浙江六校競(jìng)賽聯(lián)考加試答案

2022年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（初賽）暨2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽模擬考試加試（A卷）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：.評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分..如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不得增加其他中間檔次..（本題滿分40分）設(shè)〃20為整數(shù)，4,q,…,明為實(shí)數(shù).證明：存在整數(shù)％€{0,1,…,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x€[0,l],均有+a/+生工’+?,,+ W/+q+,??+ak?證明：設(shè)s*=￡q,則/=0即+qx+a2x~+…+a,1A"”=+（S]—比+（S2—）x2+…+（Sn—Snn=S0+(S,-S0)x+(52-S1)x2+-+(5?-S?_1)xn=S0(l-x)+S1(x-x2)+---Sn_l(xn-,-xn)+5?xn. 20分設(shè)S*=max{So，E，…,S.},則S0(l—x)+S4x—廠)+…S“_|(x"1—x")+Snx"<Sk(l-x)+Sk(x-x2)+-Sk(xn-'-xn)+Skxn=Sk.命題得證. 40分.（本題滿分40分）如圖，在鈍角△/BC中，NZ為鈍角.設(shè)NN的外角平分線與"BC過8和過C的高線分別交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)、M在線段EC上使得NEMA=/BCA,點(diǎn)N在線段BF上使得ZANF=NABC.證明：￡,尸,M,N四點(diǎn)共圓.（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）證明：設(shè)BE與CF交于點(diǎn)、H,則〃是A/BC的垂心，作￡〃關(guān)于NC的對(duì)稱點(diǎn)分別為P,Q，則C,P,Q三點(diǎn)共線.注意到N4QE=NAHE=NBC4=ZAME,故四點(diǎn)共圓.① 10分又ZAPQ=NAFH=ZFAC+ZACH=ZEAB+&BH=/LAEH,故4瓦0,P四點(diǎn)共圓.②由①，②可得：4MP,Q,E五點(diǎn)共圓. 20分從而CM?CE=CP?CQ=CF?CH,即E,",F,M四點(diǎn)共圓.同理可證：E,H,￡N四點(diǎn)共圓.因此E,〃,EMN五點(diǎn)共圓.當(dāng)然有E,E,MN四點(diǎn)共圓. 40分H.(本題滿分50分)設(shè)團(tuán)＞1為整數(shù)，數(shù)列…定義為=。2=1，a3=4,且對(duì)任意〃N4都有%=加(a“_i+a”一2)-?！?3.試求所有的加，使得這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù).解：考慮整數(shù)相＞1,使得按題目中表述定義的數(shù)列僅含有完全平方數(shù).先證明m—1為3的幕.假設(shè)根-1為偶數(shù)，則為=5加一1應(yīng)當(dāng)能被4整除，故相三l(mod4).但%=562+3加一1三3(mod4)不可能為完全平方數(shù)，矛盾.于是，加-1為奇數(shù). 10分假設(shè)奇素?cái)?shù)0工3整除加—1,注意到，-??-)三%一/一3(modp),故在模p的意義下該數(shù)列的形式為1,1,4,4,7,7,10,10,….事實(shí)上，歸納可以證明：a2k=a2jl_!=3k—2(modp)(k—1).由gcd(p,3)=l,得數(shù)列(modp)含有模p的所有余數(shù)，與平方數(shù)只有，?個(gè)模p的余數(shù)矛盾.這表明，加-1為3的幕. 20分令h,k為整數(shù)，滿足m=3*+1,04=『,則5x3'=(A—2)(A+2).又gcd(〃-2,力+2)=1,故?“-2=1，3,5，在前兩種情況下得左=0,在h+2=5x3k,5,3k.最后一種情況得左=2.于是，加=2或10. 30分下面反過來驗(yàn)證成立.假設(shè)加=2或10,令，=1或3使得加=/2+1.整數(shù)列4也,…定義如下：4=1也=1也=2,b“=tbnA+bn_2(n＞4).顯然，對(duì)〃=1,2,3,有%=b；,注意到，若陽=2,則%=9且4=3；若加=10,

則。4=49且，=7.以上兩種情況，均有%=照. 40分若〃25,貝(]b：+匕=(tb^+bn_2)2+ -也一2)2=(t2++心)=m(b3+b匕)因此，可歸納證明對(duì)所有的〃21,均有可=昭.綜上所述，滿足條件的所有整數(shù)m=2,10. 50分四.(本題滿分50分)已知lWi</W2022(i"wN"),求最大的實(shí)數(shù)C,使得對(duì)任意大于2022的正整數(shù)〃及實(shí)數(shù)4,弓,…,「，存在集合{1,2,…,〃}的一個(gè)子集S滿足i二|S0*/+L…J+2022}區(qū)/對(duì)所有f=1,2,…，〃-2022恒成立且證明：Cmax4046證明：Cmax4046meS m=l 10分首先,記首先,記上=2022,一方面，取〃=2("+1),q=1, +l；rm=-1,"2W〃7V2(%+1)此時(shí)￡|川=2(〃+l).m=\由三|50{，<+1,…1+%}歸/，及，=1,〃+2知，在1至〃+1中，S至少有，個(gè)

元素，至多有/個(gè)元素，在〃+2至2(%+1)中，S至少有i個(gè)元素，至多有/個(gè)元

忙3..素，于是因此。44口4K. 20分2 Zkl2"). .msl另一方面，當(dāng)C=j'時(shí),設(shè)4,={夕卜三m(modA+l),g€{l,2,…,〃}},2(4+1)加=1,2,???,％+1.Sm=E%，Tm=Z(F)，qSO,gw4TOC\o"1-5"\h\zn A+l A+l *+1則ZkJ=Z(sjQ，不妨設(shè)m=\ m=\ m=\ m=\在{1,2,…1+1}中任取i個(gè)互不相同的元％%,…必,再在剩下的元素中任取J-i的互不相同的元W，%，…，，取5={々,三((modA+1),。e{1,2,…,〃},1Vm<i.或者「>0,a=匕(mod%+1),qg{1,2,??,?},,1<m<j—i} 30分這樣的S總能滿足i4⑹門""+1,…"+2}]4J,且(1)IX=￡(S"「Q)+￡sj.(1)rneSm=\ m=\將所有(1)求和，其中一共有C；.C/工種Z%，每個(gè)5■及7；在￡(品-7；,)meS /=!的求和中出現(xiàn)c/?超二次，每個(gè)鼠在￡s,的求和中出現(xiàn)g?c±L次，結(jié)合抽/=i

屜原理得，必存在一種情況使得Z%>meS「，