等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用(問題解決策略課例)_第1頁
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教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景,引出課題1、復(fù)習(xí)提問:(1)等腰三角形的性質(zhì)和判定方法(2)若△ABC是等腰三角形,則有哪些線段相等,哪些角相等。2、如何運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和判定探究圖形的變化規(guī)律——等腰三角形的應(yīng)用(課題)二、探求等腰三角形分割問題1、問題提出:已知△ABC是等腰三角形,過△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線,把△ABC分成兩個(gè)小三角形,如果這兩個(gè)小三角形也是等腰三角形,問△ABC的各內(nèi)角度數(shù)可能是多少?2、問題分析:∵等腰三角形ABC→AB=AC→∠B=∠C∴△ABC的三個(gè)內(nèi)角中只有兩個(gè)未知量,頂角α、底角β又∵由三角形三內(nèi)角和為180°,得α+2β=180∴由題意,再找出一個(gè)α與β的關(guān)系式3、問題解決方式:(1)動(dòng)手畫圖;(2)分組討論;(3)匯報(bào)思考方向第一種情況:1、過A點(diǎn)畫直線交BC于D,則△ADB與△ADC都是等腰三角形,(1)若AD=DB=DC則α=2βα+2β=180°解得α=90°β=45°設(shè)問:△ADB和△ADC是等腰三角形,為什么就有AD=DB=DC,有沒有別的情況?提出問題、歸納幾何表達(dá)式多媒體顯示問題分析求解問題,啟發(fā)用方程思想解決問題組織參與討論匯編思考成果啟發(fā)再思考演示圖形變化,啟發(fā)思考?xì)w納方程組求得解方法思考回答讀題,理解題意參與思考,明確解題方向畫圖思考討論匯報(bào)思考成果觀察圖形得α與β的關(guān)系形成等腰三角形的知識(shí)體系,滲透分類思想,培養(yǎng)分析問題的習(xí)慣;養(yǎng)成動(dòng)手操作,認(rèn)真思考的習(xí)慣理解等腰三角形的分類問題通過觀察圖形,培養(yǎng)聯(lián)想能力(2)若AB=BD,AD=DC則有α=3βα=108°α+2β=180°β=36°問有沒有可能AD=AC或AD=AB設(shè)問:過△ABC的一個(gè)頂點(diǎn),是否一定要過A點(diǎn),過其它頂點(diǎn)可以嗎?得第二種情況,過B點(diǎn)畫直線交AC于D(3)由題意得,AD=DB=BC則有β=2α解得α=36°α+2β=180°β=72°設(shè)問:有沒有可能其它線段相等(4)AD=DB,BC=DCβ=3α解得α=α+2β=180°β=設(shè)問:(1)有沒有可能:DB=DC或AD=AB(2)為什么不可能?4、問題結(jié)論:△ABC各內(nèi)角的度數(shù)有四種可能,即(90°,45°,45°)(108°,36°,36°)(36°,72°,72°)(,,)5、解決問題的思想方法:(1)分類討論思想,按頂點(diǎn)分,按等腰三角形的腰分;(2)數(shù)形結(jié)合思想:幾何計(jì)算中常用方程思想;(3)從中應(yīng)用等腰三角形等有關(guān)幾何的性質(zhì)。三、探求“角平分線與平行線”的基本圖形。1、問題提出:已知,如圖,△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于F點(diǎn),過F點(diǎn)DE∥BC交AB于D,交AC于E。(1)找出圖中所有的等腰三角形,并說明理由。(2)猜想,線段BD、CE、DE之間有什么關(guān)系?為什么?2、問題解決過程:解:(1)圖中有兩個(gè)等腰三角形△DBF,△EFC。理由:BF平分∠ABC(已知)∴∠1=∠2又∵DE∥BC(已知)∴∠3=∠2∴∠1=∠3,∴△DBF是等腰三角形同理△EFC是等腰三角形(3)猜想:BD+CE=DE∵△DBF是等腰三角形∴DB=DF同理EF=EC∴BD+EC=DF+EF=DE3、問題的變化:(從內(nèi)外角平分線分情況思考),引導(dǎo)學(xué)生畫圖變題1過F點(diǎn)作DF∥AB,EF∥AC交BC于D、E(1)圖中又有幾個(gè)等腰三角形(2)BD+CE=DE還成立嗎?你有什么新發(fā)現(xiàn)?解:(1)△BDF,△EFC都是等腰三角形(2)BD+CE=DE不成立DF+DE+EF=BC即△DEF的周長為BC啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考變題2BF是△ABC內(nèi)角平分線,CF是△ABC外角平分線,過F作DE∥BC交AB于D,交AC于E,那么BD、CE、DE之間又有什么關(guān)系?寫出你的畫圖,聽學(xué)生發(fā)言,追問為什么,演示動(dòng)畫啟發(fā)思考動(dòng)畫演示歸納,小結(jié)思考問題觀察得線段相等其他情況找α與β的關(guān)系觀察圖形,得出相應(yīng)的腰領(lǐng)會(huì)小結(jié)培養(yǎng)化歸類比能力感受教學(xué)思想總結(jié)解題方法呈現(xiàn)問題,啟發(fā)思考動(dòng)畫變圖引出變題1動(dòng)畫變圖引導(dǎo)聯(lián)想討論思考觀察圖形,分析條件交流表達(dá)畫圖分組討論觀察圖形,分析比較猜想結(jié)論聯(lián)想條件變化,猜想結(jié)論體會(huì)解題思想培養(yǎng)觀察圖形分析問題的能力培養(yǎng)分析比較猜想能力培養(yǎng)聯(lián)想和探索能力

猜想,并加以證明。分析:關(guān)鍵是找等腰三角形,然后得DE=BD-CE證明:DF∥BC,∴∠DFB=∠FBC∠EFC=∠FCG又∵BF、CF是角平分,∠FBC=∠FBD,∠ECF=∠FCG∴∠FBD=∠DFB,∠ECF=∠EFC變題3BF、CF是△ABC外角平分線,過F點(diǎn)作DE∥BC交AB、AC的延長線于D、E,那么BD、CE、DE之間存在什么關(guān)系?分析圖形思考得,同樣有DE=DB+CE變題4CD是內(nèi)角平分線,CF是外角平分線,過D點(diǎn)作DE∥BC交AC于E,交CF于F,那么,DF與CE又有何關(guān)系?(可作為課外思考)4、問題的結(jié)論:從“解平行線+平行線”=等腰三角形是題中的基本圖形中

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