多元函數(shù)微分學習題課(高數(shù))超經(jīng)典課件

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應用多元函數(shù)微分學一、基本概念連續(xù)性偏導數(shù)存在方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對應規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個基本概念的關(guān)系機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.討論二重極限解法1解法2令解法3令時,下列算法是否正確?解法3令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見,三種解法都不對,因為都不能保證自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點.特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標求極限,但要注意在定義域內(nèi)r,

的變化應該是任意的.同時還可看到,本題極限實際上不存在.提示:利用故f在(0,0)連續(xù);知在點(0,0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在,但不可微.4.證明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束而所以f

在點(0,0)不可微!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個數(shù)=變量總個數(shù)–方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號3.利用一階微分形式不變性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解答提示:第1題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束P73題12

設(shè)求提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束①②利用行列式解出du,dv：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束代入①即得代入②即得有連續(xù)的一階偏導數(shù),及分別由下兩式確定求又函數(shù)答案:(考研）機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.設(shè)三、多元函數(shù)微學的應用1.在幾何中的應用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問題3.在微分方程變形等中的應用

最小二乘法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小,并求切點.解:設(shè)切點為則切平面的法向量為即切平面方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令由實際意義可知為所求切點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束唯一駐點例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：設(shè)為拋物面上任一點，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標函數(shù):作拉氏函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束到平面上求一點,使該點處的法線垂直于練習題：1.在曲面并寫出該法線方程.提示:設(shè)所求點為則法線方程為利用得平面法線垂直于平面點在曲面上機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面使與三坐標面圍成的四面體體積最小,并求此體積.提示:設(shè)切點為用拉格朗日乘數(shù)法可求出則切平面為所指四面體圍體積V最小等價于