2022-2023學(xué)年廣東省廣州市白云區(qū)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析-

2023-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必需用2B字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。12560120°7背面用導(dǎo)線相連弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽視不已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)為（ ）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米2DBCAE

1ED，若BEABAC，則（ ）2A．1 B．2

1

33 3 43．“a2是直線ax2y10與x(a1)y20相互平”的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件

D．既不充分也不必要條件若izsinA．第一象限 B．其次象限

icos 的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）3 3C．第三象限 D．第四象限72x72xx21f(xx21

72xf(x72x

，x1,2f(x)sin8xz

f(x)2i，則z的虛部為（ ）

exexx2－1

i1

C．1 D．i新聞出版業(yè)不斷推動(dòng)供應(yīng)側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深化推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合進(jìn)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了行的良性進(jìn)展下面是2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)狀況，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A．20122016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加B．201620122倍C．201620121.5D．2016年我國(guó)數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過(guò)三分之一x2x,xa已知函數(shù)f(x) （a0，若函數(shù)g(x)f(x)4x有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）5x,xaA．(0,1)

[5,) B．(0,6)5

[5,)C．(1,5]已知雙曲線C:

y2

6D．( ,5]50,b0)

為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)G在C的漸近線上，F(xiàn)GOG，a2 b2 1 2 2且 6|OGGF1

|，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）y 2x2

y 3x2

yx D．y 2x已知F,F是雙曲線C:x2y20,b0)的左、右焦點(diǎn)，A,B是C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)F且斜率為 31 2 a2 b2 1 4的直線上，△PAB為等腰三角形，120，則C的漸近線方程為（ ）y1x2

y2x C．y 3x3

D．y 3x已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)P(3,4)，則sin（ ．A．12

B．24 C．16 D．825 5 5阿波羅尼斯（262~190年）證明過(guò)這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k0,k1的點(diǎn)的軌跡是圓后人將這個(gè)圓稱為阿氏若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B的距離之比為 2，當(dāng)P，2A，B不共線時(shí)，PAB的面積的最大值是（ ）A．2 2 B． 2 C．2 234520

D． 3yfx12gx2x1fxgx圖象的交點(diǎn)為xy

，x,

，…，x,y6

xx1

x6

yy1

y6

x1．

1 1 2 2已知n

}是等比數(shù)列，且an

0，aa24

2aa3

aa4

25aa3 5

4

的最大值為 ．如圖，直線l是曲線yf(x)在x3處的切線，則f.16．在(3x2

x)n的二項(xiàng)開放式中，全部項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，則開放式常數(shù)項(xiàng)的值等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 n S

a2

9n117（12分）已知數(shù)列

的前 項(xiàng)和為n

，且滿足an 1

1,a n

n2

S n1 nN*，各項(xiàng)均為正n 6數(shù)的等比數(shù)列bn

滿足b1

a,ba2 3 4求數(shù)列n

,b的通項(xiàng)公式；n若cn

1a2

b，求數(shù)列n

的前n項(xiàng)和Tn18（12分）1978年至2018年我國(guó)GDP總量從0.37萬(wàn)億元躍升至90萬(wàn)億元，實(shí)際增長(zhǎng)了242倍多，綜合國(guó)力大幅提升.將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為t；y表示全國(guó)GDP總量，表中zlnyi

，z

1z.5 ii1t y z

5

t2 5 ttyy 5

t ii1

ii1

i i ii13 26.474 1.903 10 209.76 14.05依據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表，推斷btacedt（其中e2.718

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為全國(guó)GDP總量y關(guān)于t的回歸方程類型？（給出推斷即可，不必說(shuō)明理由，并求出y關(guān)于t的回歸方程.2023GDP總量.中斜率和截距的最小二乘法估量公式分別為：

ni1

xxyyi i

，y.nxii1

x2參考數(shù)據(jù)：45456785514840310972981en的近似值19（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，AB//DC，ADDCAP2，AB1EPC的中點(diǎn).BEDC：BEPBD所成角的正弦值；FPCBFACFABP的余弦值.20（12分）已知fxlnxm，gxex.（1）當(dāng)m2fxgx；（2）設(shè)直線l是函數(shù)fx在點(diǎn)Ax0

,fx0

0x0

處的切線，若直線lgx相切，求正整數(shù)m的值.x221（12分）已知橢圓a2

y21ab0BPb2P

滿足OA

OBOP（其中O為坐標(biāo)原222點(diǎn)，點(diǎn)B,P在橢圓C上.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；FF的直線lykxm0,m0與橢圓CMN兩點(diǎn)且與圓x2y21相切. MNF 的周長(zhǎng)是否為定若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理.22（10分）已知曲線C1

xtcos,的參數(shù)方程為y1tsin,(t

為參數(shù))

，曲線C2

xsin,的參數(shù)方程為y 1cos,為參數(shù)).求C與C1 若C與C1

的一般方程；相交于A，B兩點(diǎn)，且AB

2，求sin的值.2參考答案125601、B【解析】由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小，可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由于弧長(zhǎng)比較短的狀況下分成6等分，所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，3063(厘米).3故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2、B【解析】ABACBE.【詳解】BEBEAEAB1ADAB，AD1(ABAC)，BE5AB1

2ACABAC，6 656

，

1，2.6 3故選：B.【點(diǎn)睛】3、A【解析】利用兩條直線相互平行的條件進(jìn)行判定【詳解】a2時(shí)，直線方程為2x2y10xy20，可得兩直線平行；ax2y10x1y20相互平行，則a12，解得a1

2，a 1，則a2”是ax2y10x1y20相互平行”A2【點(diǎn)睛】4、B【解析】由共軛復(fù)數(shù)的定義得到z，通過(guò)三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得zsin

2icos2，3 3sin

0，cos

10，33 2 3 23z故選：B【點(diǎn)睛】5、D【解析】圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行推斷可解.【詳解】圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A

xR

f(x) x

f(x

f(x) x

為奇函數(shù)；(x)217(x)2172xx21

的定義域?yàn)?72xCf(xsin8x為奇函數(shù)；DxRx0f(x

exex

f(xf(x)

exex

為偶函數(shù).(x)2 x2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查推斷函數(shù)奇偶性.推斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:x)，f(xxf(x)=f(xf(xf(x)=fx)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)圖象法：函數(shù)是奇偶函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y)對(duì)稱．6、A【解析】分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】2i 2i(i1) 22i z 1iz的虛部為1 i 1 (i 1)(i+1) 2故選：A.【點(diǎn)睛】7、C【解析】通過(guò)圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】依據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A1935.238715720.916635.1.523595.8，C23595.8178655720.9，正確C.3【點(diǎn)睛】8、A【解析】分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類爭(zhēng)辯即可求得結(jié)果.【詳解】作出yx2x和y5x，y4x的圖像如下所示：函數(shù)g(x)f(x)4x有三個(gè)零點(diǎn)，yfxy4xa0，且由圖可知，x0yfxy4xO，x0yfxy4x.x0時(shí)，a0,1時(shí)，明顯??=??(??)與??=4|??|有一個(gè)交點(diǎn)??，故滿足題意；a1時(shí)，明顯??=??(??)與??=4|??|沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；a1,5時(shí)，明顯??=??(??)與??=4|??|也沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；a5,yfxy4x有一個(gè)交點(diǎn)C，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需a故選：A.【點(diǎn)睛】

[5,).9、D【解析】FGOG，先確定出

,GO的長(zhǎng)度，然后利用雙曲線定義將 6|OG

|轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式，化簡(jiǎn)2b后可得到a【詳解】

2 1的值，即可求漸近線方程.如圖所示：bc由于FGOG，所以GF a

b,OG c2b2a，2 2 b21a2又由于 6OGGF1

，所以 6OGGF

，所以 6OGGF

FF，2112所以6OG212

GF

F

2，所以6a2

b24c22bGFF，2 21 21 b b所以6a2

b24c22b2c

，所以b2

2a2, 2， c a所以漸近線方程為y 2x.故選：D.【點(diǎn)睛】10、D【解析】依據(jù)△PABABP120P

的斜率為 3可得出a,c關(guān)系，即可求出漸1 4近線斜率得解.【詳解】如圖，由于△PAB120，所以|PBAB|2aPBM,x PB|cos60a2a,yP 3a0 3

PB|sin60 ，又k P1

2ac 4，2ac3a2b2，解得b 3，a所以雙曲線的漸近線方程為y 3x故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，屬于中檔題.11、B【解析】依據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得sin,cos，代入二倍角公式即可求得sin的值.【詳解】由于終邊上有一點(diǎn)P(3,4)，所以sin4,cos3，5 5sin2sincos243245 55 25故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式，嫻熟記憶公式即可解決，屬于簡(jiǎn)潔題目.12、A【解析】AB2PAB合求解.【詳解】

2，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)2A1,0

，

，

x,

，則

x2yx2y

2，2化簡(jiǎn)得x32y28，PAB（x軸）的面積最大，∴PAB面積的最大值是122 22 2.2故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的力量，屬于中檔題.452013、18【解析】f（x）g（x）的圖像都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)yfx2函數(shù)yfx關(guān)于點(diǎn),2對(duì)稱，gx

2x12

1 函數(shù)ygxx1 x1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱， fx與gx圖像的交點(diǎn)為x,y，1 1x,y2

，…，x,y6 6

,兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，xx1 2

x6

yy1

y6

323418.故答案為：18【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.514、52【解析】aa 2aa24 3

aa46

25a23

2aa35

a25

25(a3

a)225, a5

0aa 53 5aa

25 5 5a2aa ( 3 5

a a的最大值為4 35115、 .2

2 4 4 2 4 2【解析】求出切線l的斜率，即可求出結(jié)論.【詳解】

3由圖可知直線l過(guò)點(diǎn)(3,3),0,2， 33可求出直線l的斜率k

21，30 2由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f(3)1.21故答案為: .2【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.16、15【解析】利用開放式全部項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式開放式的通項(xiàng)公式，求得開放式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】3 n由于x2

x4n=1024,n=5,3 x5

T =C·35-r

5r

5r100,

r=4,

T=C·3=15,

15.故x2

的開放式的通項(xiàng)公式為

r+1

令x2 2

解得 可得常數(shù)項(xiàng)為 5 故填【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式開放式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）an

4；bn

2n（2）Tn

72n7【解析】Sn

a2n19n1化為6

2n1

6Sn

9n1，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，得到

是首項(xiàng)為1，n公差為3的等差數(shù)列求解.由（1）得到c 42n1，再利用錯(cuò)位相減法求解.n【詳解】2S 2n

n1

9n16

2n1

6Sn

9n1，a26S 9n11，n n1a 2a26a 9n2，n1 n na 2a32，n1 n又 n2時(shí)，a 0na a 3n2n1 n數(shù)列

n

開頭成等差數(shù)列，2a11

，代入Sn

a 29n1 n16得a a a32 2 1是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，na 3n4，nba1

2,ba3

8,bn

2n.由（1）得cn

42n1，T 1202?··42n1，n1222?··42n，n兩式相減得T 13122··2n1n42n，n162n1n42n，T 72n7.n【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相減法求和，還考查了運(yùn)算求解的力量，屬于中檔題.18（1）ycedtye1.405t2.312

e2.312

1.405t（）148萬(wàn)億元.【解析】ycedtycedt兩邊取自然對(duì)數(shù)得lnylncdtzlnyalncbd，則zabt，再利用線性回歸方程的計(jì)算公式計(jì)算即可；將t5.2.【詳解】（1）依據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以推斷，ycedtGDPy關(guān)于t的回歸方程.ycedt兩邊取自然對(duì)數(shù)得lnylncdtzlnyalncbdzabt.5由于

ti

z

14.051.405，i15tii1

t2 10所以azb?t

1.9031.40532.312，所以z關(guān)于t的線性回歸方程為

2.312，z1.405t所以y關(guān)于t的回歸方程為?1.405t2.312e2.3121.40z1.405t（2）將t5.2e1.405t2.312，其中1.4055.22.3124.994，于是2023年的全國(guó)GDP 總量約為：e4.994

e5148萬(wàn)億元.【點(diǎn)睛】本題考查非線性回歸方程的應(yīng)用，在處理非線性回歸方程時(shí)，先作變換，轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來(lái)處理，是一道中檔題.319（1）證明見解析（2）33【解析】

（3）31010310依據(jù)題意以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出BE,DCBEDC.PBDBEBEPBD所成角的正弦值；FPC上，設(shè)CFCPBFBCCFBFAC的值BF.FBAABPFABP的余弦值.【詳解】PAABCDADAB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，ADDCAP2AB1E為棱PC的中點(diǎn)．∴B0，C0，D0，P(0,0,2),E(1,1,1，BE(0,1,1),DC(2,0,0)，BEDC0，BEDC.（2）BD(1,2,0),PB(1,0,2),PBD的法向量為mxyz.BDm則PBm0

x2y0 ，代入可得 x 2z 0y1x2,z1，即m設(shè)直線BE與平面PBD所成角為，由直線與平面夾角可知sincosn,BE

nBEnBE

2 36 2 33所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為3 .（3） BC(1,2,0),CP(2,2,2),AC(2,2,0)，由F點(diǎn)在棱PC上，設(shè)CFCP(2,2,2),(01)，故BFBCCF(12,22,2) (01)，由BFAC，得BFAC2(12)2(22)0，解得3，4即BF1,1,3， 2 2 2設(shè)平面FBA的法向量為n(a,b,c)，nAB0

a0由 ，得 1 1 3 ，nBF0 a b c0 2 2 2i(0,1,0)令c1n(0,i(0,1,0)取平面ABP的法向量 ，則二面角FABP的平面角滿足cos

|in|

3 ，310|i||n| 10 10310由圖可知，二面角FABP為銳二面角，310故二面角FABP的余弦值為 .31010【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用，由空間向量證明線線垂直，求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小，計(jì)算量較大，屬于中檔題.20（）（）m2.【解析】（1）Fxgxfxexlnx2F'xex

1 F'xF'01，x2 2F'1110F'x在上存在零點(diǎn)aFx.e

x x 00依據(jù)題意得到f

x

x,f x0 0

0x 0

處的切線ly

xmx0

mln

xm0

①，再設(shè)直線l

x相切于點(diǎn)

x,

ex1

1，即x

lnx

m

，再求得g

x在點(diǎn)

x,ex

處的切線直線l的1x lnx

1m

x 01

1lnx

10 1m 1 x 方程為y 0

②由①②可得 0

0

ln

xm，即xm x0

m x0

m x0

m x0

m xm 00

x100xm1ln0

xm0

x1x0

m10，轉(zhuǎn)化為

xm0

xm10

，0x0

1，令hxlnxm x1

0x1，轉(zhuǎn)化為要使得hx在0,1上存在零點(diǎn)，則只需h0lnm

1 0，xm1 m1hln12m【詳解】

0求解.（1）Fxgxfxexlnx2，F(xiàn)'xex

1 F'xF'0

1，F(xiàn)'1110，x2 2 eF'x在上存在零點(diǎn)aFx在a上單調(diào)遞減，在a上單調(diào)遞增，F(xiàn)x

a

ea

2

1 a

a20.Fx0fxgx.

a2 a2（2）f'x

1 f'x

1 ，故切線l

xm 0的方程為y x

xm00x lnx0

m①xm x0 0

0 x設(shè)直線lg

x相切于點(diǎn)x,ex1，留意到g'x1

e，從而切線斜率為

1e1x x m，e10因此x1

lnx0

m，1 x

lnx

m 1g x ex l

y 0 而 1 1 x0

，從而直線

的方程也為

xm x0

m xm ②0由①②可知

lnx0

m

1 x

lnx

m，0xm x00

m xm 00故x0

m1lnx0

mx0

1，mxm10，0所以lnx

m

x10

，0x

1，0 xm1 00令hxlnxm x1 x1，xm1h'x xxm1則 xmxm

0，m1hxlnx1

x1為單調(diào)遞增函數(shù)，且hln220，從而hx在上無(wú)零點(diǎn)；x當(dāng)m 1時(shí)，要使得hx在上存在零點(diǎn)，則只需h0lnm 1

0，hln1

0，h1

mlnm

1m1

為單調(diào)遞增函數(shù)，h1

3ln32

0，

m1 m所以m3；

mln1

2為單調(diào)遞增函數(shù)，且

1ln220，2 m 2因此m 1；m為整數(shù)，且1m3，m2.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的力量，屬于難題.x221（1） y21（2）是，x22【解析】（1）Px,y,P在橢圓上，代入橢圓方程求出即可;（2）設(shè)Mx,y,Nx,yx0,x

0運(yùn)用勾股定理和點(diǎn)滿足橢圓方程，求