11空間幾何體的結(jié)構(gòu)課件(人教A版必修2)

球的概念與性質(zhì)球的概念與性質(zhì)觀察現(xiàn)實生活中的各種球形觀察現(xiàn)實生活中的各種球形1、掌握球的定義、表示方法及其有關(guān)概念;2、掌握球的截面性質(zhì);3、掌握球的大圓與小圓的概念;4、掌握地球的經(jīng)度、緯度，理解實際應(yīng)用;5、掌握球面上兩點間的距離定義及求法.學(xué)習(xí)目標(biāo):1、掌握球的定義、表示方法及其有關(guān)概念;學(xué)習(xí)目標(biāo):圓的定義平面內(nèi)到一個定點距離等于定長的點的軌跡叫做圓。圓只是一條曲線，而不是一個“圓面”。圓面：平面內(nèi)到一個定點的距離小于或等于定長的點的軌跡叫做圓面。

復(fù)習(xí)圓的有關(guān)概念問題：誰能模仿圓和圓面，給球面和球下定義？

定義1：到一個定點的距離等于定長的點的集合是一個球面。定點——球心，定長——球半徑定義2：到一個定點的距離小于或等于定長的點的集合是一個球體（簡稱“球”）。

圓的定義圓只是一條曲線，而不是一個“圓面”。圓面：平面內(nèi)到一、球的概念:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球體.與定點(圓心)的距離等于或小于定長(半徑)的點的集合叫做球體，簡稱球.球的旋轉(zhuǎn)定義球的集合定義1.球的定義一、球的概念:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面2.球的有關(guān)概念球體與球面的區(qū)別：球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所成的曲面.球(即球體):球面所圍成的幾何體.它包括球面和球面所包圍的空間.半圓的圓心叫做球心.一個球用它的球心字母來表示，例如球O.連結(jié)球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑（線段OP).連結(jié)球面上兩點并經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑（線段AB).OABP2.球的有關(guān)概念球體與球面的區(qū)別：球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)畫軸:經(jīng)過點O畫x軸y軸z軸,兩軸之間夾角為均為120°.畫大圓：以O(shè)為中心分別按x軸、y軸,y軸、z軸,z軸、x軸畫半徑為R的圓的直觀圖（三個橢圓）.成圖：以點O為圓心畫一個圓與三個橢圓都相切.Ozxy二、球的畫法畫軸:經(jīng)過點O畫x軸y軸z軸,兩軸之間夾角為均為120°.畫問題：一條直線與圓相交，在圓內(nèi)的部分是什么圖形？把直線換成平面，圓換成球，即用一個平面去截球，情況又怎樣呢？我們用一個平面去截一個球,是

什么圖形呢？圓面三、球的截面問題：一條直線與圓相交，在圓內(nèi)的部分是什么圖形？把直線換成平O?2.球心到截面的距離d與球的半徑R和截面半徑r有下面的關(guān)系:1.球心和截面圓心的連線垂直于該截面．用一個平面去截一個球,截面是圓面(黃色圓面).截面的性質(zhì)：截面的定義：O?2.球心到截面的距離d與球的半徑R和截面半徑r有下面的關(guān)大小圓的定義：

1.大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓.如⊙O(淺藍色圓面）.o2.小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓.如⊙O′(黃色圓面）.

問題：在球中，球心到截面的距離與截面圓的大小有什么關(guān)系？大小圓的定義：1.大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓（1）半圓以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球.（）

（2）在空間，到定點的距離等于定長的所有點的集合叫球.（）（3）球的小圓的圓心與球心的連線垂直于這個小圓所在平面.（）√××判斷正誤：（對的打√，錯的打×.）(5)球半徑是5，截面圓半徑為3,則球心到截面圓所在平面的距離為4.（）（4）經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個大圓.()×√（1）半圓以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲 （2）在空間，到定點的距四、球面距離四、球面距離

假如你要乘坐從北京直飛紐約的飛機,設(shè)想一下,它需要沿著怎樣的航線飛行呢?航程大約是多少呢?(3)這無數(shù)條弧長哪條最短?(1)北京和紐約間的距離是一條線段的長嗎?(2)經(jīng)過球面上的這兩點有多少條弧呢?我們不妨先看一個例子！不是,是一端圓弧的長.無數(shù)條.假如你要乘坐從北京直飛紐約的飛機,設(shè)想一下,它需例1：已知地球半徑為R,A、B兩點均位于北緯45度線上，其經(jīng)度差為90度.求(1)在北緯45度圈上劣弧的長度;(2)在經(jīng)過A、B兩地的大圓上劣弧的長度.⌒AB⌒ABOO1ABm例1：已知地球半徑為R,A、B兩點均位于北緯45度線上，其經(jīng)⌒AB∴緯圓中的長度為OO1ABmA∴大圓中劣弧的長度為⌒AmB⌒AB∴緯圓中的長度為OO1ABmA∴大圓中劣大圓中的長度小于緯圓中長度⌒AmB⌒ABOO1ABm大圓中的長度小于緯圓中長度⌒Am球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣孤的長度.即：球面距離是球面上過兩點的大圓在這兩點之間的劣弧的長度.PQO1.定義四、球面距離球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點圖中的弧的長度就是AB兩點的球面距離....BAO關(guān)鍵：球心角(弧度)2.兩點的球面距離公式球面上兩點距離不能通過解三角形直接求得，一般地是先求出大圓半徑R和這兩點在大圓上的劣弧所對的圓心角θ，再求出弧長.飛機、輪船都是盡可能以大圓弧為航線航行.圖中的弧的長度就是AB兩點的球面距離....B

結(jié)合平面幾何知識:在以兩個定點為端點的弧中，半徑越大弧長越小.(見右圖）顯然，在球面上北京、紐約間的最短距離是過這兩點的大圓上劣弧的長.PQ３.理論根據(jù)OO1ABm結(jié)合平面幾何知識:在以兩個定點為端點的弧中，由地理知識知：AOB為P點所在經(jīng)線的經(jīng)度.某點的經(jīng)度是經(jīng)過這點的經(jīng)線和地軸確定的半平面與0度經(jīng)線(本初子午線)和地軸確定的半平面所成二面角的度數(shù).地球的經(jīng)線就是球面上從北極到南極的半個大圓.本初子午線地軸赤道北極PABO1.地球的經(jīng)度:五、地球的經(jīng)緯線由地理知識知：AOB為P點所在經(jīng)線的經(jīng)度.某點的經(jīng)度是經(jīng)過2.地球的緯度:赤道是一個大圓，其它的緯線都是小圓.某點的緯度就是經(jīng)過這點的球半徑與赤道面所成角的度數(shù).由地理知識知：AOP的度數(shù)為P點緯度.地軸赤道北極PAO2.地球的緯度:赤道是一個大圓，某點的緯度就是經(jīng)過這點的球半②緯線是與赤道所在平面平行的截面圓，緯線上的度數(shù)叫做緯度，緯度是緯線上的點與球心連線和赤道所在平面所成的角的度數(shù)，即線面角的度數(shù).若點P在北半球，就是北緯多少度；若點P在南半球，就是南緯多少度．①經(jīng)線上的度數(shù)叫做經(jīng)度，經(jīng)度的概念與二面角的度數(shù)有關(guān).經(jīng)度差是經(jīng)線與地軸所確定平面的兩個半平面的二面角大小，.若旋轉(zhuǎn)是向東進行的，則點P的經(jīng)度就是東經(jīng)多少度，若旋轉(zhuǎn)是向西進行的，則點P的經(jīng)度就是西經(jīng)多少度.②緯線是與赤道所在平面平行的截面圓，緯線上的度數(shù)叫做緯度，緯例2：我國首都靠近北緯60°緯線。求北緯60°緯線的長度約等于多少km（地球半徑約為6370km）.OAB軸截面BOK60°A例2：我國首都靠近北緯60°緯線。求北緯60°緯線的長度約等解：如圖，A是北緯60°緯線上的一點，AK是它的半徑，所以O(shè)K⊥AK.設(shè)c是北緯60°的緯線長，因為∠AOB=∠OAK=60°，所以c=2π·AK答：北緯60°緯線長約等于2.0015×104km.C≈2.0015×104（km）.≈2×3.142×6370×0.5=2π·OAcosOAKABOK60°由計算器算得解：如圖，A是北緯60°緯線上的一點，AK是它的半徑，所以O(shè)分析：求球面距離，關(guān)鍵求球心角，要求球心角，關(guān)鍵是求兩點間的直線距離（弦長）.在緯圓中求弦長，在大圓中求球心角及球面距離.例3:在北緯45°圈上有A、B兩點,沿該緯線圈上A、B兩點間的劣弧長為（R為地球半徑），求A、B兩點的球面距離.SOO1BANC分析：求球面距離，關(guān)鍵求球心角，要求球心角，關(guān)鍵是求兩點間的SOO1BANCSOO1BANC（1）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°緯線上有甲乙兩地，它們的經(jīng)度相差120°，那么這兩地的緯線的長為_____.填空題:AKB地軸C赤道經(jīng)度120緯度3030°O°°（1）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°緯線上有甲乙兩地，它們（2）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度相差180°

，則A、B兩點的球面距離是______.AKB地軸C赤道30°O30°30°P（2）解：∵∠POB=30°∴∠AOB=120°又AB的球面距即大圓ACB上的劣弧的長ACB

的弧長ACB填空題:（2）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°圈上有A、BAKB地軸（4）設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)140°與西經(jīng)130°

，則A、B兩點的球面距離是______.填空題:（3）設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)110°與東經(jīng)20°

，則A、B兩點的球面距離是______.（4）設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B填空題:（球的概念，球截面的性質(zhì)球面上兩點間的距離地球經(jīng)、緯度的含義球的直觀圖作法課堂小結(jié)球的概念，球截面的性質(zhì)課堂小結(jié)1.3.2球的體積和表面積1.3.2球的體積和表面積AOO.1、球的體積B2C2BiCiAO已知球的半徑為RAOO.1、球的體積B2C2BiCiAO已知球的半徑為R問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.定理:半徑是R的球的體積例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.定理:半徑是R的球的體積變式1：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計算器算得:變式1：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?球內(nèi)切于正方體側(cè)棱長為5cm(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼膸妆?2.一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是4cm,求這個球的體積.課堂練習(xí)8倍1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼膸妆?課堂練習(xí)8變式3.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.作軸截面變式3.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)例2、某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3),每個鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的。如果是空的,請你計算出它的內(nèi)徑（π取3.14，結(jié)果精確到1cm）。例2、某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3),每1.兩種方法:化整為零的思想方法和“分割,求和,取極限”的數(shù)學(xué)方法.2.一個觀點:在一定條件下,化曲為直的辨證觀點.3.一個公式:半徑為R的球的體積是4.解決兩類問題:兩個幾何體相切和相接作適當(dāng)?shù)妮S截面1.兩種方法:化整為零的思想方法和“分割,求和,取極限”的數(shù)兩個幾何體相切:一個幾何體的各個面與另一個幾何體的各面相切.兩個幾何體相接:一個幾何體的所有頂點都在另一個幾何體的表面上兩個幾何體相切:一個幾何體的各個面與另一個幾何體的各面相切.球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球(即球體):球面所圍成的幾何體。它包括球面和球面所包圍的空間。半徑是R的球的體積：推導(dǎo)方法：

分割求近似和化為準確和小結(jié)：球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球(即球體):第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：設(shè)“小錐體”的體積為：O2、球的表面積第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，則球的表面積：則球的體積O第二步：求近似和O由第一步得：O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積

如果網(wǎng)格分的越細,則:①

由①②

得:②

球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積如果網(wǎng)格分的越細,則:①由①②(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹丁?2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼摹丁?3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是———。(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是———。練習(xí)：(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹丁＞毩?xí)例.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=——。變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關(guān)系例.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法—極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分”內(nèi)容的一個應(yīng)用；熟練掌握球的體積、表面積公式：課堂小結(jié)了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準內(nèi)切與外接問題內(nèi)切與外接問題五分鐘練習(xí)：1、若球的大圓面積擴大為原來的2倍，則球的體積比原來增加了___________倍；2、兩個半徑為1的鐵球，熔化后成鑄成一個球，這個大球的半徑為_________。五分鐘練習(xí)：思考：體積為3的正方體內(nèi)接于球，則球的體積為()A.B.C.D.CA1AC1O設(shè)正方體棱長為a，球半徑為RC思考：體積為3的正方體內(nèi)接于球，則CA1AC1變題：長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為、、，則它的外接球的表面積為__________CA1AC1O設(shè)長方體的長寬高分別為a、b、c變題：長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別CA1AC1O設(shè)長方體的例1、半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長為，求半球的表面積和體積。OACC1A1過正方體的與半球底面垂直的對角面作截面α，則α截半球面得半圓，截正方體得一矩形，且矩形內(nèi)接于半圓，如圖所示。例1、半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的OACC1A1過正方體O1ABEOO1ABEO1例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的全面積和球的表面積。過側(cè)棱AB與球心O作截面(如圖)在正三棱錐中，BE是正△BCD的高O1

是正△BCD的中心，且AE為斜高O1ABEOO1ABEO1例2、正三棱錐的高為1，底面邊長O1ABEO例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的全面積和球的表面積。設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則OO1=1－r作OF⊥AE于FF∵Rt△AFO∽Rt△AO1EO1ABEO例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為設(shè)內(nèi)切球半徑θ在Rt△AO1E中在Rt△OO1E中例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的全面積和球的表面積。θ在Rt△AO1E中在Rt△OO1E中例2、例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的全面積和球的表面積。OABCD設(shè)球的半徑為r，則VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為OABCD設(shè)球的半徑為練習(xí)、三棱錐A–BCD的兩條棱AB=CD=6，其余各棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球的體積。OABCD655655E取CD的中點E，連AE、BE∵AC=AD=BC=BD，∴CD⊥AE，CD⊥BE，∵AE∩BE=E，∴CD⊥面ABE∵AD=BD=5，DE=3∴AE=BE=4即S△ABE=練習(xí)、三棱錐A–BCD的兩條棱AB=CD=6，練習(xí)、三棱錐A–BCD的兩條棱AB=CD=6，其余各棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球的體積。OABCD655655E∵各側(cè)面全等設(shè)內(nèi)切球半徑為r練習(xí)、三棱錐A–BCD的兩條棱AB=CD=6，PAO1DEO例3、求棱長為a的正三棱錐P–ABC的外接球的表面積過側(cè)棱PA和球心O作截面α則α截球得大圓，截正四面體得△PAD

如圖所示,G連AO延長交PD于G則OG⊥PD，且OO1=OG∵Rt△PGO∽Rt△PO1DPAO1DEO例3、求棱長為a的正三棱錐P–ABC則α截球得大圓，截正四棱錐得△PAC，且△PAC內(nèi)接于圓O，如圖所示練習(xí)2、求棱長為a的正四棱錐的外接球的體積。PACO過正四棱錐的相對側(cè)棱作截面α∵PA=PC=a∴△PAC是等腰Rt△即AC為球的直徑則α截球得大圓，截正四棱錐得△PAC，練習(xí)2、求棱長為a11空間幾何體的結(jié)構(gòu)課件(人教A版必修2)球的問題球的問題球面可看作與定點（球心）的距離等于定長（半徑）的所有點的集合球面可看作與定點（球心）的距離等于定長（半徑）的所有點的集合球的大圓球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓球的大圓球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓經(jīng)度緯度經(jīng)度是指0°經(jīng)線與另一條經(jīng)線所在平面所成的二面角的度數(shù)緯度是指赤道及一條緯線同一條經(jīng)線相交所得兩個交點與球心的連線所成的角度經(jīng)度緯度經(jīng)度是指0°經(jīng)線與另一條經(jīng)線所在平面所成的二面角的度球的性質(zhì)OO`球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面圓球的性質(zhì)OO`球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面圓球的公式球的體積球的表面積球的公式球的體積球的表面積例題選講球內(nèi)有相距1cm的兩個平行截面的面積分別是5cm2,8cm2,球心不在截面之間，求球的體積OO2O1AB例題選講球內(nèi)有相距1cm的兩個平行截面的面積分別是5cm2球的表面積是2500，球內(nèi)有兩個平行截面的面積分別是49、400,求兩截面距離OO2O1ABOO2O1AB球的表面積是2500，球內(nèi)有兩個平行截面的面積分別是49將兩個半徑為1的鐵球熔化成一個大球，求大球的半徑？將兩個半徑為1的鐵球熔化成一個大球，求大球的半徑？將一個半徑為1的球投入底面邊長是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？將一個半徑為1的球投入底面邊長是4的正四棱柱型盛水容器中，求將一個半徑為1的球投入底面邊長是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？將一個半徑為1的球投入底面邊長是4的正四棱柱型盛水容器中，求求正方體的內(nèi)切球和它的外接球的表面積之比求正方體的內(nèi)切球和它的外接球的表面積之比求正四面體的內(nèi)切球和它的外接球的體積之比DABCHO求正四面體的內(nèi)切球和它的外接球的體積之比DABCHO半球的半徑為R，一正方體的四個頂點在半球的底面上，另四個頂點在球面上，求正方體的棱長半球的半徑為R，一正方體的四個頂點在半球的底面上，另四個頂點謝謝使用！謝謝使用！球的概念與性質(zhì)球的概念與性質(zhì)觀察現(xiàn)實生活中的各種球形觀察現(xiàn)實生活中的各種球形1、掌握球的定義、表示方法及其有關(guān)概念;2、掌握球的截面性質(zhì);3、掌握球的大圓與小圓的概念;4、掌握地球的經(jīng)度、緯度，理解實際應(yīng)用;5、掌握球面上兩點間的距離定義及求法.學(xué)習(xí)目標(biāo):1、掌握球的定義、表示方法及其有關(guān)概念;學(xué)習(xí)目標(biāo):圓的定義平面內(nèi)到一個定點距離等于定長的點的軌跡叫做圓。圓只是一條曲線，而不是一個“圓面”。圓面：平面內(nèi)到一個定點的距離小于或等于定長的點的軌跡叫做圓面。

復(fù)習(xí)圓的有關(guān)概念問題：誰能模仿圓和圓面，給球面和球下定義？

定義1：到一個定點的距離等于定長的點的集合是一個球面。定點——球心，定長——球半徑定義2：到一個定點的距離小于或等于定長的點的集合是一個球體（簡稱“球”）。

圓的定義圓只是一條曲線，而不是一個“圓面”。圓面：平面內(nèi)到一、球的概念:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球體.與定點(圓心)的距離等于或小于定長(半徑)的點的集合叫做球體，簡稱球.球的旋轉(zhuǎn)定義球的集合定義1.球的定義一、球的概念:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面2.球的有關(guān)概念球體與球面的區(qū)別：球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所成的曲面.球(即球體):球面所圍成的幾何體.它包括球面和球面所包圍的空間.半圓的圓心叫做球心.一個球用它的球心字母來表示，例如球O.連結(jié)球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑（線段OP).連結(jié)球面上兩點并經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑（線段AB).OABP2.球的有關(guān)概念球體與球面的區(qū)別：球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)畫軸:經(jīng)過點O畫x軸y軸z軸,兩軸之間夾角為均為120°.畫大圓：以O(shè)為中心分別按x軸、y軸,y軸、z軸,z軸、x軸畫半徑為R的圓的直觀圖（三個橢圓）.成圖：以點O為圓心畫一個圓與三個橢圓都相切.Ozxy二、球的畫法畫軸:經(jīng)過點O畫x軸y軸z軸,兩軸之間夾角為均為120°.畫問題：一條直線與圓相交，在圓內(nèi)的部分是什么圖形？把直線換成平面，圓換成球，即用一個平面去截球，情況又怎樣呢？我們用一個平面去截一個球,是

什么圖形呢？圓面三、球的截面問題：一條直線與圓相交，在圓內(nèi)的部分是什么圖形？把直線換成平O?2.球心到截面的距離d與球的半徑R和截面半徑r有下面的關(guān)系:1.球心和截面圓心的連線垂直于該截面．用一個平面去截一個球,截面是圓面(黃色圓面).截面的性質(zhì)：截面的定義：O?2.球心到截面的距離d與球的半徑R和截面半徑r有下面的關(guān)大小圓的定義：

1.大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓.如⊙O(淺藍色圓面）.o2.小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做小圓.如⊙O′(黃色圓面）.

問題：在球中，球心到截面的距離與截面圓的大小有什么關(guān)系？大小圓的定義：1.大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓（1）半圓以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球.（）

（2）在空間，到定點的距離等于定長的所有點的集合叫球.（）（3）球的小圓的圓心與球心的連線垂直于這個小圓所在平面.（）√××判斷正誤：（對的打√，錯的打×.）(5)球半徑是5，截面圓半徑為3,則球心到截面圓所在平面的距離為4.（）（4）經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個大圓.()×√（1）半圓以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲 （2）在空間，到定點的距四、球面距離四、球面距離

假如你要乘坐從北京直飛紐約的飛機,設(shè)想一下,它需要沿著怎樣的航線飛行呢?航程大約是多少呢?(3)這無數(shù)條弧長哪條最短?(1)北京和紐約間的距離是一條線段的長嗎?(2)經(jīng)過球面上的這兩點有多少條弧呢?我們不妨先看一個例子！不是,是一端圓弧的長.無數(shù)條.假如你要乘坐從北京直飛紐約的飛機,設(shè)想一下,它需例1：已知地球半徑為R,A、B兩點均位于北緯45度線上，其經(jīng)度差為90度.求(1)在北緯45度圈上劣弧的長度;(2)在經(jīng)過A、B兩地的大圓上劣弧的長度.⌒AB⌒ABOO1ABm例1：已知地球半徑為R,A、B兩點均位于北緯45度線上，其經(jīng)⌒AB∴緯圓中的長度為OO1ABmA∴大圓中劣弧的長度為⌒AmB⌒AB∴緯圓中的長度為OO1ABmA∴大圓中劣大圓中的長度小于緯圓中長度⌒AmB⌒ABOO1ABm大圓中的長度小于緯圓中長度⌒Am球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣孤的長度.即：球面距離是球面上過兩點的大圓在這兩點之間的劣弧的長度.PQO1.定義四、球面距離球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點圖中的弧的長度就是AB兩點的球面距離....BAO關(guān)鍵：球心角(弧度)2.兩點的球面距離公式球面上兩點距離不能通過解三角形直接求得，一般地是先求出大圓半徑R和這兩點在大圓上的劣弧所對的圓心角θ，再求出弧長.飛機、輪船都是盡可能以大圓弧為航線航行.圖中的弧的長度就是AB兩點的球面距離....B

結(jié)合平面幾何知識:在以兩個定點為端點的弧中，半徑越大弧長越小.(見右圖）顯然，在球面上北京、紐約間的最短距離是過這兩點的大圓上劣弧的長.PQ３.理論根據(jù)OO1ABm結(jié)合平面幾何知識:在以兩個定點為端點的弧中，由地理知識知：AOB為P點所在經(jīng)線的經(jīng)度.某點的經(jīng)度是經(jīng)過這點的經(jīng)線和地軸確定的半平面與0度經(jīng)線(本初子午線)和地軸確定的半平面所成二面角的度數(shù).地球的經(jīng)線就是球面上從北極到南極的半個大圓.本初子午線地軸赤道北極PABO1.地球的經(jīng)度:五、地球的經(jīng)緯線由地理知識知：AOB為P點所在經(jīng)線的經(jīng)度.某點的經(jīng)度是經(jīng)過2.地球的緯度:赤道是一個大圓，其它的緯線都是小圓.某點的緯度就是經(jīng)過這點的球半徑與赤道面所成角的度數(shù).由地理知識知：AOP的度數(shù)為P點緯度.地軸赤道北極PAO2.地球的緯度:赤道是一個大圓，某點的緯度就是經(jīng)過這點的球半②緯線是與赤道所在平面平行的截面圓，緯線上的度數(shù)叫做緯度，緯度是緯線上的點與球心連線和赤道所在平面所成的角的度數(shù)，即線面角的度數(shù).若點P在北半球，就是北緯多少度；若點P在南半球，就是南緯多少度．①經(jīng)線上的度數(shù)叫做經(jīng)度，經(jīng)度的概念與二面角的度數(shù)有關(guān).經(jīng)度差是經(jīng)線與地軸所確定平面的兩個半平面的二面角大小，.若旋轉(zhuǎn)是向東進行的，則點P的經(jīng)度就是東經(jīng)多少度，若旋轉(zhuǎn)是向西進行的，則點P的經(jīng)度就是西經(jīng)多少度.②緯線是與赤道所在平面平行的截面圓，緯線上的度數(shù)叫做緯度，緯例2：我國首都靠近北緯60°緯線。求北緯60°緯線的長度約等于多少km（地球半徑約為6370km）.OAB軸截面BOK60°A例2：我國首都靠近北緯60°緯線。求北緯60°緯線的長度約等解：如圖，A是北緯60°緯線上的一點，AK是它的半徑，所以O(shè)K⊥AK.設(shè)c是北緯60°的緯線長，因為∠AOB=∠OAK=60°，所以c=2π·AK答：北緯60°緯線長約等于2.0015×104km.C≈2.0015×104（km）.≈2×3.142×6370×0.5=2π·OAcosOAKABOK60°由計算器算得解：如圖，A是北緯60°緯線上的一點，AK是它的半徑，所以O(shè)分析：求球面距離，關(guān)鍵求球心角，要求球心角，關(guān)鍵是求兩點間的直線距離（弦長）.在緯圓中求弦長，在大圓中求球心角及球面距離.例3:在北緯45°圈上有A、B兩點,沿該緯線圈上A、B兩點間的劣弧長為（R為地球半徑），求A、B兩點的球面距離.SOO1BANC分析：求球面距離，關(guān)鍵求球心角，要求球心角，關(guān)鍵是求兩點間的SOO1BANCSOO1BANC（1）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°緯線上有甲乙兩地，它們的經(jīng)度相差120°，那么這兩地的緯線的長為_____.填空題:AKB地軸C赤道經(jīng)度120緯度3030°O°°（1）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°緯線上有甲乙兩地，它們（2）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度相差180°

，則A、B兩點的球面距離是______.AKB地軸C赤道30°O30°30°P（2）解：∵∠POB=30°∴∠AOB=120°又AB的球面距即大圓ACB上的劣弧的長ACB

的弧長ACB填空題:（2）設(shè)地球的半徑為R，在北緯30°圈上有A、BAKB地軸（4）設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)140°與西經(jīng)130°

，則A、B兩點的球面距離是______.填空題:（3）設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)110°與東經(jīng)20°

，則A、B兩點的球面距離是______.（4）設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有A、B填空題:（球的概念，球截面的性質(zhì)球面上兩點間的距離地球經(jīng)、緯度的含義球的直觀圖作法課堂小結(jié)球的概念，球截面的性質(zhì)課堂小結(jié)1.3.2球的體積和表面積1.3.2球的體積和表面積AOO.1、球的體積B2C2BiCiAO已知球的半徑為RAOO.1、球的體積B2C2BiCiAO已知球的半徑為R問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.問題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.定理:半徑是R的球的體積例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.定理:半徑是R的球的體積變式1：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計算器算得:變式1：一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?球內(nèi)切于正方體側(cè)棱長為5cm(變式2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼膸妆?2.一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是4cm,求這個球的體積.課堂練習(xí)8倍1.球的直徑伸長為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼膸妆?課堂練習(xí)8變式3.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.作軸截面變式3.有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)例2、某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3),每個鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的。如果是空的,請你計算出它的內(nèi)徑（π取3.14，結(jié)果精確到1cm）。例2、某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3),每1.兩種方法:化整為零的思想方法和“分割,求和,取極限”的數(shù)學(xué)方法.2.一個觀點:在一定條件下,化曲為直的辨證觀點.3.一個公式:半徑為R的球的體積是4.解決兩類問題:兩個幾何體相切和相接作適當(dāng)?shù)妮S截面1.兩種方法:化整為零的思想方法和“分割,求和,取極限”的數(shù)兩個幾何體相切:一個幾何體的各個面與另一個幾何體的各面相切.兩個幾何體相接:一個幾何體的所有頂點都在另一個幾何體的表面上兩個幾何體相切:一個幾何體的各個面與另一個幾何體的各面相切.球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球(即球體):球面所圍成的幾何體。它包括球面和球面所包圍的空間。半徑是R的球的體積：推導(dǎo)方法：

分割求近似和化為準確和小結(jié)：球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球(即球體):第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：設(shè)“小錐體”的體積為：O2、球的表面積第一步：分割O球面被分割成n個網(wǎng)格，則球的表面積：則球的體積O第二步：求近似和O由第一步得：O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積

如果網(wǎng)格分的越細,則:①

由①②

得:②

球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積如果網(wǎng)格分的越細,則:①由①②(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹丁?2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼摹丁?3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是———。(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是———。練習(xí)：(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼摹丁＞毩?xí)例.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=——。變題2.如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關(guān)系例.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法—極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分”內(nèi)容的一個應(yīng)用；熟練掌握球的體積、表面積公式：課堂小結(jié)了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準內(nèi)切與外接問題內(nèi)切與外接問題五分鐘練習(xí)：1、若球的大圓面積擴大為原來的2倍，則球的體積比原來增加了___________倍；2、兩個半徑為1的鐵球，熔化后成鑄成一個球，這個大球的半徑為_________。五分鐘練習(xí)：思考：體積為3的正方體內(nèi)接于球，則球的體積為()A.B.C.D.CA1AC1O設(shè)正方體棱長為a，球半徑為RC思考：體積為3的正方體內(nèi)接于球，則CA1AC1變題：長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為、、，則它的外接球的表面積為__________CA1AC1O設(shè)長方體的長寬高分別為a、b、c變題：長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別CA1AC1O設(shè)長方體的例1、半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長為，求半球的表面積和體積。OACC1A1過正方體的與半球底面垂直的對角面作截面α，則α截半球面得半圓，截正方體得一矩形，且矩形內(nèi)接于半圓，如圖所示。例1、半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的OACC1A1過正方體O1ABEOO1ABEO1例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的全面積和球的表面積。過側(cè)棱AB與球心O作截面(如圖)在正三棱錐中，BE是正△BCD的高O1

是正△BCD的中心，且AE為斜高O1ABEOO1ABEO1例2、正三棱錐的高為1，底面邊長O1ABEO例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為內(nèi)有一個球與四個面都相切，求棱錐的全面積和球的表面積。設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則OO1=1－r作OF⊥AE于FF∵Rt△AFO∽Rt△AO1EO1ABEO例2、正三棱錐的高為1，底面邊長為設(shè)內(nèi)切球半徑θ在Rt△AO1E中在Rt△OO1E中例2、正三棱錐的高為1，底面邊長