安徽省潛山市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．素數(shù)也叫質(zhì)數(shù),部分素數(shù)可寫成“”的形式（是素數(shù)）,法國數(shù)學(xué)家馬丁?梅森就是研究素數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位,因此后人將“”形式（是素數(shù)）的素數(shù)稱為梅森素數(shù).2018年底發(fā)現(xiàn)的第個梅森素數(shù)是,它是目前最大的梅森素數(shù).已知第個梅森素數(shù)為,第個梅森素數(shù)為,則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，若，則x的值是（）A.3 B.9C.或1 D.或33．已知函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則當(dāng)x＜0時，f（x）的表達式是A. B.C. D.4．已知集合，集合，則（）A.{-1，0，1} B.{1，2}C.{-1，0，1，2} D.{0，1，2}5．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)滿足∶當(dāng)時，，當(dāng)時，，若，且，設(shè)，則()A.沒有最小值 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為7．已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)函數(shù)值表：1245612313615.55210.88-52.488-232.064在以下區(qū)間中，一定有零點的是（）A.（1，2） B.（2，4）C.（4，5） D.（5，6）8．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若.則（）A. B.C.2 D.10．若角(0≤≤2π)的終邊過點，則=(

)A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的最大值是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)________14．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為______15．已知向量、滿足：，，，則_________.16．設(shè)函數(shù)，其圖象的一條對稱軸在區(qū)間內(nèi)，且的最小正周期大于，則的取值范圍是____________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對稱中心坐標(biāo)：（2）先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時，關(guān)于的方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.18．如圖，正方體的棱長為1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC垂直.19．某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）設(shè)，若，，都有，求實數(shù)a的取值范圍.21．指數(shù)函數(shù)（且）和對數(shù)函數(shù)（且）互為反函數(shù)，已知函數(shù)，其反函數(shù)為（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)使得對任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上總有三個不等根，，？若存在，求出實數(shù)及的取值范圍；若不存在，請說明理由22．已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求，的值；（2）判斷的單調(diào)性；（不需要證明）（3）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】根據(jù)兩數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,的值約等于,設(shè),運用指數(shù)運算法則,把指數(shù)式轉(zhuǎn)化對數(shù)式,最后求出的值.【詳解】因為兩數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,所以的值約等于,設(shè),因此有.故選C【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)估算能力,考查了指數(shù)運算性質(zhì)、指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】分段解方程即可.【詳解】當(dāng)時，，解得（舍去）；當(dāng)時，，解得或（舍去）.故選：A3、A【解析】由題意得，當(dāng)時，則，當(dāng)時，，所以，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故選A考點：函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用；函數(shù)的表達式4、B【解析】由交集定義求得結(jié)果.【詳解】由交集定義知故選：B5、B【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和正負(fù)性，運用排除法進行判斷即可.【詳解】因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于縱軸對稱，故排除C、D兩個選項；顯然，故排除A，故選：B6、B【解析】根據(jù)已知條件，首先利用表示出，然后根據(jù)已知條件求出的取值范圍，最后利用一元二次函數(shù)并結(jié)合的取值范圍即可求解.【詳解】∵且，則，且，∴，即由，∴，又∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，故有最小值.故選：B.7、C【解析】由表格數(shù)據(jù)，結(jié)合零點存在定理判斷零點所在區(qū)間.【詳解】∵∴，，，,又函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由函數(shù)零點存在定理可得在區(qū)間上一定有零點故選：C.8、D【解析】利用二次函數(shù)單調(diào)性，列式求解作答.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意，，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D9、A【解析】由已知、同角三角函數(shù)關(guān)系、輔助角公式及誘導(dǎo)公式可得解.【詳解】由得，∴.故選：A.10、D【解析】由題意可得：，由可知點位于第一象限，則.據(jù)此可得：.本題選擇D選項.11、A【解析】分別求得，，，，，，，時，的最小值，作出的簡圖，因為，解不等式可得所求范圍【詳解】解：因為，所以，當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，，，由知，，所以此時，其最小值為；同理，當(dāng)，時，，其最小值為；當(dāng)，時，的最小值為；作出如簡圖，因為，要使，則有解得或，要使對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是故選：A12、A【解析】先由在區(qū)間上單調(diào)遞增，求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】解：的對稱軸為：，若在上單調(diào)遞增，則，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，反之，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，故“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可考慮正弦型函數(shù)，，再利用周期計算，選擇一個作答即可.【詳解】由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個，可取.故答案為：.14、##【解析】右邊化簡可得，利用基本不等式，計算化簡即可求得結(jié)果.【詳解】，故,則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立故答案為：15、.【解析】將等式兩邊平方得出的值，再利用結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算律可得出結(jié)果.【詳解】，，，因此，，故答案為.【點睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積來計算平面向量的模，在計算時，一般將平面向量的模平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律來進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解析】由題可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸為，結(jié)合條件即得.【詳解】∵，由，得，當(dāng)時，，則，解得此時，當(dāng)時，，則，解得此時，不合題意，當(dāng)取其它整數(shù)時，不合題意，∴.故答案：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1），（2）【解析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高點可求得的值，即可得的解析式，由正弦函數(shù)的對稱中心可得對稱中心；（2）由圖象的平移變換求得的解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的值域，令的取值為的值域，解不等式即可求解.【小問1詳解】由題意可得：，可得，所以，因為，所以，可得，所以，由可得，因為，所以，，所以.令可得，所以對稱中心為.【小問2詳解】由題意可得：，當(dāng)時，，，若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則有實根，所以，可得：.所以實數(shù)的取值范圍為.18、（1）30°（2）（3）見解析【解析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）利用向量法求AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC的法向量垂直.【詳解】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），設(shè)AO與A′C′所成角為θ，則cosθ，∴θ＝30°，∴AO與A′C′所成角為30°.（2）∵（），面ABCD的法向量為（0，0，1），設(shè)AO與平面ABCD所成角為α，則sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO與平面ABCD所成角的正切值為.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），設(shè)平面AOB的法向量（x，y，z），則，取x＝1，得（1，0，1），設(shè)平面AOC的法向量（a，b，c），則，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB與平面AOC垂直.【點睛】本題主要考查空間角的求法和面面垂直的證明，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）400；（2）不能獲利，至少需要補貼35000元.【解析】(1)每月每噸的平均處理成本為，利用基本不等式求解即得最低成本；(2)寫出該單位每月的獲利f(x)關(guān)于x的函數(shù)，整理并利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可作答.【小問1詳解】由題意可知：，每噸二氧化碳的平均處理成本為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴該單位每月處理量為400噸時，每噸平均處理成本最低；【小問2詳解】該單位每月的獲利：，因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即，所以，該單位每月不能獲利，國家至少需要補貼35000元才能使該單位不虧損.20、（1），（2）【解析】(1)由同角關(guān)系原不等式可化為，化簡可得，結(jié)合正弦函數(shù)可求其解集，(2)由條件可得在上的最大值小于或等于在上的最小值，利用單調(diào)性求的最大值，利用換元法，通過分類討論求的最小值，由此列不等式求實數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】由得，，當(dāng)時，，由，而，故解得，所以的解集為，.【小問2詳解】由題意可知在上的最大值小于或等于在上的最小值.因為在上單調(diào)遞減，所以在上的值域為.則恒成立，令，于是在恒成立.當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，則只需，即，此時恒成立，所以；當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，則只需，即，不滿足，舍去；當(dāng)即時，只需，解得，而，所以.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.21、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域可得，即得；（2）由題可得，令，則可得時，方程有兩個不等的實數(shù)根，當(dāng)時方程有且僅有一個根在區(qū)間內(nèi)或1，進而可得對于任意的關(guān)于t的方程，在區(qū)間上總有兩個不等根，且有兩個不等根，只有一個根，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即得.【小問1詳解】∵函數(shù)，其反函數(shù)為，∴，∴，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵在定義域上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，解得；【小問2詳解】∵，∴，∵，，令，則時，方程有兩個不等的實數(shù)根，不妨設(shè)為，則，即，∴，即方程有兩個不等的實數(shù)根，且兩根積為1，當(dāng)時方程有且僅有一個根在區(qū)間內(nèi)或1，由，可得，令，則原題目等價于對于任意的關(guān)于t的方程，在區(qū)間上總有兩個不等根，且有兩個不等根，只有一個根，則必有，∴，解得，此時，則其根在區(qū)間內(nèi)，所以，綜上，存在，使得對任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上總有三個不等根，，，的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為對于任意的關(guān)于t的方程，在區(qū)間上總有兩個不等根，且有兩個不等根，只有一個根，進而利用二次函數(shù)