lecture5大數(shù)定律和中心極限定理

§1大數(shù)定律(lawsoflarge隨量序列依概率收斂的定若對(duì)于0：limPYna0, Yna 成立，則稱 量序列Yn依概率收斂于記為 Y,當(dāng)nnYYY3性質(zhì)若

b,當(dāng)n（gX,Yg(ab)，當(dāng)n 4馬爾可夫不等式和切不等式 量Y的k階矩存在(kE(|Y|k則對(duì)于任意0

E(|Y|k

E(Yk特別地，當(dāng)Y為取非負(fù)值的 任意0有

設(shè)Y的概率密度為fx,則對(duì)|y Y Y

fxdx k

fx

|y|kfx

E(|Y| 定理5.1.2 不等式：設(shè) 量X具有數(shù)學(xué)期望EX方差DX2,則對(duì)于任意0都有：PX2定理的等價(jià)形式為：PX12證明：在定理5.1.1中取YXk2f 6例1天文機(jī)構(gòu)想測(cè)量宇宙中兩顆行星的距離，進(jìn)行了n測(cè)，測(cè)量值分別為 光年,i1,2,,n.若E(Xi)(為兩顆行計(jì)值與實(shí)際值之間的誤差在0.5光年之內(nèi)，至少要觀測(cè)多少次解：由于對(duì)i12,n，都有EXi)DXi)5且Xi相互獨(dú)立1 1

E(nXi),D(nXi)n2D(Xi)n P{|1X|0.5}15/100

同樣利用切不等式，要使nP{|n

X|0.5}

5/nnin

0.740.760.740.740.760.740.760.90。則Xbn0.75EXnp0.75nDXnpqfnAnn

7500,P1

11875P0.74n

PX0.75n1 11875 n8 8幾種大數(shù)定律1nY limP

nn（limPn（limP

n n

1

n nPn

nn

cn 0,當(dāng)n9 lim1D(Xi)

n則對(duì)0

lim

Xi

n11E(Xi)|}n1

n

nn nn證明：記Yn

E(

)1

Xn nXi，則E(Yn n n

n對(duì)Yn應(yīng)用 nD(Yn

D(

X) 當(dāng)n0

n2

nninni即，lim

1

1

E(

)|}

n

n 大數(shù)定律 D(Xi) in即所有的Xi的方差有共同的上界，則對(duì)0nlim

1Xi

1E(Xi)|}

n

n 量{Xi,i服從大數(shù)定律n1n

X)1

D(X)

C

n

inn

{Xi,i1}為相互獨(dú)立的隨 量{Xi,i也服從大數(shù)定律.設(shè) 量X1,,Xn,,相互獨(dú)立同分布，且它們的分布律P{X i} i}1, 0}11,i 試判斷{Xii解：由于對(duì)任意的i1,E(Xi)D(X)E(X2)0 i)21 i)21 n1X0,當(dāng)ni1n i1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，則對(duì)0有：limPnA

n證明思路：易見nAXinX

i1,2,, XiB(1,隨量服從相同分布時(shí)，就不需要這一要求。 大數(shù)定律記為,則對(duì)0，有：limP1

X

nn

k 相當(dāng)于1Xi,當(dāng)n,即 n證略推論設(shè){Xi,i1}為獨(dú)立同分布的隨量序列，若h(x)為一連續(xù)函數(shù)，且E|hX1|,則對(duì)0，有：nlimP1h(X)ani nk 其中,aE(h(X1)),即隨量{h(Xi),i也服從大數(shù)定律 例設(shè)隨量X,,X,,相互獨(dú)立同分布 ）n解：由大數(shù)定律，X1,,Xn,,相互獨(dú)立同分布，E(X1)存在X1,,Xn,相互獨(dú)立同分布，E(X1)X2,X2相互獨(dú)立同分布，EX2 1 1

1 故， k，

Xk

Xknk nk nk1故 Xk 因?yàn)?，E(X)1故 Xk 1同理，E(X11

x1dx2

nk

nk E(X2)

1x21dx1

X

1knX，（kknX，（k1X1）2nkk3nk

nnk n例4：設(shè) 量X1,,Xn,,相互獨(dú)立同分布，X1~U(0,1),nX1X2XnnX1nX1Xn

令

lnYn

1(lnX

lnXn1則lnX1,lnXn,相互獨(dú)立同分11E(lnX1)=lnxdx0 Zn nY e1，當(dāng)nn§2心極限定(CentralLimit背景有許多隨量，它們是由大量的相互獨(dú) i i設(shè) 量X1,X2 i i , ,i2nnXinX1XninX1Xni證明略

limPY

x e2dt( 近似）～N2i答案：N(2nn從而，P(a b)(b 答案：N(2nni

推論5.2.1 -

x

x

e2dtnp(1np(1 PanAPanA b np(1 a np(1

0第i次試驗(yàn)時(shí)AX1,

2,,

,相互獨(dú)立同分布,Xi

~B(1,由于

X

Xn由定理5.5,limPa

nA

b

b

e2

np(1 即:nA(近似~N(npnp(1,:55?解：設(shè)Xi為第i次所倒的紅酒重量(單位:ml),則Xi相互獨(dú)立分布相同,EXi100DXi32i12,2

P{倒了55次后該瓶紅酒仍有剩余P{XiXi

P{ 600055100}1600055100

2.1112.1110.9829 例611/10),.: i, i,i0，其它,則Xi獨(dú)立同分布，XiB(1,1/10).記Y Xi,則Y - 中心極限定理，Y150010（近似）～N15001 a150015001 95%P{Y15001 查表得，(1.645) 故需a150解得a 解：設(shè)X為一年中投保老人 數(shù)則Xbnpn10000p - 中心極限定理，np(1P10000X10000

思考題求保險(xiǎn)公司至

PX200

10萬元的概率1

np1p

PX21PX0PX110.984004000.020.98399np4000.028PX21PX0PX110.0003350.0026844000.024000.02PX21P(X1)11np

例設(shè) 1 1（1）Xk，（2）Xk，（3）Xk20k 20k 20k1 1解：由中心極限定理， 20k 20k

Xk

Xk均近似服從正態(tài)分布。k1因?yàn)椋珽(X) D(X)41

近 k 20 ~N(0,kE(X1

)12

D(

)E(X2)[E(

X)]21111

1 11 ~N E(X2)1

20kD(X2)E(X4)[E(X2)]2114

2 1n1

59 2近 1 ~N nk

3例10：（例2續(xù)）在n重貝努里試驗(yàn)解：例10：（例2續(xù)）在n重貝努里試驗(yàn)則Xbn0.75EXnp0.75nDXnpq當(dāng)n充分大時(shí)，X（近似）～Nn7500,P

0.76(0.76n0.75n)(0.74n0.