復變函數(shù)項級數(shù)

復變函數(shù)項級數(shù)第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、復變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù),記作

2第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日部分和級數(shù)收斂3第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定和函數(shù)

4第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、

冪級數(shù)（函數(shù)項級數(shù)的特殊情形）或級數(shù)稱為冪級數(shù).5第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日1.冪級數(shù)的收斂集合

定理1(阿貝爾定理)6第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日所以由定理4.3因此存在一個正常數(shù)M,對于任意的非負正數(shù)n均有，證明：7第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日收斂，同時根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法可知，收斂，從而級數(shù)絕對收斂.8第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理1的幾何意義說明：9第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日推論推論的幾何意義10第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日11第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日12第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.收斂半徑的求法方法1:比值法:那末收斂半徑方法2:

根值法那末收斂半徑說明:如果13第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日解答課堂練習試求冪級數(shù)的收斂半徑.14第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?注意:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進行具體分析.例1：求下列級數(shù)的收斂半徑,并討論它們在收斂圓周上的斂散性。15第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2求冪級數(shù)的收斂半徑:(并討論時的情形)解說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點,也有級數(shù)的發(fā)散點.原級數(shù)成為交錯級數(shù),收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調(diào)和級數(shù)，16第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1.冪級數(shù)的有理運算17第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.冪級數(shù)的代換(復合)運算如果當時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當時,說明:此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).18第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日19第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日20第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)3.復變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)21第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項求導,逐項積分.(常用于求和函數(shù))即22第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3

求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為23第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級數(shù)絕對收斂