2023年高考數學一輪復習重難點專題突破：專題08證明不等式問題（解析版）

專題08證明不等式問題【方法技巧與總結】利用導數證明不等式問題，方法如下：(1)直接構造函數法：證明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉化為證明f(x)-g(x)>o(或〃x)-g(x)<o),進而構造輔助函數/z(x)=/(x)-g(x)；(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；(3)構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.(4)對數單身狗，指數找基友(5)凹凸反轉，轉化為最值問題(6)同構變形【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：構造函數(差構造、變形構造、換元構造、遞推構造)題型三：分析法題型四：凹凸反轉、拆分函數題型五：對數單身狗，指數找朋友題型六：放縮法題型七：虛設零點題型八：同構法題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理題型十：分段分析法、主元法、估算法題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值題型十二：函數與數列不等式問題題型十三：三角函數【典例例題】題型一：直接法例1.已知函數f(x)=(a-\)lnx4-X+—,a<0.x(1)討論函數/(X)的單調性；(2)當av-1時，證明：Vxg(1,+oo),f(x)>-a-a2.【解答】解：(i)f\x)=—+1-4=(x-l)?+t/).X X因x>0，a<0，①當一IvavO時，0<-a<l,函數f(x)在(0,-a)內單調遞增，在(一a,1)內單調遞減，在(l,+oo)內單調遞增；②當a=T時，尸(x)=a"/)..0,函數f(x)在(0,+oo)內單調遞增；x~③當av—l時，一々>1,函數在(0,1)內單調遞增，在(1,-a)內單調遞減，在(-a,+O0)內單調遞增；綜上:當-IvavO時，函數f(x)在(0,-a)內單調遞增,在(-a,1)內單調遞減，在(1,田)內單調遞增；當〃=-1時，函數/*)在(0,茁)內單調遞增；'11"—1時，函數/(x)作(0,1)內單.調遞增，在.(1,一。)內單調遞減，在(一。,也))內單調遞增；(2)當av-l時，由(1)得，函數/(幻在(0,1)內單調遞增，在(1,-々)內單調遞減，在(-4-)內單調遞增，函數f(x)在(1,+oo)內的最小值為/(—a)=(a-a)—a—1,欲證不等式/*)>一。一。2成立，即證一a-。？<(a-l)/n(-a)-a-l,即證/+(〃-1)加(一〃)一1>0,I川ci<—1?所以只需證加(―a)v—a—1>令h(x)=/nx—x+l(x..l),則h\x)=--1=-^———?0,xx所以，函數人(x)在［1,+O0)內單調遞減，力*),,〃(1)=0，又因av—1,即一a>1.所以h(-a)=ln(-a)+a+1<0,即“l(fā)av-1時,歷(一a)v—a—1成立，綜上，當av-l時，Vxe(l,+oo),f(x)>-a-a2.司2.司2.設函數f(x)=alnx-\■—『\/X(1)討論函數/(x)的單調性;(2)當a=l且x>l時，證明:—%2—X+3>f(x)?

2 .【解答】解：⑴函數f(x)=a而+十，定義域為(0,內),①當a,,Ofbt，f'(x)<0，則f(x)在(O,y)上單調遞減;②當a>0時，令_f(x)=O,解得》=二，a-當xe(O,-V)時，r(x)<0,ar當x￡(4,+8)時，f\x)>0,cr所以/(x)的單調遞增區(qū)間為d，+00),遞減區(qū)間為(0，).TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a a"綜上所述，當40時，/(x)的單調遞減區(qū)間為(0,+oo):當a>0時，/(x)的單調遞增區(qū)間為(二，+oo),遞減區(qū)間為(0,4).a~ a2 1、\fx-1-x2yjx4-XyJX(\Jx-1)(1-X2-\fx-1-x2yjx4-XyJX(\Jx-1)(1-X2-Xy/x)X\[x則h\x)= 、-x+1=XXyJX因為x>1,則hr(x)<0,所以力(X)在(1,~KX)上單調遞減,故h(x)<h(1)=——<0,2I.則小及丁+—<。,故-X2-X4-3>f(X)?例3.已知函數f(x)=Inx+a(x2-1).(1)討論函數f(x)的單調性;(2)當a=~,xg[1,+oo)時，證明：f(x\,(x-l)er.2【解答】解：(1)函數的定義域為(0,yo),f(x)=-+2ar=2aV+\x>0),X X當a..O時，/。)>0在(0,內)上恒成立，所以函數/(x)在(0,??)上單調遞增,當a<0時，由/(x)>0解得0<x<J-1-,由r(x)<0解得x>J-」-,V2a v2a???函數/(x)在區(qū)間(0,匕單調遞增，在區(qū)間(、-',”)上單調遞減：TOC\o"1-5"\h\zV2a \2a(2)證明：^(x)=(x-l)ex-Inx----(xy—]h(x)=x-l-lnx9則〃'(x)=l——=- ，xx.?.X￡y—]h(x)=x-l-lnx9則〃'(x)=l——=- ，xx.?.X￡(O,1)時，〃(幻<0,以幻遞減；xw(l,+oo)時，h\x)>0,/i(x)遞增....x>0時，h(x)..h(1)=0>BPx-\..lnx,綜上所述，x>0時，-——Inx.=e—(e—1)—1=0?再令見x)=xe"-(e-l)x--(x..l)?則加(x)=(x+l)e、-(e-l)+-y,X X當x..l時,(x+l)e"..2e,4>0,(x+l)ex-(^-l)+—>2e-(e-l)>0?即ni{x}>0,???丁=〃心：)在[1,+00)上單調遞增，tn(1)=g'(1)=0,/n(x)..m(1)=0,.?.尸且⑶在口，+oo)上單調遞增，/.g(x)..g(1)=0,綜上可知，f(x\,(x-\)ex.題型二：構造函數(差構造、變形構造、換元構造、遞推構造)例4.已知曲線f(x)=三」與曲線g(x)=a/nr在公共點(1,0)處的切線相同，(□)求實數。的值；, , ,d—1m.()求證：當x>0時，---ISv-lInx.2【解答】()解：f\x)=X,g'(x)=—,X依題意f'(1)=g'(1),.31;(；)證明：由三二!■-(X-l)=J(X-l)2..O,得正2 2 2(1)若X..0時，不等式(x-l)/(x)../nr2-1恒成立，求，”的取值范圍；(2)求證：當x>0時，/(x)>4//ir+8-8/n2.【解答】解：(1)不等式2T恒成立，即(x-l)e*-萩+1..0恒成匯,令g(x)=(x-l)e*-mx2+1,則g'(x)=x(ex-2m)(x..0),當樞,g時，對任意xw[0，的)，有g<x)..O,得g(x)在[0,+8)上單調遞增,.?.g(x)..g(0)=0,即根，;滿足題意；當〃時，若xe(0,ln2m)?則gf(x)<0,g(x)在(0,加2m)上單調遞減，g(加2切)vg(0)=0，與g(x)?.0矛盾，不合題意.綜上所述，也,工；2證明：(2)令人(x)=e'-4/收一8+8/〃2,4h,(x)=ex——，x???”(x)在(0,y)上單調遞增，且"(1)=e-4v0,H(2)=/一2>0,???存在唯一的qw(l,2),使得〃(%)=。當x￡(0,與)時，/Z(x)<0,〃*)單調遞減，當 +oo)時，〃(x)>0,/i(x)單調遞增，:.人(x)向“=h(xQ)=e"-4/mx0-8+8/〃2,3 4111H\Xq)=0,fe*——tXq=/h4—IhXq?,與, 4f , 4I4-力(%))= 4(//?4—%())—8+8/〃2=4x()d 8..2i4x0 8=0,/ %v%vxog(1,2),上式“=”不成立，h(x)..A(x0)>0,BP/(x)>4/zir+8-8/n2.例6.已知函數/(x)=加(工+l)+a(V+x)+2.(1)當。=1時,求/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；(2)當a>0時，若/(X)的極大值點為為,求證：/(X|)<-2ln2+-.

【解答】解：(I)當”=1時，f(x)=ln(x+\)+x2+x+2,因為/，(x)=」一+2x+l，X+1所以r(o)=2,因為F(0)=2,所以y(x)在點(0,7(0))處的切線方程為y=2x+2.證明：(2)/(x)=ln(x+\)+a(x2+x)+2的定義域為(-l,+oo),f'(x)=———卜a(2x+1)=2ax+3a1x+1 x+1g(x)=2ax2+3ar+a+l,A=tz2-8a,①當△?(),即0v?,8時，g(x)..0,故/'(x)..0,所以/(x)在(T,+oo)匕單調遞增.此時/a)無極大值.②當△>(),即當々>8時，g(x)的對稱軸工=一一，4因為g(一l)=g(-g)=l>0,g(-=1 Q 1 1所以函數g(x)在區(qū)間(-1,-5)有兩個零點X,x2?不妨設X<玉，其中%￡(一1,一工2《(一7一一)所以當-1VXVX］時，g(x)>0,r(x)>0，所以/a)在(-1+)上單調遞增；當時，g(x)<0，ff(x)<0?所以/(x)在(x，/)上單調遞減；當x>/時，g(x)>0?f\x)>0?所以/(X)在(公，+8)上單調遞增.此時函數/(X)有唯一的極大值點為占，且_1<占,又因為g(±)=0.所以a=——」——2X1~+3X]+1+2,所以小)=仆+1)+懸"3+硝+2=歷(％+1)+2,i己(p(t)=ln(t+1) F2(—1</<2f+l則o3=占2r+l-2r

(2,+1/r(4r+3)(f+1)(21+1)2TOC\o"1-5"\h\z3 i所以夕⑺單調遞增，(p(t)<<p(--)=-2ln2+-,4 2即f(x,)<-2/"2+g.例7.已知函數/(x)=ln(ex-1)-Z/tr.(1)判斷/")的單調性，并說明理由；(2)若數列{《,}滿足4=1,an+l=/(??),求證：對任意〃￡N*,an>an+[> .r-Ks1i\ ，，/、e*1xe'-ex+1(x—l)e*+]【曲會】(1)解：f(x)=--一-= —，e-1x(e-I)x(e-l)x令g(x)=(x-l)e*+1>g'(x)=ex+(x-l)ex=x>0,g(x)在(0,田)上遞增,.?.g(x)>g(O)=O,"'(功>。,〃x)在(0,+oo)上單調遞增.(2)證明：由《+|=f{an)=>ln(ea"-1)-lnan=%,要證?！?gt;4+1>泉，只需證4>4+|>ga“，即證：an>ln(eOn-1)一lnan>-an,,:e/>a”+1,TOC\o"1-5"\h\z/.an+]=/〃(e'一1)一lnan>lnan-lnan=0? >0?4、T-、4i 1e""—1d"-1a先證左3：In <a'= <en,an 4令?！?x(x>0)。證e*-1vxex，即證式ex-ex+1>0,令〃(x)=xe、—，+l,h\x}=xex>Q,%(x)在(0,中?)上遞增，/.ft(x)>h(0)=0,得證.,,] 1 - -再證右邊：In >—x,即證 ex-xe2-1>0?x2X X XXX令"(x)=e*-x>-1,H\x)=ex-e^一土/=e2 ---l)>0?2 2在(0,依)上遞減，//(x)>H(0)=0,也得證.綜匕對X/〃wN*,a”>4+i> ，，4>a*]>*?題型三：分析法例8.已知1V&2,函數f(x)=e'-x-a,其中e=2.71828…為自然對數的底數.(口)證明：函數y=/(x)在(0,田)上有唯一零點；(口)記/為函數y=/(x)在(0,+oo)上的零點，證明：(r.) J2(a-1)；(：.)V(e%)..(e_[)(q_l)a.【解答】證明：():/(xXe'-x-a=0(x>0),.,.r(x)=e*-1>0恒成立,f(x)在(0,??)上單調遞增，.T<q,2,:.f(2)=e2-2-a..e2-4>0,X/(0)=l-a<0,.?.函數丫=/(x)在(0,內)上有唯一零點.(i：)(i)f(%)=0,eXo-x0-a=0,yja—l^!k0,2(。-1), —x0—l^!k02(e"——1)?2令g(x)=e*-x-l—f(0<x<2),h(x)=ex ，(0<x<2),一方面?hr(x)=ex-\-x=l\(x)?/z,(x)=-1>0?〃(x)>//(0)=0,??.h(x)在(0,2)單調遞增，h(x)>〃(0)=0,:.€x—x—1 >0,2(/—x-1)>x>2另一方面，lv4,2,「.Ova-L,l，/.當.1時，J〃-L,x0成立，:.只需證明當Ovxvl時，g(x}=ex-x-l-x2,,0,/gfM=ex-l-2x=gl(x)?gr(x)=ex-2=0f:.x=ln2,當xc(0,加2)時，g],(x)vO,當xe(加2,1)時，&.(x)>0,.?.g'(x)vmav{g'(O),g'(1)}，g'(0)=0，g'(1)=e-3<0,.?.g，(x)<0,.?.g(x)在(0,1)單調遞減，g(x)<g(0)=0,:,ex-x-l<x29綜上，e"—七—掇1ko~2(e"一$—1),.?? 效koJ2(a-1).(h)要證明x^f)..(e-l)(a-l)a,只需證%/(%+a)..(e-l)(a-l)a，由(0得只需證e而""-\]ci—1—2a..(e—\)ayja-1,.*￡*..1+X+—X~,***只iTijill.1H—(\/Cl—1+6f)~—a..(e- ci—1>2 2只需證萬)2-2(e-2)4M5二T..0,即證"=-正三L.2(e-2),+00),\*[ =] +yJci—\+00),yJa-T\)a-\=-=-2(e-2),a22/. )??(e-])(〃—l)n.例9.已知a>l,函數/(x)=e'-；x2-ax-l,其中e=2.71828…為自然對數的底數.(口)證明：函數y=/(x)在(0,+oo)上有唯一零點；(□)記/為函數y=/(x)在(0,內)上的零點，證明：x0<a.(參考數值：/〃4.6=1.53)【解答】證明：(：)f'(x)=ex-x-a,f'\x)=e、-1>0在xe(0,+oo)上恒成立，所以f'M在(0,-K?)上單調遞增，/,(0)=l-a<0,f(a)=ea-2a>(e-2)a>0,所以存在X1W(0,a),使得ra)=0.故f”(x)<0nxe(0,x,),f(x)在(0,不)上單調遞減；/,,(x)>0=>xe(x1,+<?),f(x)在(占，+oo)上單調遞增，又/(0)=0,所以/(為)<0,當x-?+oo時，f(x)f+oo,故由零點存在定理，f(x)在(占，+8)上有唯一零點，在(0,占)上沒有零點，所以函數/(x)在(0,+oo)上有唯一零點.()由(：)得：/(x)在(X[,+oo)上單調遞增，且a>x「x0>x,,故要證：xQ<a<只要證/(/)</(a),即證：e"-3〃2一1>0在°>1時恒成立，2設g(a)=ea--a"-1,故g'(a)=ea-3a?g"(a)=e"-3,由(a)=0=a=/n3,所以g'(a)在(1，歷3)遞減，在(加3,+oo)遞增，g1(1)=e-3<0,g'(仇3)=3-3加3vO,g'(/n4.6)=4.6-3x/n4.6>4.6-3x1.53>0,所以存在Ww(加3,歷4.6),使得弁(9)=0，所以g(a)在(1,%)遞減，(w，住)遞增，所以g(a)而“=g(Xj),5 4、因為g(1)=e—]>0,故只需證明=e*一]￥_]>o,由g'(X2)=0=e"=3x2,所以g(毛)=一+3/-1，x?G(//z3,Zn4.6),3 3由二次函數的單調性，W^(x,)>--(/?4.6)2+3//14.6-1>x(1,53)2+3x1.53-1>0.綜上，得證.例10.已知函數，。)=--依-1在(0,丑0)上有零點與，其中6=2.71828…是自然對數的底數.(□)求實數〃的取值范圍；(口)記g(x)是函數y=/(x)的導函數，證明：g(x()).【解答】()解：函數/(笛=夕一以一1,則/")=d一々，①當《,0時，/'(幻>0恒成立，則/(x)在(0,茁)上單調遞增，所以f(x)>/(0)=。，故函數無零點，不符合題意；②當a>0時，由/'(幻=/—a=0,Wx=Ina?若/〃a,0,即此時/(x)在(0,+oo)上單調遞增，不符合題意；若，也>0,即a>l,則在(0,制)上單調遞減，/(x)在(加4+00)上單調遞增，又/(0)=0,故必>0,使得/(內)</(0)=(),而當Xf+8時，f(x).+00時，故3%2>石，使得“工2)>。，根據零點存在定理，3x0e[x],xj,使得/(毛)=0，符合題意；綜上所述，實數。的取值范圍是()證明：g(x)=r(x)=e"-〃，所以g(七)v-1)?即天v2lna,由()知七€(/碎+oo)且/(x)在(0,/也)上單調遞減，在(癡,一)上單調遞增，故只要證明：f(2lna)>0.即f(2bia)=cr—2alna—1=a(a—2lna—)>0,a>1,a設h(x)=x—21nx—(x>1)，x則/i,(x)=i--+-4=a?>o,XrX"故瓜x)在(1,+00)上單調遞增,BPh{x}>h(1)=0,所以/(2勿a)>0成立；綜上所述，g(%)va(a-l)成立.題型四：凹凸反轉、拆分函數例11.已知函數f(x)=±+a(a,0)且f(1) =(1)求函數/(x)的單調區(qū)間;? 1 2(2)證明：lnx>上-上.exex【解答】解：(1)依題意，(-+a)(-e+?)=-1,又4,0,解得々=0,eTOC\o"1-5"\h\z?*-fW=￡,f\x)= >e e令r(x)>0,解得xvl,令r(x)v0,解得x>l,/(x)的單調遞增IXI,llJ為(-00,1),單調遞增區(qū)間為(1,+0。)；1 O X?(2)證明：要證歷x>- 成乂，只需證———成立，exex exe令g(x)=xlnx,則gf(x)=\+lnx9令g，(x)>0,解得x>L令g，(x)<0,解得0<x<Le e：.j?(x)在(o,3上單調遞減，在(L+oo)上單調遞增，e e,g(x)..g(3=-Lee又由(i)可得在(o,+<?)上y(x)“w=/(i)=Le故不等式得證?eee例12.已知函數/(x)=/nx,g(x)=x+/w(mwR).(I)若/(n,g(x)恒成立，求實數m的取值范圍；(2)求證：當x>0時，-+(2—+X【解答】(1)解：F(x)=/(x)-g(x)=lnx-x-m(x>0),則9(x)=3,X當0<x<l時,F'(x)>0,則F(x)單調遞增，當x>l時，F,(x)<0,則尸(x)單調遞減,所以當x=l時，％x)取得最大值尸(1)因為/(x)?g(x)恒成立，即尸(x),0恒成立，則-1一，%,0,解得機..-1,故實數W的取值范圍為［-1,+00);(2)證明：由(1)可知，恒成立，即x../nr+l,所以要證e'+Q-e)llnx+XtX只需證明e*-(e-2)x-l..、成立即可,令h(x)=ex—x2—(e-2)xl(x>0),則h'(_x)=cx—2.x—(e—2),令m(x)=e'-2x-(e-2)(x>0),則m'(x)=ex-2,當0<x<加2時，/(x)<0,則m(x)單調遞減，當x>加2時，m'(x)>0,則％(x)單調遞增，又“(0)=3-e>0,h'(1)=0.因為則為加2)<0,所以存在日w(0,加2),使得l(xo)=O,故當xw(0,%)時，〃'(x)>0,則〃(x)單調遞增，當xe(毛，1)時，〃(x)<0,則〃(x)單調遞減，當xw(l,+oo)時,h'(x)>0.則〃(x)單調遞增，又4(0)=〃(1)=0.所以〃(x)..O,因此，當x>0時，。'+(2-」)1*+]X例13.已知函數f(x)=x2ex-Inx.(In2?0,6931,&t1.649)(□)當x..l時，判斷函數/(x)的單調性；(L)證明：當x>0時，不等式〃x)>l恒成立.【解答】()解：的定義域是(0,內)，f'(x)=xex(x+2)—)Xx..l時，xe'(x+2)..3e,-1?--<0,x故八幻>0,/(x)在[1,+oo)遞增：(L)證明：(i)當0<片,時，x2ex>0,而/nr+L,0，ex2ex>Inx+1?即/(x)>1在xc(0,—|成立；e(ii)當"J■時，/(x)在其」遞增，???嗎=苧-2>0，x…―時，廣(x)>0恒成立，，/(X)..〃；)=乎+濟2N1.1063>1，，/(x)>1在xe［；,+8)恒成立：(in)當』<X/時，f'(x)=ex(x2+2x)--,e2 xM)>o.r(》<o,故3Aoe(L—),使得:(%)=0,?.?r(x)在x>0遞增，x=%是/'(x)的唯一極小值點,也是最小值百，從而e”(%-+2xq) =0,Xqg(―,一),TOC\o"1-5"\h\zXq e2/.f(x)../(%)=-InxQ=- lnxQ,(-<^<—)?%+2 e2?/g(x)= 阮r在［［，遞減，/.g(x)>gd)=J ln—=0.4+In2>1，2 -+2 22.?.f(x)../(xo)>l在xe(LU恒成立；綜上，當x>0時，不等式/(x)>l恒成立.題型五：對數單身狗，指數找朋友例14.已知函數/0)=上三+如.ax(□)當。=1時，求/\x)在［；,2］上最大值及最小值;(□)當lvxv2時,^ciiE(x+\)lnx>2(x-1).【解答】解：(二)/(x)=—+/nr-1?/'(x)=--V+'=X X"X.?.xw［Ll)時，r(x)<0；XG(1,2］時，f'(x)>0；

f(1)=0是函數f(x)的極小值，即f(x)的最小值：又嗎)=1一/〃2,f(2)=/n2-l；.?./(*)的最大值是1-/〃2；函數f(x)在心⑵上的最小值是0,最大值是1-/〃2；()+ .?.要證明原不等式成、'/：,只要證明/土>2(X7):X+1設尸⑶=仆空口，則尸.必I■a=a>0；X+l X(X+l)2 X(X+1)2二函數F(x)在(L2)上是增函數，.?.F(x)>f(1)=0；, 2(x—1)..inx> ;1.?.原不等式成立.例15.已知函數f(x)=Hnr+適士?,曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為丫=2.X(1)求a、b的值；(2)當x>0且xfl時.求證：/(x)>5+D3.X-1【解答】解：⑴函數/(x)=a/nr+運土D的導數為廣(幻=@一餐，X XX曲線y=/(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y=2,可得/(1)=2b=2,/'(1)=a—h=0,解得。=力=1；(2)證明：當x>l時，/(x)>(X+1)/nX.x-1即為妹+1+」>阮1+衛(wèi)竺，xx—\即x---2bvc>0，x當0<x<l時，/(x)X—1即為x 2lnx<0,x人.、 1CJC，心1.1 2 (x-1)2Xzg(x)=x 21nx, (x)=1+——= ——..0,X X'Xx~可得g(x)在(0,E)遞增,g(x)>g(x)>g(1)=0,即有f(x)(x+l)lnxx-1當0<x<l時，g(x)<g(1)=0,即有<(x)>(葉1"—.x-1綜上可得，當x>0且xxl時，/(x)>8+1".都成立.X-1例16.已知函數f(x)=Inx+or-/(ag7?).(1)討論函數/(x)的單調性；(2)若函數/(x)圖象過點(1,0),求證：—+//u：4-x-l..O.xTOC\o"1-5"\h\z【解答】解：(1)函數f(x)的定義域為(0,內)，又/")=工+。=竺±1,X X當a..O時，f'(x)>0,/(x)在(0,+00)上單調遞增：當°<0時，由r(x)=o得x=—1，a若xw(0,」)，r(x)>0，則/(x)在(0,--)上單調遞增：a aWxg ,+oo),f\x)<0,則f(x)在(一上+oo)上單調遞減；a a(2)證明：函數/(x)圖象過點(1,0),可得a=l,此時/(x)=/nr+x-1,要證乙+/心+/一1..0,令8(4)=,"、+/我+工一1(4>0),則g<x)=一二才。+四=。+/田一,x x xxxe令y=xex—1?則y，=(x+l)ex?當xc(0,+oo)時，/>0,故丁=此、一1在(0,y)上單調遞增，由g'(x)=。，EPxex-1=0?故存在x()e(0,+oo)使得=1,此時淖=—?故/二一/叫)，當X￡(0,/)時，gf(x)<0,當]￡(玉，+00)時，gf(x)>0,??函數g(x)在(0,而)上單減，在(%,+00)上單增，故當x=/時，g(x)有最小值g(%)=—^+/啄+/一1=0,?."+而+”一1..0成立,即得證.X例17.已知函數f(x)=lnx+ax-l(aeR).(□)討論函數/(x)的單調性；(口)若函數f(x)圖象過點(1,0),求證：e"x+xf(x)..O.【解答】解：()函數y(x)的定義域為(0,田)，(")=工+。=竺堂.X X當a.O時，/V)>0,/(x)在。田)上單調遞增;當a<0時，由/'(x)=0,Wx=--.a若xg(O,-L)，f'M>0,f(x)單調遞增：a若xe(-Lx)，f'M<0,f(x)單調遞減a綜合上述：當a..O時，/(x)在(0,用)上單調遞增；當。<0時，/(x)在(0,-2)單調遞增，在(-L+oo)上單調遞減.a a(口)證明:函數/(x)圖象過點(1,0),.二/川+?！?=0,解得。=1.€1+xf(x)..0.I'P—+lux+x—1..0.(x>0).X人 .1A/八、，/、 x4-1_xx+1(x4-l)(x^r—1)々g(x)=—+/hx+x-1..0?(x>0)?g(x)— c+ = ； .x xx)cex令h(x)=xex-1,hr(x)=(x+l)e"??函數〃*)在(0,go)上單調遞增，存在占e(0,+oo),使得 可得e*=L,x0=-In^,.%.，-g(x)..g(xo)=l-xo+^-l=O..e'+xf(x)..0成.題型六：放縮法例18.已知函數f(x)=ae，+2x-l.(其中常數e=2.71828…，是自然對數的底數.(1)討論函數/(x)的單調性；(2)證明：對任意的a..1,當x>0時，/(X)..(x+ae)x.【解答】(1)解：由f(x)=ae、+2x-l,得/'(x)=ae、+2.①當a..O時，f'(x)>0,函數/(x)在A上單調遞增；TOC\o"1-5"\h\z②當a<0時,由r(x)>0,解得工<。(_￡),由尸(力<0,解得x>O(_』),a a故f(X)在(-00,/〃(，))上單調遞增，在(/〃(，)，+00)上單調遞減.a a綜上所述，當a..O時，函數〃x)在R上單調遞增；當a<0時，/(x)在(7),陽-士))上單調遞增，在(陽-W)，+<?)上單調遞減.a a一 exx1 2(2)證明：f(X)J^X+C1€)X F€0.xaaxa令g(x)=C-」+2-e,則g，(x)=(xD(ae：xl)xaaxa cue芻a..1時,u€x—x—]..^x—x—\,令h(x)=ex—x—1,則當x>0時，hf(x)=—1>0.???當x>0時，/z(x)單調遞增，h(x)>h(O)=O.???當Ovxvl時，g'(x)<0;當x=l時，g'(x)=O;當x>l時，g'(x)>0.g(x)..g(1)=0.TOC\o"1-5"\h\zexx\ 2即 1 e..0,故/(x)..(x+ci€)x?xaaxa例19.已知函數/。)=/?%+匕，g(x)=""mx+l)-2X X(1)討論函數/。)的單調性；(2)求證：當晦女1時，/(x)>g(x).【解答】解：(1)r(x)」_號LT/)，(xe(O,-K?))XX X當a—L,O，即4,1時，/'。)>0，函數/(x)在(0,內)上單調遞增當。一1>0,即a>l時，由r(x)<0解得0<x<a—l,由廣(》)>0解得—.,?函數f(x)在(O,a-1)上單調遞減，在(a-1,+oo)上單調遞增.綜上所述，當右1時,函數/Xx)在(0,行)上單調遞增：當a>1時函數f(x)在(O,a-1)上單調遞減,在(a-l,+oo)上單調遞增.(2)令尸(x)=/(x)-g(x)=/nr+sin(x+l)-2=x/xasinx+lX X X當噴女1時，欲證，即證f(x)>g(x).即證尸(%)>0，即x/n￥—asinx+l>0，即證xlnx>asinx—1先證：xlnx..ax—\.設g(x)=xlnx-ax+l貝U設g〈x)=\+lnx-a=lnx+\-ay.?.g(x)在(O,e"T)上單調遞減，在+8)上單調遞增g(x)..g(ea'])=(a-\)ea-}-aea~}+1=1-ea-[.?例1,???1--..0,則g(x)..O,即當且僅當x=l,a=l時取等號.再證：ar-L.asinx-1.設h(x)=x—sinx?則hr(x)=1—cosx.O.

??gr)在(0,刊o)上單調遞增,則/z(x)>〃(0)=0,BPx>sinx.??噫心1,所以以一L.asinx-l..當且僅當a=0時取等號.Zxbtx..cix-\1jor-L.asinx-l.兩個不等式的等號不能同時取到,/.x/nr..crsinx-1成立，即當噴出1時，/(x)>g(x)成立.例20.已知函數f(x)=二二.+bvc(1)求函數/(幻的單調區(qū)間；(2)解關于x的不等式/(x)>l(x+3x1 1【解答】解：(1)函數f(x)=——.定義域為：(0,-)1l(-,-KO).\+lnx eeex,(l+/nr--)ra)=—一.r(i)=o.令g(x)=l+/nr-L,g#(x)=—+-^->0,x x???函數g(x)在定義域上單調遞增.0<x<-,-<x<l./'(x)<0,函數/(x)單調遞減.X>1時，/'(x)>0,函數/(x)單調遞增.(2)不等式/(x)>:(x+3,即二一><。+')?2X14-/71X 2X0<x<-./(x)<0,舍去.e當x=l時，不等式的左邊=右邊，舍去./.X>—,且XW1.e①J<X<1時，由-T>X,要證不等式一±一>L(X+L).可以證明：-^>l(X+-).等價于證明:e \+lnx2x \+lnx2x >1+Inx.l+x22x2令F(x)= -(14-Inx).l+x?一1)2?一1)2x(l+x2)2<0,函數尸(X)&(L)上單調遞減,e尸(x)>F(1)=0.②當x>l時，不等式。主;>匕婀.1+rX令人。)="；，=1+r X〃(x)=2叱H>0,函數〃(x)在(l,+oo)上單調遞增，(1+X-)/.h(x)>h(1)=1.由lnxvx-1，/.u(x)<1.?..不等式匕竺成立.+xX綜上可得：不等式f(x)>，(x+L)的解集為：(-,1)11(1,+?).2x e題型七：虛設零點例21.設函數/(X)=elx+alnx.(1)討論/(x)的導函數/'(x)零點的個數；(2)證明：當avO時，f(x)..aln(-^)-2a.【解答】解：⑴函數的定義域(0,內)，/((x)=2e2t+-,X當a..O,f，(x)>0恒成立，沒有零點，當a<0時，r(x)=2e2，+q在(0,內)上單調遞增，X又因為％—>0時，f\x)-00,Xf+8時，/(x)->+oo,故r(x)只有i個零點；(2)令/〃=一。，則m>0,f(x)=e2x-minx,由(1)知，當avO時，/'")只有1個零點，設為七,則2e?%+巴=0,入m門2t.m???2e2x°——=0,e2x0=——，/ 2%wc，加]mi3x2x0=In——=加萬一znx0,當0<工〈天，/rU)<0,/(x)單調遞減，當時，/r(x)>0,f(x)單調遞增，故當x=Xo時，函數/(x)取得最小值f(x0)=e2x0-mbixQ= -m(ln—~2x0)= +mln—+2mx^,2xq2 2x0mTOC\o"1-5"\h\z/m 2 2 a..2/ ?2.tnx^+mln—=2/w+mln—=—2。+（—）.Y2x0 m m 2例22.設函數/（x）=e2x-alnx.（□）討論f（x）的導函數r（x）零點的個數；■ , . 2（廠）證明：當々>0時，f（x）..2a+aln—.a【解答】解：（：）/（%）=1-〃底的定義域為（0,>h?）,X當小。時，ra）>o恒成立，故r（x）沒有零點，當a>。時，?.?y=e2*為單調遞增，y=-@單調遞增，X.?.」⑶在（0,+oo）單調遞增，又f（a）>0,假設存在b滿足0cbe”時，且f（b）<0.4 4故當a>0時，導函數r（x）存在唯一的零點，（）由（）知，可設導函數廣。）在（0,??）上的唯一零點為與,當xe（0,%）時,f（x）<0.當X€（不，+00）時,f'（x）>0,故f（x）在（0,x0）單調遞減，在（Xo，+00）單調遞增，所以當X=X（）時，/（X）取得最小值，最小值為了（占），由于2e2M--=0,%所以/（■>）=-^-+2%+aln—..2a+aln—.2x0 a a?.?函數/(x)在R遞增，?*-ffM=ex-2x-a..0，得@ex-2x.設g(x)=ex-2x，則g，(x)=e'-2,令g，(x)=O,解得:x=ln2?當xvln2時，g'(x)<0,當x>Inx時，g'(x)>0?故函數g(x)在(-oo,/〃2)遞減，在(加2,田))遞增，故x=/〃2時，g(x)取得最小值g(加2)=2-2加2?故a,2—2/〃2，故。的范圍是(-8,2-2加2)；解法2：由f\x)=cx—2.x—a?設h(x)=ex-2x-a,則〃(x)=e'-2,令〃(x)=0,解得：x=ln2,當xv加2時，h\x)<0,當x>/〃2時，h\x)>0,故函數〃(x)在(Y0,加2)遞減，在(/〃2,田)遞增，故x=Iril時，h(x)取得最小值h(ln2)=2-2ln2-a,???函數/a)在/?遞增,故ra)..o,由丁U)=/i(x),則2-2加2-a.O,解得:w,2—2加2,故。的范圍是(yo,2-2歷2)；(2)證明：若a=l,MO/(x)=ex-x2-xtWfr(x)=ex-2x-l?由(1)知函數/(外在(yo,/〃2)遞減，在(加2,田)遞增，又r(O)=O,f(1)=e—3vo，r(l+g加2)=缶-3-加2>0,則存在為c(l[+g加2),使得/'(%)=()，即e"-2x0-1=0,當xe(O,/)時，f\x)<0,當工￡*0，+oo)時，ff(x)>0?則函數/*)在(0,小)遞減，在(毛，+oo)遞增，則當x=/時，函數/*)取最小值f(Xo)=e"-Xq-x0,故當x>0時，/(x)../(x0)?由—2x0—1=0?得e"=2x0+1?則f(X0)=c"一/一一/=2x04-1-Xq2-Xq=+%+1=―(/--)2+-,由于/w(l,l+g/〃2),則/(3))=-(、)-J?+j>—(1+—加2)2+(1+—加2)+12 2ln2ln22=1--—-(—)，2 2故x>0時，/(x)>l---(—)2.題型八：同構法例24.已知函數/。)="也.x(1)討論/(X)在區(qū)間(1,物)上的單調性：(2)當a=l時，證明：x-tr\.xf(x)+&inx.【解答】解：(D因為函數f(x)=W竺，x>\,X所以八幻=工也，x>i,X由廣(X)=>”而=0,得%=人"，JT當e~,,1,即a..l時,/'(x)<0,f(x)在區(qū)間(1,+?)上單調遞減;當e~>l,即a<l時，由/(x)>0,得1cx<e~,由r(x)<0,得x>ej,所以/(x)在(l,e~)上單調遞增，在(e~,+8)上單調遞減.綜上可得，當a.」時，/(x)在區(qū)間(1,m)上單調遞減；當“<1時,/(x)在(l,e~)上單調遞增，在(六"，+8)上單調遞減.(2)當4=1時，f(x)=l±也，X要證x?"叫.x?/(%)+sinx,即證x?es,nx..14-Inx+sinx,即證*i.J+/nr+sin%,令g(x)=e*-x-l,xeR,貝Ug'(x)=e，-1，令g，(x)>。，可得x>0，令g，(x)vO，可得xvO，所以g(x)在(YO,0)單調遞減，在(0,go)單調遞增，所以g(x)..g(O)=O,所以ex..1+x,所以小+S叫.1+M+sinx,所以x/T.x。f(x)+sinx,得證.例25.已知函數/(x)=ax/nr-x+l,aeR.(1)討論了(幻的單調區(qū)間；(2)當p>4>l時，證明qlnp+Inq<plnq+!np.【解答】解：(1)/(x)=o￥/nr-x+l的定義域為(0,+oo),f\x)=alnx+a—1,①當a=0時，r(x)=—lvO,此時f(x)在(0,+oo)上單調遞減，TOC\o"1-5"\h\z1—a I-o②當a>0時，由廣(幻>0可得x>e工，由/(為<0,可得0<%<6二，.,./(X)在(0,6工)上單調遞減，在(°丁，+oo)上單調遞增，1—a 1-0③當a<0時，由r(x)<0可得x>e^,由r(x)>0,可得0cx<ek,1-a 1-a.?./(X)在(0,e下)上單調遞增，在(e丁，+00)上單調遞減，證明(2)設g(x)=1^>,貝必。)=衛(wèi)竺二型，x-\ x(x-l)*由(1)可得/(x)=Hnr-x+l在(l,y)上單調遞增，?：f(1)=0..,.當xw(l,+oo)時，f(x)>0..,.當xw(1,+oo)時，g\x)<0,.?.g(x)在(l,+oo)上單調遞減，???當〃>q>l時，g(p)<g(4)，p-1q-\qlnp-lnp<plnq-lnq，/.qlnp+Inq<plnq+Inp.例26.已知函數/(X)=(〃比一1)炭，m^R.(1)討論函數/(x)的單調性；(2)若:peR,qe(0,4-oo),證明：當機=1時，f(p+q)+ -q)?+2q>f(p-q)+^(p+q)，【解答】(1)解：f(x)=(rnx+m-V)ex.①m=0時，八幻=-/<0恒成立，故/&)在R上單調遞減，TOC\o"1-5"\h\z②當〃?>0時，若％￡(,一1,-hx),ff(x)>0,函數單調遞增，當xe(-oo,^■-1)時，f(x)<0,函數m m單調遞減，③當相<0時，若— +oo),f'(x)<0,函數單調遞減，當xe(3,L-l)時，f'(x)>0,函數m m單調遞增(2)證明：m=1時，f(x)=xex,3 _ 3、要證f(p+4)+5(p-g)2+2g>/(p-g)+5(p+4)：!,3 ■ 3 .即ii卜f(p+q)-](p+4)“+2q>f(p-q)-3"+q)~‘即證/(p+q)-*|(p+4)2+p+q>/(p-4)_/(p+q)2+(p-q),a令g(x)=/U)--x2+x?上面不等式等價于g(〃+4)>g(〃一4)，要證明g(p+q)>g(〃-4)對于任意p，q>0都成立，即證g(x)單調遞增，又gr(x)=xex-3x+l>令h(x)=er-x+1,則hf(x)=ex-I,當x>0時，h\x)=ex-\>0,函數單調遞增，當xvO時，hf(x)=ex-\<0,函數單調遞減，故〃(x)../?(())=0,即/-x+L.O恒成立，故當x.O時，xe\.x2?xex-3x+lISr2-2x+\0,

>0,當xv0時，e*v1,xex-3x4-1=x(ex-34-

x>0,綜上可得，又8'(幻=旄、-3工+1..0恒成立，故g(x)單調遞增，得證.題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例27.已知函數+asinx,a>0.(1)若x=0恰為f(x)的極小值點.(□)證明：l<a<l；2(□)求y(x)在區(qū)間(yo,i)上的零點個數；(2)若。=1,^=(1--)(1+-)(1-^)(1+^)(1-^)(1+^)...(1-—)(1+—)....x乃乃 2乃 2乃 3乃 5nnnnn又由泰勒級數知：COSX=1一二+《一片+ ,〃￡川,證明TOC\o"1-5"\h\z2!4!6! (2〃)！1 1 1 _7T22232 n26【解答】解：(1)證明：()由題意得：f\x)=lna(l-x)ex+acosx(a>0),因為x=0為函數f(x)的極值點，所以f'(0)=lna+a=0,令g(x)=/nx+x(x>0),則g'(x)=』+l>0,g(x)在(0,小?)上單調遞增，X因為g(l)>0,g(；)=/〃g+；=J〃等<0,所以g(x)=/nr+x(x>0)在(；/)上有唯?的零點a,所以Lvovl；2(「)由(i)知：Ina=-af(x)=a(sinx-xe~x),//(x)=a[cosx-(1-x)e~x],①當xw(f,0)時，由a>0，-Igfcosx1,l-x>l,"工>1得：f\x)<0,所以/a)在(to,0)上單調遞減，/(x)>/(0)=0,所以/3)在區(qū)間(to,0)上不存在零點；②當xe(0,萬)時，設力(x)=cosx-(1一x)e~x,則h'(x)=(2-x)e'x-sinx,1。若xe(0,勺，令m(x)=(2-x)e~x-sinx,則m\x)=(x-3)e-r-cosx<0,2所以m(x)在(0，]上單調遞減，因為/n(0)=2>0,皿§=(2-鄉(xiāng)--1<0：所以存在a￡所以存在a￡(0,四)滿足m(a)=0，當X￡(O,a)時，皿x)=〃(x)>0,/i(x)在(0。)上單調遞增;當xe(a,—］時，m(x當X￡(O,a)時，皿x)=〃(x)>0,/i(x)在(0。)上單調遞增;當xe(a,—］時，m(x)=hf(x)<0,h(x)在(a,—］上單調遞減;2。若不￡(二,2卜令奴x)=(2-x)e~*,x￡(工2］,則夕'(x)=(x-3)1<0,所以奴x)在區(qū)間(巳,2］上單調遞減，所以奴x)<g(馬=(2-馬二<1,2 2 2e又因為sinx..sin2=sin(萬-2)>sin—=—.62所以〃'。)=(2-》)/"-sinx<0,〃(x)在(2,2］上單調遞減；23。若xw(2,t),則”(x)=(2-x)eT-sinx<0,〃(x)在(2,萬)上單調遞減;由1。2。3。得，〃(x)在(0,a)上單調遞增，〃(x)在(a,%)單調遞減，因為/i(a)>〃(0)=0,〃(1)=(1一1)""-1<0,所以存在/6(a,乃)使得h(J3)=0,所以當xw(O,0時，f'(x)=h(x)>0,f(x)在(0,￡)上單調遞增，/(x)>/(0)=0,當xe(/7,%)時，f'(x)=h(x)<0,/(x)在(夕,%)上單調遞減，因為/(/?)>/(0)=0,/(萬)<0，所以/(X)在區(qū)間(⑸乃)上有且只有一個零點、:綜上，f(x)在區(qū)間(yo,t)上的零點個數為2個：(2)因為——=(1——y)(l—Wy)(l-^2)…(1—7-7)…①xn4勿- 3 nXtcosx=l-—+—-—+2!4!6!?(T)"x)

(2n)!兩邊求導得:.xx3x5-sinx= F 1■…+1!3!5!(一1)"尸x x3 x5sinx= 1 f...+1!3! 5!㈠尸/T(2〃-1)!所以”=++/??+(,ir-!x2n-2

(2n-l)!+…②比較①②式中的系數，得：-；=—+［+3+…+3+…)所以《I2111￡+F+F+-+7+-=T例28.已知函數/(x)=x2-vlnx-ax.(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若/(x),,2x\對xs[O,+00)恒成立，求實數〃的取值范圍；(3)當a=1時，設g(x)=xe'-"“)-X-1.若正實數4,4滿足4+4=1，%，毛￡(0,田)(王=/)，證明：g(4內+4電)v4g(%)+4雙出)?TOC\o"1-5"\h\z【解答】解：(1)f'(x)=2x+--a=2x2-aX+l,x>0,△=/-8,X X①a,2>/2時，/(x)..0恒成立，故函數f(x)在(0,+oo)遞增，無遞減區(qū)間，三/znJ. 、八八 a~~ _8_ix a+yjcr—8②a>2V2時，f(x)>0=>0<x< 或x> ,4 4故函數7(x)在(0--Gi),(色亞巨，”)遞增，在(佇近豆，”重三)遞減，4 4 4 4綜上，a,,2應時，函數;'(X)在(0,+oo)遞增，無遞減區(qū)間，a>2&時，函數"X)在(0,紇正三)，(竺叵+8)遞增，在(紇近三，"叵i)遞減,4 4 4 4(2)/(x)?2x2,對xw[0,+8)恒成立，即xe。，+00)時，a.恒成立，x令F(x)=蛆-x,(x>0),則尸")=1_4一尸,X X令6(外=1一加一工23>0),則G，(x)=-2-2x<0，r.G(x)在(0,+?)遞減且G(1)=0.X.?.xw(0,l)時，G(x)>0,/="(x)>0.尸(x)遞增，當xw(l,f?),G(x)<0,F'(x)<0,尸(x)遞減，；.F(x)2=F(1)=-1,綜上，a的范圍是[-1,+00).(3)證明：當a=l時，g(x)=xe-{,nx-x}-x-I=xe^-x-\=ex-x-\,g'(x)=e*-1>0(x>0),不妨設0Vxi<二,下先證:存在Je(X]，赴)，使得8每)-(±)=8'(期七一而)，構造函數H(x)=g(x)-g(xl)-史義一出^(x-xl).Xj—X]顯然=”(芍)，且h\x)=g，(x)_)_§(/—自.),x2-x1則由導數的幾何意義可知，存在JeU.,x,),使得“，?)=<4)_)_史上嶼2=0,/一%即存在Je(Xi，芍),使得g?)-g(*i)=gGX--卬，又g，(x)=e*-l為增函數，?,?g*2)g(x,)=g'(^)(X2-Xl)>g'(x,)(x2-X,),即g(S)>g(X,)+gXx,)(--X,),Xj=4為+不與(4+4=o)，則％一七—(i—4)X|-AzW*%—￡=(1—4)-^2—4西，g(X|)>g(&)+g，(&)(占-Xj)=g(w)+g，(w)［(1-4)X1-48］①，g(%)>g(W)+g'*3)(七-芍)=g(*3)+g'(X3)［(l-4出一4為］②，由①><4+②><4得，4g(x,)+4g(x2)>g(w)=g(4%+4%)，即g(4x+^2)<A,g(x,)+A2g(x2).例29.英國數學家泰勒發(fā)現了如下公式：sinx=x-—+ 其中〃!=1x2x3x4x…x〃，此3!5!7!公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當xe(0,C)時，sinx<x,sinx>x--,2 3!,x3x5sinx<x +—t??,.3!5!(1)證明：當xe(0,當時，—>-；2x2(2)設/(x)=msinx,若區(qū)間［a,句滿足當/(x)定義域為［a,句時，值域也為［a,b］,則稱為f(x)的''和諧區(qū)間”，(□)加=1時，/(x)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出〃x)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；(□)e=-2時，f(x)是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出f(x)的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.【解答】⑴證明：由已知當xe(0,9時，sinx>x4，2 (-)2 ,,得角>1一土>1_-=1一二x6 6 242所以當xe(0，)時，包絲〉L2x2(2)⑴加=1時，假設存在，則由-閱'(X)1知一啜W<b1,注意到1〈工，故［a,句=［-g,二］,所以f(x)在［a,句單調遞增，于是即。，是方程sinx=x的兩個不等實根，[f(b)=b易知x=土三不是方程的根，2由已知，當xe(0,1)時，sinx<x,令x=T,則有fe(-工,0)時，sin(T)<T,即sinf>r,2故方程sinx=x只有,個實根0,故/*)不存在和諧區(qū)間.("》〃=一2時，假設存在，則山一2顆(x)2知—2都rvb2,若a,b..0,則由[a,Z?Jc[0?兀),知/(戲,0,與值域是[a, c[0?幻矛盾,故不存在和諧區(qū)間，同理，4,a,0時，也不存在，下面討論成Db,若成，則[吟,向，故做最小值為2于是-2,所以句,所以/(x)最大值為2,故6=2,此時f(x)的定義域為[-2,2J,值域為[-2,2J,符合題意.若b〈巴,當心-工時，同理可得a=—2,h=2,舍去，2 2當a>-三時，/(x)在[a,切上單調遞減，“…[a=-2sinZ?一口所以｛ .,于是a+b=-2(sina+sinb),[b=-2sina若b>—a即a+/>0,則sinb>sin(-a),故sinb+sina>0,-2(sin?+sinZ?)<0?與a+b=-2(sina+sin%)矛盾；若bv-a,同理，矛盾，所以b>-a,即一=sinb,2由(1)知當xw(0,工)時，sinx>—>2 2因為〃￡[0,2)，所以b=0,從而，a=0,從而a=b,矛盾，綜上所述，有唯一的和諧區(qū)間[-2,2].題型十：分段分析法、主元法、估算法例30.設々>0且awl,函數/(x)=sinax-asinx.(1)若/(x)在區(qū)間(0,2乃)有唯一極值點飛,證明：/(A；))<min{2a7V,(1-a)^)；(2)若/(幻在區(qū)間(0,2外沒有零點，求。的取值范圍.【分析】(1)求出函數的導數，通過討論。的范圍，求出函數的單調區(qū)間，根據函數的單調性求出函數的極值點，從而證明結論成立即可；(2)通過討論々的范圍，結論零點存在性定理判斷函數的零點個數，從而確定a的范圍.【解答】解：(1)證明：fr(x)=acosax—acosx=a(cosax-cosx)=-2asin xsin~~x9若a>l,則/'(x)在區(qū)間(0,21)至少有玉■兩個變號零點，故Ovavl，a+\a+\令(x)=。，得4=2n17r.,Xn-2”,其中加，wgZ?僅當m=1時，％=心呢€(0,2乃)，a+1I—a a+\且在％的左右兩側，導函數的值由正變負，故0<a<1時，/(%)在區(qū)間(0,2兀)有唯一極值點七=—，a+\2乃此時/(x0)=sinax^-asin/,將與= 代入得：。+1人、.勿4.27r .2a兀 .z_24、八、.2a4TOC\o"1-5"\h\z/(/)=sin ssin =sin 1-asin(2^ )=(l+tz)sin ，a+1a+1a+1 a+1 a+1①當二j_,即0<w,!時，2a/，(1一,a+\2 3由不等式：x>0時，x>sinx(*)知：.2a7r 2a7t(1+a)sin <(1+a) =z.an，a+1 a+1②當即當,<a<l時，(\-a)7r<2a7r?a+12 3八、.Ian.. 、./2citt、.. 、.(1-a)7r(1+a)sin =(1+a)sin(4 )=(1+a)sin ,a+1 a+1 a+l由不等式(*)知：(1+a)sin(1_")萬<(1+a)(1_")乃=(1-a)%,a+1 a4-1由①②知f(x0)<min{2a/r,(1-a)^).(2)①當々>1時，f(—)=sin(a-)-tzsin—=-asin—<0?f(—)=sin(^^)+a>0,a aaa 2 2故fg)/￥)<0，a2由零點存在性定理知：〃x)在區(qū)間(生，紅)上至少有1個零點，a2②當一vavl時，n<—<2.71三<。兀<兀，n<2a7i<2tt,2 a2f(一)——qsin—>0?f(^r)=sinan>0,/(2乃)=sin2a7v<0?a a由零點存在性定理知，/(x)在區(qū)間(陽2])至少有1個零點，③當0<W,一時，f'(x)=acosax-acosx=a(cosax-cosx),令g(x)=cosax—cosx,則g'(x)=—asinar+sinx,在區(qū)間(0,幻上，cosar>cosx,f\x)>0./(x)遞增，在區(qū)間(辦2萬)上，g'(x)<0,即g(x)遞減，即((x)遞減，r(x)<r(2萬)<0,故f(x)在(0,x°)上遞增，在(X。，2萬)上遞減，又/(0)=0,/(2乃)=sin2M..0,即在(左,2力上，f(x)>0,故/(%)在區(qū)間(0,2乃)上沒有零點，滿足題意，綜上，若f(x)在區(qū)間(0,2球上沒有零點，則正數”的取值范圍是(0,；].例31.已知函數f(x)=ex(sinx-ax2+2a-e),其中awR,e=2.71828…為自然對數的底數.(1)當a=0時，討論函數的單調性；(2)當g領b1時，求證：對任意的xe[0,+oo),f(x)<0.【分析】(1)求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行討論即可.(2)與j任意的xe[0,+00),/(x)<0轉化為證明對任意的 ,+8),sinx-ar?+2a-e<0,即可,構造函數，求函數的導數，利用導數進行研究即可.【解答】解：(1)當。=0時，/(x)=eA(sinx-e),則(x)=e”(sinx—e)+excosx=ex(sinx—e+cosx)>sinx+cosx=5/2sin(x+—)?&ve,4/.sinx+cosx—e<0故r*)vo則/(x)在R上單調遞減.(2)當x..O時，y=e\.l9要證明對任意的xe[0,+qo),/(x)<0.則只需要證明對任意的xc[0,+00),sinx-ax2+2a-e<0.設g(a)=sinx—ax"+2〃-e=(-x+2)a+sinx—e,

看作以。為變量的?次函數,要使sinx—加+2a-e<0g⑴<0sinx——x2+l-e<0?sinx-x2g⑴<0?.?sinx+l-evO恒成立，，①恒成立，對于②，令/?(%)=sinx-x2+2-e?則"(x)=cosx—2x，設x=f時，hf(x)=0,即cos，-2r=0.cosr1 . .n1t= <一,sint<sin-=一,2 2 62，〃(x)在(0/)上，h'(x)>0,/z(x)單調遞增，在(f,+?)上，h'(x)<0./i(x)單調遞減,則當x=f時,函數〃(x)取得最大值Mf)=sinf-/+2-e=sinr-(T"y+2-e2故④式成立，綜上對任意的xe[0,+oo),/(x)<0.例32.已知函數/(x)=e*—e-*—2x.(1)討論/(X)的單調性；(2)設g(x)=〃2x)-叼(x),當x>0時，g(x)>。,求力的最大值:(3)已知1.4142〈應<1.4143,估計ln2的近似值(精確到0.001)【詳解】(1)因為r(x)=e'+4-220,當且僅當x=0時等號成立，所以函數/(x)在R上是增函數：e(2)因為g(x)=/(2x)-4bf(x)=e2x-e~2x-4h(e'-e~x)+(8Z?-4)x,所以g'M=2(e"+e-、-2b(e*+e-x)+(4b-2)]=2(e*+e-x-2)(e、+ex-2b+2).當642時,g'*)N0,等號僅當X=0時成立，所以g(x)隹R上單調遞增，而g(0)=0,所以時任意X>0,g(x)>0：當/>>2時，若*滿足2<e"+eT<2b-2,即0cx<>(方一1+"/?2-%)時,g'(x)<。，而g(0)=0,因此當0<x41nS-l+招-4時,g(x)<0，綜上，力的最大值為2.(3)由(2)知，g(ln及)=3-2岳+2(28-l)ln2,當3=2時，g(ln揚=3-4及+61n2>0,g2>逑心>0.6928：2 12]\b=~~~~+1時，ln(b-1+yjb2-2b)=ln板,'g(ln血)=--2及+(3^2+2)ln2<0*In2<^^<0.6934,所以In2的近似值為0.693.28x2-l例33.已知函數/(%)= kInx(x>1).X(1)若/(x)NO恒成立，求上的取值范圍：(2)若取正=2.236,試估計in*的范圍.(精確到0.01)4試題解析：(1)八加―IA-①當-24女42時，/_4<0,*2_履+1>0恒成立，所以xe[l,+oo)時，/,(x)>0，f(x)單調遞增，/(x)2/(l)=0恒成立.②當人<-2或%>2時，/'(x)=O，解得占、”"24供=>+〃24Hx,+x2=k,xtx2=1(i)當女<-2,則為<0,七<0，故xe[l,+oo)時，/,(x)>0./(x)單調遞增，/(x)2/⑴=0恒成立.(ii)當后>2,則須<1,%>1，當xw(l，w)時，/,(x)<0.f(x)單調遞減;/(x)</(l)=0恒成立.這與/(x)20恒成立矛盾.綜上所述，k的取值范圍是(—8,2].(2)由(1)Wf(x)=——1221nx(xN1)怛成立，取了=，^>1，TOC\o"1-5"\h\z得,5 5 R 5 6 2 石1，2InJ—vJ-/—=>In—< =—=0.22361,V4 V4 V5 4 2 75 10又由(1)可知出>2時，士inx在(1,巨巫三)時恒成立，x 2令把近三=修，解得叵，取々=2叵>2，2 \4 10 10即有立口<祗Inx在(1,、自上恒成立，x10 V4取鵬得聆A喈喑.??哈”22220.2222<ln』<0.22361(精確至iJO.01),取ln*=0.223.4 4題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值例34.已知函數f(x)=E、(e為自然對數的底數).ex(1)求函數f(x)的零點小,以及曲線y=/(x)在x=處的切線方程；(2)設方程/(x)=nt(m>0)有兩個實數根％,x2,求證：|不一9|v2-皿1+」*).2e【解答】解：(1)由/(x)=--—=0,得％=±1,exr2_?r_i，函數的零點毛=±1,f\x)= ,/r(-l)=2e?/(-l)=0.e7曲線y=/(x)在X=T處的切線方程為y=2e(x+l)，/(1)=--,f(1)=0，e7.?.曲線y=/(x)在x=1處的切線方程為y=--(x-1)；e(2)證明：r(x)=x—2x-1,ex當xg(y,i-夜)u(i+/時，r(x)>o；當xw(i-&,i+/)時，r(x)<o..?./(X)的單調遞增區(qū)間為+應,+<?),單調遞減區(qū)間為(1-應,1+a).由(1)知，當xv-1或時，f(x)<0；當一Ivxvl時，f(x)>0.下面證明:當工￡(一1,1)時，2e(x+1)>/(x).y2_1 J：—[當xw(-1,1)時，2e(x+l)>/(x)=2e(x+l)+——>0oex+,+—^->0.ex 2易知，以工)=6m+三1在1]上單調遞增，而g(-l)=0,g(x)>g(T)=0對X/x￡(T,1)恒成立，:.當 時，2e(x+l)>/(x).由[y=2e(x+l)得記TOC\o"1-5"\h\z[y=ni 2e 2e不妨設尤1<七，則一1<芭v1- <七<1，m>>?|Xy-X)|<|內一/1=X?-%=x?—( 1)?2e要證|百一七|<2-w(ld?--),只要證%—(―-1)?2-/w(ld?--),即證天”\-m.2e ?2e 2e

?，.只要證Xj,,1 J—9即(W——(W+DK。?■:Xj€(1-\/2,1),即證*一(42+1)..0.令奴?=，一(x+1),(p\x)=ex-1.當xw(l-0,0)時,/(x)v0,0(x)為單調遞減函數:當XE(0,l)時，/(x)>0,以外為單調遞增函數.(p{x)..0(0)=0，/.e*2—(9+1)-0，| —Xj|<2—m(\+—)?2e例35.已知函數/(x)=(e-x)/nx(e為自然對數的底數).(1)求函數/(x)的零點，以及曲線y=/(x)在其零點處的切線方程；(2)若方程/(%)=加加。0)有兩個實數根％,x2?求證：|王一%21<0-1~~9e-1【解答】解：(1)由f(x)=(e-x)加x=0,得x=l,或x=e,所以/(x)的零點為1,e；因為ra)=g_/nx-L所以r(I)="1,『(e)=-l.x因為/(1)=f(e)=0,所以曲線線y=/(x)在x=l處的切線方程為y=(e—l)(x—l),在x=e處的切線方程為y=-x+e…4分(2)證明：因為r(x)=￡-/nr-l,所以〃(x)=」-5<0,所以/")=￡一而-1單調遞減.令X XX Xg(x