,根據(jù)已知條件得到BC=6,由①得四邊形ABC。是正方形，求得BC=CD=6,根據(jù)全等三角形的性質得到BE=EG=3,同理，GF=DF=x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論；(3)把△PQH沿PQ翻折得△PQO,把△尸RH沿PR翻折得△PRM,延長DQ、MR交于點G,由(1)(2)得：四邊形PMG。是正方形，MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,得出MG=OG=MP=P”=6,GQ=4,設MR=HR=a,WJGR=6-a,QR=a+2,在Rt^GQR中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：(1)VZC=90°,:.NCFE+NCEF=90°,/.ZDFE+ZB￡F=360°-90°=270°,,.,4/平分/。尸￡4E平分NBEF,:./DFE,ZAEF=^^/BEF,：.ZAEF+ZAFE=^-(NDFE+NBEF)=-lX270°=135°,2 2AZEAF=180°-ZAEF-ZAFE=45°,故答案為:45；(2)①作AG_LEF于G,如圖1所示：則N4GE=NAGF=90°,"：ABLCE,ADLCF,.?.NB=NO=90°=ZC,二四邊形48co是矩形，VZCEF,NCFE外角平分線交于點4,：.AB=AG,AD=AG,.\AB=ADf四邊形A8CL>是正方形：②設DF=x,<BE=EC=3,：.BC=6,由①得四邊形ABCD是正方形，：.BC=CD=6,在RtZXABE與RtAAGE中，fAB=AG>IAE=AE，.,.RtAABE^RtAAGE(HL),:.BE=EG=3,同理，GF=DF=x,在RtZXCEF中，￡C2+FC2=EF2,即32+(6-x)2=(x+3)2,解得：x=2,...OF的長為2；(3)解：如圖2所示：把△PQ4沿PQ翻折得△PQO,把△PR4沿PR翻折得△「/?〃，延長DQ、MR交于點G,由(1)(2)得：四邊形PA/GO是正方形，MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,:.MG=DG=MP=PH=5,：.GQ=3,設MR=HR=a,則GR=5-a,QR=a+2,在RtZ\GQR中，由勾股定理得：(5-a)2+32=(2+a)2,解得：a=」互，即HR=—i7 7故答案為：」旦.719.如圖1,在正方形ABC。中，G為線段83上一點，連接AG,過G作AG_LGE交BCTE,連接AE.（1）求證：bg=dg+Mbe；（2）如圖2,AB=4,E為BC中點,P,。分別為線段AB,AE上的動點，滿足QE=遙AP,則在P,Q運動過程中，當以尸。為對角線的正方形PRQS的一邊恰好落在AABE的某一邊上時，直接寫出正方形PRQS的面積.【分析】（1）過點G作GNLBC于點N,作GM1AB于點M,過點E作EFVBC,交BD于點F,先證明446“絲/XEGMASA）,從而AM=EN,再利用DG=BD-BG=&AB-?BM=MaM,FG=BG-BF=?BN- 得出DG=FG,則BG=BF+FG=DG+V2BE；（2）分五種情況討論，以點8為原點，BC所在直線為x軸，84所在直線為y軸建立平面直角坐標系，分別求得AE和PQ的解析式，二者聯(lián)立解得用含m的式子表示的點Q的坐標，在RtZXQEF中，由勾股定理得出QE的表達式，然后結合QE=y/^AP得出關于，"的方程，解得m的值，則可得點。的橫坐標，從而可得正方形PRQS的面積，利用銳角三角函數(shù)和線段的和差關系列出方程，可求正方形的邊長，即可求解.【解答】解：（1）證明：過點G作GNLBC于點N,作于點M,過點E作EF±BC,交8。于點凡如圖所示：?.?四邊形A8CO是正方形，8。是對角線，：.BF=y/2BE,GM=GN,VAGIGE,GNIBC,GMLAB,：.ZAMG=ZE2VG=90°,ZAGM+NMGN=NEGNMMGN,：.ZAGM=N