現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件

1現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

一．矩陣的定義1．矩陣

矩陣定義為矩陣陣列，它的元素可以是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)或算子。一個n行m列的矩陣表示為稱為矩陣。1現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一．矩陣的定義1．矩陣22．方陣

方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。一個矩陣稱為n階方陣。3．向量 1）只有一列的矩陣稱為列向量。具有n個元素的列向量稱為n維列向量。2）只有一行的矩陣稱為行向量。具有n個元素的行向量稱為n維行向量。22．方陣方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。一個34．對角線矩陣

如果除方陣A的主對角線元素外，其余的元素均為零，則稱矩陣A為對角線矩陣，寫成5．單位矩陣 主對角線上元素全為1的對角線矩陣稱為單位矩陣，即34．對角線矩陣 如果除方陣A的主對角線元素46．零矩陣：所有元素都為零的矩陣。7．轉(zhuǎn)置矩陣

如果矩陣A的行和列互相交換，則由此得到的矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，用AT表示。矩陣轉(zhuǎn)置的規(guī)律：1）(AT)T=A2）(A+B)T

=AT+BT

3）(AB)T

=BT

AT

4）(kA)T

=kAT46．零矩陣：所有元素都為零的矩陣。7．轉(zhuǎn)置矩陣5

設(shè)方陣A的行列式為|A|，如果|A|=0，則稱A為奇異矩陣；如果|A|≠0，則稱A為非奇異矩陣。9．對稱矩陣和斜對稱矩陣（反號對稱矩陣）8．奇異矩陣與非奇異矩陣1）對稱矩陣：如果方陣A的元素相對于主對角線對稱，則稱A為對稱矩陣（也可以這樣說：如果方陣A等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即A=AT，則A為對稱矩陣）。2）斜對稱矩陣：如果方陣A等于它的轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)值，即A=-AT，則方陣A稱為斜對稱矩陣（反號對稱矩陣）.5設(shè)方陣A的行列式為|A|，如果|A|=0，6二．矩陣的代數(shù)運(yùn)算1．矩陣的加減法

如果兩個矩陣A和B具有相等數(shù)量的行和列，則這兩個矩陣可以相加和相減。若及，則有即矩陣的加減法就是把兩個矩陣同行同列的元素相加、相減。6二．矩陣的代數(shù)運(yùn)算1．矩陣的加減法如果兩個72．矩陣與數(shù)的乘積（標(biāo)量積）

一個數(shù)量k與矩陣A相乘，就是把矩陣A的每個元素都乘上k，即72．矩陣與數(shù)的乘積（標(biāo)量積）一個數(shù)量k與矩陣83．矩陣與矩陣的乘法

設(shè)A為n×m矩陣，B為m×p矩陣，則A和B的乘積矩陣C為：矩陣與矩陣乘法的性質(zhì)：1）(AB)C=A(BC)2）(A+B)C=AC+BC3）C(A+B)=CA+CB4）一般情況下，矩陣乘法不滿足交換律，即AB≠BA。5）一個n階方陣A與一個n階單位矩陣I相乘時，可互換位置順序，其乘積相同，即IA=AI=A。6）如果兩個方陣A和B的乘積等于零,不能推論A=0或B=083．矩陣與矩陣的乘法設(shè)A為n×m矩陣，B為m×9三．逆矩陣（※）1．子式Mij

：從n階方陣A中去掉第i行和第j列后所得到的是一個(n-1)階方陣，該(n-1)階方陣的行列式便稱為n階方陣A的子式Mij。2．余因子Aij

：矩陣A的一個元素aij的余因子Aij是用方程Aij=(-1)i+jMij來定義的，即元素aij的余因子Aij是以(-1)i+j乘矩陣A中去掉第i行和第j列后構(gòu)成的矩陣的行列式——子式Mij。9三．逆矩陣（※）1．子式Mij：從n階方陣A中去掉第i行103．伴隨矩陣：矩陣A的伴隨矩陣是以A的余因子為元素所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，即4．矩陣的逆矩陣：若方陣A的行列式|A|不等于零，即A為非奇異，則矩陣A有逆矩陣存在，其計算式為103．伴隨矩陣：矩陣A的伴隨矩陣是以A的余因子為元素所構(gòu)成115．逆矩陣的特性：1）AA-1=A-1A=I

（I為單位矩陣）2）若|A|≠0，|B|≠0，則(BA)-1=A-1B-13）如果|A|≠0，則(AT)-1=(A-1)T4）(A-1)-1=A四．矩陣的秩（※）如果矩陣A的m階子矩陣存在，且至少有一個m階子矩陣的行列式不為零，而A的r階子矩陣（r≥m+1）構(gòu)成的行列式均為零，則稱矩陣A的秩等于m，記為rankA=m。115．逆矩陣的特性：四．矩陣的秩（※）12五．矩陣的初等變換（※）如果對矩陣的元素實(shí)行了下列三種變換之一，就說這個矩陣經(jīng)過了一次初等變換，即1）將任意兩行（或兩列）的元素互換位置；2）將任意一行（或一列）的元素乘上不等于0的數(shù);3）將任意一行（或一列）元素的c倍加到另一行（或另一列）的元素上去。

矩陣的初等變換有下述兩個重要定理：1）一個矩陣經(jīng)過任何一種初等變換后，其秩不變。2）任意一個矩陣經(jīng)過一系列的初等變換后，總能變成階梯形矩陣。12五．矩陣的初等變換（※）矩陣的初等變換有下述13階梯形矩陣：矩陣任一行第一個非零元素的下方全為零。例如

因?yàn)殡A梯形矩陣很容易確定它的秩，因此利用上述兩個定理，先把矩陣變成階梯形矩陣，再確定階梯形矩陣的秩，即為原矩陣的秩。13階梯形矩陣：矩陣任一行第一個非零元素的下方全為零。例如14

考慮方陣A特征矩陣：A-λ

I特征方程：|A-λ

I|=0特征值：特征方程的根λ特征向量：將某一特征值λ

i

代入方程Ax=λ

x中，解得的向量x稱為與特征值λ

i

相應(yīng)的一個特征向量。六．矩陣的特征值和特征向量（※）14考慮方陣A六．矩陣的特征值和特征向量（※）15七．向量的線性相關(guān)和線性獨(dú)立(或稱線性無關(guān))(※)設(shè)有m個n維向量如果存在一組不全為零的數(shù)，使得則稱向量組是線性相關(guān)的。如果只有當(dāng)時，才能使則稱這m個向量是線性獨(dú)立的。15七．向量的線性相關(guān)和線性獨(dú)立(或稱線性無關(guān))(※)設(shè)16現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

一．矩陣的定義1．矩陣

矩陣定義為矩陣陣列，它的元素可以是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)或算子。一個n行m列的矩陣表示為稱為矩陣。1現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一．矩陣的定義1．矩陣172．方陣

方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。一個矩陣稱為n階方陣。3．向量 1）只有一列的矩陣稱為列向量。具有n個元素的列向量稱為n維列向量。2）只有一行的矩陣稱為行向量。具有n個元素的行向量稱為n維行向量。22．方陣方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。一個184．對角線矩陣

如果除方陣A的主對角線元素外，其余的元素均為零，則稱矩陣A為對角線矩陣，寫成5．單位矩陣 主對角線上元素全為1的對角線矩陣稱為單位矩陣，即34．對角線矩陣 如果除方陣A的主對角線元素196．零矩陣：所有元素都為零的矩陣。7．轉(zhuǎn)置矩陣

如果矩陣A的行和列互相交換，則由此得到的矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，用AT表示。矩陣轉(zhuǎn)置的規(guī)律：1）(AT)T=A2）(A+B)T

=AT+BT

3）(AB)T

=BT

AT

4）(kA)T

=kAT46．零矩陣：所有元素都為零的矩陣。7．轉(zhuǎn)置矩陣20

設(shè)方陣A的行列式為|A|，如果|A|=0，則稱A為奇異矩陣；如果|A|≠0，則稱A為非奇異矩陣。9．對稱矩陣和斜對稱矩陣（反號對稱矩陣）8．奇異矩陣與非奇異矩陣1）對稱矩陣：如果方陣A的元素相對于主對角線對稱，則稱A為對稱矩陣（也可以這樣說：如果方陣A等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即A=AT，則A為對稱矩陣）。2）斜對稱矩陣：如果方陣A等于它的轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)值，即A=-AT，則方陣A稱為斜對稱矩陣（反號對稱矩陣）.5設(shè)方陣A的行列式為|A|，如果|A|=0，21二．矩陣的代數(shù)運(yùn)算1．矩陣的加減法

如果兩個矩陣A和B具有相等數(shù)量的行和列，則這兩個矩陣可以相加和相減。若及，則有即矩陣的加減法就是把兩個矩陣同行同列的元素相加、相減。6二．矩陣的代數(shù)運(yùn)算1．矩陣的加減法如果兩個222．矩陣與數(shù)的乘積（標(biāo)量積）

一個數(shù)量k與矩陣A相乘，就是把矩陣A的每個元素都乘上k，即72．矩陣與數(shù)的乘積（標(biāo)量積）一個數(shù)量k與矩陣233．矩陣與矩陣的乘法

設(shè)A為n×m矩陣，B為m×p矩陣，則A和B的乘積矩陣C為：矩陣與矩陣乘法的性質(zhì)：1）(AB)C=A(BC)2）(A+B)C=AC+BC3）C(A+B)=CA+CB4）一般情況下，矩陣乘法不滿足交換律，即AB≠BA。5）一個n階方陣A與一個n階單位矩陣I相乘時，可互換位置順序，其乘積相同，即IA=AI=A。6）如果兩個方陣A和B的乘積等于零,不能推論A=0或B=083．矩陣與矩陣的乘法設(shè)A為n×m矩陣，B為m×24三．逆矩陣（※）1．子式Mij

：從n階方陣A中去掉第i行和第j列后所得到的是一個(n-1)階方陣，該(n-1)階方陣的行列式便稱為n階方陣A的子式Mij。2．余因子Aij

：矩陣A的一個元素aij的余因子Aij是用方程Aij=(-1)i+jMij來定義的，即元素aij的余因子Aij是以(-1)i+j乘矩陣A中去掉第i行和第j列后構(gòu)成的矩陣的行列式——子式Mij。9三．逆矩陣（※）1．子式Mij：從n階方陣A中去掉第i行253．伴隨矩陣：矩陣A的伴隨矩陣是以A的余因子為元素所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，即4．矩陣的逆矩陣：若方陣A的行列式|A|不等于零，即A為非奇異，則矩陣A有逆矩陣存在，其計算式為103．伴隨矩陣：矩陣A的伴隨矩陣是以A的余因子為元素所構(gòu)成265．逆矩陣的特性：1）AA-1=A-1A=I

（I為單位矩陣）2）若|A|≠0，|B|≠0，則(BA)-1=A-1B-13）如果|A|≠0，則(AT)-1=(A-1)T4）(A-1)-1=A四．矩陣的秩（※）如果矩陣A的m階子矩陣存在，且至少有一個m階子矩陣的行列式不為零，而A的r階子矩陣（r≥m+1）構(gòu)成的行列式均為零，則稱矩陣A的秩等于m，記為rankA=m。115．逆矩陣的特性：四．矩陣的秩（※）27五．矩陣的初等變換（※）如果對矩陣的元素實(shí)行了下列三種變換之一，就說這個矩陣經(jīng)過了一次初等變換，即1）將任意兩行（或兩列）的元素互換位置；2）將任意一行（或一列）的元素乘上不等于0的數(shù);3）將任意一行（或一列）元素的c倍加到另一行（或另一列）的元素上去。