復(fù)變函數(shù)試題庫

PAGEPAGE14《復(fù)變函數(shù)論》試題庫梅一A111

z f(z)

lim

f(z) 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）

10.若0是

的極點(diǎn)，則zz0 .1、|z

dz0|1(zz)n00

n為自然數(shù)）

三.計(jì)算題40分：f(z) 1sin22.

zcos2z .

1.設(shè)

(z1)(z2)，求

f(z

D{z:0z函數(shù)sinz的周期.

內(nèi)的羅朗展式.1

dz.1f(z) 2.1設(shè) z21，則f(z)的孤立奇點(diǎn).

|z|1cosz3.設(shè)f(z)

3271d，其中C{z:|z|3}，試求f'(1i).冪級(jí)數(shù)nzn的收斂半徑 .n0若函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上處處解析，則稱它.

C zz1w4.求復(fù)數(shù) z1的實(shí)部與虛.lim

zz1

...z2 nn

四.證明題.(20分)f(z) D

|f(z)| D若n n

n

. 1.函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)解析.證明：如果

在 內(nèi)為常數(shù)，Res(ezznsin

,0)

，其中n

那么它在D 內(nèi)為常.z(1z)2.試證: fz(1z)

0Rez1z平面內(nèi)能分出兩9. z 的孤立奇點(diǎn).

個(gè)單值解析分支,并求出支割線0Rez1上岸取正值的那支在z1的值.，則二. 填空.(20分)，則

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）

三.計(jì)算題.(40分)sin(2z3)1.設(shè)

z

|z,argz ,z

求函數(shù)

的冪級(jí)數(shù)展開式.2. 設(shè) f(z)(x22xy)sin(x2y2),zxiyC ，

在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù) 在正z則zlim

f(z) .

實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)ziz1idz

處的值.

Ii

|z|dz

|z1|z

|1(zz)n000

.（n為自然數(shù)）

計(jì)算積分：i的右半圓.

，積分路徑為單位圓（ ）冪級(jí)數(shù)n0

nzn的收斂半徑.

sinz dz0 若z是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0，則z是f'(z)的 零.0

4.求

z2

(z)22.函數(shù)ez的周期.方程2z5z33z80在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

四.證明題.(20分)1. 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f(z)18. 設(shè)f(z11z2

，則f(z)的孤立奇點(diǎn).

在D內(nèi)解析.2. .9. 函數(shù)f(z)z|的不解析點(diǎn)之集.z1

二.填空題.(201

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）10.

Res(

1.設(shè)f(z)

z21

，則的定義域..z4 2.函數(shù)的周期..zn

n1n

1)n，則limzn n

.

2.試求冪級(jí)數(shù)

n!nzn的收斂半徑.nnsin2zcos2z . n|z

dz0|1(zz)n00

n為自然數(shù)）

ezdz C |z| 1C3.算下列積分： z2(z29)，其中 是 .C冪級(jí)數(shù)n0

nxn的收斂半徑.1

4.z92z6z28z20在(20f(z)設(shè)

z21

，則的孤立奇點(diǎn).

1.函數(shù)

f(z)

在區(qū)域

D內(nèi)解析.證明：如果

|f(z|

D內(nèi)為常8.設(shè) ，則 ez1 z8.設(shè) ，則

數(shù)，那么它在D 內(nèi)為常.9.若z0是

f(z)

的極點(diǎn)，則

limz

f(z)

2.設(shè)f(z)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n，以及兩個(gè)正數(shù).|zR.10.

Res(ezzn

,0)

R

時(shí)，|f(z)M|z|n，.三.計(jì)算題.(40分).1

證明f(z)是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。1.f(z)z2ez在圓環(huán)域0z內(nèi)展為Laurent

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）二.填空題.(20分)z1z設(shè)

1i

Rez ,Imz

設(shè)f(z) ezz21

，求Resf(z),).，則 zz...z ，則 若limz n n

，則lim 1 2 nn n

. 3. |z|2(9z2)(zi)

dz..函數(shù)ez的周期.1f(z)11z2

的冪級(jí)數(shù)展開式

1f(z)ez1

1z有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型（若是極點(diǎn)，指明它若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D的 .

的階數(shù)）.四.證明題.(20分)

C:|z1

(z1)dz .C.

1. 證明：若函數(shù)f(z)在上半平面解析，則函數(shù)f(z在下半平面解析.，則sinz，則.z 的孤立奇點(diǎn)..

2. z46z30方程在1z23個(gè)根.0若z 0

f(z)

的極點(diǎn)，則

limz

f(z)

Res(ezzn

,0) .

.，則二.填空題.（20分）.，則

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）.三. 計(jì)算.(40分1.解方程z31.

z1

|z,argz ,z

z

ez為實(shí)數(shù).

z1時(shí)，時(shí)，

ez1

z

1.z1..，則4. ez的周期..，則C:|z1

(z1)dz

2. 計(jì)算積分：

I

Rezdz，5. 設(shè) ，則C

. LL表示連接原點(diǎn)到1i.6.Res(6.

ez1

,0)

2 d.3. I.

，其中0<a<1.z7. f(z)DD內(nèi)

0 12acosa2z(z)的 。

4. 應(yīng)用儒歇定理求方程

，在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里1f(z)11z2sinz

的冪級(jí)數(shù)展開式.

(z) |z1 |(z)1在 上解析，并且 f(z)在 上解析，并且 f(z)z| zz 的孤立奇點(diǎn).

1 dz

2證明函數(shù) 除去在 外，處處不可.設(shè)f(z)n，以及兩個(gè)數(shù)R時(shí)10. Ca時(shí)

C(za)n

.，M，

|zR（n為自然數(shù)）三..(40分

|f(z)M|z|n證明:f(z)是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).

10. 公式eixcosxisinx稱為 二、計(jì)算題分）lim2in1.一、填空題（20分）

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）

1、 .6n 6zn

n21n

1

)n，則limzn

.

2、設(shè)f(z) 3271d，其中C:z試求fi).C z設(shè) f(z)

z21

， 則 f(z) 的 定 義 域 為

3、設(shè)f(z)

ez ，求Resf(zi. .函數(shù)sinz的周期.

z21sin2zcos2z .

sinz34、求函數(shù)z6

在0z.冪級(jí)數(shù)n0

nzn的收斂半徑.

5、求復(fù)數(shù)w

z1的實(shí)部與虛部.z 1z0點(diǎn).

f(zmm1z0

是f(z)的 零

6、求e3i的值.三、證明題（20分）1z79z66z3106.若函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它.函數(shù)f(z)z的不解析點(diǎn)之集.方程2z5z33z80在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2f(z)u(x,yiv(x,yDv(x,y等于常數(shù)，f(zD.3z0

f(zmz0

1是f(z)

的m階極點(diǎn).

二．填空題i n

試卷一至十四參考答案《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）參考答案（８分）(1) sinz dz； (2) z22

dz．

1.1

； 2.1； 3. 2k，(kz)； 4. zi；5.0 n1z2(z)2z22

z4z2(z3)

6. 整函數(shù)；

；

1(n1)!； 9. 0；７．計(jì)算積分2 d0 53cos

（６分）

10. .三．計(jì)算題.８．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（６分）

(n!)2

1.解因?yàn)?z,所以0z1(1)

(1i)nzn； (2)

zn．nn

1 1 1

1 zn1

n1

f(z)

zn ( )n.９．設(shè)f(z)my3nx2yi(x3lxy2)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定l，m，n（６分三、證明題．

(z1)(z2)解因?yàn)?/p>

1z

2(1z)2

2 2n0 n0

f(z)

在區(qū)域

D

f(z)

在區(qū)域

D

f(z)必

Resf(z)lim

zzz2lim 1 1,zz為常數(shù)（５分） z2azazb0ab（５分）

cosz2

sinz2Resf(z)lim

z2lim 1 1.

令f(z)uiv, 則f(z)2u2v2c2. cosz sinz

uu

0 (1)z z z2 2 21

兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù),得

uuy

xvvy

0 (2)所以

dzi(Resf(z)Resf(z)0.z2cosz

D內(nèi)解析,

v,u

v

.代入(2)則上述方程組變z z2 2解令()3271,z平面解析,z3

為uu

vv0

x y y x內(nèi),()

vu

xuv

0. 消去ux

得, (u2v2)vx

0.f(z)

c

dz2i(z).

x x1) 若u2v20,則f(z)0為常數(shù).fi2i(z)zabi,則

z1i

2i(136i)(613i).

vx

0, 由方程(1)(2)及C方程有ux

0, uy

0,wz11 2z1 z1

1

2(a1bi)(a1)2b2

1

2(a1) 2b .(a1)2b2 (a1)2b2

v 0.y所以u(píng)c

,v

. (c,

為常數(shù)).1 2 1 2故Re(z1)1z1

2(a1)(a1)2b2

, Im(z1)z1

2bz(1z)(a1)2z(1z)

所以f(z)c1

ic.2四.證明題.

2.證明f(z)

z0,1.0Rez1的1.證明設(shè)在D內(nèi)f(z)C.

z平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周,故能分出兩個(gè)單值解析分支.由于當(dāng)z從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā),連續(xù)變動(dòng)到z0,1時(shí),只有z的幅角增加.所以z(1z)z(1z)

的幅角共增加 .由已知所取分支在支割線上岸取正值,

則f(z)

z reiz

2k2 , (k 0,1).2 又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以k0. 于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在z的幅角為 ,2

所以f(i)ei4.故f(1) 2e2

.

單位圓的右半圓周為z, 2

.2.所以ii

zdz22

dei

2i.2

2 2解二.填空題

sinz z2(z)2

(sin

z

2i

cosz z1.1，

i n1，i； 2.3(1sin2)i； 3. ； 4.1；

2 2 2=0.2 0 n1

四.證明題.f(z)

,f(z

.(c,

為實(shí)常數(shù)).5. m1.

1 2 1

2 1 26. i，(kz). 7.0； 8. i； 9. R；

令u(x,y)c1

,v(x,y)c2

.則u vx

u vy

0.即uv滿足CR.,且uvuvx y y x

連續(xù),故f(z)在D內(nèi)解析.10.0.三.計(jì)算題

f(z)uiv,則f(z)uiv,因?yàn)閒(z)與f(z)在D內(nèi)解析,所以1.解sin(2z3)

(1)n(2z3)2n1(2n1)!

(1n22n1z6n3.(2n1)!

u v, ux y

vx

, 且ux

(v)y

v, uy

(vx

)v .xz

n0

n0

比較等式兩邊得 u vx yf(z)在D內(nèi)為常數(shù).

u vy

0.從而在Duv故2.即要證任一n 次方程a0

zna1

zn1a

n1

zan

0 (a0

0)有且只有n個(gè)根.證 明 令 f(z)

zn

zn1a

za

0 , 取

解lim lim

n1n!nn(n1)n1(n!nn(n1)n1(n1)!1

lim(1 )ne.0 1aa

n1

n n所以收斂半徑為

ne.

n n

n ncncn1Rmaxcncn10 a0

n, 當(dāng)z 在C:zR 上時(shí), 有

解令f(z)

ez ,則Resf(z

1.(z)a1

Rn1 an1

Ran

(a1

an

)Rn1a0

Rn.

z2(z29)i

z0

9ezz2ezz2f(z).由儒歇定理知在圓zR內(nèi),

zn

zn1a

za

0與

故原式iResf(z) .z0 90 1 n1 n 4.解令f(z)z92z6z22,(z)8z.azn0 有相0

則在C: z1上

f(z)與(z)

均解析,且

f(z)6(z)8,故同個(gè)數(shù)的根.而azn0

0 在zR內(nèi)有一個(gè)n 重根z0.因此n

由儒歇定理有次方程在zR內(nèi)有n 個(gè).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）參考答案

N(f,C)N(f,C)1.即在z1內(nèi),方程只有一個(gè).四..1.證明 證明設(shè)在D內(nèi)f(z)C.

令f(z)uiv, 則f(z)2u2v2c2.zzi,且zC

; 2. 2ki (kz); 3. 1ei; 4.1; 5.i n1;

uuvv0 (1)兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo),得 x x0 n1

uuvv 0 (2)y y6.1; 7. i; 8. z(2ki; 9. ;1

因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)解析,所以u(píng)x

v,uy

vx

.代入(2)則上述方程組變10. (n1)!. 為三.計(jì)算題.1

1 1

zn2

uu

vvx

0. 消去u得,

(u2v2)v

0.1.解z2ezz2(1 z

2!z2

) .n!n0

vux

uv0 x xx1) u2v2

0,則f(z)0.

1(n1)!.2) vx

0,由方程(1)(2)及Cux

0, uy

0,

三.計(jì)算題.1.

2k 2kv 0.

解:z31zcos isin

k0,1,2y所以u(píng)c

,v

. (c,

為常數(shù)).

z cos

isin

3 331 i31 2 1 2 1

3 2 2所以f(z)c1

ic2

為常數(shù).

z cosisin123z cos3

i

1 i證明 取 rR , 則對(duì)一切正整數(shù) kn

時(shí), 3

3 3 2 2f(k)(0)

k!

dz

k!Mrn.

解Resf(z)

e, Re

f(z)

e1.f(z)zk1zr f(z)zk1

z

ezzezz1

2 z1

2ezzezz1于是由r的任意性知對(duì)一切kn均有f(k)(0)0. 故原式2i(Resf(z)Resf(z))i(ee1).故f(z)

ncznnk0

,即f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù).

zz1iResf(z)izi

z9z2z9z2

.5.二.填空題.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）參考答案

1解ez1k1,2,

1 zez1z=z(ez1)z(ez0z0z2ki，11. 2 ,

12 ; 2.

; 3.

2ki (kz) ;

4. 1lim(

1)limzez1lim

1ez(1nz2n (z1); 5.;

而z0

ez1

zez

z0(ez1)z1

z0ez1zezn06.亞純函數(shù); 7.0; 8. z0; 9. ;

10.

limz0ezezzez

2 z0為可去奇點(diǎn)z2ki(k0zez10

一.判斷題.(ez)z

ez1zez

0

二.填空題.而 z一階極點(diǎn).

2ki

z2ki

zi為

1.2,3

,1 ; 2. a2ki (kz為任意實(shí)數(shù);四.證明題.1.F(z)f(z,z0

, z是下半平面內(nèi)異

3. (2ki, (kz); 4. 2ki,(kz); 5.0;6.0;于z的點(diǎn),考慮0F(z)F(z)

f(z)f(z)

f(z)f(z)

7.亞純函; 8.2

n0

(1)nz2n (z1); 9.0; 10.limzz z

0 limzz z

0 limzz z

0 .

i n1. 0 0

0 0 0 0

0 n1而z , z在上半平面內(nèi), 已知f(z)在上半平面解析, 因此0

三.計(jì)算題.F(z0

)f(z0

,F(z)f(z.

1.解令zabi,則2.證明令f(z)6z3,(z)z4,則f(z)與(z)在全平面解析,且在C

:z2上, f(z)15(z)16,

z1 2w 1

1

2(a1bi)

1

2(a1) 2b .1z2N

,C1

)N(,C1

)4.

z1

z1

(a1)2b2

(a1)2b2

(a1)2b2在C:z1上, f(z)3(z)1,

故Re(z1)1

2(a1)

, Im(z1) .2z1Nf

)N(f,

)1.

z1

(a1)2b2

z1

(a1)2b22 2 2.解連接原點(diǎn)及1i的直線段的參數(shù)方程為z(1i)t 0t1,所以f在1z2內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn),即原方程在1z2內(nèi)僅有三

1

1 1i個(gè)根.

故Rezdzc

Re[(1i)t]0

(1i)dt(1

tdt .0 2《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）參考答案

3.z,則dziz

.當(dāng)a0時(shí)12acosa21a(zz1)a2

(za)(1az),zI1

dz,且在圓

z1

f(z) 1 只以

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）參考答案i z(za)(1az) (za)(1az)

1.1eiza 為一級(jí)極點(diǎn), 在z1 上無奇點(diǎn), 故 11111

6. m1階 2. z3. 4.2. z3. 4.15.7.整函數(shù)8.9.0za

5z5

,(0a1),由殘數(shù)定理有1a2

10. 三、計(jì)算題：I1iResf(z)

,(0a1).i za

1a2

解：因?yàn)?

1,4.解令f(z)z, 則f(z),(z)在z1內(nèi)解析,且在C:z1上,(z)1f(z),

故

2i612i6119 36

6)n0.所以在z1內(nèi), N(f,C)N(f,C)1,即原方程在z1內(nèi)只一個(gè).四.證明題.

n 62.解：1i 21

f()1. 證 明 因 為 u(x,y)x2y2,v(x,y)0 , 故

f(z) du 2x,ux

2y,v vx

0. i C z這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在z平面上處處連續(xù),但只在z0處滿足C.R.條件,故f(z)只在除了z0外處處不可微.f(z)zk