中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習方案專題-觀察、猜想與證明

專題1.6觀察、猜想與證明一—全國各地最新真題模擬題精選50題一、單選題（2020?浙江紹興市?）中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進行計算的，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩種，如圖：1 2 3 4 5 6 7 8 9縱式| || III |||| Hill T T T TT橫式一===^I-L=當表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯數(shù)字一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位數(shù)用橫式表示，以此類推.例如6613用算籌表示就是：| ——HI,則5288用算籌可表示為（ ）a-iiin=nil b-muiithnr d=h1ttt【答案】D【分析】根據(jù)題中的介紹，掌握0-9這十個數(shù)字的表達形式及數(shù)的表達方法，即可表示出5288這個數(shù).【詳解】由題意各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位數(shù)字用縱式表示，十位，千位數(shù)字用橫式表示,則5288用算籌可表示為故選：D.【點睛】本題是一道閱讀理解題，解題中要注意讀懂題意，掌握算籌表示數(shù)的方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行分析是解題的關(guān)鍵.（2020?福建龍巖市?）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（【解析】由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數(shù)，化為十進制數(shù)為：IX7"+3X72+2X7+6=510,故選：C.點睛：本題考查記數(shù)的方法，注意運用七進制轉(zhuǎn)化為十進制，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.（2020?山西臨汾市?九年級其他模擬）《莊子》一書里有：“一尺之趣（木棍），日取其半，萬世不竭（盡，完）”這句話可以用數(shù)學(xué)符號表示：1=[+!+]+…+]+…；也TOC\o"1-5"\h\z22223 2"可以用圖形表示.上述研究問題的過程中體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想是（ ）I- ...22,2’A.函數(shù)思想 B.數(shù)形結(jié)合思想C.公理化思想 D.分類討論思想【答案】B【分析】根據(jù)本題把這句話分別可以用數(shù)學(xué)符號和圖形表示即可得出體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想.【詳解】???這句話即可以用數(shù)學(xué)符號表示，也可以用圖形表示，,體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想.故選民【點睛】此題考查數(shù)字與圖形的變化規(guī)律，找出圖形與數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，得出規(guī)律是本題的關(guān)鍵.（2020?湖北隨州市?九年級其他模擬）我們平常用的是十進制，如：2019=2xl03+0xl02+lxl0'+9.表示十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在計算機中用的是二進制，只有兩個數(shù)碼：0,1.如：二進制中111=1x22+1x21+1相當于十進制中的7,又如：11011=1x24+1x23+0x22+1x21+1相當于十進制中的27.那么二進制中的1101相當于十進制中的（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【分析】根據(jù)題目二進制中等式的表示方式可知，1101=1x23+1x22+0x21+1，計算出等式右邊即可得.【詳解】分析二進制可知，二進制中等式的表示方式與十進制非常類似，只是將卜進制中的10換成2,其他規(guī)則都一樣，所以二進制中的1101=1x23+1x22+0x21+1，計算出等式右邊為13,即相當于十進制中的13.故答案為:D.【點睛】本題的關(guān)鍵點是考生要在十進制的基礎(chǔ)上理解二進制的表示方式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，此題較為新穎，是近幾年的?？碱}.(2020?山東德州市?九年級三模)我們知道，一元二次方程(=-1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于-1.若我們規(guī)定一個新數(shù)“i”，使其滿足i'=-1(即方程x?=-1有一個根為i).并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i'=i,i2=-1,i3=i2Xi=(-1)Xi=-i,i*=(i2)2=(-1)2=1,從而對任意正整數(shù)n,我們可以得到i'"”=iMXi=(f)"Xi=i,ita+2=-1,i4nt,=-i,i4n=l.那么i+FFi，+…+/”+濟3+...+產(chǎn)-的值為( )A.0 B.1 C.-1 D.i【答案】C【分析】根據(jù)已知的式子找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個循環(huán)內(nèi)的和為0,從而得出2019內(nèi)的循環(huán)次數(shù).【詳解】解：由題意得，i'=i,i2=-1?i3=i2,i=(-1)*i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,?5?4_?,?6?54?__?j=j?jjjjj一］,故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個循環(huán)內(nèi)的和為0,.?.i+i2+i3+i-,+-+i2o,K+i2°,9=i-1-i=故選：C.【點睛】本題考查了一元:次方程的解法中的新定義問題，解題的關(guān)鍵是理解運算法則，通過計算找出規(guī)律.6.(2020?陽新縣陶港鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級零模)將正偶數(shù)按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224

第四行32302826 根據(jù)上面規(guī)律，2020應(yīng)在（）A.125行，3列 B.125行，2列 C.253行，2列 D.253行，3列【答案】D【分析】找規(guī)律題型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（1）每行4個數(shù)字，從小到大依次排列，且這?行的第一個空不填寫；（2）2行一個循環(huán)，一個循環(huán)中，順序按照先從左到右，再從右到左；（3）數(shù)字都是偶數(shù)【詳解】正偶數(shù)依次排列，2020是第1010個數(shù)根據(jù)分析中的規(guī)律，每個循環(huán)是8個數(shù)字，則1010+8=126…2因此，第1010個數(shù)（BIJ2020）是完成126個循環(huán)后，再往后數(shù)2個數(shù)的位置一個循環(huán)是2行，故126個循環(huán)是第252行再往后2個數(shù)字，故是253行，第3列數(shù)字（第一個數(shù)字空缺）故選D【點睛】找規(guī)律的題型，難度不大，但需要細心，在解題過程中，特別是“+1”、“一1”的位置，需要額外注意.7.（2020?湖北武漢市?九年級月考）在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想,比如在1+5*1—這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想,比如在1+5*1—j-H—H—5"+…中，"…”代表按規(guī)律不斷求和，設(shè)1+/+則有x=l+；x,解得x=2,.1111,1d--+了-+ +???=2類似地1+?*+￥+??+…的結(jié)果為（【答案】B【分析】設(shè)1+5+*/+-=x,仿照例題進行求解.【詳解】設(shè)1+*+"+!+…=x'NI1111,1^1111則i+?+至+?+…=i+?C+?+>+]+…j,,1/.x=l+—X,9解得，X=—,o故選B.【點睛】本題考查類比推理，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.8.（2020?北京豐臺區(qū)?九年級一模）圖書館將某一本書和某一個關(guān)鍵詞建立聯(lián)系，規(guī)定：當關(guān)鍵詞4出現(xiàn)在書比中時，元素a〃=l,否則a“=0U,J為正整數(shù)）.例如：當關(guān)鍵詞4出現(xiàn)在書區(qū)中時，a“=l,否則a“=0.根據(jù)上述規(guī)定，某讀者去圖書館尋找書中同時有關(guān)鍵詞”4,4,4”的書，則下列相關(guān)表述錯誤的是（ ）A.當a"的+函=3時，選擇5這本書B.當42+42+仇2<3時，不選擇反這本書C.當電”每“題全是1時，選擇”，這本書D.只有當改」+即+的=0時，才不能選擇比這本書【答案】D【分析】根據(jù)題意a”的值要么為1,要么為0,當關(guān)鍵詞4出現(xiàn)在書其中時，元素a“=l,否則a,」=0U,j為正整數(shù)），按照此規(guī)定對每個選項分析推理即可.【詳解】解：根據(jù)題意&，的值要么為1,要么為0,4、a2i+a5i+au=3,說明蜀=1,a“=l,?,,=1,故關(guān)鍵詞”4,4,4”同時出現(xiàn)在書5中，而讀者去圖書館尋找書中同時有關(guān)鍵詞“4,4,4”的書，故4表述正確；B、當上+電+正<3時，則麴、上、電時必有值為0的，即關(guān)鍵詞”4,4,4”不同時具有，從而不選擇氏這本書，故躁述正確；C、當備張,全是1時，則的=1,a5J=1,a?=1,故關(guān)鍵詞”4,4,4”同時出現(xiàn)在書0,中，則選擇比這本書，故榮述正確：D、根據(jù)前述分析可知，只有當即+&.,+%=3時，才能選擇"這本書，而匹+&”+&/的值可能為0、1、2、3,故糜述錯誤，符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了推理與論證，讀懂題意，按照規(guī)定進行計算與推理是解題的關(guān)鍵.（2020?內(nèi)蒙古呼倫貝爾市?九年級二模）如圖，楊輝三角是我國古人奉獻給人類的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)之一，圖中的三角形解釋二項和（a+b）n的展開式的各項系數(shù).根據(jù)''楊輝三角”提供的展開式的各項系數(shù)的規(guī)律，探究（a+b）處的展開式中第三項的系數(shù)為（） ①TOC\o"1-5"\h\z"+少 ①①佃+夕3 ① ② ①佃+?3 ① ③③①佃+匕尸 ①④⑥④①(a^b)5???①⑤④。⑤①??????A.2017 B.2016 C.191 D.190【答案】D【分析】根據(jù)圖形中的規(guī)律可得3+4的第三項系數(shù)為1+2+3+…+(〃-2)+(〃-1),即可求出(a+b)2°的展開式中第三項的系數(shù).【詳解】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(。+，的第三項系數(shù)為3=1+2：(。+力4的第三項系數(shù)為6=1+2+3；(a+6)5的第三項系數(shù)為10=1+2+3+4；不難發(fā)現(xiàn)(。+力"的第三項系數(shù)為1+2+3+…+("-2)+(〃-1),/.(a+b)20第三項系數(shù)為1+2+3+…+19=190,故選：D.【點睛】此題考查了通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題的能力.(2020?湖北武漢市?九年級一模)有一列數(shù)：％、a?,a3, a?；其中4=0,at=2,若a；+a；+i=a,+z(i'l,i為正整數(shù))，則助=( )A.5 B.8 C.10 D.13【答案】B【分析】根據(jù)a,+a+=a,+z,令i=0,1,2依次根據(jù)等式求解即可.【詳解】ft?：Vai+ai+i=ai+a,?:a?+a2=a3,vai=o,??a2=a?，由a2+a3=a」，又由=2,??a2==1,由,得打5=3,

依次，得：a?=ai+a5=5,a7=as+a（i=8,故選B.【點睛】本題考查定義新運算，讀懂通式a,+a+=a+是關(guān)鍵.（2020?貴州遵義市?中考真題）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計算tanl5°時，如圖.在雙△〃》中，ZC=90°,//必=30°,延長應(yīng)使加=四,AC1 2-6 °R連接必得/415°,所以tanl5。=五=五耳=匹畫匚用 ,。類比這種方法,計算tan22.5°方法,計算tan22.5°的值為（A.72+1 B.72-1C.啦 D.-【答案】B【分析】作RtZ\ABC,使NC=90°,NABC=45°,延長CB到D,使BD=AB,連接AD,根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC=x,再用謹示出CD,即可求出tan22.5°的值.【詳解】解：作RtZXABC,使NC=90°,ZABC=90°,ZABC=45°,延長CB到D,使BD=AB,連接AD,設(shè)AC=x,則：BC=x,AB=gx,CD=(1+J5)x,74rxi—tan22.5°=tanZD=—=7~~=V2-13CD(1+孫3D故選：B.【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀構(gòu)造含45°的直角三角形，再作輔助線得到22.5°的直角三角形.（2020?四川達州市?中考真題）中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進1,用來記錄孩子自出生后的天數(shù).由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）

B.89C.1B.89C.165D.294【答案】D【分析】類比十進制“滿十進一”，可以表示滿5進1的數(shù)從左到右依次為：2X5X5X5,IX5X5,3X5,4,然后把它們相加即可.【詳解】依題意，還在自出生后的天數(shù)是：2X5X5X5+1X5X5+3X5+4=250+25+15+4=294,故選：D.【點睛】本題考查了實數(shù)運算的實際應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是運用類比的方法找出滿5進1的規(guī)律列式計算.二、填空題（2020?北京市第三十五中學(xué)九年級其他模擬）如圖所示的網(wǎng)格式正方形網(wǎng)格，ZABCNDEF（填“>”，“=”或“<”）【答案】>【分析】根據(jù)角在網(wǎng)格中的位置，即可判定其大小.【詳解】根據(jù)題意，得ZABC=45°,ZDEF<45°ZABO/DEF,故答案為：>.【點睛】此題主要考查在正方形網(wǎng)格中判斷角的大小，熟練掌握，即可解題.（2020?廣東汕頭市?九年級其他模擬）如圖，四邊形A8CO是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF,再以第二個正方形的對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,……，記正方形ABC。的邊長為％=1,依上述方法所作的正方形的邊長依次為4，。3,4,…，/，根據(jù)以上規(guī)律寫出第"個正方形的邊長%=.

【答案】（夜r【分析】根據(jù)正方形對角線等于邊長的近倍求解即可.【詳解】解：由題意得，a,=l,a2=五％=\[1,a}=yfla2=（V2）2,a4=y/2a}=（>/2）3>a?=&%=（&尸.故答案為：（何"，【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，熟記正方形對角線等于邊長的血倍是解題的關(guān)鍵，要注意0的指數(shù)的變化規(guī)律.（2021?江西九年級二模）中國古代十進位制的算籌計數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造.算籌計數(shù)的方法：如圖，將個位、百位、萬位……的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出，將十位、千位、十萬位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.縱式?itin1111iiiiitttmim橫式——===_1_J_=工123456789III1TII1IIIJAT21III4I-HI圖2圖1和圖2都是借用算籌進行減法運算，例如：圖1所示的圖形表示的等式為54-23=III1TII1IIIJAT21III4I-HI圖2=Illi=1111=IIIIII3=I圖1【答案】386-273=113；或186-73=113；或116-3=113；（寫出一個即可）【分析】根據(jù)圖形表示，可以得到圖二中的1表示386,273,再對比圖一可知表示的關(guān)系式等

于圖4中代表的式子.圖2,圖3,也可以用同樣的方法得到相應(yīng)的等式.【詳解】根據(jù)圖形的規(guī)律可知：圖2所示的圖形表示的等式為：386-273=113,或：186-73=113；或116-3=113；故答案為：386-273=113；或186-73=113；或116-3=113；(寫出一個即可)【點睛】此題考查數(shù)字表示事件，仔細觀察提干給出的規(guī)律即可.(2020?石嘴山市第八中學(xué)九年級一模)如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n(n是大干0的整數(shù))個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是 .【答案】n(n+2)【詳解】第1個圖形是2X3-3,第2個圖形是3X4-4,第3個圖形是4X5-5,按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是(n+1)(n+2)-(n+2)=n°+2n.解：第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是n'+2n.首先計算幾個特殊圖形，發(fā)現(xiàn)：數(shù)出每邊上的個數(shù)，乘以邊數(shù)，但各個頂點的重復(fù)了一次，應(yīng)再減去.(2020?稷山縣實驗中學(xué)九年級一模)觀察下列各等式：-2+3=1-5-6+7+8=4-10-11-12+13+14+15=9-17-18-19-20+21+22+23+24=16根據(jù)以上規(guī)律可知第11行左起第一個數(shù)是【答案】-122.【分析】觀察規(guī)律即可解題.【詳解】解：由己知等式知第n行左起第1個數(shù)為-(/+1),當n=U時,-(n2+l)=-(121+1)=-122,故答案為：-122.【點睛】本題是一道規(guī)律題,屬于簡單題，認真審題找到規(guī)律是解題關(guān)鍵.(2020?河北邯鄲市?九年級月考)你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還

研究過其幾何解法呢！以方程/+5%-14=0即Mx+5）=14為例加以說明.數(shù)學(xué)家趙爽（公元3?4世紀）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是（x+x+5）2,其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4xl4+52.據(jù)此易得x=2.那么在下面右邊三個構(gòu)圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上）中，能夠說明方程f-《x—12=0的正確構(gòu)圖是.（只填序號）【分析】仿造案例，構(gòu)造面積是（x+x-4尸的大正方形，由它的面積為4x12+42,可求出x=6.此題得解.【詳解】解：12=0即x（x—4）=12,，構(gòu)造如圖②中大正方形的面積是（x+x-4>,其中它又等了四個矩形的面積加上中間小正方形的面積,即4x12+4?，據(jù)此易得x=6.故答案為②.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，仿造案例，構(gòu)造出合適的大正方形是解題的關(guān)鍵.（2020?山東德州市?九年級其他模擬）設(shè)％=&, =[%]+南；（n為自然數(shù)），其中[%]與{%}分別表示4的整數(shù)部分和小數(shù)部分，如[2.5]=2,{2.5}=0.5；[-2.6]=-3,{-2.6}=0.4；貝!）。2019二-【答案】V2+4038【分析】找出數(shù)列的規(guī)律?！驹斀狻?=&]+【詳解】4=&]+向=1+看=1+72+1=2+72=3=3+72+1=4+72=54->/2+1=6+>/2a2=[4]+1~r=3h—廣—-L"⑷ V2-1%=&]+7~r=5+—^==—L」{生} V2-1“2019~["2018]+1 T=2x2019+>/2—4038+>/2{a2OI8f【點睛】找數(shù)列的規(guī)律，分母有理化是考查的對象。(2020?江蘇揚州市?九年級一模)李兵的觀點：不等式。>2。不可能成立.理由：若在這個不等式兩邊同時除以。，則會出現(xiàn)1>2的錯誤結(jié)論，李兵的觀點、理由—?(填“對對”、“對錯”、“錯對”、“錯錯”)【答案】錯錯【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】’.'當a<0時，a>2a成立???李兵的觀點錯?.?若在這個不等式兩邊同時除以a,當a<0時，則會有1<2，李兵的理由錯故答案為：錯錯.【點睛】本題考查了不等式的問題，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(2020?隆化縣第二中學(xué)九年級開學(xué)考試)如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點0出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點4(0,1),【分析】根據(jù)圖形分別求出n=l、2、3時對應(yīng)的點A“的坐標，然后根據(jù)變化規(guī)律寫出即可.【詳解】解：觀察圖形，除兒、人、A：,外，每隔4次則循環(huán)出現(xiàn)在正方形的四個頂點處，故:且(2020-3)+4=504余1,故即儂位于正方形的左下角處。由圖可知，點A,(2,0),點4(4,0),點A”(6,1),故A”,的坐標為(2n,0).所以，點Aazo的坐標為(1010,0),故答案為：（1010,0）.【點睛】本題考查了找規(guī)律中的周期問題，周期問題中余1則和周期中的第1個數(shù)相同，余2則和周期中的第2個數(shù)相同，……，整除則和周期中的最后一個數(shù)相同.22.（2020?河北九年級一模） 將一列有理數(shù)-1,2,-3,4,-5,6…如圖所示有序排列，4所在位置為峰1,-9所在位置為峰2….（1）處在峰5位置的有理數(shù)是；（2）2022應(yīng)排在A,B,C,D,E中 的位置上.【答案】24A【分析】根據(jù)圖示信息找出A,B,C,D,E各個位置數(shù)據(jù)的表達式，代入即可【詳解】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：峰n中，A位置的絕對值可以表示為：5n-3；B位置的絕對值可以表示為：5n-2；C位置（峰頂）的絕對值可以表示為：5n-1；D位置的絕對值可以表示為：5n；E位置的絕對值uj■以表示為：5n+l；二處在峰5位置的有理數(shù)是5X5-1=24；（2）根據(jù)規(guī)律，72022=5X405-3,...2022應(yīng)排在A的位置.故答案為：（1）24：（2）A.【點睛】此題屬于找規(guī)律題，考查提取信息和總結(jié)的能力.（2020?廣西梧州市?九年級二模）已知：—=T?7十二二2226326124按此規(guī)律下去，則有式子：g+,++…= -99【分析】觀察式子規(guī)律，得到結(jié)果一定為一個分子分母相差1的真分數(shù)，據(jù)此解題即可.【詳解】解：由題目所給等式可得二+」+…+一1x22x33x4 〃79900=99X100,

2612126121990099

loo99故答案為：【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察，分析，歸納得到根式分子分母的變化規(guī)律并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題是解題關(guān)鍵.（2020?山東德州市?九年級其他模擬）如圖，等邊△ACC的周長為1,作GD-AC于D”在CC的延長線上取點C”使DC=DC,連接DC,以C2G為邊作等邊△兒&&；作CzD/LA2G于D”在C￡s的延長線上取點G,使DzgM”連接DC,以C3G為邊作等邊△A3C3C,；…且點A”A“A3,…都在直線CC同側(cè)，如此下去，可得到△A￡&,△A2GC3,△AsCsC.o△A.GCe,則的周長為（ndl,且n為整數(shù)）.【答案】^77【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和特殊角去解題.【詳解】解：???等邊三角形AGG的周長為1,作GR-LAG于點A，=DC，G=30。,.1D|C3=D、C\ND。3c2=N￡)￡G=30°ZC2D|C3=N/^GG—ND?3c2=30ng°￡=n℃GC2c3=DtC2=-A,C2??.△&C2c3的周長=JmgG的周長=；，：.A4,C]C2,AAjc2c3, 3c4，…，MCC+i的周長分別為1，；$，,,?，、故答案為：￡才【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律性問題的解答.（2020?湖南張家界市?中考真題）觀察下面的變化規(guī)律:2 12 112 112 11百一一》而一3一1西一:一,而一廠屋……

根據(jù)上面的規(guī)律計算:2 2 2 2 4 1x33x524 F5x7.?.+ 【答案】202020212019x2021【答案】20202021【分析】本題可通過題干信息總結(jié)分式規(guī)律，按照該規(guī)律展開原式，根據(jù)鄰項相消求解本題.【詳解】由題干信息可抽象出一般規(guī)律:a?ba【詳解】由題干信息可抽象出一般規(guī)律:a?ba--(a,b均為奇數(shù)，B.b=a+2).b故二-+二故二-+二-+二-

1x33x55x7+…H 2019x20211111111 r 1 r1111111 r 1 r33557.??+ 20192021=1+("-)+.?.+(20192019)-2021_1_2020一2021—2021故答案:20202021【點睛】本題考查規(guī)律的抽象總結(jié)，解答該類型題目需要準確識別題干所給的例子包含何種規(guī)律，嚴格按照該規(guī)律求解.（2020?湖北隨州市?中考真題）幻方是相當古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方-一九宮圖.將數(shù)字廣9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都是15,則加的值為.【答案】9【答案】9【分析】本題首先根據(jù)每一橫行數(shù)字之和為15求出第一個方格數(shù)字，繼而根據(jù)對角線斜邊數(shù)字和為15求出最后一格數(shù)字，最后根據(jù)每一豎行數(shù)字之和為15求出m.【詳解】設(shè)第一方格數(shù)字為x,最后一格數(shù)字為y,如下圖所示：由已知得:x+7+2=15,故x=6；因為x+5+y=15,將x=6代入求得y=4；又因為2+m+y=15,將y=4代入求得m=9；故答案為：9.rHtt□【點睛】本題考查新題型，本質(zhì)是一元一次方程的求解，理清題意，按照圖示所給信息逐步列方程求解即可.(2021?安徽宣城市?九年級一模)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》書中輯錄了一個三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，即是著名的“楊輝三角形”.以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于“楊輝三角形”：TOC\o"1-5"\h\z12345 2013 2014 2015 2016 20173579 4027 4029 4031 403381216 8056 8060 80642028 16116 16124該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于“其肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為【答案】2O18X22015【分析】數(shù)表的每一行有規(guī)律可循，第?行第一個數(shù)字是1,第二行第一個數(shù)字是3,第三行第一個數(shù)字是8……由此可得規(guī)律，每一行第一個數(shù)字是(n+1)X2"\最后一行僅有一個數(shù)字，即是第一個數(shù)字，一共有2017行，代入即可得出答案【詳解】觀察每?行第一個數(shù)的規(guī)律：第一行的第一個數(shù)為1=(1+1)x2",第二行的第一個數(shù)為3=(2+1)x2°,第三行的第一個數(shù)為8=(3+1)x2］，第四行的第?個數(shù)為20=(4+1)x22,第n行的第一個數(shù)為a,,=(〃+l)x2"-2,一共有2017行，.?.第2017行的第一個數(shù)為々017=(2017+1)x2237-2=2018x2235故答案為2O18X220”【點睛】本題考查了由數(shù)表探究數(shù)列規(guī)律的問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.(2020?湖北恩施土家族苗族自治州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，^ABC的頂點坐標分別為：A(-2,0),8(1,2),C(l,-2).已知N(-1,O),作點N關(guān)于點A的對稱點N1,點M關(guān)于點8的對稱點N一點生關(guān)于點C的對稱點點N,關(guān)于點A的對稱點點N’關(guān)于點8的對稱點N5,…，依此類推，則點生網(wǎng)的坐標為—【答案】(7,8)【分析】先求出M至N-點的坐標，找出其循環(huán)的規(guī)律為每6個點循環(huán)一次即可求解.【詳解】解：由題意得，作出如下圖形：N點坐標為(-1,0),N點關(guān)于A點對稱的心點的坐標為(-3,0),N點關(guān)于B點對稱的吊點的坐標為⑸4),Nz點關(guān)于C點對稱的Na點的坐標為(-3,8),Na點關(guān)于A點對稱的N,點的坐標為(T,8),N,點關(guān)于B點對稱的N$點的坐標為(3,-4),Ns點關(guān)于C點對稱的Ns點的坐標為(-1,0),此時剛好回到最開始的點N處，其每6個點循環(huán)一次，2020+6=336……4,即循環(huán)了336次后余下4,故Mo2。的坐標與M點的坐標相同，其坐標為(7,8).故答案為：(-1,8).【點睛】本題考查了平面直角坐標系內(nèi)點的對稱規(guī)律問題，本題需要先去驗算前面一部分點的坐標，進而找到其循環(huán)的規(guī)律后即可求解.三、解答題(2020?四川省射洪縣射洪中學(xué)外國語實驗學(xué)校九年級期中)閱讀下面的材料：如果函數(shù)y=/(x)滿足：對于自變量x的取值范圍內(nèi)的任意％,x2,(1)若為<芍,都有/(%)</區(qū))，則稱/(x)是增函數(shù)；(2)若丁<。,都有/(為)>/區(qū))，則稱/(x)是減函數(shù).例題：證明函數(shù)/(x)=g(x>。)是減函數(shù).X證明：設(shè)0<% ，~Xyx2x}x2x{x20<Xj<x2,/.x2—x]>0,XjX2>0....6("xJ〉o即/區(qū))一/(七)>0.龍|龍2函數(shù)/(x)=g(x>。)是減函數(shù).X根據(jù)以上材料，解答下面的問題：已知函數(shù)/。)=1+乂*<0),廠C 1 c 1 7心=宙+(-1)=。，/(-2)=而+(-2).(1)計算：/(-3)=,f(T)=；(2)猜想：函數(shù)/(x)=1+x(x<0)是 函數(shù)(填“增”或“減”)；廠(3)請仿照例題證明你的猜想.【答案】(1)一學(xué)，一g；(2)增：(3)函數(shù)f(x)=±+x(x<0)是增函數(shù)，證明猜想9 16 r見解析.【分析】(1)根據(jù)題目中函數(shù)解析式代入自變量值可以解答本題：(2)由(1)結(jié)論可得:(3)根據(jù)題II中例子的證明方法可以證明(1)中的猜想成立.【詳解】解：(1)Vf(x)=-^+x(x<0),TOC\o"1-5"\h\z〃1、 1 ° 26 1 . 63"T)=百廣3=一至，/(^)=--4=--u26 63故答案為一二，9 16(2)3,/(-4)>/(-3)二函數(shù)/(彳)=」?+工(工<0)是增函數(shù)X"故答案為增(3)設(shè)斗<々<0，???/(X)-/(*2)=1+百一±_毛=(xXj<%2<0,/.Xj-x2<0,x1+x2<0,/(x1)-/(x2)<0Af(xl)<f(x2)二函數(shù)y(x)=3+x(x<o)是增函數(shù).X【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的坐標特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.(2020?東明縣菜園集鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級二模)觀察下列式子：TOC\o"1-5"\h\z,一° ,cc1 11=2x—F1,2=3x—|—22c,2 1， =3 13=4x—I—,4=5x—I—???33 44(1)根據(jù)上述規(guī)律，請猜想，若n為正整數(shù)，則好(2)證明你猜想的結(jié)論?！ㄒ唬?【答案】(1)(〃+l)x2—+上；(2)見解析.nn【分析】(1)根據(jù)所給的4個算式，可得：若n為正整數(shù)，則〃=(〃+l)xt1+L：nn(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論即可.〃一11【詳解】解：(1)若n為正整數(shù)，則〃=(〃+l)x——十一；nn、/??、〃—11(2)(M+1)X 1 nn5+1)(〃-1)工1= 1—nnnnn—11:.n=(n+l)x .nn【點睛】此題主要考查了探尋規(guī)律問題，以及有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算：如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.(2020?北京市第三十五中學(xué)九年級其他模擬)某同學(xué)模仿二維碼的方式為學(xué)校設(shè)計了一個身份識別圖案系統(tǒng)：在4x4的正方形網(wǎng)格中，黑色正方形表示數(shù)字1,白色正方形表示數(shù)字0.如圖1是某個學(xué)生的身份識別圖案.約定如下：把第/行，第j列表示的數(shù)字記為與(其中1,>1,2,3,4),如圖1中第2行第1列的數(shù)字%=0；對第/行使用公式A=8%+4%+2%+%進行計算，所得結(jié)果A表示所在年級，人表示所在班級，4表示學(xué)號的十位數(shù)字，4表示學(xué)號的個位數(shù)字.如圖1中，第二行A=8xO+4xl+2xO+l=5,說明這個學(xué)生在5班.(1)圖1代表的學(xué)生所在年級是年級，他的學(xué)號是;(2)請仿照圖1,在圖2中畫出八年級4班學(xué)號是36的同學(xué)的身份識別圖案【答案】(1)七；28；(2)見解析【分析】(1)根據(jù)題意，分別求出相應(yīng)的A、4丁A,,即可得解；(2)根據(jù)題意，A=8,4=4,&=3,4=6,進行逆運算，即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，得A=8x0+4x1+2x14-1=7&=8xO+4xO+2xl+O=2A4=8x14-4x0+2x0+0=8圖1代表的學(xué)生所在年級是七年級，他的學(xué)號是28：（2）根據(jù)題意，得八年級4班學(xué)號是36的同學(xué)即A=8,4=4,4=3,4=6即A=8x14-4x0+2x0+0=8,4=8x04-4x1+2x0+0=4^=8x04-4x0+2x1+1=3A4=8x（）+4xl+2xl+0=6則該同學(xué)的身份識別圖案如下：【點睛】此題主要考查新定義下的運算，熟練掌握，即可解題.（2020?安徽滁州市?九年級其他模擬）觀察下列等式：第個等式為：32-3'=2x3'第1個等式為：33-32=2x32第2個等式為：34-33=2x33第3個等式為：35—34=2x34根據(jù)上述等式含有的規(guī)律，解答下列問題：（1）第5個等式為：是（2）第〃個等式為：是（用含〃的代數(shù)式表示），并證明【答案】（1）36-35=2x35;（2）3n+,-3"=2x3".證明見解析.【分析】（I）觀察前幾個等式的規(guī)律，即可寫出第5個等式；（2）結(jié)合（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可寫出第n個等式.【詳解】解：（1）觀察等式可知：第5個等式為：36—35=2x35 :故答案為:36-35=2x35；（2）第n個等式為：3n+,-3n=2x3".證明：左邊=3""-3"=3*3"-3"=3"（3-1）=2*3"=右邊，等式成立.【點睛】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是從具體的簡單的情形考慮，找出等式中變化的數(shù)字與序號數(shù)的關(guān)系，從而抽象出規(guī)律式.（2020?北京朝陽區(qū)?九年級三模）如圖，在4ABE中，C,D是邊BE上的兩點，有下面四個關(guān)系式：（1）AB=AE,（2）BC=DE,（3）AC=AD,（4）NBAC=NEAD.請用其中兩個作為已知條件，余下兩個作為求證的結(jié)論，寫出你的已知和求證，并證明.已知：求證：證明：【分析】已知：AB=AE,BC=DE,求證：AC=AD,NBAC=NEAD；由“SAS”可證△ABCgZkAED,可得AC=AD,ZBAC=ZEAD.【詳解】已知：AB=AE,BC=DE,求證：AC=AD,ZBAC=ZEAD,證明：VAB=AE,，NB=NE,；AB=AE,NB=NE,BC=DE,.,.△ABC^AAED(SAS),.\AC=AD,ZBAC=ZEAD；也可以(1)(3)=>(2)(4)或(2)(3)=(1)(4)或(1)(4)=>(2)(3)或(3)(4)=>(1)(2).證明方法類似.【點睛】本題考查證明的概念，根據(jù)題意寫出已知、求證、證明過程，在證明時需要用到全等三角形的性質(zhì)與判定，答案不唯一.(2020?山東日照市?九年級二模)《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征.在數(shù)的學(xué)習過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究.如學(xué)習自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等.現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)-“純數(shù)”.定義：對于自然數(shù)〃.在計算加(加1)+(加2)時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，則稱這個自然數(shù)〃為''純數(shù)”.例如：32是“純數(shù)”，因為計算32+33+34時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位；23不是“純數(shù)”，因為計算23+24+25時，個位產(chǎn)生了進位.(1)判斷2018和2021是不是“純數(shù)”,請說明理由；(2)求出不大于100的“純數(shù)”的個數(shù).【答案】(1)2018不是“純數(shù)”，2021是“純數(shù)”，理由見解析；(2)不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)為13【分析】(1)根據(jù)題目中的新定義可以解答本題，注意各數(shù)位都不產(chǎn)生進位的自然數(shù)才是“純數(shù)”：(2)不大于100的自然數(shù)可能是一位數(shù)，可能是兩位數(shù)，還可能是100.由“純數(shù)”的定義可知，連續(xù)三個自然數(shù)的個位不同，其它位都相同，并且連續(xù)的三個自然數(shù)個位為0、1、2時，不會產(chǎn)生進位；其它位的數(shù)字為0、1、2、3時，不會產(chǎn)生進位.所以分三種情況進行討論：①當這個數(shù)為一位自然數(shù)時；②當這個數(shù)為兩位自然數(shù)時；③當這個數(shù)為100時.分別求出三種情況下“純數(shù)”的個數(shù)，相加即可.【詳解】解：(1)2018不是“純數(shù)”，2021是“純數(shù)”，理由如下：?.?在計算2018+2019+2020時，個位產(chǎn)生了進位，而在計算2021+2022+2023時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，...2018不是“純數(shù)”，2021是“純數(shù)”；(2)由題意可知，連續(xù)三個自然數(shù)的個位不同，其它位都相同，并且連續(xù)的三個自然數(shù)個位為0、1、2時，不會產(chǎn)生進位；其它位的數(shù)字為0、1、2、3時，不會產(chǎn)生進位.現(xiàn)分三種情況討論如下：①當這個數(shù)為一位自然數(shù)時，只能是0、1、2,共3個；②當這個數(shù)為兩位自然數(shù)時，十位只能是1、2、3,個位只能是0、1、2,即10、11、12、20、21,22、30、31、32,共9個；③當這個數(shù)為100時，易知100是“純數(shù)”.綜上，不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)為3+9+1=13.【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的運算，分析理解題目中所給的純數(shù)的概念和如何判斷純數(shù)是解題的關(guān)鍵.(2020?湖北隨州市?九年級其他模擬)閱讀下面的材料：如果函數(shù)y=/(x)滿足：對于自變量x的取值范圍內(nèi)的任意為，9，(1)若方<七，都有/(內(nèi))</(七)，則稱/(X)是增函數(shù)；(2)若占<9,都有/(%)>/(々)，則稱/(力是減函數(shù).例題：證明函數(shù)"x)=:是減函數(shù).證明：設(shè)0<%<乙，/(^)-/(A2)=A_A=^-64=6(^-5jXjWx^x2x1x2"：0<x,<x2,：.x2-Xy>0,xtx2>0. ~~—>0.即???/(玉)函數(shù)/(x)-g(X>0)是減函數(shù).根據(jù)以上材料，解答下面的問題：己知函數(shù)/(x)=x-L(x<0),(1)計算：/(-5)=,/(-6)=(2)猜想：函數(shù)/(x)=x-J(x<0)是函數(shù)(填“增”或“減”)；(3)請仿照例題證明你的猜想.

TOC\o"1-5"\h\z【答案】(1)一二，—三；(2)增；(3)證明見解析5 6【分析】(1)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以解答本題；(2)由(1)答案可得結(jié)論：(3)根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明(2)中的猜想成立.1 1 74【詳解】(1)/(-5)=(-5)--=-5+-=—―-3 3 3/(-6)=(-6)--^=-6+1=-^-oOO(2)增函數(shù)11 X11 X2—= —占)1+*/Xj<%2<0,X]一工2<°，X\X2>0-<0.即/(%)_/(赴)<。.<0.即/(%)_/(赴)<。.二/(%)</(9)二函數(shù)/(x)=x---(x<0)是增函數(shù).【點睛】本題考查函數(shù)的概念，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題的條件，利用函數(shù)的性質(zhì)解答.(2020?黃石市教育局九年級一模)先仔細閱讀下列材料，然后回答問題：如果a>0,b>0,那么(右-新)220,即a+A2瘋》0得巴了?而，其中，當a=b時取等號，我們把等稱為a、6的算術(shù)平均數(shù)，J拓稱為a、。的幾何平均數(shù).如果a>0,b>0,c>0,同樣可以得到"土了’》Nabc，其中，當a=6=c0j■取等號于是就有定理：幾個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).請用上述定理解答問題：把邊長為30cm的正方形紙片的4角各剪去一個小正方形，折成無蓋紙盒(如圖)(1)設(shè)剪去的小正方形邊長為xcm,無蓋紙盒的容積為匕求嗚承函數(shù)關(guān)系式及他取值范圍.(2)當x為何值時，容積暗最大值，最大值是多少？

【答案】(1)r=4x(15-x)2(0<x<15)；(2)當剪去的小正方形邊長為5cm時，無蓋空盒的容積最大為2X10：'cm3【分析】(1)由剪去的小正方形邊長為xcm,表示紙盒的底邊與高，利用容積公式得到答案,(2)利用a+；+ 病:,把含有自變量的代數(shù)式變形為符合定理的特點得到容積的最大值.【詳解】解：(D設(shè)剪去的小正方形邊長為xcm,紙盒底邊為(30-2x)cm紙盒的高是覆瀝，/./=x(30-2x)(30-2x)=4x(15-*)"OVxV15),vP=2?2x?(15-x)(15-x)W22x+(15—)+(15-*=2x1Qj,這時，當2x=15-x,即x=5時取等號.當剪去的小正方形邊長為5cm時，無蓋空盒的容積最大為2X10,cm」【點睛】本題考查的是閱讀題型，掌握題干給的信息解決實際問題，同時考查了列函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)的最大值等問題，知識遷移能力是解題關(guān)鍵.(2020?安徽合肥市?)觀察以下等式：222 325第1個等式：第2個等式：^-4=7122 23642第342第3個等式:---5_24-51720按照以上規(guī)律，解決下列問題:(1)寫出第5個等式：(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.【答案】26(1)——【答案】26(1)——30〃+1(2)——〃2+1〃(〃+1)見解析【分析】(D觀察規(guī)律寫出即可；(2)觀察出規(guī)律：等號左邊第一個分數(shù)分母為n,分子比分母大1；第二個分數(shù)分母為n+1,分子固定為2；等號右邊的分數(shù)分母為等號左邊兩個分數(shù)分母的乘積，分子為1+1.

2 2 2 3 2 5【詳解】解：(1)第1個等式：---=-：第2個等式：---=-;1 2 2 2 3 6第3個等式：=~第4個等式：：一|=1；6226根據(jù)此規(guī)律，第5個等式為：---=—5o30(2)由題目中給定的規(guī)律，第〃個等式為:n"+1(2)由題目中給定的規(guī)律，第〃個等式為:n"+1n(n+1)下面證明：等式左邊二四一一Nn孔+1(〃+1)2-2〃

n(n+l)n2+1孔(蟹+1)右邊故答案為:n2+1

n(n+1)故答案為:【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算、分式的加減乘除混合運算，數(shù)字規(guī)律，列代數(shù)式，關(guān)鍵是找出數(shù)字的規(guī)律變化.(2020?安徽九年級專題練習)觀察以下等式：第1個等式：；++f第2個等式：g+g+gxg=g第3個等式：第4個等式：:+；+ =T按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：;(2)寫出你猜想的第"個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.1111 3門加匚一1111 3門加匚一十 F—X = ,見解析n2〃—1n2n-l2〃-1【答案】⑴45+十5=鼠⑵【分析】此題根據(jù)題意規(guī)律求解即可.【詳解】解：(1)144x^1

(2)WL

n2〃-1n]2〃一132h-1(2)WL

n2〃-1n]2〃一132h-1證明:左邊=一十

n111,+-X12〃-1n2n-\2n—1+n+l_3nn(2n-l) n(2n-1)32n-]=右邊n2/1—1n2m-132/i-l【點睛】32/i-l（2020?山東青島市?九年級二模）（閱讀理解）用10crox20a〃的矩形瓷磚，可拼得一些長度不同但寬度均為20。機的矩形圖案.（嘗試操作）在所給方格中（假設(shè)圖中最小方格的邊長為10。”），嘗試畫出所有用10cmx20cm的“矩形瓷磚”拼得的“長度是40cm,但寬度均為20ct?”的矩形圖案示意圖.（歸納發(fā)現(xiàn)）觀察以上結(jié)果，探究圖案個數(shù)與圖案長度之間的關(guān)系，將下表補充完整.圖案的長度lOcz/z20cm30c40a”50cm60cm所得不同圖案的個數(shù)123（規(guī)律概括）描述一?下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：【答案】【嘗試操作】：見解析：【歸納發(fā)現(xiàn)】5,8,13；【規(guī)律概括】：從長度30cm的圖案開始，所有不同圖案的個數(shù)是前面兩個個數(shù)的和【分析】根據(jù)已知條件作圖可知40cm時，所有圖案個數(shù)5個；猜想得到結(jié)論.【詳解】解：（1）【嘗試操作】長度為40cm可以為：①20cm+20cm,可畫出一種；②10cm+10cm+10cm+10cm,可畫出一種；③20cm+10cm+10cm,可畫出3種，分別是20cm的在左側(cè)，右側(cè)和中間.故如圖：故答案為5,8,13；（3）【規(guī)律概括】中的數(shù)據(jù)尋找規(guī)律，可發(fā)現(xiàn)：從長度30cm的圖案開始，所有不同圖案的個數(shù)是前面兩個個數(shù)的和.【點睛】本題考查應(yīng)用與設(shè)計作圖，規(guī)律探究；能夠根據(jù)要求作出圖形，探索規(guī)律是解題的關(guān)鍵.（2020?河北邢臺市?九年級二模）如果。力都是非零整數(shù)，且a=4b,那么就稱。是“4倍數(shù)”.（1）30到35之間的“4倍數(shù)”是，小明說：23?-2『是“4倍數(shù)”,嘉淇說：“2—6x12+9也是“4倍數(shù)”，他們誰說的對？.（2）設(shè)x是不為零的整數(shù).①x（x+l）是的倍數(shù)；②任意兩個連續(xù)的“4倍數(shù)”的積可表示為,它（填“是”或“不是"）32的倍數(shù).（3）設(shè)三個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)是2〃（〃是整數(shù)），寫出它們的平方和，并說明它們的平方和是“4倍數(shù)”.【答案】（1）32；小明；（2）①2；②4x（4x+4）或16x（x+l）；是.（3）三個連續(xù)偶數(shù)為2〃一2,2n,2n+2,說明見解析.【分析】(1)32是4的倍數(shù)：利用平方差公式和完全平方公式求出23?-2/，122-6x12+9的值即可判斷：(2)①x與x+1是一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，所以是2的倍數(shù)；②找出兩個連續(xù)的“4倍數(shù)”求積即可，再根據(jù)結(jié)果判斷是否是32倍數(shù)即可；(3)求三個連續(xù)偶數(shù)為2〃-2,2〃，2〃+2得平方和即可.【詳解】解：(1)30到35之間的“4倍數(shù)”是32；232-212-(23-21)x(23+21)=2x44=88,122-6x12+9=(12-3)2=81nJAL232-212^“4倍數(shù)”，所以小明說的對.(2)①x與x+1是一個奇數(shù)，-個偶數(shù)，所以是2的倍數(shù)；②4x?4(x+l)=4x(4x+4)=16x(x+l),即4x(4x+4)或16x(x+l)；16x(x+l)中x與x+1是一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，所以x(x+l)是2的倍數(shù)，則16x(x+l)是32的倍數(shù).(3)三個連續(xù)偶數(shù)為2“一2,2n,2n+2.(2n-2)2+(2n)2+(2n+2)2=4〃2-8〃+4+4/+4/+8n+4=12n2+8=4(3n2+2)?.?"為整數(shù)，A4(3n2+2)M“4倍數(shù)”.【點睛】本題是用公式法進行因式分解以及整式的化簡在找規(guī)律中的應(yīng)用，靈活應(yīng)用法則是解答此題的關(guān)鍵.(2020?安徽合肥市?九年級二模)觀察以下等式：第1個等式：2,-22=13+2X1+1：第2個等式：3-32=23+3X2+22；第3個等式：4-42=33+4X3+32；按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第4個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式(用含n的等式表示)，并證明.【答案】(1)53—52=43+5x4+42;(2)猜想出第"個等式為(〃+1)3-(〃+1)2=/?+〃(〃+1)+〃2,證明見解析.【分析】(1)根據(jù)前三個等式歸納總結(jié)出規(guī)律即可得；(2)先歸納總結(jié)出一般規(guī)律，得出第n個等式，再利用因式分解的方法分別計算等式的兩邊即可得證.【詳解】(1)由前三個等式可得：第4個等式為53-52=43+5x4+42故答案為：53-52=43+5x4+42;(2)猜想出第〃個等式為(〃+1)3-(〃+1)2=〃3+〃(〃+1)+〃2,證明如下：等式的左邊=(〃+1)3-(〃+1)2=(〃+1)2[(〃+1)-1]=n(n+1)2等式的右邊+〃(〃+1)+〃2= +(〃+1)+〃]= +2〃+1)=〃(〃+1-則等式的左邊=等式的右邊所以等式成立.【點睛】本題考查了因式分解的實際應(yīng)用，理解題意，正確歸納類推出?般規(guī)律是解題關(guān)鍵.(2020?合肥市第四十八中學(xué)九年級一模)觀察以下等式：第1個等式：l2+2xl=lx(l+2)第2個等式：22+2x2=2x(2+2)第3個等式：32+2x3=3x(3+2)按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第4個等式：；(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.【答案】(1)42+2x4=4x(4+2)；(2)n2+2n=n(n+2),證明見解析【分析】(1)根據(jù)前三個等式歸納總結(jié)出規(guī)律即可得；(2)先歸納總結(jié)出一般規(guī)律，得出第汗等式，再利用計算等式右邊，得到左邊=右邊，問題得證.【詳解】解：(1)由前三個式子規(guī)律得第4個等式左邊為442><4,右邊為4X(4+2),使用第4個等式為：42+2x4=4x(4+2)；(2)n2+2n=n(n+2)證明：右邊="("+2)=〃2+2〃.,.左邊=右邊，...等式成立.【點睛】本題考查了規(guī)律探究及表示，仔細觀察各式子特點，理解題意，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.證明此類等式，可以對等式左右兩邊利用計算或因式分解進行變形，只要證明左右兩邊相等即可.(2020?河北唐山市?)把正整數(shù)1,2,3,4.…排成如下的一個數(shù)表.第第第第第第第第12345678列列列列列列列列第1行12345678第2行910111213141516第3行1718192021222324第4fj-25262728293031322020在第行，第列；(2)第〃行第3列的數(shù)是(用含的代數(shù)式表示)(3)嘉嘉和淇淇玩數(shù)學(xué)游戲，嘉嘉對淇淇說：“你從數(shù)表中挑一個數(shù)X,按如圖所示的程序計算，只要你告訴我所得的數(shù)在第幾行，我就知道你挑的數(shù)在第幾行.”你認為嘉嘉說得有道理嗎？計算說明理由./輸入+10—x5一一10一+5—/輸出y/【答案】(1)253,4；(2)8〃-5；(3)嘉嘉說得有道理，見解析【分析】(1)從圖中可以得出規(guī)律，每一行共有8個數(shù)，每行最后的數(shù)是8的倍數(shù)，從而可進一步得出答案；(2)由題意可知第〃行第8列是8〃，然后可以進一步推出答案；(3)按照程序?qū)懗龇匠淌郊纯傻贸龃鸢?【詳解】(1)由圖中可以得出規(guī)律，每一行共有8個數(shù)，每行最后的數(shù)是8的倍數(shù)，720204-8=252 4,...2020在第253行，第4列；(2)第川亍第3列的數(shù)是：8(〃-1)+3=8/7-5；(3)根據(jù)計算程序，可得：產(chǎn)[5(x+10)-10]+5=x+8,所以當知道數(shù)y在第幾行時，則x必在它的上一行，所以嘉嘉說得有道理.【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，熟練找出規(guī)律是解題關(guān)鍵.（2020?重慶市雙福育才中學(xué)）閱讀材料，解決問題：材料1：在研究數(shù)的整除時發(fā)現(xiàn)：能被5、25、125、625整除的數(shù)的特征是：分別看這個數(shù)的末一位、末兩位、末三位、末四位即可，推廣成一條結(jié)論：末〃位能被5"整除的數(shù)，本身必能被5"整除，反過來，末〃位不能被5"整除的數(shù)，本身也不可能被5"整除例如判斷992250能否被25、625整除時，可按下列步驟計算：?.?25=52,50+25=2為整數(shù)，.?.992250能被25整除.?,-625=54,2250+625=3.6不為整數(shù)，，992250不能被625整除.材料2：用奇偶位差法判斷一個數(shù)能否被11這個數(shù)整除時，可把這個數(shù)的奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，則原數(shù)能被11整除，反之則不能.（1）若嬴這個三位數(shù)能被II整除，則;在該三位數(shù)末尾加上和為8的兩個數(shù)字，讓其成為一個五位數(shù)，該五位數(shù)仍能被11整除，求這個五位數(shù)；（2）若嬴涼這個六位數(shù)，千位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍，且這個數(shù)既能被125整除，又能被11整除，求這個數(shù).【答案】（1）6=8,68244；（2）該數(shù)為580250或500500或530750或550000【分析】（1）奇數(shù)位分別是6和2,偶數(shù)為是m,根據(jù)題意可知6+2-m能被11整除，且m為0至9的正整數(shù)，從而可求出m的值；設(shè)該五位數(shù)為682n（8-a）,由題意可知16—a—（8+。）=8-2。能被11整除，從而求出a的值即可；（2）根據(jù)題意可知：b=2e,所以e只能取0或1或2或3或4,由該數(shù)能被125整除可知cde可以是250或500或750或000,然后由能被11整除可得-a-c+d+e+5能被11整除，再分情況求出a、b、c,d、e的值即可.【詳解】解：（1）奇數(shù)位分別是6和2,偶數(shù)為是加，由材料uj知：6+2—加能被11整除，.0<m<9,且切是正整數(shù)，m=8,設(shè)該五位數(shù)為682a（8-a）,，奇數(shù)位之和為：6+2+8—<7=16—a,偶數(shù)位之和為：8+。，.??根據(jù)題意可知：16-。—（8+。）=8-2。能被11整除，?.?OMaV8且a為正整數(shù)，—848—2a48,8—2a=0,，該數(shù)為68244：(2)由題意可知:b=2e,?.?0W6W9且b為整數(shù)：.0<e<4,.,.0=0或1或2或3或4,，由材料一可知：三位數(shù)嬴能被125整除，二說=125〃，〃為正整數(shù)，1<n<7,?1=0或1或2或3或4,/.n=2或4或6,六位數(shù)5abcde中的cde可以是250或500或750或000,???奇數(shù)位之和為：5+2e+d,偶數(shù)位之和為：a+c+e,5+2e+d—(a+c+e)=—a—c+d+e+5能被11整除，①當cde是250時，c=2,d=5,e=O,b=0,—a—c+d+e+5=—a+8,?.-0<a<9,.---l<-a+8<8,—ci+8=0,.*.<2=8,該數(shù)為580250；②同理可得，當cde是500時，該數(shù)為500500；③當cde是750時，該數(shù)為530750；④當cde是000時，該數(shù)為550000,綜上所述，該數(shù)為580250或500500或530750或550000.【點睛】本題涉及不等式的性質(zhì)，整除的性質(zhì)，分類討論的思想，綜合考查學(xué)生的推理計算能力以及閱讀理解能力.(2020?浙江嘉興市?中考真題)比較1+1與2”的大小.(1)嘗試(用"V"，"="或“>"填空)：①當x=l時，^+12x；②當x=0時，y+12x；③當x=-2時，?+12x.(2)歸納：若魂任意實數(shù)，*+1與2x有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.【答案】(1)①二②〉；③＞；(2)V+122X,理由見解析【分析】(1)根據(jù)代數(shù)式求值，可得代數(shù)式的值，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案；(2)根據(jù)完全平方公式，可得答案.【詳解】解：(1)①當x=l時，"l=2x；②當x=0時，父+1＞2笛③當x=-2時，y+l＞2x.故答案為：=；＞；＞.(2)V+122%.證明：W+l-2x=(a--1)=0,.,.f+l22x.【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的大小比較，兩個整式大小比較及證明，公式法因式分解、不完全歸納法，解題關(guān)鍵是理解根據(jù)“A-B”的符號比較“A、B”的大小.(2020?山東棗莊市?中考真題)歐拉(員〃er,1707年~1783年)為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻.他對多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點數(shù)(Vertex)、模數(shù)E(Edge)、面數(shù)尸(尸/atsurface)之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了著名的歐拉公式.(1)觀察下列多面體，并把下表補充完整：名稱三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形心頂點數(shù)P468棱數(shù)￡612面數(shù)尸458(2)分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)KE、/=之間有什么關(guān)系嗎？請寫出關(guān)系式:【答案】(1)表格詳見解析；(2)V+F-E=2【分析】(1)通過認真觀察圖象，即可一一判斷;（2）從特殊到一般探究規(guī)律即可.【詳解】解：（1）填表如下：名稱三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形山3頂點數(shù)/4686棱數(shù)E691212面數(shù)尸4568（2）據(jù)上表中的數(shù)據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多面體的頂點數(shù)二棱數(shù)反面數(shù)9間存在關(guān)系式：V+F-E=2.【點睛】本題考查規(guī)律型問題，歐拉公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型.（2020?重慶中考真題）在數(shù)的學(xué)習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)一一“好數(shù)”.定義：對于三位自然數(shù)〃，各位數(shù)字都不為0,且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個位數(shù)字整除，則稱這個自然數(shù)〃為“好數(shù)”.例如：426是“好數(shù)”，因為4,2,6都不為0,且4+2=6,6能被6整除；643不是“好數(shù)”,因為6+4=10,10不能被3整除.（1）判斷312,675是否是“好數(shù)”？并說明理由；（2）求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)，并說明理由.【答案】（1）312是“好數(shù)”，675不是“好數(shù)”，理由見解析；（2）611,617,721,723,729,831,941.理由見解析.【分析】（1）根據(jù)“好數(shù)”的定義進行判斷即可；（2）設(shè)十位數(shù)字為必個位數(shù)字為y,則百位數(shù)字為（戶5）.根據(jù)題意判斷出x、y取值，根據(jù)“好數(shù)”定義逐一判斷即可.【詳解】（1）；3,1,2都不為0,且3+1=4,4能被2整除，...312是“好數(shù)”.V6,7,5都不為0,且6+7=13,13不能被5整除，675不是“好數(shù)”；(2)設(shè)十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y,則百位數(shù)字為(戶5).其中x,淵是正整數(shù)，且IWxW4,IWK9.十位數(shù)字與個位數(shù)字的和為：2點5.當戶1時，2戶