【2022】高中物理萬有引力定律知識點總結(jié)與典型例題精選

萬有引力定律人造地球衛(wèi)星『夯實基礎知識』開普勒行星運動三定律簡介（軌道、面積、比值）丹麥開文學家開普勒信奉日心說，對天文學家有極大的興趣，并有出眾的數(shù)學才華，開普勒在其導師弟谷連續(xù)20年對行星的位置進行觀測所記錄的數(shù)據(jù)研究的基楚上，通過四年多的刻苦計算，最終發(fā)現(xiàn)了三個定律。第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上；第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二r3次方的比值都相等．即 T2開普勒行星運動的定律是在丹麥天文學家弟谷的大量觀測數(shù)據(jù)的基礎上概括出的，給出了行星運動的規(guī)律。萬有引力定律及其應用(1)內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小跟它們的質(zhì)量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個物體的連線方向。FGMm（1687年）r2

定律不再適用，不能依公式算出F近為無窮大。GG1kg1m時相互作用的萬有引力．(3)地球自轉(zhuǎn)對地表物體重力的影響。球一起繞地軸自轉(zhuǎn)所需的向心力F向=mRcos·2于地軸指向地軸，而萬有引力的另一個分力就是通常所說的mgN地心。FgRmRcos·ω2減小，重力逐漸增大，相應重力加速度g也逐漸增大。ωNO′F心 mOF mgO引甲G6.671011Nm

/kg2

和mg剛好在2向2一條直線上，則有F＝F

＋2g2g=F

mm＝G 1 21kg1m年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出。

向2－mRω 2。2自

向 r2萬有引力常量的測定——卡文迪許扭秤實驗原理是力矩平衡。（放大）和光學放大（借助于平面境將微小的運動效果放大。萬有引力常量的測定使卡文迪許成為“能稱出地球質(zhì)量的人”：

物體在兩極時其受力情況如圖丙所示這時物體不再做圓周運動，沒有向心力，物體受到的萬有引力F 和支持力N是引對平衡力，此時物體的重力mg＝N＝F 。引ω N ωFFF引引 Nmm對于地面附近的物體m，有mg G E

（

o o為地球R2 EEgR2半徑或物體到地球球心間的距離，可得到m E 。E G(2)定律的適用條件：嚴格地說公式只適用于質(zhì)點間的相互作r球體，r是兩球心間的距離．

乙 丙綜上所述他地方介于兩者之間，但差別很小。向地心，但與萬有引力的夾角很小。由于地球自轉(zhuǎn)緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計算中忽略了自轉(zhuǎn)的影響，在此基礎上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即

GmMR2

≈mg

可得行星的密度（4）發(fā)現(xiàn)未知天體說明：由于地球自轉(zhuǎn)的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千分之五；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬分之三，所以，在近似的計算中，認為重力和萬有引力相等。萬有引力定律的應用：基本方法：衛(wèi)星或天體的運動看成勻速圓周運動， F =F萬(類似原子模型)心方法：軌道上正常轉(zhuǎn)：Mm v2 42G m m 2rm r2 r T2

人造地球衛(wèi)星。分析。Mm地面附近：GR2

=mg

GM=gR2(黃金代換式)

1、衛(wèi)星的軌道平面：由于地球衛(wèi)星做圓周運動的向心力是由萬有引力提供的，所以衛(wèi)星的軌道平面一定過地球球心，球球（1）天體表面重力加速度問題

心一定在衛(wèi)星的軌道平面內(nèi)。通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，2、原理：由于衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，所以地球?qū)πl(wèi)星的引力充當衛(wèi)星所需的向心力，于是有mm即m2g＝G 1

，g=GM/R2常用來計算星球表面重力加速R2度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大r而減小，即gh=GM/（R+h）2，比較得gh=（Rh）2·gmg=GMm得

GmM 2 mam m 2rm( )2r2 r T實際是牛頓第二定律的具體體現(xiàn)3、表征衛(wèi)星運動的物理量：線速度、角速度、周期等：aR2g=GM，由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為

向心加速度r的平方成反比。GMR2 g R2 1 2 1g R2 M2 1 2

a =向 r2GM向a max=R2向

當r取其最小值時，a向=g=9.8m/s2

取得最大值。mm

T，圓周運動

vr的平方根成反比中的軌道半徑為r，則：

GMv= r h↑，v↓mm由G 中

22m

r得：m 4

2r3r2 T

中 GT2

當r 取其最小值地球半徑R 時，v 取得最大值。的質(zhì)量?？梢宰⒁獾剑涵h(huán)繞星體本身的質(zhì)量在此是無法計算的。

vmax=

GMR = Rg=7.9km/s計算中心天體的密度

角速度

與r的三分之三次方成百比Mρ=V

M=4R3

r2 = = r3GT2R3

∴當h↑，ω↓3 當r取其最小值地球半徑R時，取得最大值。由上式可知，只要用實驗方法測出衛(wèi)星做圓周運動的半徑r

max=

GMR3

gR1.2310－3rad/s周期T與r的二分之三次方成正比。 橢圓運動當衛(wèi)星的速度等于或大于11.2km/s的時候物體T=2

r3GM

∴當h↑，T↑ 飛到其它行星上去，把v2

11.2km/s叫做第二宇宙速度，rR時，T取得最小值。

第二宇宙速度是掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。第三宇宙速度：物體掙脫太陽系而飛向太陽系以外的宇宙空間

R3GM

=2 R≈84ming

所需要的最小發(fā)射速度，又稱逃逸速度，其值為：衛(wèi)星的能量：(類似原子模型)

v 16.7km/s3r增

v減小(EK減小<Ep增加)，所以E增加需克服引力做

(2)當發(fā)射速度v與宇宙速度分別有如下關系時，被發(fā)射物體的運動情況將有所不同功越多，地面上需要的發(fā)射速度越大應該熟記常識：11天=24小時=86400s6.4ｘ103kmg=9.8m/s2月球公轉(zhuǎn)30天宇宙速度及其意義(1)三個宇宙速度的值分別為第一宇宙速度（速度：物體圍繞地球做勻速圓周運動所需要的最小發(fā)射速度，又稱環(huán)

①當v＜v1時，被發(fā)射物體最終仍將落回地面；v1≤v＜v2③當v2≤v＜v3時，被發(fā)射物體將脫離地球束縛，成為環(huán)繞太陽運動的“人造行星”；④當v≥v3時，被發(fā)射物體將從太陽系中逃逸。同步衛(wèi)星（所有的通迅衛(wèi)星都為同步衛(wèi)星）“同步”的含義就是和地球保持相對靜止（止軌道衛(wèi)星T=24h，⑵特點平面可與地軸有任意夾角，而同步衛(wèi)星一定位于赤道的正上繞速度，其值為：v1

7.9km/s

方，不可能在與赤道平行的其他平面上。這是因為：不是赤道上方的某一軌道上跟著地球的自轉(zhuǎn)同步地第一宇宙速度的計算．方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力．

作勻速圓運動，衛(wèi)星的向心力為地球?qū)λΦ囊粋€分力F1，而另一個分力F2的作用將使其運行軌道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步衛(wèi)星才可能在穩(wěn)定的軌道上運行。mM v2 GMG=mh，v=

r

。當h↑，v↓，所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運行的最大速度。其大小為r＞＞h（地面附近）時，V1

GMr =7．9×103m/s引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力．v2

自轉(zhuǎn)周期相同。h處，且h是一定的．mg

r1h

r＞＞h時．gh≈g

Gr2

m2rv1＝

gr=7．9×103m/s第二宇宙速度（脫離速度：

而小于

11.2km/s

，衛(wèi)星將做

3得r

GM hrR35800km2 故地球同步衛(wèi)星的線速度：環(huán)繞速度 D．月球繞地球運動的周期將變短★解析：設地球和月球的質(zhì)量分別為M、m，它們之間的引力由Gr2

mr

v GM3.08km/s得 r

為F

Mmr2 運行方向一定自西向東運行

知識，當Ｍ＝m時，Ｍ·m取最大值，Ｍ、m相差越多，Ｍ·m人造天體在運動過程中的能量關系當人造天體具有較大的動能時，它將上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。反之，如

越小，

FG

Mmr2 越小。地球比月球的質(zhì)量大，還要把月過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。

球上的礦藏搬運到地球上，就使得Ｍ，m相差更多，所以Ｍ·mFGMm

就越小，

r2 越小。答案：B、DK動能為E GMm，由于重力加速度g隨高度增大而減小，K2r所以重力勢能不能再用計算，而要用到公式

gh表面重力加速度：Mm GME GMm（以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質(zhì)量，P rm為衛(wèi)星質(zhì)量，r）因此機

G mgg R2 0 0 R2軌道重力加速度：GMm

GMm

mg g GM械能為E2r

。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即 Rh2

h h Rh2離地面越高，衛(wèi)星具有的機械能越大，發(fā)射越困難?！侯}型解析』類型題：萬有引力定律的直接應用mm

【例題】設地球表面的重力加速度為g是地球半徑g/，為（）、1； B、1/9； C、1/4；D、1/16。FG的是（C）

1 2的說法中正確r2

Mg=GR

，=

M(R3R)

g/=1/16，A．公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質(zhì)量較小的物體BC．兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律D．公式中萬有引力常量G的值是牛頓規(guī)定的

即D選項正確。1 1【例題】火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的10和2，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（B）mMR，則物體與地球間的萬有引力是（C）GMm

(A)0.2g(C)2.5g

(B)0.4g(D)5gA．R2C．零

B．無窮大D．無法確定

類型題：用萬有引力定律求天體的質(zhì)量和密度通過觀天體衛(wèi)星運動的周期T和軌道半徑r或天體表面的重力

加速度g和天體的半徑R，就可以求出天體的質(zhì)量M。球上．假如經(jīng)過長時間開采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的圓軌道運動則與開采前比較B．地球與月球間的萬有引力將減小C．月球繞地球運動的周期將變長

Mm 2 Mr由 Mrr2 T4又M R3 得43

2r3GT23r3GT2R3r=1.49101，公

1大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T=30s。問該中轉(zhuǎn)的周期T=3.16 107s，求太陽的質(zhì)量M。得：

(Mm 2 G=6.671011m32)G m rr2 TM2rMGT=1.96GT2

1030kg

引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。MR，自轉(zhuǎn)角速度為t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點2

GMmR2

m2R

T

M4R33地點之間的距離為

3L。已知兩落地點在同一水平面上，該

GT2，星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M?！锝馕觯涸O拋出點的高度為h，代入數(shù)據(jù)解得：

1.271014kg/m3。2 H2

h2

可得h設該星球上的重力加速度為g，由平拋運動的規(guī)律得： 雙星問題h12

gt2g

宇宙中往往會有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不由萬有引力定律與牛頓第二定律得：mgGMmR2

計。在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。這種結(jié)構(gòu)叫做雙星。M

2 3LR22 。

此周期也必然相同。⑵由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提【例題】某行星的衛(wèi)星，在靠近行星的軌道上運動，若要計算行星的密度，唯一要測量出的物理是（D）

供的，因此大小必然相等，由F=mω2rr1，于是有m1 D1

r m21 mm1

L,r mL12 mmL11 2ωT，則可估算此恒星的密度為多少?★解析：設此恒星的半徑為R，質(zhì)量為M，由于衛(wèi)星做勻速圓

m1 rO r2 mMm周運動，則有 G

=mR

4，

2R3 ⑶列式時須注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距R2 T24

GT3

Lrr1、r2，千萬不可混淆V=3πR3ρ=V

=GT2。 【例題】在天文學中，把兩顆相距較近的恒星叫雙星，已知兩

恒星的質(zhì)量分別為m和M，兩星之間的距離為L，兩恒星分別圍繞共同的圓心作勻速圓周運動，如圖所示，求恒星運動的半徑和周期。 對M

M1M2

2＝M（

）2l

∴M

42R2l22 R2

2 T 2，

GT2M1 o M＋M1

42R2（l＋l）＝GT2 1 2

2R3。GT2m解析：兩顆恒星在萬有引力作用下圍繞共同點O(把它叫做質(zhì)心)作勻速圓周運動，O點在兩顆恒星的連線上，Or、RT萬有引力定律和牛頓第二定律

m1mm=2mrr比為（）1 2 1 r1 1 2 1 m的恒星有M

GMml2Gl2

m22rTTTM2T

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．1∶2★解析：兩球向心力、角速度均相等，由公式r M

ml R

1 r m 1r+R=L。由以上三式解得

Mm Mm

得r

r2

= 2=2。答案：Dm1mT2

l3(Mm)Gr M l

R m l

顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作R答 案 ：Tl3

Mm

Mm

的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，設每個星體(Mm)G技巧點拔：解圓周運動問題，確定圓心的位置是很重要的。另外，雙星系統(tǒng)在宇宙中是比較普遍的，如果兩顆星的質(zhì)量相差l3懸殊，如則r=L，R=O，TGM，這是可以把大質(zhì)量星看作靜止的，小質(zhì)量星圍繞大質(zhì)量星運動。RT，求兩星的總質(zhì)量。11 MMO點作周期T12Ol1l2。M11

的質(zhì)量均為m。試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期；體之間的距離應為多少？★解析：12MM 12G ＝M（ ）2l

2R2l1，∴M＝1R2 1 T 1

2 GT2

人造衛(wèi)星的一組問題【例題】“神舟三號”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要多次進行“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小 P 3方向使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行如果不進行軌道 21維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低在這種情況下飛船的動能重力勢能和機械能變化情 Q況將會是A．動能、重力勢能和機械能都逐漸減小B．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變C．重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變D．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小解析：由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運行的每

3上的速率大于在軌道１上的速率3上的角速度小于在軌道１上的角速度1Q2上Q點時的加速度衛(wèi)星在軌道2P3P點時的加速度★解析：從動力學的角度思考，衛(wèi)星受到的引力使衛(wèi)星產(chǎn)生運理，衛(wèi)星的重力勢能減小；由v

GM

1可知，衛(wèi)星動

（F

ma

），所以衛(wèi)星在軌道１上經(jīng)過Ｑ點時r r n n能將增大。這也說明該過程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正。答案選D【例題】如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星時，先進入一個近地P（該橢

２上經(jīng)過Ｐ點時的加速度等于它在軌道３上經(jīng)過Ｐ點時的加v2

（a n r

2r），由于衛(wèi)星在不同的軌道上經(jīng)過相同點在近地圓軌道上運行的速率為1在P點短時間加速后的速為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3v4的大小，并用小于號將它們排列起來 。Qv3v4 v1Pv2PQ兩點點火加速過程中，衛(wèi)星速度將v2>v1、v4>v3v1、v4是繞地球做勻速圓周運r1<r4

時，不但線速度、角速度不同，而且軌道半徑（曲率半徑）不同，所以不能做出判斷。案：B、D【例題】歐洲航天局用阿里亞娜火箭發(fā)射地球同步衛(wèi)星。該（左右南美洲的法屬圭亞那的12狀態(tài)，最后通過轉(zhuǎn)移、調(diào)試，定點在地球同步軌道上時為3狀態(tài)將下列物理量按從小到大的順用不等號排列這三個狀態(tài)下衛(wèi)星的線速度大小 向心加速度大小 ；③周期大。2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因r2<r3v3<v2；比較13狀態(tài)，周期相同，即角速度相r1<r3vv1<v3<v22、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r2<r3，而向心加速1 4 2 1 4 以v>v。把以上不等式連接起來，可得到結(jié)論：v>v>v>v。度就是衛(wèi)星所在位置處的重力加速度 g=GM/r2∝1/r21 4 2 1 4 （P→Q運行時，由于只有重力做負功，衛(wèi)a3<a213r1<r3a=rω2∝r，星機械能守恒，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v2>v3）（98上海）12312Q點。軌23P點（如圖123上正常運行時，以下說法正確的是（）

a1<a3a1<a3<a212狀態(tài)，可以認為它們軌v13狀態(tài)衛(wèi)星在同24hT3=T1T2<T1=T3衛(wèi)星的追及問題BOATBT，在1 2某一時刻兩行星第一次相（即兩行星距離最近（BD 。經(jīng)過時間

甚至在有的問題中，數(shù)學知識起關鍵作用。用比值法求解有關問題【例題（81全國高考）假設火星和地球都是球體，火星的量為M 和地球質(zhì)量M 之比M ／M ＝p，火星半徑R 火 地 火 地 火t

T2T

之比R 地 火

＝q，那么火星表面重力加速度g地 火TT2 1

之比為（A ）地t1TT p pＣ．經(jīng)過時間

12T

，兩行星第一次相距最遠A．

B．pq2 C．

D．pq2 1tTT

q2 qD．經(jīng)過時間

122兩行星第一次相距最遠 2．割補法的運用【例題】A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運

【例題】如圖所示，在距一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的動，運行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，球體中心2R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點對m的萬有引力的已知恒星質(zhì)量為 r＜r。若在某一時刻兩行星相距最近，試FMr。1 2求： 求M中剩下的部分對m的萬有引力的大小。o o′r m再經(jīng)過多少時間兩行星距離又最近？再經(jīng)過多少時間兩行星距離最遠？（1、B、B與恒星在同一條圓半徑上，A、B運動方向相同，A2π、B與恒

★解析：根據(jù)萬有引力定律，F(xiàn)G Mm(2R)2

，挖去的球體星又位于同一條圓半徑上，距離最近。（1）B的角速度分別為ωω，經(jīng)過時間A轉(zhuǎn)

m

F

Mm(1.5R)2

，而M R 。所3M r331 2ωωB距離最近的條件是：1 2ωt=n(n

以剩下的部分對質(zhì)點m的引力為1 2恒星對行星的引力提供向心力，則：Gmmmr2,即 Gm，r2 r3

FF

9R316r39R3 F。由得得出1

Gmr31

， Gm，2 r32

答案：

9R316r3F求得：t

Gmr3r1

Gmr3r2

(n

9R33．代數(shù)知識的運用tB轉(zhuǎn)過的角度相差πA、B相距最遠，即tt(2k(k。

【例題】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r

a2b2c可由r3 求1故t

2(2k

。把ω

代入得：

42 1 21