高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何第六節(jié)雙曲線教案理蘇教版

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章剖析幾何第六節(jié)雙曲線教課方案理蘇教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章剖析幾何第六節(jié)雙曲線教課方案理蘇教版16/16高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章剖析幾何第六節(jié)雙曲線教課方案理蘇教版第六節(jié)雙曲線1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．會集P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0.當(dāng)2a＜F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a＝F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a＞F1F2時(shí)，P點(diǎn)不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)x2

y2

y2

x2標(biāo)準(zhǔn)方程

a2－b2＝1(a＞0，b＞0)

a2－b2＝1(a＞0，b＞0)圖形范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn)坐標(biāo)：A1(－a,0)，A2(a,0)極點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線bay＝±axy＝±bx性質(zhì)c離心率e＝a，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2線段AA叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長AA＝a；線段BB叫做雙曲1212212實(shí)虛軸線的虛軸，它的長122b叫做雙BB＝b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，曲線的虛半軸長[小題體驗(yàn)]1．雙曲線x2－5y2＝10的焦距為________．x2y222222剖析：∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為10－2＝1，∴a＝10，b＝2，∴c＝a＋b＝12，c＝23，故焦距為43.答案：432．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長為________．22x2y22a＝4.剖析：雙曲線2x－y＝8的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，實(shí)軸長為48答案：4x2y23．已知雙曲線a2－5＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于________．222c3剖析：∵右焦點(diǎn)為(3,0)，∴c＝3.∴a＝c－b＝9－5＝4，∴a＝2，∴e＝a＝2.3答案：21．雙曲線的定義中易忽視2a＜F1F2這一條件．若2a＝F1F2，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線，若2a＞F1F2，則軌跡不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對a，b的要求可是a＞0，b＞0，易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈(1，2)；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝2；若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e∈(2，＋∞)．3．注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.b4．易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)地址關(guān)系．當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，漸近線斜率為±a，a當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線斜率為±b.[小題糾偏]1．設(shè)P是雙曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若PF1＝9，1620則PF2等于________．剖析：由題意知PF1＝9＜a＋c＝10，因此P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有PF2－PF1＝2a＝8，故PF2＝PF1＋8＝17.答案：17x222．若a＞1，則雙曲線a2－y＝1的離心率的取值范圍是________．剖析：由題意得雙曲線的離心率a2＋1e＝.a即e2a2＋11＝a2＝1＋a2.因?yàn)閍＞1，因此10＜a2＜1，11＜e＜2.因此1＜1＋a2＜2，因此答案：(1，2)3．離心率為3，且經(jīng)過(－3，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．x軸上時(shí)，設(shè)方程為x2y2剖析：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在a2－b2＝1.c3，a＝a2＝1，32－42＝1，則有解得b2＝2.aba2＋b2＝c2.22y因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x－＝1.2y2x2當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)方程為a2－b2＝1.ca＝3，解得a25則有43＝2，a2－b2＝1，b2＝5.a2＋b2＝c2.y2x2因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.52y2y2x2答案：x－2＝1或5－5＝12考點(diǎn)一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透[題組練透]x2y21．若方程k－3＋k＋3＝1(k∈R)表示雙曲線，則k的取值范圍是________．剖析：依題意可知(k－3)(k＋3)＜0，解得－3＜k＜3.答案：(－3,3)22x2y2＝1的離心率52C的標(biāo)2．已知雙曲線C：a－be＝4，且其右焦點(diǎn)為F(5,0)，則雙曲線準(zhǔn)方程為________．2且離心率為c52剖析：因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F(5,0)e＝a＝4，因此c＝5，a＝4，b22x2y2＝c－a＝9，因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為16－9＝1.x2y2答案：－＝11693．若以F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)為焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)(2,1)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．x2y2412－2＝1，剖析：依題意，設(shè)題中的雙曲線方程是2－2＝1(a＞0，b＞0)，則有ababa2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1.x22因此該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2－y＝1.x22答案：2－y＝14．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知雙曲線Γ過點(diǎn)(2，3)，且與雙曲線x224－y＝1有相同的漸近線，則雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．2x剖析：依題意，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y＝λ，將點(diǎn)(2，3)的坐標(biāo)代入，得x22y2x21－3＝λ，∴λ＝－2，∴所求雙曲線的方程為4－y＝－2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為2－8＝1.y2x2答案：2－8＝1[切記通法]求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，依照已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方2222程并求出a，b，c的值．與雙曲線x2－y2＝1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為x2－y2abab＝λ(λ≠0)．(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)地址確定c的值．考點(diǎn)二雙曲線的定義重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研[典例引領(lǐng)]x2y21．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線a2－b2＝1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2＝90°且AF1＝3AF2，則雙曲線的離心率為________．剖析：因?yàn)椤螰1AF2＝90°，2222，1212又AF1＝3AF2，且AF1－AF2＝2a，222c5故10a＝4c，故a2＝2，10故e＝a＝2.10答案：222y2．(2018·海門中學(xué)檢測)已知雙曲線x－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支244上一點(diǎn)．若PF1＝3PF2，則△F1PF2的面積為________．1剖析：由雙曲線的定義可得PF1－PF2＝3PF2＝2a＝2，解得PF2＝6，故PF1＝8，又F1F2＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，1因此S△PF1F2＝2PF1·PF2＝24.答案：24[由題悟法]應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必定小于兩定點(diǎn)的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．同時(shí)注意定義的轉(zhuǎn)變應(yīng)用．[即時(shí)應(yīng)用]1．設(shè)

F1，F(xiàn)2分別為雙曲線

x2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)

P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝49ab，則該雙曲線的離心率為________．剖析：由題設(shè)條件得1＋2＝3，由雙曲線的定義得|1－2|＝2，兩個(gè)式子平方PFPFbPFPFa2222)＝0，即b＝4，所相減得1·2＝9b－4a，則9b－4a＝9，整理得(3b－4)·(3b＋PFPF444abaaa3以e＝b251＋a＝3.5答案：32．設(shè)雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為1，2，過1的直線l交雙曲線左支于，42FFFAB兩點(diǎn)，則BF2＋AF2的最小值為________．x2y2剖析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4－2＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得AF2－AF1＝4，BF2－BF1＝4，因此AF2－AF1＋BF2－BF1＝8.因?yàn)锳F1＋BF1＝AB，當(dāng)AB是雙曲線的通徑時(shí)，AB最小，2b2因此(AF2＋BF2)min＝ABmin＋8＝a＋8＝10.答案：10考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——多角探明[鎖定考向]雙曲線的幾何性質(zhì)是高考命題的熱點(diǎn)．常有的命題角度有：求雙曲線的離心率或范圍；求雙曲線的漸近線方程；雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用．[題點(diǎn)全練]角度一：求雙曲線的離心率或范圍x2y21．(2018·海安高三質(zhì)量測試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±3x，則該雙曲線的離心率為________．b222222c剖析：由題意知a＝3，即b＝3a，因此c＝a＋b＝4a，因此e＝a＝2.答案：2x2y22．(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右極點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于，兩點(diǎn)．若∠＝60°，則C的離AMNMAN心率為________．b剖析：雙曲線的右極點(diǎn)為A(a,0)，設(shè)點(diǎn)M，N在漸近線y＝ax，即bx－ay＝0上，則圓|ba－a×0|ab心A到此漸近線的距離d＝b2＋a2＝c.又因?yàn)椤螹AN＝60°，圓的半徑為b，因此b·sinab3bab22360°＝c，即2＝c，因此e＝3＝3.23答案：3角度二：求雙曲線的漸近線方程2－y23．(2019·徐州調(diào)研)若雙曲線：x22＝1(＞0，＞0)的離心率為10，則雙曲線CCabab的漸近線方程為________．c222222剖析：∵雙曲線C的離心率為10，∴e＝a＝10，則c＝10a＝a＋b，得b＝9a，b即b＝3a，則雙曲線C的漸近線方程為y＝±ax＝±3x.答案：y＝±3x角度三：雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用x2y24．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支2上的任意一點(diǎn)，若PF19，則雙曲線的離心率為________．的最小值為PFa2222剖析：在雙曲線中，P為右支上一點(diǎn)，則12PF1＝PF2＋2a24aPFPFaPFPFPFPF222222min21＋4a≥24a＋4a＝8a(當(dāng)且僅當(dāng)PF＝2a時(shí)取等號)，因?yàn)橐阎狿F2＝9a，故PF≠2a，在2PF1雙曲線右支上點(diǎn)P滿足(PF2)min＝c－a，則c－a＞2a，即c＞3a，故e＞3，又由≥9a，即PF2c＋a221≥9a可得e≤2或e≥5，綜上可得，e≥5，故當(dāng)PF取最小值9a時(shí)，e＝5.c－aPF2答案：5[通法在握]與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略(1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依照題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)變成關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求雙曲線的漸近線方程．依照題設(shè)條件，求雙曲線中，b的值或a與b的比值，進(jìn)a而得出雙曲線的漸近線方程．求雙曲線的方程．依照題設(shè)條件，求出a，b的值或依照雙曲線的定義，求雙曲線的方程．(4)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解．[演練沖關(guān)]1．(2019·通州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的四個(gè)極點(diǎn)都在雙曲線x22ay2－b2＝1(a＞0，b＞0)上，若雙曲線的焦點(diǎn)在正方形的外面，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．22剖析：由題意，可設(shè)正方形與雙曲線的某個(gè)交點(diǎn)為(，)，則雙曲線mm2－2＝1，可得Ammab2a2b22222222222422442m＝b2－a2＜c，即cb－ca＞ab，又c＝b＋a，化簡可得c－3ca＋a＞0，即e－3e1＋5＋1＞0，又e＞1，解得e＞，2故該雙曲線的離心率的取值范圍是1＋5，＋∞.2答案：1＋5，＋∞2y2x252．(2018·無錫調(diào)研)雙曲線C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則C的實(shí)軸長等于________．c55a剖析：因?yàn)閑＝a＝4，因此c＝4a，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝bx，即ax－by＝0，bc222522焦點(diǎn)為(0，c)，因此a2＋b2＝b＝3，因此a＝c－b＝16a－9，因此a＝16，即a＝4，故2＝8.a答案：8x2y243．(2018·鹽城二模)已知雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，直線y＝3x與雙曲線訂交于A，B兩點(diǎn)．若AF⊥BF，則雙曲線的漸近線方程為________．x2y2剖析：由題意可知，雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，4y＝3x，2222229a2b2聯(lián)立x2y21，整理得(9b－16a)x＝9ab，即x＝9b2－16a2，a2－b2＝∴A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，44設(shè)Ax，x，B－x，－x，33則―→4―→＝－x－c，－4x，F(xiàn)A＝x－c，x，F(xiàn)B33∵⊥，∴―→·―→＝0，AFBFFAFB4即(x－c)(－x－c)＋3x×－3x＝0，整理得c2＝259x2，22＝259a2b2∴a＋b×2－2，99b16a即9b4－32a2b2－16a4＝0，∴(b2－4a2)(9b2＋4a2)＝0，∵a＞0，b＞0，∴9b2＋4a2≠0，∴b2－4a2＝0，故b＝2a，b∴雙曲線的漸近線方程為y＝±ax＝±2x.答案：y＝±2x4．已知雙曲線2y212x－3＝1的左極點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則―→―→PA·PF的最小值為________．12剖析：由題可知A(－1,0)，F(xiàn)(2,0)―→―→．設(shè)P(x，y)(x≥1)，則PA＝(－1－x，－y)，PF1212―→―→222222＝(2－x，－y)，PA1·PF2＝(－1－x)(2－x)＋y＝x－x－2＋y＝x－x－2＋3(x－1)＝4x－x－5.因?yàn)閤≥1，函數(shù)f(x)＝21―→―→xx812獲取最小值－2.答案：－2一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快21．(2019·濱湖月考)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±3x，實(shí)軸長為12，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．2剖析：∵雙曲線的漸近線方程為y＝±3x，實(shí)軸長為12，∴當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為x2y2b＞0，此時(shí)a2－b2＝1，a＞0，b2x2y2＝，a3解得a＝6，b＝4，∴雙曲線方程為36－16＝1.2a＝12，y2x2a2當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為＝，2－2＝1，a＞0，b＞0，此時(shí)b3ab2＝12，ay2x2解得a＝6，b＝9，∴雙曲線方程為36－81＝1.x2y2y2x2答案：－＝1或－＝1361636812．已知雙曲線x2＋my2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則實(shí)數(shù)m的值是________．剖析：依題意得m＜0，雙曲線方程是2y211x－＝1，于是有－＝2×1，m＝－.1m4－m1答案：－4x2y2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為3．若雙曲線a2－b23，則其漸近線方程為________．剖析：由條件＝cc2a2＋b2b2b2，3，即＝3，得2＝2＝1＋2＝3，因此＝eaaaaa因此雙曲線的漸近線方程為y＝±2x.答案：y＝±2x4．(2018·蘇州高三暑期測試)雙曲線x222＝8x的焦點(diǎn)－y＝1(m＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線ym重合，則＝________.m剖析：因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為(m＋1，0)，拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，因此m＋1＝2，解得＝3.m答案：3x225．(2019·常州一中檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線2－y＝1(m＞0)的一條m漸近線方程為x－3y＝0，則實(shí)數(shù)m的值為________．剖析：∵雙曲線

x222－y＝1(m＞0)的漸近線方程為m

x±m(xù)y＝0，已知其中一條漸近線方程為

x－

3y＝0，∴m＝

3.答案：326．(2018·蘇北四市摸底)已知雙曲線x2－y2＝1(m＞0)的一條漸近線方程為x＋3y＝m0，則實(shí)數(shù)m＝________.2剖析：雙曲線x2－y2＝1(m＞0)的漸近線為y＝±m(xù)x，m3又因?yàn)樵撾p曲線的一條漸近線方程為x＋3y＝0，因此m＝3.3答案：3二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)x2y21．雙曲線a2－b2＝1的兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為________．bb2222剖析：由漸近線互相垂直可知－a·a＝－1，即a＝b，即c＝2a，即c＝2a，因此e＝2.答案：2x2y22．(2018·常州期末)雙曲線4－12＝1的右焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線之間的距離是________．剖析：因?yàn)?22＝16，即右焦點(diǎn)為(4,0)，又左準(zhǔn)線為x＝－a2a＝4，b＝12，因此cc＝－1，故右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為5.答案：5x2y23．(2018·南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：a2－4＝1(a＞0)的一條漸近線與直線y＝2x＋1平行，則實(shí)數(shù)＝________.a剖析：由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y＝±2.因?yàn)橐粭l漸近線與直線y＝2＋1axx2平行，因此a＝2，解得a＝1.答案：14．已知直線l與雙曲線C：x2－y2＝2的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)在該雙曲線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△的面積為________．AOB剖析：由題意得，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，設(shè)A(x1，x1)，B(x2，－x2)，因此中點(diǎn)坐標(biāo)為x1＋x2，x1－x2，AB22因此x1＋x22－x1－x22＝2，即x1x2＝2，2211因此S△AOB＝2OA·OB＝2|2x1|·|2x2|＝x1x2＝2.答案：2x2y25．(2018·鎮(zhèn)江期末)雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于實(shí)軸長，則雙曲線的離心率為________．a(chǎn)2c2c2剖析：由題意c－c＝2a，即a－2·a－1＝0，e－2e－1＝0，解得e＝1±2.又因?yàn)殡p曲線的離心率大于1，故雙曲線的離心率為1＋2.答案：1＋26．(2019·連云港調(diào)研)漸近線方程為y＝±2x，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，0)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．剖析：∵雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，22y∴設(shè)雙曲線方程為x－＝λ(λ≠0)，∵一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，0)，2x2y2∴(10)＝λ＋4λ，解得λ＝2，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2－8＝1.x2y2答案：2－8＝17．(2019·淮安模擬)已知雙曲線x222－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2＋y2－10x＝0的圓心重合，ab且雙曲線的離心率等于5，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．剖析：將圓x2＋y2－10x＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－5)2＋y2＝25，則圓x2＋y2－10x＝0的圓心為(5,0)．22＝5，且c＝∴雙曲線x2－y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0)，又該雙曲線的離心率等于5，∴abFca2222x2y25，∴a＝5，b＝c－a＝20，故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為5－20＝1.x2y2答案：5－20＝1x2y2F，F(xiàn)，點(diǎn)P在雙曲線的右ab12支上，且PF1＝4PF2，則雙曲線的離心率e的最大值為________．剖析：由雙曲線定義知PF1－PF2＝2a，82又已知PF1＝4PF2，因此PF1＝3a，PF2＝3a，6424229a＋9a－4c1792在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝82＝8－8e，要求e的最大值，2·3a·3a即求cos∠FPF的最小值，121212179255因?yàn)閏os∠FPF≥－1，因此cos∠FPF＝8－8e≥－1，解得e≤3，即e的最大值為3.5答案：39．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)1，2在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且過點(diǎn)(4，－10)，F(xiàn)F點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上．求雙曲線的方程；―→―→(2)求證：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面積．解：(1)因?yàn)閑＝2，則雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等．因此可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4，－10)，因此16－10＝λ，即λ＝6.因此雙曲線方程為x2－y2＝6.―→證明：設(shè)MF1＝(－23－3，－m)，―→3－3，－m)．MF2＝(2―→―→22因此MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m＝－3＋m，因?yàn)镸點(diǎn)在雙曲線上，因此9－2＝6，即2－3＝0，mm因此―→―→1·2＝0.MFMF因?yàn)椤鱂1MF2的底邊長F1F2＝43.由(2)知m＝±3.因此△12的高h(yuǎn)＝||＝3，因此△FMF＝1×43×3＝6.FMFmS122y2x210．(2018·啟東中學(xué)檢測)已知雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線方程為2x＋y＝0，且焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為1.求此雙曲線的方程；若點(diǎn)M55，m在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上．a(chǎn)b＝2，2×0＋ca＝2，y22解：(1)依題意得解得b＝1，故雙曲線的方程為4－x＝1.5＝1，a2＋b2＝c2，21224M55，m在雙曲線上，因此m(2)證明：因?yàn)辄c(diǎn)4－5＝1.因此m＝5，y22又雙曲線4－x＝1的焦點(diǎn)為F1(0，－5)，F(xiàn)2(0，5)，因此―→―→5·5＝52－(5)22124MF1·MF2＝－，－－m－，－＋m＝－5＋5555m555＝0，因此MF⊥MF，因此點(diǎn)M在以FF為直徑的圓上．1212三登臺階，自主選做志在沖刺名校x2y21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線9－m＝1的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為________．剖析：∵雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，且漸近線關(guān)于x，y軸對稱，若夾角在x軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜