理學院幾何與代數(shù)B第一學期期末考試試卷2及答案

交通大學2008-2009學年第一學期《幾何與代數(shù)（B）》期末考試試卷(A)一．（本題滿分30分，每空3分）請把答案填在空中．1已知向量滿足的夾角為，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是.2當有非零解，則1/4.3若平面經(jīng)過點和軸,則此平面方程為.4由曲線圍繞軸旋轉一周所成曲面的方程是.5已知3階矩陣且，則4.6設階方陣的伴隨矩陣為且.則7已知向量可由向量組線性表示,則向量組的秩為2.8設為3階方陣且行列式，（其中為3階單位陣）。則36.（其中為3階方陣）。9已知四階行列式.設為行列式中第行第元素的代數(shù)余子式，則010一個動點與的距離是此動點到平面距離的一半，則此動點的軌跡方程為：.二.(10分)計算n階行列式解（1）如果，任意兩列對應成比例，故----------2分(2)如果,第i行分別減去第一行，（i=2,3,…,n+1）得（箭形行列式）-----------3分-----------3分三．（12分）當為何值時，線性方程組無解，有惟一解，有無窮多解？在有無窮多解的情況下，求出它的通解。解：此線性方程組的增廣矩陣為------------4分所以時，系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等都等于3，所以有惟一解。---------2分當時方程組的增廣矩陣可化為：，故方程組有無窮多組解：通解為------------------4分當時，系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，無解。------------2分四．（10分）求過點且與直線垂直相交的直線方程。解先作過點且與直線垂直的平面：---------2分直線的參數(shù)方程為：帶入上式得.求出直線與平面的交點.-----------4分從點到點的向量，取方向向量，所求直線方程：------4分五．（12分）設是階方陣，且（1）證明（其中I是階單位陣）（2）若,求矩陣解（1）由得到故.------6分(2)，,-------------4分故-------------2分六.（13分）已知三元二次型試寫出此二次型的矩陣。用正交變換化二次型為標準形，并寫出相應正交矩陣和標準型.解二次型矩陣為-----------2分解得特征值為。對應特征值的特征向量可求解得兩個彼此正交的特征向量（若取的不正交，要正交化）-------6分對應特征值的特征向量。-------2分屬于不同特征值的特征向量一定正交。將它們單位化為------2分作矩陣則是正交矩陣。經(jīng)正交變換，可將二次型化為------1分七（8分）求下列向量組的一個最大無關組，并把其余向量表示成最大無關組的線性組合。其中解------4分故極大無關組為。------4分八（5分）設是階實對稱矩陣，證明存在實數(shù),使得為正定矩陣.（這里為階單位陣）。解設階實對稱矩陣的特征值是當時---------3分的特征值是均大于0。因為階實對稱矩陣是正定矩陣的充