大學(xué)數(shù)學(xué)排列組合(文科生補(bǔ)充)

兩個基本原理(l)從甲地到乙地，可乘火車、汽車、輪船．一天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？分析：因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每一種走法都可以從甲地到達(dá)乙地，因此，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4十2十3=9種不同的走法．一般地，有如下原理：nm1

種不同的方法，在第二類辦法中有m十n22十n2

種不同的方法，??，在第nmn

種不同的方法．那么完成1這件事共有N＝m1

m十?十

種不同的方法．AB3BC2ABC村，共有多少種不同的走法？A村到B33BB村到C2A村經(jīng)B村去C3×2=6一般地，有如下原理：1nn1n

種不同的方法，做第2二步有m2

種不同的方法，?，做第n步有m

種不同的方法．那么完成這件事共有Nmm1

mn

種不同的方法．例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書．從中任取一本，有多少種不同的取法？從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？（）6中任取一本，有6種方法；第二類辦法是從下層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法．根據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是6+5=11．（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一步取一本數(shù)學(xué)書，有65數(shù)是N6530．2)由數(shù)字l，2，3，4，5由數(shù)字l，2，3，4，50，l，2，3，4，55個數(shù)字中任選一個數(shù)字，共有555種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成N555125．練習(xí)：1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走．從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？從甲地到丙地共有多少種不同的走法？一名兒童做加法游戲．在一個紅口袋中裝著2O1、19、2010張分別標(biāo)有數(shù)1291O的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù)．這名兒童一共可以列出多少個加法式子？0－910小結(jié)：要解決某個此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時用加法，分步時用乘法2.排列(1)【基本概念】什么叫排列？從n個不同元素中，任取m(mn)個元素（這里的被取元素各不相同排成一列，叫做從nm．【例題與練習(xí)】12、、4、bcd34【排列數(shù)】定義：從nm(mn)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n取出m元素的排列數(shù)，用符號Am表示.nAmn

n(n1)(n2) (nmAmn

0!=1 (nm n

；n

；n

；計算：A2；A4；A2 5寫出：

5 15從五個元素ab、、e12、、4301、、333.排列(2)例1：⑴7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個元素的全排列——A7＝50407⑵7位同學(xué)站成兩排（前3后4，共有多少種不同的排法？⑶7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列——A6=7206⑷7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？A25名2同學(xué)進(jìn)行全排列有A5種，則共有A2A5=240種排列方法5 2 5⑸7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一（直接法：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在A255（全排5列）有A5種方法所以一共有A2A5＝2400種排列方法．5 5 5（排除法）若甲站在排頭有A6種方法；若乙站在排尾有A6種方法；若6 6A5種方法．所以甲不能站在排頭，乙不能排在5A72A6A5=2400種．7 6 5小結(jié)一：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法殊元素可以優(yōu)先考慮．例2：7位同學(xué)站成一排．⑴甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？5個元素（同學(xué)）一A6A26以這樣的排法一共有A66

2A2＝1440種．2⑵甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有A55

A3＝720種．3⑶甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2A24A45 4“松綁”進(jìn)行排列有A2種方法．所以這樣的排法一共有A2A4A2＝960種方法．2小結(jié)二：對于相鄰問題，常用“捆綁法（先捆后松．例3：7位同學(xué)站成一排．⑴甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？

5 4 2（排除法）A

A6A2

36007 6 2（插空法）先將其余五個同學(xué)排好有A5種方法，此時他們留下六個位置5（就稱為“空”吧，再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個位置（空）A2種方法，6A5A2

3600種方法．5 6⑵甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個同學(xué)排好有A4種方法，此時他們留下五個“空4A3A4A3＝1440種．5 4 5小結(jié)三：對于不相鄰問題，常用“插空法（特殊元素后考慮．4.組合(1)nm（m≤n）n個不同元素中取出m個元素的一個組合．注：1．不同元素 “只取不排”—無序性 ．相同組合：元素相同判斷下列問題哪個是排列問題哪個是組合問題：⑴從CD四個景點(diǎn)選出2（組合）⑵從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中選出2個人擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記（排列）組合數(shù)的概念：從nn個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號Cm表示．n232C233種組合．又如：從A、B、C、D四個景點(diǎn)選出2個進(jìn)行游覽的組合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6種組合，即：C264組合數(shù)公式從4個不同元素a，b，c，d中取出3個元素的組合數(shù)C3是多少呢？44分析由而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)A3 可4以求得，考察C3A3的關(guān)系，如下：4 4abcabc,abcabc,bac,cab,acb,bca,cbaabdabd,bad,dab,adb,bda,dbaacdacd,cad,dac,adc,cda,dcabcdbcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb643A3434C3對每一個組合的3個不同元素進(jìn)行全排列A34A3＝C3A3C

3A3 4．4 4 3

4 A33⑵nmAmnnm個元素的組合數(shù)CmmnAmAm＝CmAmm n n m⑶組合數(shù)的公式：Am n(n2) (nmCm nn Amm

n!或Cmn

m!(nm)!

(n,mN,且mn)例1．6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同的分法？C6

C4

C2

902461多少種？（直接法）32男11男2C3，C

C1，C1C2，所以一共有C3C2C1C1C2＝100種方法．

4 4 64 6 4 4 6 4 6（間接法）C310

C6

100練習(xí)：計算：①C

和C

；②C

C2與C3；③C

C510 10

7 6

11 11答案：①120，120 ②20，20 ③7925.組合(2)1Cmn

Cnm．n理解：一般地，從n個不同元素中取出m個元素后，剩下nm個元素．因nm個元素的每一個組合nmnmn個元素中取出nm個元素的組合數(shù)，即：Cmn

Cnm．在這里，我們主要體nCnmn

(n(n又Cm

∴Cm

Cnmn m)! n n注：1我們規(guī)定C01nn2等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)．n3此性質(zhì)作用：當(dāng)m 時，計算Cm可變?yōu)橛嬎鉉nm，能夠使運(yùn)算簡化．2C2001＝C20022001＝C

n n=2002．2002

2002

2002例1.一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球．⑴從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？⑵從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？⑶從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：⑴C8

56 ⑵C7

21 ⑶C7

35C8

C7

C3．為什么呢？72．10090104件檢查．⑴都不是次品的取法有多少種？⑵至少有1件次品的取法有多少種？⑶不都是次品的取法有多少種？解：⑴C490

2555190；⑵C4 C

C1C

C2C

C3C1 C

1366035；100 90

10

10

10 90 10⑶C4 C

C1C3

C2C

C3C1C

3921015．100 10

90

90

90 10 90例3．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：⑴分給甲、乙、丙三人，每人兩本；⑵分為三份，每份兩本；⑶分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；⑷分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；⑸分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．C2C2C

90種．6 4 2C2C2C26 4 2第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名A3種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理可得：C2C2C

xC3，所以3C2C2C2

6 4 2 3x 6 4 A33

15．因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．注：本題是分組中的“C1C2C

60種方法．6 5 3⑷在⑶的基礎(chǔ)上在進(jìn)行全排列，所以一共有C1C2C3A3

360種方法．6 5 3 32C2C2C

90種6 4 23C1C2C3A33601、6 5 3 34C4A390種方法．所以一共有90+360+9540種方法．6 3例4．⑴四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？⑵四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解：⑴根據(jù)分步計數(shù)原理：一共有44256種方法．⑵（捆綁法）第一步從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有C2A3種方法．所以4一共有C4

4A3＝144種方法．469使用，問可以組成多少個三位數(shù)？6，則有2(A2C1C1C1種方法；②若不取6，則8 2 7 7有C1A2種方法．根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有2(A2C1C1C1C1A2＝602種方法．7 7 8 2 7 7 7 76.概率初步補(bǔ)充（一）相互獨(dú)立事件01、02、0330、31這313177個數(shù)字都一樣（順序，則獲一等獎。若有甲、乙兩名同學(xué)前去抽獎，則他們均獲一等獎的概率是多少？1如果在甲中一等獎后乙去買彩票，則也中一等獎的概率為多少）C1311如果在甲沒有中一等獎后乙去買彩票，則乙中一等獎的概率為多少）C1315321是白球叫做事件A2次取出的球是白球叫做事件。1次取出的球不放回去，求事件B發(fā)生的概率；4 5（如果事件A發(fā)生，則P（B）=

；如果事件B不發(fā)生，則P（B）= ）7 71次取出的球仍放回去，求事件B發(fā)生的概率。5 5（如果事件A發(fā)生，則P（B）= ；如果事件B不發(fā)生，則P（B）= ）8 8（二）相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率問題：甲壇子中有3個白球，2個黑球；乙壇子中有1個白球，3個黑球；從這兩個壇子中分別摸出1個球，假設(shè)每一個球被摸出的可能性都相等。問：它們都是白球的概率是多少？它們都是黑球的概率是多少？甲壇子中摸出白球，乙壇子中摸出黑球的概率是多少？（）顯然，一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n=C1C1=20而這個事件包含的結(jié)果5 4m 3有m=C1C1=3,根據(jù)等可能事件的概率計算公式得：P=n20。3 1 1C1C1 6 3同

= 2

。2 C1C1

20 105 4C1C1 9

= 3 3 ；3 C1C1 205 4（三）相互獨(dú)立事件與互斥事件互斥事件與相互獨(dú)立事件有何區(qū)別？兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生另一事件發(fā)生的概率沒有影響。下列各對事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互獨(dú)立事件？為什么？“擲一枚硬幣，得到正面向上”與“擲一枚骰子，向上的面是2“在一次考試中，張三的成績及格”與“在這次考試中李四的成績不及格”；321與“從中任意取出1個球，得到黑球”；32141已知B（（1-（·P是下列那個事件的概率A．事件、B同時發(fā)生； B．事件、B至少有一個發(fā)生；C．事件、B至多有一個發(fā)生； D．事件、B都不發(fā)生；甲、乙2人各進(jìn)行一次射擊，如果20.6計算：（1）2人都擊中目標(biāo)的概率；（2）2（P=0.60.6=0.3；（2）P=（1-0.6）（1-0.6）=0.16；（四）N次獨(dú)立重復(fù)試驗恰有K次發(fā)生的概率甲乙丙三人各射擊一次，三人擊中目標(biāo)的概率都是0.6，求其中恰有一人擊中目標(biāo)的率和目標(biāo)被擊中的概率。 （0.288） （0.936）如圖，每個開關(guān)閉合的概率都為0.7，計算這段時間內(nèi)線路正常工作的概率。 0.6811如圖，每個開關(guān)閉合的概率都是0.7，計算這段時間內(nèi)線路正常工作的概率。(提示：反向思考較為簡單（0.847）)甲乙兩