初中勾股定理的證明方法

第初中勾股定理的證明方法證明勾股定理的方法篇一

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

印度數(shù)學家兼天文學家婆什迦羅〔Bhaskara，活潑于1150年前后〕對勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如以下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五局部。其中四局部都是與給定的直角三角形全等的三角形；一局部為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五局部重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，

婆什迦羅還給出了以下圖的一種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有

c/b=b/m，

c/a=a/n,

cm=b2

cn=a2

兩邊相加得

a2+b2=c(m+n)=c2

這個證明，在十七世紀又由英國數(shù)學家J.沃利斯(Wallis,1616～1703)重新發(fā)現(xiàn)。

有幾位美國總統(tǒng)與數(shù)學有著微妙聯(lián)系。G?華盛頓曾經(jīng)是一個著名的測量員。T?杰弗遜曾大力促進美國高等數(shù)學教育。A.林肯是通過研究歐幾里得的《原本》來學習邏輯的。更有創(chuàng)造性的是第十七任總統(tǒng)J.A.加菲爾德(Garfield,1831～1888)，他在學生時代對初等數(shù)學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，〔當時他是眾議院議員，五年后中選為美國總統(tǒng)〕給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發(fā)表于《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得

即

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

勾股定理的證明方法篇二

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數(shù)學史上被傳為佳話。

的平方=3的平方+4的平方

在圖一中，DABC為一直角三角形，其中DA為直角。我們在邊AB、BC和AC之上分別畫上三個正方形ABFG、BCED和ACKH。過A點畫一直線AL使其垂直於DE并交DE於L，交BC於M。不難證明，DFBC全等於DABD〔S.A.S.〕。所以正方形ABFG的面積=2′DFBC的面積=2′DABD的面積=長方形BMLD的面積。類似地，正方形ACKH的面積=長方形MCEL的面積。即正方形BCED的面積=正方形ABFG的面積+正方形ACKH的面積，亦即是AB2+AC2=BC2。由此證實了勾股定理。

這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的`關(guān)系來進行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以ML將正方形分成BMLD和MCEL的兩個局部！

這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數(shù)學歐幾里得之手。

歐幾里得(EuclidofAlexandria)約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作《幾何原本》?！稁缀卧尽肥且徊縿潟r代的著作，它收集了過去人類對數(shù)學的知識，并利用公理法建立起演繹體系，對后世數(shù)學開展產(chǎn)生深遠的影響。而書中的第一卷命題47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。

圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色局部，亦都是一個正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長度為c，其余兩邊的長度為a和b，那么由於大正方形的面積應(yīng)該等於4個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有

(a+b)2=4(1/2ab)+c2

展開得a2+2ab+b2=2ab+c2

化簡得a2+b2=c2

由此得知勾股定理成立。

中學勾股定理課堂實錄篇三

師:我們知道，數(shù)學是一門根底學科，它用概念、公式、定理演繹著數(shù)學的神奇和魅力，今天我們在一起繼續(xù)學習一個古老而著名的數(shù)學定理。首先請大家欣賞圖片〔屏顯〕：這是2023年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會，在這個會場上到處可以看到一個像旋轉(zhuǎn)的風車一樣的圖案，這就是左下角——大會的會徽，請大家仔細觀察：這個會徽是由哪些圖形組成的？生1:三角形和正方形。

師:什么三角形？

生2:直角三角形。

師:這些三角形和正方形分別在什么位置？是怎么擺放的？

生:四個直角三角形圍成一個正方形，正方形被它們包圍著。

師:好！請坐！那么為什么選它作為大會的會徽呢？這里蘊藏著一個偉大的發(fā)現(xiàn)，今天我們就來學習這個發(fā)現(xiàn)：勾股定理?！舶鍟?8.1勾股定理〕我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一，請大家閱讀下一段資料，誰來讀一讀？

生:〔生讀〕中國最早的一部數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載著周公與商高的一段對話，周公問：“我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地的數(shù)據(jù)呢？〞商高答復(fù)說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓的這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形“矩〞〔即直角〕得到的一條直角邊“勾〞等于3，另一條直角邊“股〞等于4的時候，那么它的斜邊“弦〞必定是5，這個原理在大禹治水的時候就總結(jié)出來的呵！〞

師:在資料中：商高與周公談到的是什么三角形？

生:直角三角形。

師:談到的是直角三角形的什么關(guān)系？

生:三邊關(guān)系。

師:好！請坐！那么直角三角形三邊到底有怎樣的關(guān)系呢？這節(jié)課我們就來共同探究這個問題。我們把直角三角形放在網(wǎng)格中，假設(shè)網(wǎng)格中的每一個小正方形的邊長為1，那么直角三

角形兩直角邊的長度分別為多少？

生:兩直角邊的長度都是2。

師:現(xiàn)在我們以三邊為邊向外做正方形，你能得出三個正方形的面積嗎？誰有結(jié)果？生1:正方形A的面積等于4。

師:繼續(xù)！

生2:正方形B的面積等于4，正方形C的面積是8。

師:你是怎樣求C的面積的？

生:我把它構(gòu)造成兩個直角三角形。

師:好！你上前邊來給大家講一講！

生:〔生上臺講解〕將正方形C沿著中間那條對角線分開，得到兩個直角三角形。他們的底邊是4，高分別都是2，然后用面積進行計算。

師:很好！請回！這種計算面積的方法是用的割，還是補？

生:(齊)割。

數(shù)學勾股定理教學設(shè)計篇四

數(shù)學勾股定理教學設(shè)計〔教學目標〕

1、讓學生通過對的圖形創(chuàng)造、觀察、思考、猜測、驗證等過程，體會勾股定理的產(chǎn)生過程。

2、通過介紹我國古代研究勾股定理的成就感培養(yǎng)民族自豪感，激發(fā)學生為祖國的復(fù)興努力學習。

3、培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學分析和數(shù)學推理證明的能力。

數(shù)學勾股定理教學設(shè)計〔教學重難點〕

利用拼圖證明勾股定理

數(shù)學勾股定理教學設(shè)計〔學具準備〕

四個全等的直角三角形、方格紙、固體膠

數(shù)學勾股定理教學設(shè)計〔教學過程〕

〔一〕趣味涂鴉，引入情景

教師：很多同學都喜歡在紙上涂涂畫畫，今天想請大家?guī)屠蠋熗瓿梢环盔f，你能按要求完成嗎？

〔1〕在邊長為1的方格紙上任意畫一個頂點都在格點上的直角三角形。

〔2〕再分別以這個三角形的三邊向三角形外作3個正方形。

學生活動：先獨立完成，再在小組內(nèi)互相交流畫法，最后班級展示。

〔二〕小組探究，大膽猜測

教師：觀察自己所涂鴉的圖形，答復(fù)以下問題：

1、請求出三個正方形的面積，再說說這些面積之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

面積邊長

第Ⅰ個正方形

第Ⅱ個正方形

第Ⅲ個正方形

證明勾股定理的方法篇五

最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖〞，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖〞中，以弦為邊長玫秸？叫蜛BDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長為b-a，那么面積為(b-a)2。于是便可得如下的式子：

4某(ab/2)+(b-a)2=c2

化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)