高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類(lèi))第4章-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-課件

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.2函數(shù)的極值與最值4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.4洛比達(dá)法則4.5應(yīng)用與實(shí)踐4.6拓展與提高第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性1一知識(shí)結(jié)構(gòu)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一知識(shí)結(jié)構(gòu)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2二教學(xué)基本要求和重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)基本要求（1）拉格朗日中值定理；（2）利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限的方法；（3）極值的概念，極值存在的必要條件；（4）判別函數(shù)單調(diào)性，判別極值的方法；第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二教學(xué)基本要求和重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)基本要求（1）拉格朗3（5）曲線(xiàn)凹凸性判別方法與拐點(diǎn)的求法；（6）求函數(shù)最大值最小值的方法；（7）求函數(shù)漸近線(xiàn)，描繪簡(jiǎn)單函數(shù)圖形；（8）邊際與彈性概念，邊際分析、彈性分析與優(yōu)化分析。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（5）曲線(xiàn)凹凸性判別方法與拐點(diǎn)的求法；第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4（1）重點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的優(yōu)化分析。（2）難點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，描繪函數(shù)圖形及在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用。2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）重點(diǎn)2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用54.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用64.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.1拉格朗日中值定理定理4.1設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.1拉格朗74.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例1驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln(x+1)在[0,1]上是否滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的三個(gè)條件，如滿(mǎn)足求出。解：f(x)=ln(x+1)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，滿(mǎn)足拉格朗日中值定理，從而存在一點(diǎn)，使4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例184.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.2函數(shù)的單調(diào)性4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.2函數(shù)的單94.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的必要條件設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).如果f(x)在[a,b]單調(diào)增加(減少)，則在(a,b)內(nèi)。4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的必要104.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性2．函數(shù)單調(diào)性判定法定理4.2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)有，則f(x)在

(a,b)內(nèi)單調(diào)增加。(2)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)有，則f(x)在

(a,b)內(nèi)單調(diào)減少．4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性2．函數(shù)單調(diào)性判定法114.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例2討論函數(shù)f(x)=lnx-x的單調(diào)性。解：此函數(shù)的定義域?yàn)?。函?shù)的定義域分成兩個(gè)區(qū)間：當(dāng)0<x<1時(shí)，，故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，，故f(x)在內(nèi)單調(diào)減少。4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例2討論函數(shù)f124.2函數(shù)的極值與最值4.2.1函數(shù)的極值：1.極值的定義

定義4.1

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x(x≠x0)，都有f(x)<f(x0)

（或f(x)>f(x0)），則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的極大值（或極小值），x0為函數(shù)的極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.2函數(shù)的極值與最值4.2.1函數(shù)的極值：1.極值134.2函數(shù)的極值與最值極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。4.2函數(shù)的極值與最值極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)144.2函數(shù)的極值與最值定理4.3極值的必要條件若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，且導(dǎo)數(shù)存在，則必有定理4.3的逆定理不成立4.2函數(shù)的極值與最值定理4.3極值154.2函數(shù)的極值與最值2.極值判別法判別法1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若或在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)不存在但在x0處連續(xù)。(1)當(dāng)x逐漸增大的通過(guò)點(diǎn)x0時(shí)，若導(dǎo)數(shù)值由正變負(fù)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值f(x0)；若導(dǎo)數(shù)值由負(fù)變正，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值f(x0)。(2)當(dāng)x逐漸增大的通過(guò)點(diǎn)x0時(shí)，若導(dǎo)數(shù)值不變號(hào)，則x0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。4.2函數(shù)的極值與最值2.極值判別法判164.2函數(shù)的極值與最值求函數(shù)極值的一般解題步驟為：(1)求出導(dǎo)數(shù)；(2)求出函數(shù)的可疑極值點(diǎn)；(3)用極值判別法1判定以上的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；(4)求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，即為極值。4.2函數(shù)的極值與最值求函數(shù)極值的一般解題步驟為：174.2函數(shù)的極值與最值例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈玫今v點(diǎn)-14.2函數(shù)的極值與最值例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：184.2函數(shù)的極值與最值判別法2：若，存在，

(1)若，則f(x0)為極小值。(2)若，則f(x0)為極大值。4.2函數(shù)的極值與最值判別法2：若194.2函數(shù)的極值與最值例4求函數(shù)的極值。解：此函數(shù)的定義域?yàn)橐虼撕瘮?shù)f(x)在x1處取得極小值

4.2函數(shù)的極值與最值例4求函數(shù)204.2函數(shù)的極值與最值4.2.2函數(shù)的最值定義4.2設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上連續(xù)，若x0∈I，且對(duì)所有x∈I，都有f(x0)>f(x)(或f(x)<f(x))，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)的最大值（或最小值）。4.2函數(shù)的極值與最值4.2.2函數(shù)的最值214.2函數(shù)的極值與最值實(shí)際問(wèn)題求解最值的一般解題步驟為：(1)分析問(wèn)題，建立目標(biāo)函數(shù)

把問(wèn)題的目標(biāo)作為因變量，把它所依賴(lài)的量作為自變量，建立二者的函數(shù)關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域。(2)解極值問(wèn)題

確定自變量的取值，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值。4.2函數(shù)的極值與最值實(shí)際問(wèn)題求解最值的一22例5堆料場(chǎng)的材料使用問(wèn)題

欲圍建一個(gè)面積為288平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三面墻壁新建，現(xiàn)有一批高為若干、總長(zhǎng)度為50米的用于圍建圍墻的建筑材料，問(wèn)這批建筑材料是否夠用？

4.2函數(shù)的極值與最值例5堆料場(chǎng)的材料使用問(wèn)題欲圍建一個(gè)面積為288平方23解：設(shè)場(chǎng)地的寬為x

，為使場(chǎng)地面積為288

平方米，則場(chǎng)地的長(zhǎng)應(yīng)為288/x若以l表示新建墻壁總長(zhǎng)度，則目標(biāo)函數(shù)為

（1）求導(dǎo)數(shù)：

4.2函數(shù)的極值與最值解：設(shè)場(chǎng)地的寬為x，為使場(chǎng)地面積為288平若以l表示24（2）求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)：令得駐點(diǎn)為x=12

（3）求二階導(dǎo)數(shù)：

所以，x=12是極小值點(diǎn)。

即當(dāng)寬12米，長(zhǎng)為24米時(shí)，用料最少。4.2函數(shù)的極值與最值（2）求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)：令得駐點(diǎn)為x=12（3）求二階導(dǎo)數(shù)254.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.1曲線(xiàn)的凹凸及其判別法

定義4.3

若曲線(xiàn)弧位于其每一點(diǎn)切線(xiàn)的上(下)方，則稱(chēng)曲線(xiàn)弧是凹(凸)的。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.1曲線(xiàn)的凹凸及其判別法264.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凹的，那么其切線(xiàn)的傾斜角隨x的增大而增大。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凹的，那274.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凸的，那么其切線(xiàn)的傾斜角隨x的增大而減少。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凸的，那么284.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)曲線(xiàn)凹凸的判定法

設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(1)如果在(a,b)內(nèi)有，則曲線(xiàn)在(a,b)

內(nèi)是凹的；(2)如果在(a,b)內(nèi)有，則曲線(xiàn)在(a,b)內(nèi)是凸的。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)曲線(xiàn)凹凸的判定法(1)如果在(a,294.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.2曲線(xiàn)的拐點(diǎn)一般地連續(xù)曲線(xiàn)凹凸兩段弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。

求連續(xù)曲線(xiàn)的拐點(diǎn)步驟如下：(1)求出函數(shù)f(x)的或不存在的點(diǎn)。(2)在求出點(diǎn)的左、右兩邊，若異號(hào)，則該點(diǎn)就是拐點(diǎn)，否則，就不是拐點(diǎn)。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.2曲線(xiàn)的拐點(diǎn)304.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6求曲線(xiàn)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)。

解：

拐點(diǎn)為和4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6求曲線(xiàn)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)314.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.3曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

若曲線(xiàn)y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線(xiàn)無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某直線(xiàn)L的距離趨于零，則L稱(chēng)為該曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。漸近線(xiàn)分為三類(lèi)：水平漸近線(xiàn)、垂直漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.3曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)324.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)1.垂直漸近線(xiàn)

若，則c是f(x)的垂直漸近線(xiàn)。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)1.垂直漸近線(xiàn)若334.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)2.水平漸近線(xiàn)

，則y=b是f(x)的水平漸近線(xiàn)。x=-1為垂直漸近線(xiàn)

y=1為水平漸近線(xiàn)

4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)2.水平漸近線(xiàn)，則y=b是f344.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.4作函數(shù)圖形的一般步驟1．確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn)；2．確定函數(shù)的特性，如奇偶性、周期性等；3．求出函數(shù)的一二階導(dǎo)數(shù)，確定極值點(diǎn)、拐點(diǎn)；4．確定曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)；5．計(jì)算一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)；6．間斷點(diǎn)、極值點(diǎn)與拐點(diǎn)把定義域分為若干區(qū)間，列表說(shuō)明這些區(qū)間上函數(shù)的增減性與凹凸性；7．作圖。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.4作函數(shù)圖形的一般步驟1354.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6作出函數(shù)的圖形。解:函數(shù)的定義域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，沒(méi)有漸近線(xiàn)；又x=3時(shí)一階導(dǎo)數(shù)不存在

4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6作出函數(shù)364.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)374.4洛比達(dá)法則1.型未定式

法則1

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足條件：第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(2)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，，存在，且；(1)(3)存在（或?yàn)椋?.4洛比達(dá)法則1.型未定式法則1384.4洛比達(dá)法則例7

4.4洛比達(dá)法則例7392.型未定式

法則2

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足條件：(2)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，，存在，且；(1)(3)存在（或?yàn)椋?.4洛比達(dá)法則2.型未定式法則2設(shè)函數(shù)f(x)和g(404.4洛比達(dá)法則例8

4.4洛比達(dá)法則例8414.5

應(yīng)用與實(shí)踐第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.4.1應(yīng)用1．邊際分析邊際成本邊際收入邊際利潤(rùn)4.5應(yīng)用與實(shí)踐第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.4.1應(yīng)用1．邊424.5應(yīng)用與實(shí)踐例9

某糕點(diǎn)廠(chǎng)生產(chǎn)某種糕點(diǎn)的收入函數(shù)為

(千元)，成本函數(shù)為(千元)，x的單位是百公斤．問(wèn)應(yīng)生產(chǎn)多少公斤糕點(diǎn)才不賠錢(qián)？解：利潤(rùn)函數(shù)

4.5應(yīng)用與實(shí)踐例9某糕點(diǎn)廠(chǎng)生產(chǎn)某434.5應(yīng)用與實(shí)踐當(dāng)x=9（百公斤）時(shí)，L(x)=0，不賠錢(qián)。當(dāng)x<9（百公斤）時(shí)，L(x)<0，賠錢(qián)。當(dāng)x>9（百公斤）時(shí)，L(x)>0，賺錢(qián)。

邊際利潤(rùn)，表明多生產(chǎn)可以提高總利潤(rùn)。當(dāng)邊際利潤(rùn)大于零時(shí)，僅表明總利潤(rùn)在遞增，并不表明賺錢(qián)。

4.5應(yīng)用與實(shí)踐當(dāng)x=9（百公斤）時(shí)，L(x)=0，不賠444.5應(yīng)用與實(shí)踐例10

若某產(chǎn)品每天生產(chǎn)x單位時(shí)，總成本函數(shù)（元），銷(xiāo)售單價(jià)為25元。設(shè)產(chǎn)品能全部售出，問(wèn)每天生產(chǎn)多少單位時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。解：總收益函數(shù)

總利潤(rùn)函數(shù)

4.5應(yīng)用與實(shí)踐例10若某產(chǎn)品每天454.5應(yīng)用與實(shí)踐由于L(x)是單峰曲線(xiàn)，x=30就是L(x)的最大值點(diǎn)，最大值為L(zhǎng)(30)=225（元）。所以產(chǎn)量為30單位時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)225元。為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平。

4.5應(yīng)用與實(shí)踐由于L(x)是單峰曲線(xiàn)，464.5應(yīng)用與實(shí)踐例11

設(shè)每月產(chǎn)量為x噸時(shí)，總成本函數(shù)（元）。求(1)最低平均成本；(2)相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本。解：(1)平均成本函數(shù)為

4.5應(yīng)用與實(shí)踐例11設(shè)每月產(chǎn)量為x474.5應(yīng)用與實(shí)踐此時(shí)，所以AC最小，最小值為78（元）。(2)邊際成本函數(shù)為，當(dāng)產(chǎn)量為140噸時(shí)，邊際成本為78(元）。最低平均成本與相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本相等。

4.5應(yīng)用與實(shí)踐此時(shí)，所以AC最小484.5應(yīng)用與實(shí)踐2．彈性分析用需求彈性去分析總收益（或市場(chǎng)銷(xiāo)售總額）的變化?？偸找鍾是商品價(jià)格p與銷(xiāo)售量Q的乘積，即R=pQ，則4.5應(yīng)用與實(shí)踐2．彈性分析用需求彈性去494.5應(yīng)用與實(shí)踐例12

設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=2-0.1p(Q是需求量，p是價(jià)格），(1)求需求彈性；(2)討論需求彈性的變化對(duì)總收益的影響。解：

(1)需求彈性為4.5應(yīng)用與實(shí)踐例12設(shè)某商品的需求函504.5應(yīng)用與實(shí)踐

(2)令，得p=10。當(dāng)0<p<10時(shí)，（低彈性），此時(shí)應(yīng)采用提高價(jià)格的手段使總收益增加；當(dāng)10<p<20時(shí)，（高彈性），此時(shí)應(yīng)采用降低價(jià)格的手段使總收益增加。4.5應(yīng)用與實(shí)踐(2)令，得p=1514.5應(yīng)用與實(shí)踐4.4.2在Mathematica中作圖在指定區(qū)間上按選項(xiàng)定義值畫(huà)出函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖形，其格式如下：Plot[f，{x，xmin，xmax}，option->value]

在指定區(qū)間上按選項(xiàng)定義值同時(shí)畫(huà)出多個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖形，其格式如下：Plot[f1，f2，f3，…{x，xmin，xmax}，option->value]

4.5應(yīng)用與實(shí)踐4.4.2在Mathematica中作524.5應(yīng)用與實(shí)踐例13

描繪函數(shù)的圖像。解：

4.5應(yīng)用與實(shí)踐例13描繪534.6拓展與提高第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.用函數(shù)單調(diào)性的判定法證明不等式例14

試證：當(dāng)x>0時(shí)，有x>ln(1+x)。

4.6拓展與提高第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.用函數(shù)單調(diào)性的判544.6拓展與提高2.利用極值判別法1和極值判別法2在判別極值為極大值還是極小值時(shí)，應(yīng)注意以下原則：

(1)若較簡(jiǎn)單，則極值判別法2更方便些；反之，則應(yīng)選用極值判別法1。(2)若，則極值判別法2失效，須用極值判別法1判別。4.6拓展與提高2.利用極值判別法1和極值判別法2在判別554.6拓展與提高例15求函數(shù)的極值。解：此函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在x=1處導(dǎo)數(shù)等于零，在x=0，x=2處導(dǎo)數(shù)不存在。列表如下：

4.6拓展與提高例15求函數(shù)564.6拓展與提高3.斜漸近線(xiàn)，則y=ax+b是f(x)的斜漸近線(xiàn)。求函數(shù)的斜漸近線(xiàn)，就是要確定參數(shù)a，b的值.可以推出：4.6拓展與提高3.斜漸近線(xiàn)574.6拓展與提高例16求函數(shù)的漸近線(xiàn)。解：x=0為曲線(xiàn)的垂直漸近線(xiàn)。y=x為曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)。4.6拓展與提高例16求函數(shù)584.6拓展與提高4.其他常見(jiàn)未定式均可以通過(guò)轉(zhuǎn)化用洛比達(dá)法則計(jì)算。

4.6拓展與提高4.其他常見(jiàn)未定式均可以通過(guò)轉(zhuǎn)化用洛比達(dá)594.6拓展與提高例174.6拓展與提高例17604.6拓展與提高5.利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)的兩點(diǎn)說(shuō)明

(1)應(yīng)用洛比達(dá)法則后，若算式較繁須進(jìn)行化簡(jiǎn)，若算式中有非未定式，應(yīng)將其分離出來(lái)。此外用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，要注意結(jié)合運(yùn)用以前學(xué)過(guò)的方法。例184.6拓展與提高5.利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)的兩點(diǎn)說(shuō)明614.6拓展與提高(2)若不存在或不可求,不能因此得出極限不存在的結(jié)論。出現(xiàn)這種情況，說(shuō)明洛比達(dá)法則失效，這時(shí)需改用其它方法求極限。例194.6拓展與提高(2)若不存在或62第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.2函數(shù)的極值與最值4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.4洛比達(dá)法則4.5應(yīng)用與實(shí)踐4.6拓展與提高第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性63一知識(shí)結(jié)構(gòu)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一知識(shí)結(jié)構(gòu)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用64二教學(xué)基本要求和重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)基本要求（1）拉格朗日中值定理；（2）利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限的方法；（3）極值的概念，極值存在的必要條件；（4）判別函數(shù)單調(diào)性，判別極值的方法；第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二教學(xué)基本要求和重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)基本要求（1）拉格朗65（5）曲線(xiàn)凹凸性判別方法與拐點(diǎn)的求法；（6）求函數(shù)最大值最小值的方法；（7）求函數(shù)漸近線(xiàn)，描繪簡(jiǎn)單函數(shù)圖形；（8）邊際與彈性概念，邊際分析、彈性分析與優(yōu)化分析。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（5）曲線(xiàn)凹凸性判別方法與拐點(diǎn)的求法；第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用66（1）重點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)，經(jīng)濟(jì)函數(shù)的優(yōu)化分析。（2）難點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，描繪函數(shù)圖形及在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用。2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）重點(diǎn)2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用674.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用684.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.1拉格朗日中值定理定理4.1設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.1拉格朗694.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例1驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln(x+1)在[0,1]上是否滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的三個(gè)條件，如滿(mǎn)足求出。解：f(x)=ln(x+1)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，滿(mǎn)足拉格朗日中值定理，從而存在一點(diǎn)，使4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例1704.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.2函數(shù)的單調(diào)性4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性4.1.2函數(shù)的單714.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的必要條件設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).如果f(x)在[a,b]單調(diào)增加(減少)，則在(a,b)內(nèi)。4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的必要724.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性2．函數(shù)單調(diào)性判定法定理4.2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)有，則f(x)在

(a,b)內(nèi)單調(diào)增加。(2)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)有，則f(x)在

(a,b)內(nèi)單調(diào)減少．4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性2．函數(shù)單調(diào)性判定法734.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例2討論函數(shù)f(x)=lnx-x的單調(diào)性。解：此函數(shù)的定義域?yàn)?。函?shù)的定義域分成兩個(gè)區(qū)間：當(dāng)0<x<1時(shí)，，故f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，，故f(x)在內(nèi)單調(diào)減少。4.1拉格朗日中值定理與函數(shù)的單調(diào)性例2討論函數(shù)f744.2函數(shù)的極值與最值4.2.1函數(shù)的極值：1.極值的定義

定義4.1

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x(x≠x0)，都有f(x)<f(x0)

（或f(x)>f(x0)），則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)的極大值（或極小值），x0為函數(shù)的極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.2函數(shù)的極值與最值4.2.1函數(shù)的極值：1.極值754.2函數(shù)的極值與最值極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。4.2函數(shù)的極值與最值極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)764.2函數(shù)的極值與最值定理4.3極值的必要條件若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，且導(dǎo)數(shù)存在，則必有定理4.3的逆定理不成立4.2函數(shù)的極值與最值定理4.3極值774.2函數(shù)的極值與最值2.極值判別法判別法1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若或在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)不存在但在x0處連續(xù)。(1)當(dāng)x逐漸增大的通過(guò)點(diǎn)x0時(shí)，若導(dǎo)數(shù)值由正變負(fù)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值f(x0)；若導(dǎo)數(shù)值由負(fù)變正，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值f(x0)。(2)當(dāng)x逐漸增大的通過(guò)點(diǎn)x0時(shí)，若導(dǎo)數(shù)值不變號(hào)，則x0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。4.2函數(shù)的極值與最值2.極值判別法判784.2函數(shù)的極值與最值求函數(shù)極值的一般解題步驟為：(1)求出導(dǎo)數(shù)；(2)求出函數(shù)的可疑極值點(diǎn)；(3)用極值判別法1判定以上的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；(4)求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，即為極值。4.2函數(shù)的極值與最值求函數(shù)極值的一般解題步驟為：794.2函數(shù)的極值與最值例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈玫今v點(diǎn)-14.2函數(shù)的極值與最值例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：804.2函數(shù)的極值與最值判別法2：若，存在，

(1)若，則f(x0)為極小值。(2)若，則f(x0)為極大值。4.2函數(shù)的極值與最值判別法2：若814.2函數(shù)的極值與最值例4求函數(shù)的極值。解：此函數(shù)的定義域?yàn)橐虼撕瘮?shù)f(x)在x1處取得極小值

4.2函數(shù)的極值與最值例4求函數(shù)824.2函數(shù)的極值與最值4.2.2函數(shù)的最值定義4.2設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上連續(xù)，若x0∈I，且對(duì)所有x∈I，都有f(x0)>f(x)(或f(x)<f(x))，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)的最大值（或最小值）。4.2函數(shù)的極值與最值4.2.2函數(shù)的最值834.2函數(shù)的極值與最值實(shí)際問(wèn)題求解最值的一般解題步驟為：(1)分析問(wèn)題，建立目標(biāo)函數(shù)

把問(wèn)題的目標(biāo)作為因變量，把它所依賴(lài)的量作為自變量，建立二者的函數(shù)關(guān)系，即目標(biāo)函數(shù)，并確定函數(shù)的定義域。(2)解極值問(wèn)題

確定自變量的取值，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值。4.2函數(shù)的極值與最值實(shí)際問(wèn)題求解最值的一84例5堆料場(chǎng)的材料使用問(wèn)題

欲圍建一個(gè)面積為288平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三面墻壁新建，現(xiàn)有一批高為若干、總長(zhǎng)度為50米的用于圍建圍墻的建筑材料，問(wèn)這批建筑材料是否夠用？

4.2函數(shù)的極值與最值例5堆料場(chǎng)的材料使用問(wèn)題欲圍建一個(gè)面積為288平方85解：設(shè)場(chǎng)地的寬為x

，為使場(chǎng)地面積為288

平方米，則場(chǎng)地的長(zhǎng)應(yīng)為288/x若以l表示新建墻壁總長(zhǎng)度，則目標(biāo)函數(shù)為

（1）求導(dǎo)數(shù)：

4.2函數(shù)的極值與最值解：設(shè)場(chǎng)地的寬為x，為使場(chǎng)地面積為288平若以l表示86（2）求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)：令得駐點(diǎn)為x=12

（3）求二階導(dǎo)數(shù)：

所以，x=12是極小值點(diǎn)。

即當(dāng)寬12米，長(zhǎng)為24米時(shí)，用料最少。4.2函數(shù)的極值與最值（2）求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)：令得駐點(diǎn)為x=12（3）求二階導(dǎo)數(shù)874.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.1曲線(xiàn)的凹凸及其判別法

定義4.3

若曲線(xiàn)弧位于其每一點(diǎn)切線(xiàn)的上(下)方，則稱(chēng)曲線(xiàn)弧是凹(凸)的。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.1曲線(xiàn)的凹凸及其判別法884.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凹的，那么其切線(xiàn)的傾斜角隨x的增大而增大。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凹的，那894.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凸的，那么其切線(xiàn)的傾斜角隨x的增大而減少。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)如果曲線(xiàn)是凸的，那么904.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)曲線(xiàn)凹凸的判定法

設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(1)如果在(a,b)內(nèi)有，則曲線(xiàn)在(a,b)

內(nèi)是凹的；(2)如果在(a,b)內(nèi)有，則曲線(xiàn)在(a,b)內(nèi)是凸的。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)曲線(xiàn)凹凸的判定法(1)如果在(a,914.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.2曲線(xiàn)的拐點(diǎn)一般地連續(xù)曲線(xiàn)凹凸兩段弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。

求連續(xù)曲線(xiàn)的拐點(diǎn)步驟如下：(1)求出函數(shù)f(x)的或不存在的點(diǎn)。(2)在求出點(diǎn)的左、右兩邊，若異號(hào)，則該點(diǎn)就是拐點(diǎn)，否則，就不是拐點(diǎn)。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.2曲線(xiàn)的拐點(diǎn)924.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6求曲線(xiàn)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)。

解：

拐點(diǎn)為和4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6求曲線(xiàn)的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)934.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.3曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

若曲線(xiàn)y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線(xiàn)無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某直線(xiàn)L的距離趨于零，則L稱(chēng)為該曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。漸近線(xiàn)分為三類(lèi)：水平漸近線(xiàn)、垂直漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.3曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)944.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)1.垂直漸近線(xiàn)

若，則c是f(x)的垂直漸近線(xiàn)。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)1.垂直漸近線(xiàn)若954.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)2.水平漸近線(xiàn)

，則y=b是f(x)的水平漸近線(xiàn)。x=-1為垂直漸近線(xiàn)

y=1為水平漸近線(xiàn)

4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)2.水平漸近線(xiàn)，則y=b是f964.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.4作函數(shù)圖形的一般步驟1．確定函數(shù)的定義域、間斷點(diǎn)；2．確定函數(shù)的特性，如奇偶性、周期性等；3．求出函數(shù)的一二階導(dǎo)數(shù)，確定極值點(diǎn)、拐點(diǎn)；4．確定曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)；5．計(jì)算一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)；6．間斷點(diǎn)、極值點(diǎn)與拐點(diǎn)把定義域分為若干區(qū)間，列表說(shuō)明這些區(qū)間上函數(shù)的增減性與凹凸性；7．作圖。4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3.4作函數(shù)圖形的一般步驟1974.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6作出函數(shù)的圖形。解:函數(shù)的定義域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，沒(méi)有漸近線(xiàn)；又x=3時(shí)一階導(dǎo)數(shù)不存在

4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)例6作出函數(shù)984.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)4.3曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)994.4洛比達(dá)法則1.型未定式

法則1

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足條件：第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(2)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，，存在，且；(1)(3)存在（或?yàn)椋?.4洛比達(dá)法則1.型未定式法則11004.4洛比達(dá)法則例7

4.4洛比達(dá)法則例71012.型未定式

法則2

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足條件：(2)在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，，存在，且；(1)(3)存在（或?yàn)椋?.4洛比達(dá)法則2.型未定式法則2設(shè)函數(shù)f(x)和g(1024.4洛比達(dá)法則例8

4.4洛比達(dá)法則例81034.5

應(yīng)用與實(shí)踐第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.4.1應(yīng)用1．邊際分析邊際成本邊際收入邊際利潤(rùn)4.5應(yīng)用與實(shí)踐第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.4.1應(yīng)用1．邊1044.5應(yīng)用與實(shí)踐例9

某糕點(diǎn)廠(chǎng)生產(chǎn)某種糕點(diǎn)的收入函數(shù)為

(千元)，成本函數(shù)為(千元)，x的單位是百公斤．問(wèn)應(yīng)生產(chǎn)多少公斤糕點(diǎn)才不賠錢(qián)？解：利潤(rùn)函數(shù)

4.5應(yīng)用與實(shí)踐例9某糕點(diǎn)廠(chǎng)生產(chǎn)某1054.5應(yīng)用與實(shí)踐當(dāng)x=9（百公斤）時(shí)，L(x)=0，不賠錢(qián)。當(dāng)x<9（百公斤）時(shí)，L(x)<0，賠錢(qián)。當(dāng)x>9（百公斤）時(shí)，L(x)>0，賺錢(qián)。

邊際利潤(rùn)，表明多生產(chǎn)可以提高總利潤(rùn)。當(dāng)邊際利潤(rùn)大于零時(shí)，僅表明總利潤(rùn)在遞增，并不表明賺錢(qián)。

4.5應(yīng)用與實(shí)踐當(dāng)x=9（百公斤）時(shí)，L(x)=0，不賠1064.5應(yīng)用與實(shí)踐例10

若某產(chǎn)品每天生產(chǎn)x單位時(shí)，總成本函數(shù)（元），銷(xiāo)售單價(jià)為25元。設(shè)產(chǎn)品能全部售出，問(wèn)每天生產(chǎn)多少單位時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)。解：總收益函數(shù)

總利潤(rùn)函數(shù)

4.5應(yīng)用與實(shí)踐例10若某產(chǎn)品每天1074.5應(yīng)用與實(shí)踐由于L(x)是單峰曲線(xiàn)，x=30就是L(x)的最大值點(diǎn)，最大值為L(zhǎng)(30)=225（元）。所以產(chǎn)量為30單位時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)225元。為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平。

4.5應(yīng)用與實(shí)踐由于L(x)是單峰曲線(xiàn)，1084.5應(yīng)用與實(shí)踐例11

設(shè)每月產(chǎn)量為x噸時(shí)，總成本函數(shù)（元）。求(1)最低平均成本；(2)相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本。解：(1)平均成本函數(shù)為

4.5應(yīng)用與實(shí)踐例11設(shè)每月產(chǎn)量為x1094.5應(yīng)用與實(shí)踐此時(shí)，所以AC最小，最小值為78（元）。(2)邊際成本函數(shù)為，當(dāng)產(chǎn)量為140噸時(shí)，邊際成本為78(元）。最低平均成本與相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本相等。

4.5應(yīng)用與實(shí)踐此時(shí)，所以AC最小1104.5應(yīng)用與實(shí)踐2．彈性分析用需求彈性去分析總收益（或市場(chǎng)銷(xiāo)售總額）的變化?？偸找鍾是商品價(jià)格p與銷(xiāo)售量Q的乘積，即R=pQ，則4.5應(yīng)用與實(shí)踐2．彈性分析用需求彈性去1114.5