極限與連續(xù)-ch1-4運算法則

2022/12/23

復(fù)習(xí)時當(dāng)統(tǒng)一：2022/12/23左極限右極限函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.2022/12/23第四節(jié)

極限的運算法則一、無窮小與無窮大二、極限的運算法則

新課

第一章

2022/12/23一、無窮小與無窮大

(一)

無窮小(infinitesimal).若,則稱為xx0時的無窮小.

若,則稱為x

時的無窮小.

2022/12/23注意：2022/12/232.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:引理意義1)將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);2022/12/23注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.都是無窮小2022/12/23問：若為無限個成立嗎?不一定.例如:

1442443n個2022/12/23(二)無窮大定義:絕對值無限增大的變量稱為無窮大.當(dāng)時當(dāng)時2022/12/23定義中|f(x)

|>M

換成

f(x)

>M(或

f(x)<-M)即有特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意當(dāng)時當(dāng)時注：與不存在的關(guān)系即為不存在，但不存在并不都是,也有左右極限不相等情況.2022/12/23證當(dāng)時2022/12/23注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.在自變量的同一變化過程中，兩個無窮大的和、差與商是沒有確定的結(jié)果的，此類問題是未定式的問題4.無窮大是一種特殊的無界變量

,但是無界變量未必是無窮大.無窮大無界(如：作業(yè)本P6

四)2022/12/23思考：函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)是否有界？又當(dāng)x+∞時這個函數(shù)是否為無窮大？(作業(yè)P6

四)2022/12/23無窮大幾何意義：鉛直漸近線

(verticalasympotote)(斜漸近線書P77題14)2022/12/23即,在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.注：零是無窮小量中唯一的數(shù)，故不能直接說“無窮小的倒數(shù)是無窮大”問：同一過程中無窮小的倒數(shù)是無窮大，對嗎？意義:關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.2022/12/23注意：無限個就不一定成立.不對!

2022/12/23(其中A,B為常數(shù))注意：1.

極限四則運算的條件??？2022/12/23(其中A,B為常數(shù))注意:2.只適用于有限項,如:2022/12/23例如解先變形再求極限.2022/12/23思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？解:沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤．2022/12/232022/12/232.求極限方法舉例

“代入法”另解例：2022/12/23解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例22022/12/23解例3(消去零因子法)消去無窮2022/12/23例4(1)(1)解:原式(分母有理化)(2)解(2)(分子有理化)2022/12/23解(3)例42022/12/23解

通分2022/12/23

分子,分母同除以自變量的最高次冪,以分出無窮小,然后再求極限.例6解無窮小因子分出法:2022/12/23例6解2022/12/23例6解2022/12/23小結(jié):不存在2022/12/23拆項相消例72022/12/23例8解(利用無窮小的性質(zhì))2022/12/23例9

通分2022/12/233.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理（復(fù)合函數(shù)的極限運算法則）意義:2022/12/23冪指函數(shù)形如的函數(shù)(是初等函數(shù))，其中，稱之為冪指函數(shù).指數(shù)函數(shù):冪函數(shù):問:冪指函數(shù)是初等函數(shù)嗎?是故也滿足“代入法”如:102022/12/23冪指函數(shù)形如的函數(shù)(是初等函數(shù))，其中，稱之為冪指函數(shù).對冪指函數(shù)有如下結(jié)論：若指數(shù)函數(shù):冪函數(shù):=1但如？2022/12/23三、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.2022/12/231.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;1)多項式與分式函數(shù)代入法求極限;2)消去零因子法求極限;3)無窮小因子分出法求極限;5)利用無窮小運算性質(zhì)求極限;6)利用左右極限求分段函數(shù)在分段點處的極限;4)分母或分子有理化.2022/12/23解課后練習(xí):2022/12/23另解練習(xí):2022/12/23一、填空題:練習(xí)題2022/12/232022/12/23練習(xí)題答案2022/12/23一、填空題:練習(xí)題2022/12/23二、求下列各極限:2022/12/232022/12/23練習(xí)題答案2022/12/23思考：函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)是否有界？又當(dāng)x+∞時這個函數(shù)是否為無窮大？解：①M>0,x0=2[M]∏y(x)在R上無界：M>0,

x0R,有|y(x0)|>M有|y(x0)|=(2[M]∏)cos(2[M]∏)>M∴