高考復(fù)習(xí)專題：三角函數(shù)及性質(zhì)

2(5)2(5)零點(diǎn)：k,0kZ高考復(fù)習(xí)專題：三角函數(shù)及函數(shù)yAsinx性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、正弦函數(shù)ysinx的性質(zhì)-I,0kZ,其中0,0是對(duì)稱中心，故-I,0kZ,其中0,0是對(duì)稱中心，故ysinx也是奇函數(shù)(2)值域：y1,1(3)周期：T2(4)對(duì)稱軸(最值點(diǎn))：x—kkZ2(5)對(duì)稱中心(零點(diǎn))：k(6)單調(diào)增區(qū)間： —2k,—2k,kZTOC\o"1-5"\h\z2 2…，一、 3單調(diào)減區(qū)間： 一2k,——2k,kZ2 22、余弦函數(shù)ycosx的性質(zhì)(1)定義域：xR(2)值域：y1,1(3)周期：T2(4)對(duì)稱軸(最值點(diǎn))：xkkZ其中x0是對(duì)稱軸，故ycosx也是偶函數(shù)(5)對(duì)稱中心(零點(diǎn))：一k,0kZ2(6)單調(diào)增區(qū)間： 2k,2k,kZ單調(diào)減區(qū)間：2k,2k,kZ3、正切函數(shù)ytanx的性質(zhì)(1)定義域：xx|x-k,kZ2(2)值域：yR(3)周期：Tk_(4)對(duì)稱中心： 一,0kZ

(6)單調(diào)增區(qū)間:-k,-k,kZ(6)單調(diào)增區(qū)間:-k,-k,kZ2 2x的值4、ysinx的性質(zhì)：與正弦函數(shù)ysinx相比，其圖像可以看做是由 ysinxx的值到(x軸上方圖像不變，下方圖像沿x軸向上翻折)，其性質(zhì)可根據(jù)圖像得到：(1)定義域：xR(2)值域：y0,1(3)周期：Tk(4)對(duì)稱軸：xkZ2(5)零點(diǎn)：xkkZ(6)單調(diào)增區(qū)間： k,—k,kZ單調(diào)減區(qū)間： 一k,k,kZ25、yAsinxA0的性質(zhì)：此類函數(shù)可視為正弦函數(shù)ysinx通過坐標(biāo)變換所得，通常此類函數(shù)的性質(zhì)要通過計(jì)算所得。所涉及的性質(zhì)及計(jì)算方法如下：(1)定義域：xR(2)值域：yA,A… 2(3)周期：T2—(4)對(duì)稱軸(最值點(diǎn))，對(duì)稱中心(零點(diǎn))，單調(diào)區(qū)間需通過換元計(jì)算所求。通常設(shè)tx,其中0,則函數(shù)變?yōu)閥Asint,在求以上性質(zhì)時(shí)，先利用正弦函數(shù)性質(zhì)與圖像寫出 t所滿足的條件，然后將t還原為x再解出x的值(或范圍)即可注：1、余弦函數(shù)也可看做yAsinx 的形式，即ycosxsinx—,所以其性質(zhì)可通過計(jì)算得到。2、對(duì)于某些解析式的性質(zhì)(如對(duì)稱軸，單調(diào)區(qū)間等)可根據(jù)解析式的特點(diǎn)先變形成為yAsinx,再求其性質(zhì)二、典型例題：例1：函數(shù)fx Esin2xcos2x(

A.在一，一上單調(diào)遞減

3 6B.在一,一上單調(diào)遞增63C.在一,0上單調(diào)遞減6D.在0,-上單調(diào)遞增6思路:、.3sin2xc-3.c

cos2x2A.在一，一上單調(diào)遞減

3 6B.在一,一上單調(diào)遞增63C.在一,0上單調(diào)遞減6D.在0,-上單調(diào)遞增6思路:、.3sin2xc-3.c

cos2x2——sin2x21cos2x22sin2x單調(diào)遞增區(qū)間： 一2k2單調(diào)遞減區(qū)間：一2k2符合條件的只有D答案：D2x——2k6 22x—63_22k-kx—kkZ3 6-kx—kkZ6 3例2:函數(shù)y2C0S2x—41的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（A.B.C.D.思路：先變形解析式，y2C0S2x一41cos2x—4sin2x,再求出單調(diào)區(qū)間:kZ,k0時(shí)，kZ,k0時(shí)，D選項(xiàng)符合要求2 2答案：D例3：ysin一2x的遞減區(qū)間為（ ）35A.5A.一2k,——2k,kZ12 125 11 —k,k,kZ12 125 11B.——4k,4k,kZ3 35 —k,k,kZ12 12思路：在解函數(shù)性質(zhì)之前首先把x的系數(shù)變正:單調(diào)區(qū)間：一2k 2x思路：在解函數(shù)性質(zhì)之前首先把x的系數(shù)變正:單調(diào)區(qū)間：一2k 2x——2k2 32ysin—2x

3sin2x—,再求其

312x5—kkZ,由于125 5kZ,所以區(qū)間 一k,—k等同于一k,—k12 12 12 12123123答案：D例4:已知函數(shù)ysinx—cos

12一，則下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)判斷正確的是（12A.最小正周期為,一個(gè)對(duì)稱中心是一,012B.最小正周期為,一個(gè)對(duì)稱中心是6,0C.最小正周期為,一個(gè)對(duì)稱中心是一,012D.最小正周期為,一個(gè)對(duì)稱中心是—,06思路：ysinx—cosx1212-sin2x2對(duì)稱中心:2x_k12 2k0時(shí)，一個(gè)對(duì)稱中心是一,012答案：A5:函數(shù)fxlnsin2x—6的單調(diào)遞增區(qū)間為（A.一k,—12 3B.D.D.C.思路：求單調(diào)區(qū)間可設(shè)即ylnsint,只需找到t所滿足的條件然后解出 x的范圍即可。t的取值需要滿足兩個(gè)條件，一是保證 sint0,二是取ysint單調(diào)增的部分,所以可得:02kt—2kkZ,即02k2x——2kkZ,解得:2 62——k38 24838 248答案:設(shè)函數(shù)fxsin2x—3,則下列關(guān)于函數(shù) fX的說法中正確的是（A.fX是偶函數(shù)B.X的最小正周期是C.fx圖像關(guān)于點(diǎn) 一,0對(duì)稱6D.x在區(qū)間—，L上是增函數(shù)

312思路:先判斷fx的周期,可結(jié)合圖像進(jìn)行判斷,可得:T一;對(duì)于對(duì)稱軸，對(duì)稱中心,2單調(diào)區(qū)間，可考慮設(shè)t2xsint,借助圖像先寫出t所符合的條件，再求出x的值（或范圍）即可。對(duì)稱軸：t2x12kZ,不是偶函數(shù)對(duì)稱中心:2x,關(guān)于點(diǎn)一,0對(duì)稱6單調(diào)增區(qū)間:2kt—22k2k2x2kx-kkZ12答案：C例7:函數(shù)2sin4x的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為（A.一8B.C.一2D.思路：根據(jù)Asinx圖像的特點(diǎn)可得：相鄰對(duì)稱軸之間的距離是周期的一半2答案：B所以間距為:例8:已知函數(shù)fxsin2xacos2x的圖像關(guān)于直線x 一對(duì)稱，則a的值為8思路一：fx可以利用輔角公式變形為 yAsinx 的形式，但是由于系數(shù)含參，所以輔角只能用一個(gè)抽象的 代替:fx1a2 ——sin2x —a——cos2x.1a2 1a21a2sin2x,tana因?yàn)閒x關(guān)于直線x一對(duì)稱， 2atan思路二：本題還可以利用特殊值法求出a的值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可:因?yàn)閒x關(guān)于直線x—8對(duì)稱,所以代入一組特殊值:一f0sin—4 2aa1,再代入驗(yàn)證sin2xcos2x'.2sin2x—,其一條對(duì)稱軸為x4答案:9:已知2sin-,-單調(diào)遞增,34的取值范圍2sin視為ysinx僅由放縮3’43，即02答案：0例10：已知函數(shù)ysin在區(qū)間0,—上為增函數(shù),2且圖像關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱,則的取值集合為思路：ysinx的圖像可視為1ysinx的圖像橫坐標(biāo)變?yōu)榱艘唬?,——,因?yàn)閥sin20,-上單調(diào)增，所以三萬，即01;另一方面,sinx的對(duì)稱軸為 xk kx——kZ,所以——3解得/ 12/1可得 一，一，133答案:12,一,133、近年好題精選223622361、函數(shù)fxsinx0,—的最小正周期是2,若其圖象向右平移一個(gè)單6位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)fx的圖象（ ）A.關(guān)于點(diǎn)—0對(duì)稱12B.關(guān)于直線—對(duì)稱12C.關(guān)于點(diǎn)一,0對(duì)稱6D.關(guān)于直線一對(duì)稱62、（2015,湖南）將函數(shù)sin2x的圖像向右平移—個(gè)單位后得到函數(shù)2X的圖像，若對(duì)滿足fX1x22的xhX2,有x1 x2minA.512B.3C.一4D.—63、（2016,重慶萬州二中）若函數(shù)cos2x與函數(shù)ysin2x在0,-上的單調(diào)性相4同，則的一個(gè)值為（A.一6B.3C.—4D.324、將函數(shù)fx2sinx0的圖像向左平移——個(gè)單位,

3得到函數(shù)ygx圖像，若ygx在0,—4上為增函數(shù)，則 的最大值為（A.1B.2C.3D.45、（2015,天津）一直函數(shù)fxsinxcosx0,xR,若函數(shù)fx在內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)fx的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，則的值為6、（2014,安徽）若將函數(shù)fxsin2x的圖像向右平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則 的最小正值是7、（2014,北京）設(shè)函數(shù)fxAsin（A,,是常數(shù),A0, 0)若fx區(qū)間一,一上具有單調(diào)性,62，則fx的最小正周期為8、已知fx2sinxcosxsinx

0的圖像在x0,1上恰有一個(gè)對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是9、(2014,福建)已知函數(shù)

xcosxsinxcosx(1)若0一，且sin2走，求f的值2(2)求函數(shù)fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間10、(2016,10、(2016,山東濰坊中學(xué)高三期末)已知函數(shù)R).fxcosxcosx—(x3(1)求fx最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求fx在區(qū)間一,一上的最大值和最小值.36習(xí)題答案：1、答案：B解析：由最小正周期可得:即ysin2x一,解析：由最小正周期可得:即ysin2x一,由奇函數(shù)可知3sin2x一，對(duì)稱軸:

32x——kkZ3 2122,向右平移一個(gè)單位后解析式為 ysin2x—6 6對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：2x—kkZ

3k k———kZ,即———0,配合選項(xiàng)可6 2 6 2,得B正確2、答案：D解析：gxfxsin2x2，由fx1gx2 2解析：gxfxsin2x2，由fx1gx2 2可知fxi,gx2分別取到最大最小值，不妨設(shè)2x1—2k,2x222xix2 -km，由Ixix2min百可知萬3、答案：C一2mk,mZ，所以2解析：先求出ycos2x的單調(diào)性， 02k2x2k,解得單調(diào)遞減區(qū)間為:,kZ,即ycos2x在0,—上單調(diào)遞減。所以ysin2x

4在0,一單4調(diào)減，x0,—調(diào)減，x0,—2x4一，所以 ，一2 23 .-2k,-2k，有2 2一2k23一2k232k一2k22k，可知C符合題意4、答案：B解析：先利用圖像變換求出gx解析式:解析：先利用圖像變換求出gx解析式:fx——2sin

3即gx2sinx,其圖像可視為ysinx僅僅通過放縮而得到的圖像。 若最大，則要求44周期T取最小，由0,_為增函數(shù)可得:4應(yīng)恰女子為gx的第一個(gè)正的最大值點(diǎn)5、答案：——2解析:fx2sin內(nèi)單調(diào)遞增，且對(duì)稱軸為x可知在x 達(dá)到最大彳1,所以sin單增可知2從而解得--2kkZ,由4 2“ 36、答案：一8解析：平移后的解析式為:ysinsin2x2 —,由對(duì)稱軸為4可知2 --k7、答案：1即得到最小正值382解析：由f—f巳2 3可彳導(dǎo)x232712為一條對(duì)稱軸，由f—可知

6—。為一■個(gè)對(duì)稱中心。因?yàn)?在區(qū)間-,-單調(diào)，所以可知x的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心,所以12min8、答案:358,8解析：fx2sinxcosxsinxmax12一,0為相鄰3sin2x1cos2x'_2sin2x12 1212 12由x0,1可得：2—,24x—,若恰有一個(gè)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,4則對(duì)稱軸和對(duì)稱中