“象大師一樣猜想--課題：猜想、證明與拓廣”教學(xué)設(shè)計(jì)課件

象大師一樣猜想廣東省佛山市瀾石中學(xué)張美彩

課題－猜想、證明、拓廣象大師一樣猜想廣東省佛山市瀾石中學(xué)課題－猜想、證明、觀察下列等式，猜想一個(gè)含n（n≥1)

的等式。觀察下列等式，猜想一個(gè)含n（n≥1)的等式。猜想是點(diǎn)燃思維的火花

關(guān)于歌德巴赫猜想當(dāng)年歌德巴赫提出了一條猜想：任何大于2的偶數(shù)都能分成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

1973年，中國數(shù)學(xué)家陳景潤刻苦證明了“1+2”，就是充分大的偶數(shù)，都可表示成兩個(gè)數(shù)之和，其中一個(gè)是素?cái)?shù)，另一個(gè)或者是素?cái)?shù)，或者是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這個(gè)證明結(jié)果被稱為“陳氏定理”，是至今為止，歌德巴赫猜想的最高記錄.

最后要證明的是“1+1”，至今未獲證。

猜想是點(diǎn)燃思維的火花關(guān)于歌德巴赫猜想猜想是點(diǎn)燃思維的火花

費(fèi)馬猜想，已成功獲證

1637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬猜想：當(dāng)n>2時(shí)，不定方程xn+yn=zn沒有xyz≠0的整數(shù)解。這稱費(fèi)馬猜想（Fermat'sconjecture）又稱費(fèi)馬大定理或費(fèi)馬問題，是數(shù)論中最著名的世界難題之一。

1995年由英國一位數(shù)學(xué)家證明了猜想是正確。

猜想是點(diǎn)燃思維的火花費(fèi)馬猜想，已成功獲證

費(fèi)馬數(shù)猜想：大師的失誤

1640年，費(fèi)馬思考了一個(gè)問題：的值是否一定為素?cái)?shù)。當(dāng)n取0、1、2、3、4時(shí)，這個(gè)式子對(duì)應(yīng)值分別為3、5、17、257、65537，費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)這五個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)。由此，費(fèi)馬提出一個(gè)猜想：形如的數(shù)（后人稱之為費(fèi)馬數(shù)Fn

）一定為素?cái)?shù)。

因?yàn)殡S著n的增大，F(xiàn)n

迅速增大，因此進(jìn)一步驗(yàn)證費(fèi)馬的猜想并不容易。

1732年，數(shù)學(xué)家歐拉在費(fèi)馬死后67年得出當(dāng)n=5時(shí)是一個(gè)合數(shù)，因此證明費(fèi)馬的猜想是錯(cuò)的。

猜想是點(diǎn)燃思維的火花

費(fèi)馬數(shù)猜想問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？

驗(yàn)證：

邊長周長面積已知正方形141所求正方形

82問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？

證明：設(shè)已知正方形的邊長為a，則周長為4a，面積為a2。若存在這樣的正方形，則它的周長為8a，面積為2a2

。邊長為x.則有

由（1）得

x=2a,代入（2）得（2a)2=2a2,即4a2=2a2因?yàn)閍≠0，所以上式不能成立。所以不存在這樣的正方形。

問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？

得出結(jié)論：任意給定一個(gè)正方形，不存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍。

【小結(jié)】

解決問題的過程是：問題—猜想—驗(yàn)證—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—證明—得出結(jié)論—拓廣

問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和拓廣：問題2：任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍？驗(yàn)證：

分小組對(duì)同一種情況進(jìn)行驗(yàn)證。如已知矩形的長和寬分別為2、1或3、1或4、1或3、2等等，小組可任意選擇或自行取值。拓廣：驗(yàn)證：分小組對(duì)同一種情況進(jìn)行驗(yàn)證【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

方法一：（用方程、方程組）解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

長寬周長面積已知矩形2162所求矩形124xy則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？方【第2組】如果已知矩形的長和寬分別為3和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

（用方程、方程組）解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

長寬周長面積已知矩形3183所求矩形xy166【第2組】如果已知矩形的長和寬分別為3和1，結(jié)論會(huì)怎樣？（【第3組】如果已知矩形的長和寬分別為4和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

長寬周長面積已知矩形41104所求矩形xy208【第3組】如果已知矩形的長和寬分別為4和1，結(jié)論會(huì)怎樣？解【第4組】如果已知矩形的長和寬分別為5和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

長寬周長面積已知矩形51125所求矩形xy2410【第4組】如果已知矩形的長和寬分別為5和1，結(jié)論會(huì)怎樣？解【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

方法二：（用函數(shù)方法）

因?yàn)?/p>

滿足“加倍”要求的(x,y)就可以看做一次函數(shù)y=－x+6與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)。

【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？方

由圖中得:這樣的交點(diǎn)存在，所以滿足要求的矩形是存在的。

由圖中得:這樣的交點(diǎn)存在，所以滿足要求的矩形是存在的【猜測】如果已知矩形的長和寬分別為n和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

長寬周長面積已知矩形n12(n+1)n所求矩形xy4(n+1)2n【猜測】如果已知矩形的長和寬分別為n和1，結(jié)論會(huì)怎樣？解：更一般地，當(dāng)已知矩形的長和寬分別為n和m時(shí)，是否仍然有相同的結(jié)論？解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

由（1）得y=2n+2m－x

代入（2）得

更一般地，當(dāng)已知矩形的長和寬分別為n和m時(shí)，是否仍然有相同的∴方程組的解為

顯然>0∴方程組的解有意義∴存在這樣的矩形。

∴方程組的解為顯然下結(jié)論：

任意給定一個(gè)矩形，一定存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍。

請(qǐng)談?wù)劚竟?jié)課你有什么收獲？

解決問題的過程是：問題—猜想—驗(yàn)證—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—證明—得出結(jié)論—拓廣下結(jié)論：請(qǐng)談?wù)劚竟?jié)課你有什么收獲？解決問題的過程是：作業(yè)：請(qǐng)寫出你解決下面的問題3的全過程：

任意給定一個(gè)矩形，是否一定存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？作業(yè)：象大師一樣猜想廣東省佛山市瀾石中學(xué)張美彩

課題－猜想、證明、拓廣象大師一樣猜想廣東省佛山市瀾石中學(xué)課題－猜想、證明、觀察下列等式，猜想一個(gè)含n（n≥1)

的等式。觀察下列等式，猜想一個(gè)含n（n≥1)的等式。猜想是點(diǎn)燃思維的火花

關(guān)于歌德巴赫猜想當(dāng)年歌德巴赫提出了一條猜想：任何大于2的偶數(shù)都能分成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

1973年，中國數(shù)學(xué)家陳景潤刻苦證明了“1+2”，就是充分大的偶數(shù)，都可表示成兩個(gè)數(shù)之和，其中一個(gè)是素?cái)?shù)，另一個(gè)或者是素?cái)?shù)，或者是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這個(gè)證明結(jié)果被稱為“陳氏定理”，是至今為止，歌德巴赫猜想的最高記錄.

最后要證明的是“1+1”，至今未獲證。

猜想是點(diǎn)燃思維的火花關(guān)于歌德巴赫猜想猜想是點(diǎn)燃思維的火花

費(fèi)馬猜想，已成功獲證

1637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬猜想：當(dāng)n>2時(shí)，不定方程xn+yn=zn沒有xyz≠0的整數(shù)解。這稱費(fèi)馬猜想（Fermat'sconjecture）又稱費(fèi)馬大定理或費(fèi)馬問題，是數(shù)論中最著名的世界難題之一。

1995年由英國一位數(shù)學(xué)家證明了猜想是正確。

猜想是點(diǎn)燃思維的火花費(fèi)馬猜想，已成功獲證

費(fèi)馬數(shù)猜想：大師的失誤

1640年，費(fèi)馬思考了一個(gè)問題：的值是否一定為素?cái)?shù)。當(dāng)n取0、1、2、3、4時(shí)，這個(gè)式子對(duì)應(yīng)值分別為3、5、17、257、65537，費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)這五個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)。由此，費(fèi)馬提出一個(gè)猜想：形如的數(shù)（后人稱之為費(fèi)馬數(shù)Fn

）一定為素?cái)?shù)。

因?yàn)殡S著n的增大，F(xiàn)n

迅速增大，因此進(jìn)一步驗(yàn)證費(fèi)馬的猜想并不容易。

1732年，數(shù)學(xué)家歐拉在費(fèi)馬死后67年得出當(dāng)n=5時(shí)是一個(gè)合數(shù)，因此證明費(fèi)馬的猜想是錯(cuò)的。

猜想是點(diǎn)燃思維的火花

費(fèi)馬數(shù)猜想問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？

驗(yàn)證：

邊長周長面積已知正方形141所求正方形

82問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？

證明：設(shè)已知正方形的邊長為a，則周長為4a，面積為a2。若存在這樣的正方形，則它的周長為8a，面積為2a2

。邊長為x.則有

由（1）得

x=2a,代入（2）得（2a)2=2a2,即4a2=2a2因?yàn)閍≠0，所以上式不能成立。所以不存在這樣的正方形。

問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？

得出結(jié)論：任意給定一個(gè)正方形，不存在另一個(gè)正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍。

【小結(jié)】

解決問題的過程是：問題—猜想—驗(yàn)證—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—證明—得出結(jié)論—拓廣

問題1：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長和拓廣：問題2：任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍？驗(yàn)證：

分小組對(duì)同一種情況進(jìn)行驗(yàn)證。如已知矩形的長和寬分別為2、1或3、1或4、1或3、2等等，小組可任意選擇或自行取值。拓廣：驗(yàn)證：分小組對(duì)同一種情況進(jìn)行驗(yàn)證【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

方法一：（用方程、方程組）解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

長寬周長面積已知矩形2162所求矩形124xy則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？方【第2組】如果已知矩形的長和寬分別為3和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

（用方程、方程組）解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

長寬周長面積已知矩形3183所求矩形xy166【第2組】如果已知矩形的長和寬分別為3和1，結(jié)論會(huì)怎樣？（【第3組】如果已知矩形的長和寬分別為4和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

長寬周長面積已知矩形41104所求矩形xy208【第3組】如果已知矩形的長和寬分別為4和1，結(jié)論會(huì)怎樣？解【第4組】如果已知矩形的長和寬分別為5和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

解：若存在這樣的矩形。設(shè)它的長和寬分別為x,y

則有

解得∵方程組的解均為正數(shù)，∴存在這樣的矩形。

長寬周長面積已知矩形51125所求矩形xy2410【第4組】如果已知矩形的長和寬分別為5和1，結(jié)論會(huì)怎樣？解【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？

方法二：（用函數(shù)方法）

因?yàn)?/p>

滿足“加倍”要求的(x,y)就可以看做一次函數(shù)y=－x+6與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)。

【第1組】如果已知矩形的長和寬分別為2和1，結(jié)論會(huì)怎樣？方

由圖中得:這樣的交點(diǎn)存在，所以滿足要求的矩形是存在的。

由圖中得:這樣的交點(diǎn)存在，所以滿