工學(xué)機械優(yōu)化設(shè)計第二章課件

機械優(yōu)化設(shè)計機電工程學(xué)院機械制造及其自動化教研室高自成機械優(yōu)化設(shè)計機電工程學(xué)院1第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)即函數(shù)f（x1,x2）在點x0(x10,x20)點處沿某一方向d的變化率，定義為：第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度2第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：3第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度二、二元函數(shù)的梯度二元函數(shù)f(x1,x2)在點x0處的方向?qū)?shù)第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度二、二元函數(shù)的梯度4二、二元函數(shù)的梯度設(shè)d為方向單位向量則有二、二元函數(shù)的梯度設(shè)d為方向單位向量5二、二元函數(shù)的梯度梯度方向為等值線的法線方向，也是函數(shù)值變化最快的方向，梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。梯度方向與等值線的關(guān)系二、二元函數(shù)的梯度梯度方向為等值線的法線方向，也是函數(shù)值變化6三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，則對于多元函數(shù)f（x1，x2，…xn）在點x0（x10，x20，…x1n）處的梯度多元函數(shù)的方向?qū)?shù)：三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，則對于7三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)為d方向的單位向量三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)為d方向的單位向量8第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開一元函數(shù)的泰勒展開為二元函數(shù)f（x1，x2）在點x0（x10，x20）處的泰勒展開式為第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開一元函數(shù)的泰勒展開為9第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開把上述式子寫成矩陣形式第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開把上述式子寫成矩陣形式10第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開求二元函數(shù)第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開求二元函數(shù)11第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)時，則f（x1，x2，…，xn）在點x0泰勒展開式的矩陣形式為第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)時，則f12第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件1.一元函數(shù)的極值條件：2.二元函數(shù)的極值條件：對于二元函數(shù)f（x1，x2），若在x0（x10，x20）處取得極值，其必要條件是第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件1.一元函數(shù)的極值條件：132.二元函數(shù)的極值條件二元函數(shù)極值的充分條件：設(shè)則2.二元函數(shù)的極值條件二元函數(shù)極值的充分條件：設(shè)則14二元函數(shù)極值的充分條件：若f（x1，x2）在x0點處取得極小值，則要求在點x0點附近的一切點x均須滿足

即要求或要求即二元函數(shù)極值的充分條件：若f（x1，x2）在x15二元函數(shù)極值的充分條件：上述條件反映了f（x1，x2）在x0點處的海賽矩陣G（x0）的各階主子式均大于零，即對于要求二元函數(shù)極值的充分條件：上述條件反映了f（x1，x2）在x16二元函數(shù)極值的充分條件：對于多元函數(shù)f（x1，x2，…xn），若在x*取得極值，則極值的必要條件為極值的充分條件為正定二元函數(shù)極值的充分條件：對于多元函數(shù)f（x1，x2，…x17第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃優(yōu)化問題一般是要求目標函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的最小點，也就是要求全局的極小點，一元函數(shù)的凸性第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃優(yōu)化問題一般是要求目標函數(shù)在某18第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃一、凸集一個點集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點x1和x2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點集為凸集。否則稱為非凸集。用數(shù)學(xué)語言表述為：如果對于一切x1∈R，x2∈R及一切滿足0≤α≦1的實數(shù)α，點αx1+（1-α）x2≡y∈R，則稱集合R為凸集。凸集可以是有界的，也可以是無界。N維空間中的r維子空間也是凸集。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃一、凸集19第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸集具有以下性質(zhì)：若A是一個凸集，β是一個實數(shù)，α是凸集中的一個動點，即α∈A，則集合βA=｛X：X=βα，α∈A

｝還是凸集。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸集具有以下性質(zhì)：20第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃若A和B是凸集，a、b分別是凸集A、B中的動點，即a∈A，b∈B，則集合A+B=｛X：X=a+b，a∈A，b∈B｝還是凸集。任何一組凸集的交集還是凸集。凸集的性質(zhì)第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃若A和B是凸集，a、b分別是凸21第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃二、凸函數(shù)函數(shù)f（x），如果在連結(jié)其凸集定義域內(nèi)任意兩點x1、x2的線段上，函數(shù)值總小于或等于用f（x1）及f（x2）作線性內(nèi)插所得的值，那么稱f（x）為凸函數(shù)。用數(shù)學(xué)語言表述為f〔αx1+（1-α）x2〕≤αf﹙x1﹚+（1-α）f﹙x2﹚其中0≤α≤1若上兩式均去掉等號，則稱為嚴格凸函數(shù)。凸函數(shù)的定義第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃二、凸函數(shù)凸函數(shù)的定義22第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸函數(shù)的一些簡單性質(zhì)設(shè)f（x）為定義在凸集R上的一個凸函數(shù)，對任意實數(shù)α﹥0，則函數(shù)αf（x）也是定義在R上的凸函數(shù)。設(shè)f1（X）和f2（X）為定義在凸集R上的兩個凸函數(shù)，則其和f1（X）+f2（X）也是R上的凸函數(shù)。對于任意正數(shù)α和β，函數(shù)α

f1（X）+βf2（X）也是在R上的凸函數(shù)。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸函數(shù)的一些簡單性質(zhì)23第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃三、凸性條件設(shè)f（x）為定義在凸集R上，且具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（x）在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是對凸集R內(nèi)任意不同兩點x1，x2，不等式恒成立

設(shè)f（x）為定義在凸集R上連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（x）在Ｒ上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G（x）在R上處處正定。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃三、凸性條件設(shè)f（x）為定義在24第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃四、凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題minf（x）s.t.gj（x）≦0j=1，2，…，m若f（x），gj（x）j=1，2，…，m都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃四、凸規(guī)劃25第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸規(guī)劃的性質(zhì)1.若給定一點x0，則集合R=｛x|f（x）≦f（x0）｝為凸集。此性質(zhì)說明，當f（x）為二元函數(shù)時，其等值線呈現(xiàn)大圈套小圈的形式。2.可行域R=｛x|gj≦0j=1，2，…，m｝為凸集3.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸規(guī)劃的性質(zhì)26第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件求解等式約束優(yōu)化問題minf（x1x2）s.t.hk（x）=0，k=1，2，…，m需要導(dǎo)出極值存在的條件，這是求解等式約束優(yōu)化問題的理論基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)上有兩種方法處理：消元法（降維法）和拉格朗日乘子法（升維法）。一、消元法二、拉格朗日乘子法求解等式約束的另一種經(jīng)典方法，它是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題，所以又稱升維法。第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件求解等式約束優(yōu)化問題27第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件二、拉格朗日乘子法（就是把約束極值條件轉(zhuǎn)化為無約束問題的極值）對于具有l(wèi)個約束的維優(yōu)化問題minf（x）s.t.hk（x）=0，k=1，2，…，l在極值點x*有第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件二、拉格朗日乘子法（就是把28

第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件分別乘以待定系數(shù)λk（k=1，2，…，l）再和把l等式約束給出的l個相加，得可以通過其中l(wèi)個方程來求解l個λ1，λ2

…λl

，使得l個變量的微分dx1，dx2

…dxl系數(shù)全為零。（式2-10)（式2-11)

第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件分別乘以待定系數(shù)λk（k29第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件式2-10的等號左邊就只剩下n-l個變量的微分的dxl+1，dxl+2，…，dxn的項。dxl+1，dxl+2，…，dxn是任意的項所以（2-13）將2-10和2-13合并得第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件式2-10的等號左邊30第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件根據(jù)目標函數(shù)的無約束極值條件則上述問題的約束極值條件可以轉(zhuǎn)換成無約束的極值條件。辦法是把原來的目標函數(shù)f(x)改造成如下形式的新的目標函數(shù)。

式中hk（x）就是原目標函數(shù)f（x）的等式約束條件，而待定系數(shù)λk成為拉格朗日乘子，F(xiàn)（x，λ）成為拉格朗日函數(shù)。這種方法就叫拉格朗日乘子法。第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件根據(jù)目標函數(shù)的無約束極值條31第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件拉格朗日乘子法：設(shè)，目標函數(shù)是f（x），約束條件是hk（x）=0（k=1，2，…，l）l個等式約束方程，為了求出f（x）的可能極值點引入拉格朗日乘子并構(gòu)成一個新的目標函數(shù)第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件拉格朗日乘子法：32把F（x，λ）作為一個新的無約束條件的目標函數(shù)來求解它的極值點，所得的結(jié)果就是滿足約束條件hk（x）=0（k=1，2，…，l），原目標函數(shù)f（x）的極值點。自F（x，λ）具有極值的必要條件可以得到n+l個方程，從而解得x=[x1,x2,,…,xn]T和λk（K=1，2，…，l）共l+n未知個變量的值，由上述方程組求得的是函數(shù)f（x）的極值點的坐標值把F（x，λ）作為一個新的無約束條件的目標函數(shù)來求解它33第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件拉格朗日乘子法可以用另一種方式表示如下：設(shè)x*是目標函數(shù)f（x）是在等式約束hk（x）=0條件下的一個局部極值點，而且在該點處各約束函數(shù)的梯度▽

hk（x*）（k=1，2，…，l）是線性無關(guān)的（符合此條件的點稱為正則點），則存在一個向量λ（在一個約束函數(shù)規(guī)定的值內(nèi)），使下式成立▽F=▽f（x）+λT▽hk（x*）=0式中λT=[λ1，λ2，…，λl]▽hk（x*）T=[▽h1（x*），▽h2（x*），…，▽hl（x*）]第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件拉格朗日乘子法可以用另一種34第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件拉格朗日乘子的物理意義:優(yōu)化效率或敏度系數(shù)：由：所以

第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件拉格朗日乘子的物理意義:優(yōu)35機械優(yōu)化設(shè)計機電工程學(xué)院機械制造及其自動化教研室高自成機械優(yōu)化設(shè)計機電工程學(xué)院36第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)即函數(shù)f（x1,x2）在點x0(x10,x20)點處沿某一方向d的變化率，定義為：第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度37第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：38第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度二、二元函數(shù)的梯度二元函數(shù)f(x1,x2)在點x0處的方向?qū)?shù)第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度二、二元函數(shù)的梯度39二、二元函數(shù)的梯度設(shè)d為方向單位向量則有二、二元函數(shù)的梯度設(shè)d為方向單位向量40二、二元函數(shù)的梯度梯度方向為等值線的法線方向，也是函數(shù)值變化最快的方向，梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。梯度方向與等值線的關(guān)系二、二元函數(shù)的梯度梯度方向為等值線的法線方向，也是函數(shù)值變化41三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，則對于多元函數(shù)f（x1，x2，…xn）在點x0（x10，x20，…x1n）處的梯度多元函數(shù)的方向?qū)?shù)：三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，則對于42三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)為d方向的單位向量三、多元函數(shù)的梯度和方向?qū)?shù)為d方向的單位向量43第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開一元函數(shù)的泰勒展開為二元函數(shù)f（x1，x2）在點x0（x10，x20）處的泰勒展開式為第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開一元函數(shù)的泰勒展開為44第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開把上述式子寫成矩陣形式第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開把上述式子寫成矩陣形式45第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開求二元函數(shù)第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開求二元函數(shù)46第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)時，則f（x1，x2，…，xn）在點x0泰勒展開式的矩陣形式為第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)時，則f47第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件1.一元函數(shù)的極值條件：2.二元函數(shù)的極值條件：對于二元函數(shù)f（x1，x2），若在x0（x10，x20）處取得極值，其必要條件是第三節(jié)無約束優(yōu)化問題的極值條件1.一元函數(shù)的極值條件：482.二元函數(shù)的極值條件二元函數(shù)極值的充分條件：設(shè)則2.二元函數(shù)的極值條件二元函數(shù)極值的充分條件：設(shè)則49二元函數(shù)極值的充分條件：若f（x1，x2）在x0點處取得極小值，則要求在點x0點附近的一切點x均須滿足

即要求或要求即二元函數(shù)極值的充分條件：若f（x1，x2）在x50二元函數(shù)極值的充分條件：上述條件反映了f（x1，x2）在x0點處的海賽矩陣G（x0）的各階主子式均大于零，即對于要求二元函數(shù)極值的充分條件：上述條件反映了f（x1，x2）在x51二元函數(shù)極值的充分條件：對于多元函數(shù)f（x1，x2，…xn），若在x*取得極值，則極值的必要條件為極值的充分條件為正定二元函數(shù)極值的充分條件：對于多元函數(shù)f（x1，x2，…x52第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃優(yōu)化問題一般是要求目標函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的最小點，也就是要求全局的極小點，一元函數(shù)的凸性第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃優(yōu)化問題一般是要求目標函數(shù)在某53第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃一、凸集一個點集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點x1和x2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點集為凸集。否則稱為非凸集。用數(shù)學(xué)語言表述為：如果對于一切x1∈R，x2∈R及一切滿足0≤α≦1的實數(shù)α，點αx1+（1-α）x2≡y∈R，則稱集合R為凸集。凸集可以是有界的，也可以是無界。N維空間中的r維子空間也是凸集。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃一、凸集54第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸集具有以下性質(zhì)：若A是一個凸集，β是一個實數(shù)，α是凸集中的一個動點，即α∈A，則集合βA=｛X：X=βα，α∈A

｝還是凸集。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸集具有以下性質(zhì)：55第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃若A和B是凸集，a、b分別是凸集A、B中的動點，即a∈A，b∈B，則集合A+B=｛X：X=a+b，a∈A，b∈B｝還是凸集。任何一組凸集的交集還是凸集。凸集的性質(zhì)第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃若A和B是凸集，a、b分別是凸56第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃二、凸函數(shù)函數(shù)f（x），如果在連結(jié)其凸集定義域內(nèi)任意兩點x1、x2的線段上，函數(shù)值總小于或等于用f（x1）及f（x2）作線性內(nèi)插所得的值，那么稱f（x）為凸函數(shù)。用數(shù)學(xué)語言表述為f〔αx1+（1-α）x2〕≤αf﹙x1﹚+（1-α）f﹙x2﹚其中0≤α≤1若上兩式均去掉等號，則稱為嚴格凸函數(shù)。凸函數(shù)的定義第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃二、凸函數(shù)凸函數(shù)的定義57第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸函數(shù)的一些簡單性質(zhì)設(shè)f（x）為定義在凸集R上的一個凸函數(shù)，對任意實數(shù)α﹥0，則函數(shù)αf（x）也是定義在R上的凸函數(shù)。設(shè)f1（X）和f2（X）為定義在凸集R上的兩個凸函數(shù)，則其和f1（X）+f2（X）也是R上的凸函數(shù)。對于任意正數(shù)α和β，函數(shù)α

f1（X）+βf2（X）也是在R上的凸函數(shù)。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸函數(shù)的一些簡單性質(zhì)58第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃三、凸性條件設(shè)f（x）為定義在凸集R上，且具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（x）在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是對凸集R內(nèi)任意不同兩點x1，x2，不等式恒成立

設(shè)f（x）為定義在凸集R上連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（x）在Ｒ上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G（x）在R上處處正定。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃三、凸性條件設(shè)f（x）為定義在59第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃四、凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題minf（x）s.t.gj（x）≦0j=1，2，…，m若f（x），gj（x）j=1，2，…，m都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃四、凸規(guī)劃60第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸規(guī)劃的性質(zhì)1.若給定一點x0，則集合R=｛x|f（x）≦f（x0）｝為凸集。此性質(zhì)說明，當f（x）為二元函數(shù)時，其等值線呈現(xiàn)大圈套小圈的形式。2.可行域R=｛x|gj≦0j=1，2，…，m｝為凸集3.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸規(guī)劃的性質(zhì)61第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件求解等式約束優(yōu)化問題minf（x1x2）s.t.hk（x）=0，k=1，2，…，m需要導(dǎo)出極值存在的條件，這是求解等式約束優(yōu)化問題的理論基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)上有兩種方法處理：消元法（降維法）和拉格朗日乘子法（升維法）。一、消元法二、拉格朗日乘子法求解等式約束的另一種經(jīng)典方法，它是通過增加變量將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題，所以又稱升維法。第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件求解等式約束優(yōu)化問題62第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件二、拉格朗日乘子法（就是把約束極值條件轉(zhuǎn)化為無約束問題的極值）對于具有l(wèi)個約束的維優(yōu)化問題minf（x）s.t.hk（x）=0，k=1，2，…，l在極值點x*有第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件二、拉格朗日乘子法（就是把63

第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件分別乘以待定系數(shù)λk（k=1，2，…，l）再和把l等式約束給出的l個相加，得可以通過其中l(wèi)個方程來求解l個λ1，λ2

…λl

，使得l個變量的微分dx1，dx2

…dxl系數(shù)全為零。（式2-10)（式2-11)

第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件分別乘以待定系數(shù)λk（k64第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件式2-10的等號左邊就只剩下n-l個變量的微分的dxl+1，dxl+2，…，dxn的項。dxl+1，dxl+2，…，dxn是任意的項所以（2-13）將2-10和2-13合并得第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件式2-10的等號左邊65第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件根據(jù)目標函數(shù)的無約束極值條件則上述問題的約束極值條件可以轉(zhuǎn)換成無約束的極值條件。辦法是把原來的目標函數(shù)f(x)改造成如下形式的新的目