數(shù)學(xué)幾何奔馳定理與四心問題

奔馳定理與四心問題【考點(diǎn)浪黑I】一、四心的概念介紹：(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2:1.(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直.二、奔馳定理一一一解決面積比例問題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).已知△ABC的頂點(diǎn)A(xt,yi),B(x2,佻)，C(x3,%)，則△AB。的重心坐標(biāo)為g(空號士色，⑨七號+%注意：(1)在△ABC中，若O為重心，則+礪+5方=6.(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個(gè)三角形面積相等.重心的向量表示：AG=^-AB+^-AC.J J奔馳定理：-6?+Sb?加+Sc?文=小，則△408、XAOC、LJ3OC的面積之比等于用:蒞:/1]奔馳定理證明：如圖，令=5^,即滿足(54+(5^1+0^1=0S^AOB_1Smoc_1S^BOC_1U,Cor?_iii三、三角形四心與推論，(1)0是△ABC的重心：Sj^boc：S&8a：S3ob=1:1:1=OA+OB+OC=(5.(2)0是ZLASC的內(nèi)心：S3：S.coa：Smob=a:b:c?04+OB+OC=3.(3)。是AABC的外心：S^boc：S^coa：S^aob=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2coe=0.(4)0是AABC的垂心：S^boc：S^coa-S^aob=tanA:tanB:tanC<=>tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.?【方法技巧與總結(jié)】a~SZT7(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量?——?,+?——?,所在的直線上.網(wǎng)"I|荏卜司+|座卜玄+|昂卜兩=6oP為△ABC1的內(nèi)心.

（2）外心：|戶司=\PB\=\PC\oP為AABC的外心.（3）垂心：同?兩=兩?甩=圮?同oP為△ABC的垂心.（4）重心：以+而+同=6=P為乙48。的重心.?【題型歸納目錄】題型一:奔馳定理題型二:篁心定理題型三:內(nèi)心定理題型四:外心定理題型五:垂心定理【典例例題】題型一:棄鼬定理例1.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（旅rce曲sbenz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC、RAOC、KAOB的面積分別為SA、Sb、S0,貝US『羽+Sb?加+5°?礪=。.若0是銳角445。內(nèi)的一點(diǎn)，4847、NABC、乙4cB是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)。滿足訴麗=范文=瓦?亦則（）O為△ABC的垂心ZAOB=n-NACB\OA\-.\OB\-.\OC\=sm^BAC:sin^ABC:sm^ACBtanNBA。?OA+tanZABC-OB+tan^ACB-OC=^例2.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）_AC'

國sinC,U>0）,_AC'

國sinC,U>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過A4BC的(|AB|sinB垂心;B.若罰=0,B.若罰=0,則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心;C.若（示+9）?荏=（7+正）?初=0,則點(diǎn)O為/XABC的外心;D.若動(dòng)點(diǎn)PD.若動(dòng)點(diǎn)P滿足加=云+4而

|AB|cosB+—）（4>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過4ABC

\AC\cosCf的重心.例3.（多選題）（2022?全國病三專題練習(xí)）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,△力OC,△力08的面積分別為Sa，Sb，Sc，則Sa?5才+Sb?赤+Sc?況=6.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若O、P是銳角△ABC內(nèi)的點(diǎn)，4、5、。是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足冏+兩+對=^-CA,OA-OB^OB-OC^OC-OA,^\（）JA.Sm?ab：SmbcA.Sm?ab：Smbc：Sm>ca~4:2:3|O71|：|OB|：|OC||=cost4：cosB：cosCNA+NBOC=7ttanA-OA+tanaOB+tanC*OC=6BB.7r=mn例4.（多選慝）（2022?淅江?高三壽題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G為△ABC的重心，點(diǎn)分別為力B,AC上的點(diǎn)，且。，G,E三點(diǎn)共線，弱=小荏，瓶=n才己，m>0,n>0,記△ADE,A4BC,四邊形BDEC的面積分別為Si，$2,S3,則（）A.—+—=3mnQ旦>A.S3―5

例5.（河南省安相市2021-2022學(xué)年高一年級下學(xué)期階段性測試（五）教學(xué)試叁）已知。是AABC內(nèi)的例5.（河南省安相市2021-2022學(xué)年高一年級下學(xué)期階段性測試（五）教學(xué)試叁）已知。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，若ABOCAAOCAAOB的面積分別記為SltS2,S3，則S1?引+S??9+S3?5方=6.這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，己知O是△ABC的垂心,且為+2OB+3OC=6,則tan/BAC:tanN4BC:tanNACB=(A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6例6.（2021?四川穩(wěn)相?高一期末）已知P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且刀APCA、APBC面積之比為（）+3萬+5圮=6,則△PAB、A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1例7.（2022?安徽?花湖一中三模（理））平面上有△ABC及其內(nèi)一點(diǎn)O,構(gòu)成如圖所示圖形，若將△OAB,AOBC,△OG4的面積分別記作Sc，S0,Sb，則有關(guān)系式S。?示+Sb?9+S,?云=1因圖形和奔馳車的log。很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”.已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,若滿足a?方+b?防+c?（5方=6,則。為△力3。的（）B.內(nèi)心D.B.內(nèi)心D.垂心C.重心例8.（2022*南?一模（＜））在XABC中，。是直線上的點(diǎn).若2麗=3+入出，記的面積為S、，AACD的面積為S2,則得■=（）例9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，已知△ABC的面積是△ACD的面積的2倍.若存在正實(shí)數(shù)①y使得而=（：-4）荏+（1—而成立，則2rr+存在正實(shí)數(shù)①y使得而A.1BA.1B.2C.3D.4例10.（2022?上海?商三專題練習(xí)）如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，角4B,C的對邊分別為a,b,c.總有優(yōu)美等式S^pbcPA+S^acPB+S^PC=6成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下命題：①若P是△ABC的重心，則有存+屈+用=6；②若aQ彳+b屈+c用=6成立，則P是ZVIBC的內(nèi)心；③若存=^AB+^AC,則Saabp：S4ABe=2:5；D D④若P是△ABC的外心，A= =m兩+n用，則m+ne則正確的命題有.例11.（2022?江西宜春?高三期末（?））已知Sa4bc=3，點(diǎn)M是AABC內(nèi)一點(diǎn)且加+2MB=血，則△MBC的面積為（）TOC\o"1-5"\h\zA.十 B.-1- C- D.例12.（2022?全國?高三壽題練習(xí)）已知點(diǎn)M是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若詢=^AB+^-AC,則△ABM乙 0與△BCM的面積之比為（）A. B., C.2 D.言J Z o例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)O為正A4BC所在平面上一點(diǎn)，且滿足OA+AOB+[1+A）OC=。，若△。力。的面積與△OAB的面積比值為1:4,則4的值為（）A. B.士 C.2 D.3乙 O【方法技巧與總結(jié)】奔觸定理:如圖，已知P為色48。內(nèi)一點(diǎn)，則有S^pbc'PA+S^pac-PB+S^ab-PC=0.0上由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.題型二:重心定理例14.（2022?浙江紹興?模擬fit測）已知△-ABC是圓心為O,半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，M是圓O上一點(diǎn)，G是△ABC的重心.若麗，兄，則而下+的?+而=.例15.（2022?江蘇南京?模擬fl測）在AABC中，布.芯=0,|荏|=3,|而|=4,O為ZVIBC的重心，D在邊上，且A。JL ,則赤?AO.例16.（2022?全國?南三*題練習(xí)）在AABC中，方=五，函=求且和=況+ --+/—1,I\a\smB同sinAJrnCR,則點(diǎn)P的軌跡一定通過&48。的（）A.重心 B.內(nèi)心 C.外心 D.垂心例17.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知A,B,。是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足方=4（（1-^）04+（1-/1）而+（1+2辦加］"€/?,則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過（）A.△ABC的內(nèi)心B.的垂心 C.△ABC的重心 D.4B邊的中點(diǎn)例18.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測）在AABC中，G為重心，47=2四，BG=2,則屈?正=例19.（2022?四川達(dá)州?二#（文））在AABC中，G為重心，AC=2代，BG=2,則雨?后方=

例20.（2022?全國鵬三專題練習(xí)（理））在A4BC中，點(diǎn)G是AABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別交線段AB,AB于點(diǎn)N,M（M,N不與A4BC的頂點(diǎn)重合）,則步里的最小值為 '△CMG例21.（2022?全國?方三專題練習(xí)）在△ABC中，4B=1,NABC=60°,而?荏=一1,若。是△ABC的重心,則BOAC=.例22.（2022?全國?高三壽題練習(xí)）如圖，O是△48。的重心，說=蒼，芯=，,D是邊BC上一點(diǎn)，且加=3DC,歷=而+質(zhì),則入+〃=例23.（2022?史慶?三模）已知O為△ABC的重心，記示=五，而=，，則/=（）D.2a+bA.—2a—b B.—g4*26 C.aD.2a+b例24.（2022?安徽瓊埠?模板II測?））已知點(diǎn)P是△ABC的重心，則下列結(jié)論正確的是（）(sin2A)PA+(sin2B)PB+(sin2C)FC=6(sinA)PA+(sinB)PB+(sinC)PC=(tan⑷P4+(tanB)FB+(tanC)FC=6PA+PB+PC=^例25.（2022?遼寧?二模）已知點(diǎn)P為AABC的重心，AB=3,AC=6,A=等，點(diǎn)。是線段BP的中點(diǎn)，則I而|為（）A.2 B.4 C.V3 D.4

例26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)。是平面上一定點(diǎn)，A、8、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足和=示+4（荏+?方）"6[0,+8）,則p的軌跡一定通過△43。的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心例27.（2022?寧夏石嘴山?一模（理））已知G是AABC重心，若司=2,|而|=45,則彳苕?肥的值為（）A.4 B.1 C.-2 D.2例28.（2022?黑龍江?哈九中方三開學(xué)考試（?））數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△4BC的外心O,重心G,垂心H,依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,該直線被稱為歐拉線.若4B=4,AC=2,則下列各式不正確的是（）A.AG-BC-4=0. B.2GO=-GH C.AO-BC+G=0 D.OH=OA+OB+OC例29.（2022?湖北省鄂州高中方三期末）在△ABC中，力=告，G為的重心，若輻?荏=彩O=6,則△ABC外接圓的半徑為（）A.V3 B. C.2 D.2V3O例30.（2022?全國?方三專題練習(xí)（理））在△ABC中，4=等，O為△力BC的重心，若而?而=而?/=O2,則△ABC外接圓的半徑為（）A.. B. C.V3 D.ABAC例31.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知&4BC的三個(gè)內(nèi)角分別為ABCO為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足ABAC（0,+8）則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定經(jīng)過△4口。的（）|國sinB*（0,+8）則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定經(jīng)過△4口。的（）|國sinB*|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心【方法技巧與總結(jié)】三角形的重心一定在三角形的中線上，所以，在等式中顯示出的現(xiàn)象是兩個(gè)相加的向量，前面的系數(shù)相同，還需注意兩個(gè)系數(shù)相同的向量相加的同時(shí)還會(huì)產(chǎn)生中點(diǎn).

題型三:內(nèi)心定理例32.（2022?全國?方三專題練習(xí)）若。在△4BC題型三:內(nèi)心定理例32.（2022?全國?方三專題練習(xí)）若。在△4BC所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件宓?A.垂心 B.重心C.內(nèi)心例33.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心足和=見+可儡^+A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心例34.（2022?全國?南三壽題練習(xí)）已知RtZXABC中，48=3,AC=4,BC=5,/是△ABC的內(nèi)心，P是捷BC內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn).若#=AAB+UAC（A,〃CH）,則4+〃的取值范圍是.例35.（2022?廣西柳州?高一期中）設(shè)。為△ABC的內(nèi)心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nBC（jn,n€R）,貝?。輒+n=例36.（2022?全國?高三專題練習(xí)）A4BC中，a、b、c分別是BC、AC.AB的長度，若a?示+6?加+c?元=0,則O是△4口。的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心例37.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中，AB=2AC,動(dòng)點(diǎn)河滿足旃?（后方+前）=0,則直線AM一定經(jīng)過△43。的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心例38.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.AABC內(nèi)一點(diǎn)M滿足：a?蘇+b?礪+c?祝=0,則Al一定為△43。的（ ）A.外心 B.重心 C.垂心 D.內(nèi)心例39.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，角4、B、C所對的邊分別為a,b,c,若用=a"若用=a"+bPg+c同

Q+b+C（其中P是△工8。所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)）,則。點(diǎn)是AABC的（A.外心B.內(nèi)心A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心【方法技巧與總結(jié)】角平分做定理：若赤=幾則N4OB平分線上的向量亦為/I倩+韻"由麗決定.角平分做定理證則：令吾和烏分別為咒和加方向上的單位向量，吾+烏是以春和烏為一組鄰邊的⑷ \b\ |Q| \b\回|6|平行四邊形過O點(diǎn)的的一條對角線，而此平行四邊形為菱形，故卷+卷在乙4OB平分線上，但NAOB平分線上的向量（5而終點(diǎn)的位置由面決定.當(dāng)3=1時(shí)，四邊形O/MB構(gòu)成以NAOB=120°的菱形.題型四:外心定理例40.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中，48=4,47=3,A=?！?，點(diǎn)O為△ABC的外心，若同=AAB+〃態(tài)R,則4=.例41.（2022?全國?高三壽題練習(xí)）已知O是平面上的一定點(diǎn)，4B,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足赤=OB[OC AB_+ AC_ （0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過△4BC的2I\AB\cosB|AC|cosC）（）A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心例42.（2022?全國?模擬fl測）在AABC中，=2,AC=2瓜,BC=4,點(diǎn)O為A4BC的外心，則而?云=,P是三角形ABC外接圓圓心O上一動(dòng)點(diǎn)，則巨△（兩+對）的最小值為.例43.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)O為ZVIBC的外心，若而=濕+2芯，則sin/A4c的值為例44.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在4ABe中，點(diǎn)。為A4BC的外心，|荏|=6,則荏?彩=例45.（2022?寧夏六童山高級中學(xué)二模（理））已知A4BC中，AB=AC=1,BC=方，點(diǎn)。是ZVIBC的外心，則砂費(fèi)=.例46.（2022?全■國?高三專題練習(xí)）已知在△4BC中，48=1,口。=遍，AC=2,點(diǎn)。為△ABC的外心，若AO=sAB+tAC,則有序?qū)崝?shù)對（s,t）為.例47.（2022?浙江?寧波諾丁漢附中模擬測）在△ABC中，點(diǎn)O、點(diǎn)H分別為△ABC的外心和垂心，|AB|=5,|AC|=3,則而?后方=.例48.（2022?河南?夏城縣栽育體育局我學(xué)研究宣二模（文））已知A4BC的外心為O,若初+AC=2AO,且|函|=|ab|，則B .例49.(2022?全國牌三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系叩y中，51=(1,3),OB=(2A)，OC=xOA+yOB(其中x6R,y6R).(1)若點(diǎn)。在直線AB上，且3方1.后，求的值.(2)若點(diǎn)。為^OAB的外心，求點(diǎn)。的坐標(biāo).例50.(2022?全國*三專慝練習(xí))設(shè)。為△ABC的外心，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若6=3,c=5,則方?豆方=()A.8 B.-8 C.6 D.-6例51.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知A4BC的外心為O,2AC=5BC=10,則25d-AB=()A.11 B.10 C.20 D.21例52.（2022?全國?模擬測（理））在A4BC中，NABC=等，。為&4BC的外心，麗?月5=2,后方?郎=4,則胡麻=（）A.2 B.2V2 C.4 D.4V2例53.（2022?江蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）在4ABC中，CA=2cB=4,尸為△ABC的外心，則和?存=（）A.-4 B.4 C.-6 D.6例54.（2022?江西上怩?二<（a））已知ZVIBC的外心為點(diǎn)O,M為邊BC上的一點(diǎn)，且詢=2MC,^BAC=等,年?無必=1,則△ABC的面積的最大值等于（）OA.空 B.V3 C.D.例55.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在A4BC中，角的邊長分別為b,c,點(diǎn)。為ZVIB。的外心，若〃+c?=26,則后通?彩的取值范圍是（）A.[-^,0） B.（0,2） C.■^>+°°） D.[一■^,2）

例56.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知平面向量6?,加滿足6??麗=0,|7|=2,。為線段O力上一點(diǎn)，E為△AOB的外心，則9?麗的值為（）TOC\o"1-5"\h\z4 4A.-2 B. -等 C.年 D.2j o例57.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中，設(shè)/2-荏?=2用法?旅，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△4反7的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心【方法技巧與總結(jié)】外心定理：垂直平分線的交點(diǎn),到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(1)AO-AB=^\AB\2,AO-AC=^-\AC\2-Bd-BC=^\BC\2-(2)AO-AF=^\AB\2+^\AC\2,BO-BE=^-\AB\2+^-\BC\2,CO-CD=^-\BC\2+-j\AC\\(3)前-BC=^-\AC\2-^-\AB\2,BO-AC=^-\BC\2-^-\BA\2,CO-AB=^-\BC\2-^-\AC\2.題型五:垂心定理例58.(2