選修45《不等式選講》測試題

優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔PAGE8優(yōu)選文檔不等式選講測試題1．若a,b是隨意的實(shí)數(shù),且ab,則()(A)a2b2(B)b1(C)lg(ab)0(D)(1)a(1)ba222．不等式23的解集是()x(A)(,2)(B)(,2)(0,)(C)(2,0)(0,)(D)(2,0)33333．不等式x1x25的解集為()(A),22,(B),12,(C),23,(D),32,4．若n0,則n32的最小值為()n2(A)2(B)4(C)6(D)85．若A=(x3)(x7)，B=(x4)(x6)，則A，B的大小關(guān)系為__________.6．設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：1）(ab)(bc)(ca)8abc；2）abcabbcca.x2y2xy27.yR，求證≥()．已知x，228．如圖1，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？

9b，c0，且不全相等，求證a(bc)b(ac)c(ab)6abc.．已知a，22222210．已知a1，a2，，anR，且a1a2an1，求證(1a1)(1a2)(1an)2n.11.已知x，y0，且xy2.試證：1x，1y中最稀有一個小于2.x

12.求函數(shù)y5x1102x的最大值.13.已知a2b21，求證acosbsin≤1.14.已知x2y1，求x2y2的最小值.15.已知2x3y4z10，求x2y2z2的最小值.16.已知a，b，c是正數(shù)，求證2229.abbccaabc17.證明：n35n(nN)可以被6整除.18.設(shè)a,b,cR,求證：abc3.bccaab2不等式選講答案.提示：注意函數(shù)y(1)x的單一性；2.提示：先移項(xiàng)，再通分，再化簡；.提示：當(dāng)x≤－2時，原不等式可以化為(x1)(x2)≥5，解得x≤－3，即不等式組x2的解集是(,3].x1x25當(dāng)2x1時，原不等式可以化為(x1)(x2)≥5，即3≥5，矛盾.因此不等式組2x1，的解集為，x1x25當(dāng)x≥1時，原不等式可以化為(x1)(x2)≥5，解得x≥2，即不等式組x1的解集是[2,).x1x25綜上所述，原不等式的解集是(,3]U[2,);.提示：n32nn32;2222nnAB.

提示：經(jīng)過察看它們的差與0的大小關(guān)系，得出這兩個多項(xiàng)式的大小關(guān)系.由于(x3)(x7)(x4)(x6)(x210x21)(x210x24)30因此(x3)(x7)(x4)(x6);6．提示：Qab2ab，Qbc2bc，Qca2ca分別將以上三式相乘或相加即可;7.提示:x2y2(x2y2)(x2y2)x2y22xy(xy2;244)28.提示:設(shè)切去的正方形邊長為x，無蓋方底盒子的容積為V，則當(dāng)且僅當(dāng)a2xa2x4x，即當(dāng)xa時，不等式取等號，此時V取最大值2a3.即當(dāng)切去的小正方627形邊長是原來正方形邊長的1時，盒子容積最大.6分析：察看欲證不等式的特點(diǎn)，左邊3項(xiàng)每一項(xiàng)都是兩個數(shù)的平方之和與另一個數(shù)之積，右邊是三個數(shù)

的積的6倍.這種構(gòu)造特點(diǎn)啟迪我們采用以下方法.證明：由于

b2

c2≥2bc，a

0，因此

a(b2

c2)≥2abc.

①

由于

c2

a2≥2ac，b

0，因此

b(c

2

a2)≥

2abc.

②由于a2b2≥2ab，c0，因此c(a2b2)≥2abc.③

由于a，b，c不全相等，因此上述①②③式中最稀有一個不取等號，把它們相加得

a(b2c2)b(a2c2)c(a2b2)6abc.10．提示：察看要證明的結(jié)論，左邊是n個因式的乘積，右邊是2的n次方，再結(jié)合a1a2an1，發(fā)現(xiàn)若是能將左邊轉(zhuǎn)變?yōu)閍1，a2，，an的乘積，問題就能獲取解決.證明：由于a1R，因此1a11a1a1，即1a12a1.2同理，1a22a2，1an2an.由于a1，a2，，anR，由不等式的性質(zhì)，得(1a1)(1a2)(1an)2na1a2an2n.由于ai1時，1ai2ai取等號，因此原式在a1a2an1時取等號.11.提示：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不顯然，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清楚.其他，若是從正面證明，需要對某一個分式小于2或兩個分式都小于2等進(jìn)行分類談?wù)?，而從反面證明，則只需證明兩個分式都不小于2是不可以能的即可.于是考慮采用反證法.證明：假定1x，1y都不小于2，即1x2，且1y2.yxyx由于x，y0，因此1x2y，且1y2x.把這兩個不等式相加，得2xy2(xy)，進(jìn)而xy2.這與已知條件xy2矛盾.因此，1x，1y都不小于2是不可以能的，即原命題建立.yx提示：利用不等式解決極值問題，平時想法在不等式一邊獲取一個常數(shù)，并搜尋不等式取等號的條件.

這個函數(shù)的分析式是兩部分的和，若能化為acbd的形式就能利用柯西不等式求其最大值.

解：函數(shù)的定義域?yàn)?,5，且y0.

當(dāng)且僅當(dāng)2x155x時，等號建立，即x12763.時函數(shù)取最大值2713.提示:acosbsin(acosbsin)2(a2b2)(cos2sin2)a2b2114.提示:Q1(x2y)2(1222)(x2y2)5(x2y2)x2y21.5100.15.提示:Q100(2x3y4z)2(223242)(x2y2z2)x2y2z22916.提示:[2(abc)](1bb11)accan1時17.提示：這是一個與整除相關(guān)的命題，它波及全體正整數(shù)，若用數(shù)學(xué)概括法證明，第一步應(yīng)證命題建立；第二步要明確目標(biāo)，即在假定k35k可以被6整除的前提下，證明(k1)35(k1)也能被6整除.證明：1）當(dāng)n1時，n35n6顯然可以被6整除，命題建立.2）假定當(dāng)nk(k1)時，命題建立，即k35k可以被6整除.當(dāng)nk1時，(k35k)3k(k1)6.由假定知k35k可以被6整除，而k(k1)是偶數(shù)，故3k(k1)可以被6整除，進(jìn)而(k35k)3k(k1)6即(k1)35(k1)可以被6整除.因此，當(dāng)nk1時命題建立.由1）2）知，命題對所有正整數(shù)建立，即n35n(nN)可以被6整除;18.證明：（法一）要證原不等式建立，只須證：a1b1c9bccab1a2即只須證：[2(abc)](b111)9ccaa