北師大版數(shù)學(xué)必修二課件：141空間圖形的基本關(guān)系與公理

§4

空間圖形的基本關(guān)系與公理1§4空間圖形的基本關(guān)系與公理1第1課時(shí)空間圖形的基本關(guān)系與公理2第1課時(shí)空間圖形的基本關(guān)系與公理2331.空間點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

41.空間點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的位置關(guān)系42.空間直線與平面的位置關(guān)系

52.空間直線與平面的位置關(guān)系566【做一做1】

如圖所示是點(diǎn)、直線、平面的關(guān)系,則O

α;a

α;AB∩α=

.

答案:∈

?

O名師點(diǎn)撥直線與平面平行和直線與平面相交統(tǒng)稱為直線在平面外,即7【做一做1】如圖所示是點(diǎn)、直線、平面的關(guān)系,名師點(diǎn)撥直線與3.空間圖形的公理

83.空間圖形的公理899知識(shí)拓展根據(jù)公理1,可以得到以下3個(gè)推論,它們都可以作為在空間中確定平面的依據(jù).10知識(shí)拓展根據(jù)公理1,可以得到以下3個(gè)推論,它們都可以作為在空【做一做2】

下列說(shuō)法正確的是(

)A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.四邊形一定是平面圖形C.三角形一定是平面圖形D.平面α和平面β有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)解析:本題考查平面的基本知識(shí).A選項(xiàng),當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有無(wú)數(shù)多個(gè)平面;B選項(xiàng),四邊形有空間四邊形與平面四邊形之分;C選項(xiàng),三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線,根據(jù)公理1可知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)平面;D選項(xiàng),若具有D選項(xiàng)中的條件,則α與β重合.故選C.答案:C11【做一做2】下列說(shuō)法正確的是()11【做一做3】

如圖所示,點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B也在平面α內(nèi),點(diǎn)C在直線AB上.(1)用符號(hào)語(yǔ)言表示上述位置關(guān)系;(2)判斷點(diǎn)C與平面α的關(guān)系.分析:由公理2可知AB在平面α內(nèi),而點(diǎn)C在直線AB上,所以點(diǎn)C在平面α內(nèi).解:(1)A∈α,B∈α,C∈AB.(2)因?yàn)锳∈α,B∈α,所以AB?α.又因?yàn)镃∈AB,所以C∈α.12【做一做3】如圖所示,點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B也在平面α內(nèi),點(diǎn)4.空間平面與平面的位置關(guān)系(除重合外)134.空間平面與平面的位置關(guān)系(除重合外)135.空間兩條直線的位置關(guān)系

145.空間兩條直線的位置關(guān)系14【做一做4】

已知a,b是異面直線,直線c∥a,則c與b(

)A.一定是異面直線

B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線解析:若a,b異面,c∥a,則c與b相交或異面,故C正確.答案:C15【做一做4】已知a,b是異面直線,直線c∥a,則c與b(思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)如果直線a與直線b是異面直線,直線b與直線c也是異面直線,那么直線a與直線c也一定是異面直線.(

)(2)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面必重合.(

)(3)平面α與平面β會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)(4)不共線的四點(diǎn)最多可確定4個(gè)平面.(

)(5)兩兩相交的三條直線必共面.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×16思考辨析16探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理1的應(yīng)用【例1】

證明:兩兩相交,且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).證明:如圖所示,已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.方法一(同一法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.同理可證C∈α.又B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α.∴直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).17探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理1的應(yīng)用證明:如圖所示,探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析方法二(重合法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1,l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2,l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).18探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析方法二(重合法)18探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理1的主要作用有兩個(gè):一是作為確定平面的依據(jù),判斷若干個(gè)點(diǎn)或線能否確定平面,確定幾個(gè)平面等;二是證明點(diǎn)線共面.2.證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的基本方法主要有以下兩種:19探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理1的主要作用探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練1若A,B,C,D四點(diǎn)共面,B,C,D,E四點(diǎn)也共面,則A,B,C,D,E五點(diǎn)的位置關(guān)系是(

)A.共面 B.不共面C.共線 D.不確定20探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練1若A,B,C,D四探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解析:已知條件中都有B,C,D三點(diǎn)共面,但是B,C,D三點(diǎn)也可能共線,所以要分情況討論:①當(dāng)B,C,D三點(diǎn)共線時(shí),這五點(diǎn)共線、共面的情況有三種:第一種情況,這五點(diǎn)共線;第二種情況,這五個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),即共面;第三種情況,這五個(gè)點(diǎn)不共面,如圖所示.②當(dāng)B,C,D三點(diǎn)不共線時(shí),這三點(diǎn)確定唯一一個(gè)平面α,所以當(dāng)A,B,C,D共面時(shí),A∈α,又B,C,D,E共面,所以E∈α,所以這五點(diǎn)共面于平面α.從而這五點(diǎn)共線、共面情況不確定,故選D.答案:D21探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解析:已知條件中都有B,C,探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理2的應(yīng)用【例2】

如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別是所在棱的中點(diǎn),連接D'M,并延長(zhǎng)交C'B'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接C'N并延長(zhǎng),交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:直線EF?平面BCC'B'.分析:要證明直線在平面內(nèi),需說(shuō)明直線上有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi).證明:∵B∈平面BCC'B',C∈平面BCC'B',∴直線BC?平面BCC'B'.又C'N∩CB=F,∴F∈CB,∴F∈平面BCC'B'.同理可得E∈平面BCC'B'.∴直線EF?平面BCC'B'.22探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理2的應(yīng)用分析:要證明直線探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟公理2的作用有兩個(gè):(1)用直線檢驗(yàn)平面;(2)判斷直線是否在平面內(nèi).要證明直線在平面內(nèi),只需要在直線上找到兩個(gè)點(diǎn),證明這兩個(gè)點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi),直線就在這個(gè)平面內(nèi),解決問(wèn)題的關(guān)鍵就在于尋找這樣的點(diǎn).23探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟公理2的作用有兩個(gè):探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練2若l1∥l2,l3與l1,l2分別相交于點(diǎn)C,B.求證:l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明:∵l1∥l2,∴l(xiāng)1,l2確定一個(gè)平面記為α.∵l1∩l3=C,∴C∈l1.∵l1?α,∴C∈α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.∵l2?α,∴B∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α,即l1,l2,l3在同一平面內(nèi).24探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練2若l1∥l2,l3探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理3的應(yīng)用【例3】

如圖所示,在棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐A-BCD中,E,G分別為BC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,點(diǎn)H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求證:EF,GH,BD交于一點(diǎn).分析:先證明GH和EF共面且交于一點(diǎn)O,再說(shuō)明O是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn),而平面ABD和平面BCD相交于直線BD,根據(jù)公理3,兩個(gè)平面相交,有且只有一條交線.因此點(diǎn)O在交線上,即點(diǎn)O在直線BD上.從而證明了直線EF,GH,BD都過(guò)點(diǎn)O.25探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理3的應(yīng)用25探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:因?yàn)镋,G分別為BC,AB的中點(diǎn),所以FH∥GE,FH≠GE.所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形.設(shè)GH與EF相交于點(diǎn)O,則O在平面ABD內(nèi),又在平面BCD內(nèi),所以O(shè)在平面ABD與平面BCD的交線上,而這兩個(gè)平面的交線是BD,且交線只有一條,所以點(diǎn)O在直線BD上.所以EF,GH,BD交于一點(diǎn).26探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:因?yàn)镋,G分別為BC,探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理3的主要作用:(1)判斷兩個(gè)平面是否相交;(2)證明點(diǎn)在直線上;(3)證明共線問(wèn)題;(4)證明共點(diǎn)問(wèn)題.2.證明多點(diǎn)共線通常利用公理3,即兩個(gè)相交平面的交線的唯一性,通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上,也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,證明其他點(diǎn)也在這條直線上.3.證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可先把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線,再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上,此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn),再證點(diǎn)重合,從而得三線共點(diǎn).27探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理3的主要作用探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練3導(dǎo)學(xué)號(hào)91134009如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C與平面BDC1交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)O,則(

)A.M∈BC1B.M∈DC1C.M∈C1OD.M∈B1B解析:因?yàn)镸∈A1C,A1C?平面A1ACC1,所以M∈平面A1ACC1.因?yàn)镸∈平面BDC1,且平面A1ACC1∩平面BDC1=C1O,所以M∈C1O.故選C.答案:C28探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練3導(dǎo)學(xué)號(hào)911340探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理4的應(yīng)用【例4】

如圖所示,點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn),點(diǎn)D,E分別是△PAB和△PBC的重心.求證:DE∥AC,DE=AC.29探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理4的應(yīng)用29探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:如圖所示,連接PD,PE,并延長(zhǎng)分別交AB,BC于點(diǎn)M,N.因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分別是AB,BC的中點(diǎn).30探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:如圖所示,連接PD,P探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟空間中證明兩條直線平行的方法:(1)借助平面幾何知識(shí),如三角形的中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、成比例的線段平行.(2)利用公理4,即證明兩條直線都與第三條直線平行.31探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟空間中證明兩條直線平探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練4如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱A1A,C1C的中點(diǎn),求證:四邊形MBND1為平行四邊形.證明:取B1B的中點(diǎn)P,連接C1P,MP.因?yàn)镹為C1C的中點(diǎn),由正方體的性質(zhì)知C1NPB,所以四邊形C1PBN為平行四邊形,所以C1PBN.又M,P分別為A1A,B1B的中點(diǎn),所以MPA1B1.又由正方體的性質(zhì)知A1B1C1D1,所以MPC1D1,所以四邊形D1MPC1為平行四邊形,所以C1PMD1.所以MD1BN,所以四邊形MBND1為平行四邊形.32探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練4如圖所示,在正方體探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析對(duì)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考慮不全而致誤【典例】

已知空間四點(diǎn),如果任意三點(diǎn)都不共線,那么由這四點(diǎn)可以確定多少個(gè)平面?說(shuō)明理由.錯(cuò)解因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以由題設(shè)條件中的四點(diǎn)可確定四個(gè)平面.正解空間任意三點(diǎn)都不共線的四個(gè)點(diǎn)有兩種位置關(guān)系:第一種,當(dāng)由其中任意不共線的三點(diǎn)所確定的平面都過(guò)第四個(gè)點(diǎn)時(shí),由這四個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面;第二種,當(dāng)由其中任意不共線的三點(diǎn)所確定的平面都不過(guò)第四個(gè)點(diǎn)時(shí),由這四個(gè)點(diǎn)可確定四個(gè)平面.綜上所述,由題設(shè)條件中的四點(diǎn)可確定一個(gè)或四個(gè)平面.33探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析對(duì)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考慮不探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析糾錯(cuò)心得1.對(duì)于確定平面?zhèn)€數(shù)問(wèn)題,在討論中要全面考慮,尤其要先分清給出幾個(gè)點(diǎn)的可能的位置關(guān)系,再進(jìn)行分類討論.2.可借助正方體、三棱錐等特殊幾何體進(jìn)行直觀觀察.34探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析糾錯(cuò)心得1.對(duì)于確定平面?zhèn)€數(shù)探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練已知空間不同的五個(gè)點(diǎn).(1)若有某四點(diǎn)共面,則這五點(diǎn)最多可確定多少個(gè)平面?(2)若任意四點(diǎn)都在同一平面內(nèi),則這五點(diǎn)共能確定多少個(gè)平面?并證明你的結(jié)論.35探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練已知空間不同的五個(gè)點(diǎn)探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解:(1)當(dāng)共面的四點(diǎn)任意三點(diǎn)不共線,另一點(diǎn)不在該平面內(nèi)時(shí),這五點(diǎn)確定的平面最多,如圖所示,最多可確定7個(gè)平面.(2)若任意四點(diǎn)都在同一平面內(nèi),這五點(diǎn)必共面.證明如下:若A,B,C,D四點(diǎn)在平面α內(nèi),又A,B,C,P在同一平面內(nèi),可分如下情況證明:①若A,B,C三點(diǎn)不共線,則平面α為A,B,C確定的平面,所以點(diǎn)P在平面內(nèi),故五點(diǎn)共面.②若A,B,C三點(diǎn)在直線l上,則當(dāng)點(diǎn)D或P也在l上時(shí),五點(diǎn)共面;若點(diǎn)D,P都不在l上,則直線DP與直線AB必在A,B,D,P所在的平面內(nèi),故點(diǎn)C也在這一平面內(nèi),從而五點(diǎn)也共面.36探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解:(1)當(dāng)共面的四點(diǎn)任意三123451.如圖所示,該圖形用符號(hào)語(yǔ)言可表示為(

)A.α∩β=m,n?α,m∩n=AB.α∩β=m,n∈α,m∩n=AC.α∩β=m,n?α,A?m,A?nD.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n答案:A37123451.如圖所示,該圖形用符號(hào)語(yǔ)言可表示為()37123452.有下列四種說(shuō)法:①過(guò)三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面;②矩形是平面圖形;③三條直線兩兩相交,則它們確定一個(gè)平面;④兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域.其中錯(cuò)誤的序號(hào)是(

)A.①和② B.①和③C.②和④ D.②和③解析:只有不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面,故①錯(cuò);三條直線兩兩相交,交于三點(diǎn)時(shí),確定一個(gè)平面;交于一點(diǎn)時(shí),可確定一個(gè)或三個(gè)平面,故③錯(cuò).故選B.答案:B38123452.有下列四種說(shuō)法:38123453.在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分別為BC,CD的中點(diǎn),則(

)A.BD∥平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形39123453.在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD12345解析:如圖所示,連接BD.∵AE∶EB=AF∶FD=1∶4,∴EFBD.∵EF?平面BCD,BD?平面BCD,∴EF∥平面BCD.又H,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴HGBD,∴EF∥HG,且EF≠HG,故四邊形EFGH為梯形.答案:B4012345解析:如圖所示,連接BD.40123454.設(shè)平面α與平面β相交于直線l,A∈α,B∈α,且直線AB∩l=C,則直線AB∩β=

.

答案:C41123454.設(shè)平面α與平面β相交于直線l,A∈α,B∈α,123455.如圖所示,α∩β=l,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.求證:AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).證明:如圖所示,在梯形ABCD中,設(shè)AB∩CD=E.因?yàn)锳B?α,CD?β,所以E∈α,E∈β.又α∩β=l,所以E∈l,即AB,CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).42123455.如圖所示,α∩β=l,在梯形ABCD中,AD∥§4

空間圖形的基本關(guān)系與公理43§4空間圖形的基本關(guān)系與公理1第1課時(shí)空間圖形的基本關(guān)系與公理44第1課時(shí)空間圖形的基本關(guān)系與公理24531.空間點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的位置關(guān)系

461.空間點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面的位置關(guān)系42.空間直線與平面的位置關(guān)系

472.空間直線與平面的位置關(guān)系5486【做一做1】

如圖所示是點(diǎn)、直線、平面的關(guān)系,則O

α;a

α;AB∩α=

.

答案:∈

?

O名師點(diǎn)撥直線與平面平行和直線與平面相交統(tǒng)稱為直線在平面外,即49【做一做1】如圖所示是點(diǎn)、直線、平面的關(guān)系,名師點(diǎn)撥直線與3.空間圖形的公理

503.空間圖形的公理8519知識(shí)拓展根據(jù)公理1,可以得到以下3個(gè)推論,它們都可以作為在空間中確定平面的依據(jù).52知識(shí)拓展根據(jù)公理1,可以得到以下3個(gè)推論,它們都可以作為在空【做一做2】

下列說(shuō)法正確的是(

)A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.四邊形一定是平面圖形C.三角形一定是平面圖形D.平面α和平面β有不同在一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)解析:本題考查平面的基本知識(shí).A選項(xiàng),當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有無(wú)數(shù)多個(gè)平面;B選項(xiàng),四邊形有空間四邊形與平面四邊形之分;C選項(xiàng),三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線,根據(jù)公理1可知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)平面;D選項(xiàng),若具有D選項(xiàng)中的條件,則α與β重合.故選C.答案:C53【做一做2】下列說(shuō)法正確的是()11【做一做3】

如圖所示,點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B也在平面α內(nèi),點(diǎn)C在直線AB上.(1)用符號(hào)語(yǔ)言表示上述位置關(guān)系;(2)判斷點(diǎn)C與平面α的關(guān)系.分析:由公理2可知AB在平面α內(nèi),而點(diǎn)C在直線AB上,所以點(diǎn)C在平面α內(nèi).解:(1)A∈α,B∈α,C∈AB.(2)因?yàn)锳∈α,B∈α,所以AB?α.又因?yàn)镃∈AB,所以C∈α.54【做一做3】如圖所示,點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B也在平面α內(nèi),點(diǎn)4.空間平面與平面的位置關(guān)系(除重合外)554.空間平面與平面的位置關(guān)系(除重合外)135.空間兩條直線的位置關(guān)系

565.空間兩條直線的位置關(guān)系14【做一做4】

已知a,b是異面直線,直線c∥a,則c與b(

)A.一定是異面直線

B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線解析:若a,b異面,c∥a,則c與b相交或異面,故C正確.答案:C57【做一做4】已知a,b是異面直線,直線c∥a,則c與b(思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)如果直線a與直線b是異面直線,直線b與直線c也是異面直線,那么直線a與直線c也一定是異面直線.(

)(2)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面必重合.(

)(3)平面α與平面β會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)(4)不共線的四點(diǎn)最多可確定4個(gè)平面.(

)(5)兩兩相交的三條直線必共面.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×58思考辨析16探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理1的應(yīng)用【例1】

證明:兩兩相交,且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).證明:如圖所示,已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.方法一(同一法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.同理可證C∈α.又B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α.∴直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).59探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理1的應(yīng)用證明:如圖所示,探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析方法二(重合法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1,l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2,l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).60探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析方法二(重合法)18探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理1的主要作用有兩個(gè):一是作為確定平面的依據(jù),判斷若干個(gè)點(diǎn)或線能否確定平面,確定幾個(gè)平面等;二是證明點(diǎn)線共面.2.證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的基本方法主要有以下兩種:61探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理1的主要作用探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練1若A,B,C,D四點(diǎn)共面,B,C,D,E四點(diǎn)也共面,則A,B,C,D,E五點(diǎn)的位置關(guān)系是(

)A.共面 B.不共面C.共線 D.不確定62探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練1若A,B,C,D四探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解析:已知條件中都有B,C,D三點(diǎn)共面,但是B,C,D三點(diǎn)也可能共線,所以要分情況討論:①當(dāng)B,C,D三點(diǎn)共線時(shí),這五點(diǎn)共線、共面的情況有三種:第一種情況,這五點(diǎn)共線;第二種情況,這五個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),即共面;第三種情況,這五個(gè)點(diǎn)不共面,如圖所示.②當(dāng)B,C,D三點(diǎn)不共線時(shí),這三點(diǎn)確定唯一一個(gè)平面α,所以當(dāng)A,B,C,D共面時(shí),A∈α,又B,C,D,E共面,所以E∈α,所以這五點(diǎn)共面于平面α.從而這五點(diǎn)共線、共面情況不確定,故選D.答案:D63探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解析:已知條件中都有B,C,探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理2的應(yīng)用【例2】

如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別是所在棱的中點(diǎn),連接D'M,并延長(zhǎng)交C'B'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接C'N并延長(zhǎng),交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:直線EF?平面BCC'B'.分析:要證明直線在平面內(nèi),需說(shuō)明直線上有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi).證明:∵B∈平面BCC'B',C∈平面BCC'B',∴直線BC?平面BCC'B'.又C'N∩CB=F,∴F∈CB,∴F∈平面BCC'B'.同理可得E∈平面BCC'B'.∴直線EF?平面BCC'B'.64探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理2的應(yīng)用分析:要證明直線探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟公理2的作用有兩個(gè):(1)用直線檢驗(yàn)平面;(2)判斷直線是否在平面內(nèi).要證明直線在平面內(nèi),只需要在直線上找到兩個(gè)點(diǎn),證明這兩個(gè)點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi),直線就在這個(gè)平面內(nèi),解決問(wèn)題的關(guān)鍵就在于尋找這樣的點(diǎn).65探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟公理2的作用有兩個(gè):探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練2若l1∥l2,l3與l1,l2分別相交于點(diǎn)C,B.求證:l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明:∵l1∥l2,∴l(xiāng)1,l2確定一個(gè)平面記為α.∵l1∩l3=C,∴C∈l1.∵l1?α,∴C∈α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.∵l2?α,∴B∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α,即l1,l2,l3在同一平面內(nèi).66探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練2若l1∥l2,l3探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理3的應(yīng)用【例3】

如圖所示,在棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐A-BCD中,E,G分別為BC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,點(diǎn)H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求證:EF,GH,BD交于一點(diǎn).分析:先證明GH和EF共面且交于一點(diǎn)O,再說(shuō)明O是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn),而平面ABD和平面BCD相交于直線BD,根據(jù)公理3,兩個(gè)平面相交,有且只有一條交線.因此點(diǎn)O在交線上,即點(diǎn)O在直線BD上.從而證明了直線EF,GH,BD都過(guò)點(diǎn)O.67探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理3的應(yīng)用25探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:因?yàn)镋,G分別為BC,AB的中點(diǎn),所以FH∥GE,FH≠GE.所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形.設(shè)GH與EF相交于點(diǎn)O,則O在平面ABD內(nèi),又在平面BCD內(nèi),所以O(shè)在平面ABD與平面BCD的交線上,而這兩個(gè)平面的交線是BD,且交線只有一條,所以點(diǎn)O在直線BD上.所以EF,GH,BD交于一點(diǎn).68探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:因?yàn)镋,G分別為BC,探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理3的主要作用:(1)判斷兩個(gè)平面是否相交;(2)證明點(diǎn)在直線上;(3)證明共線問(wèn)題;(4)證明共點(diǎn)問(wèn)題.2.證明多點(diǎn)共線通常利用公理3,即兩個(gè)相交平面的交線的唯一性,通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi),證明點(diǎn)在相交平面的交線上,也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,證明其他點(diǎn)也在這條直線上.3.證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可先把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線,再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上,此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線,證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn),再證點(diǎn)重合,從而得三線共點(diǎn).69探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟1.公理3的主要作用探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練3導(dǎo)學(xué)號(hào)91134009如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1C與平面BDC1交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)O,則(

)A.M∈BC1B.M∈DC1C.M∈C1OD.M∈B1B解析:因?yàn)镸∈A1C,A1C?平面A1ACC1,所以M∈平面A1ACC1.因?yàn)镸∈平面BDC1,且平面A1ACC1∩平面BDC1=C1O,所以M∈C1O.故選C.答案:C70探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練3導(dǎo)學(xué)號(hào)911340探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理4的應(yīng)用【例4】

如圖所示,點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn),點(diǎn)D,E分別是△PAB和△PBC的重心.求證:DE∥AC,DE=AC.71探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析公理4的應(yīng)用29探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:如圖所示,連接PD,PE,并延長(zhǎng)分別交AB,BC于點(diǎn)M,N.因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分別是AB,BC的中點(diǎn).72探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析證明:如圖所示,連接PD,P探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟空間中證明兩條直線平行的方法:(1)借助平面幾何知識(shí),如三角形的中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、成比例的線段平行.(2)利用公理4,即證明兩條直線都與第三條直線平行.73探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析反思感悟空間中證明兩條直線平探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練4如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱A1A,C1C的中點(diǎn),求證:四邊形MBND1為平行四邊形.證明:取B1B的中點(diǎn)P,連接C1P,MP.因?yàn)镹為C1C的中點(diǎn),由正方體的性質(zhì)知C1NPB,所以四邊形C1PBN為平行四邊形,所以C1PBN.又M,P分別為A1A,B1B的中點(diǎn),所以MPA1B1.又由正方體的性質(zhì)知A1B1C1D1,所以MPC1D1,所以四邊形D1MPC1為平行四邊形,所以C1PMD1.所以MD1BN,所以四邊形MBND1為平行四邊形.74探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練4如圖所示,在正方體探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析對(duì)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考慮不全而致誤【典例】

已知空間四點(diǎn),如果任意三點(diǎn)都不共線,那么由這四點(diǎn)可以確定多少個(gè)平面?說(shuō)明理由.錯(cuò)解因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以由題設(shè)條件中的四點(diǎn)可確定四個(gè)平面.正解空間任意三點(diǎn)都不共線的四個(gè)點(diǎn)有兩種位置關(guān)系:第一種,當(dāng)由其中任意不共線的三點(diǎn)所確定的平面都過(guò)第四個(gè)點(diǎn)時(shí),由這四個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面;第二種,當(dāng)由其中任意不共線的三點(diǎn)所確定的平面都不過(guò)第四個(gè)點(diǎn)時(shí),由這四個(gè)點(diǎn)可確定四個(gè)平面.綜上所述,由題設(shè)條件中的四點(diǎn)可確定一個(gè)或四個(gè)平面.75探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析對(duì)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考慮不探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析糾錯(cuò)心得1.對(duì)于確定平面?zhèn)€數(shù)問(wèn)題,在討論中要全面考慮,尤其要先分清給出幾個(gè)點(diǎn)的可能的位置關(guān)系,再進(jìn)行分類討論.2.可借助正方體、三棱錐等特殊幾何體進(jìn)行直觀觀察.76探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析糾錯(cuò)心得1.對(duì)于確定平面?zhèn)€數(shù)探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練已知空間不同的五個(gè)點(diǎn).(1)若有某四點(diǎn)共面,則這五點(diǎn)最多可確定多少個(gè)平面?(2)若任意四點(diǎn)都在同一平面內(nèi),則這五點(diǎn)共能確定多少個(gè)平面?并證明你的結(jié)論.77探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析變式訓(xùn)練已知空間不同的五個(gè)點(diǎn)探究一探究二探究三探究四易錯(cuò)辨析解:(1)當(dāng)共面的四點(diǎn)任意三點(diǎn)不共線,另一點(diǎn)不在該平面內(nèi)時(shí),這五點(diǎn)確定的平面最多,如圖所示,最多可確定7個(gè)平面.(2)