時滯電力系統(tǒng)中的LMI判據(jù)綜述

時滯電力系統(tǒng)中的LMI判據(jù)李曉萌1013203012摘要：本文對時滯電力系統(tǒng)建模、求解方法和技巧進行了總結(jié)。如今電力系統(tǒng)全國聯(lián)網(wǎng)，成為一個整體。采用廣域測量技術(shù)進行管理和控制成為必要的措施。然而，電力系統(tǒng)范圍廣、時滯大、控制方式復(fù)雜，容易產(chǎn)生運行不穩(wěn)定等問題，如何采取有效的方法得以解決是我們當(dāng)前面臨的問題。采用廣域信息可有效提高大型互聯(lián)系統(tǒng)的動態(tài)性能，由于距離遠，信號傳輸?shù)难舆t不可忽略?？紤]信號時滯的電力系統(tǒng)可以看作一個時滯動力系統(tǒng)，本文首先介紹了時滯動力系統(tǒng)的模型以及時滯動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性；然后將計及廣域信號時滯的電力系統(tǒng)建模為時滯微分代數(shù)方程組并分析了其小擾動穩(wěn)定性。本文總結(jié)了已有的電力系統(tǒng)時滯模型，和能量函數(shù)形式，并用不同的方法進行解決，最后對未來主要工作進行了總結(jié)。關(guān)鍵字：電力系統(tǒng)；時滯；能量函數(shù)；穩(wěn)定性判據(jù)0引言在自然界中，系統(tǒng)狀態(tài)的未來發(fā)展趨勢往往既取決于當(dāng)前運行狀態(tài)，也與過去的狀態(tài)直接相關(guān)，這類現(xiàn)象稱為時滯現(xiàn)象［1］時滯現(xiàn)象在電力系統(tǒng)中普遍存在。傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的控制器往往只基于本地信號進行控制，量測和通信環(huán)節(jié)中的延時很小，對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制效果的影響也較小，在研究中一般都忽略時滯環(huán)節(jié)的影響。隨著現(xiàn)代大型互聯(lián)電網(wǎng)的建立，電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與動態(tài)行為更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的沿用局部信息的電力系統(tǒng)控制和保護設(shè)計方法將無法滿足超大規(guī)模電力系統(tǒng)振蕩抑制、系統(tǒng)保護和動態(tài)安全防御的要求。采用同步相量測量和現(xiàn)代通信技術(shù)，建立廣域測量系統(tǒng)，利用全局信號來設(shè)計電力系統(tǒng)保護與控制是解決方法之一。而廣域測量信息中存在明顯的延時，不能完全忽略，因此研究廣域信號的時滯對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，具有十分重要的現(xiàn)實意義?？紤]廣域信號時滯影響的電力系統(tǒng)是一個時滯動力系統(tǒng)，可以建模為時滯微分代數(shù)方程組，通過分析其特征根在復(fù)平面的位置可以研究廣域信號的時滯對電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性的影響。時滯電力系統(tǒng)具有時滯的動力系統(tǒng)廣泛存在于超大規(guī)模電路設(shè)計、信號處理、網(wǎng)絡(luò)與通信、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物環(huán)境與醫(yī)學(xué)、建筑結(jié)構(gòu)、化工過程、反饋控制系統(tǒng)、冶金過程以及經(jīng)濟、機械工程等各個科學(xué)和工程領(lǐng)域。由于時滯動力系統(tǒng)的解空間是無限維的，其理論分析往往非常困難。長期以來，時滯動力系統(tǒng)的分析和綜合一直是數(shù)學(xué)、控制以及工程應(yīng)用領(lǐng)域研究的熱點和難點問題。按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，時滯動力系統(tǒng)可以分為不同的類型。例如，單時滯和多時滯系統(tǒng)，線性和非線性時滯系統(tǒng)，連續(xù)時滯系統(tǒng)!離散時滯系統(tǒng)以及混合時滯系統(tǒng)，確定性時滯和隨機性時滯系統(tǒng)，時變和時不變時滯系統(tǒng)，集中參數(shù)和分布參數(shù)時滯系統(tǒng)等等。時滯的存在使得系統(tǒng)的分析和綜合變得更加復(fù)雜和困難，同時時滯的存在也往往是系統(tǒng)不穩(wěn)定和系統(tǒng)性能變差的根源。時滯電力系統(tǒng)模型標(biāo)稱時滯系統(tǒng)模型為:(2.1)'X(t)=Ax(t)+A：x(t-h)

x(=Q(t),te[-h,0](2.1)其中：尤(t)氣n為狀態(tài)變量；U(t)氣m為控制輸入；T>0為系統(tǒng)恒定時滯；初始條件"t)為連續(xù)可微向量函數(shù)；A,A】，C九nxn，B七"為恒定系統(tǒng)矩陣。中立時滯系統(tǒng)模型為：1(2.2)X(t)-Cx(t-t)=Ax(t)+AiX(t-t)+Bu(t),t>0x(t)=啊(t),te[-t,0]中立時滯系統(tǒng)為系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)都含有時滯的電力系統(tǒng)。(2.2)由式(2.1)和式(2.2)可知，時滯電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是時滯微分方程，它是一類泛函微分方程[3],和常微分方程所描述的動力系統(tǒng)不同，時滯動力系統(tǒng)的演化趨勢不僅依賴于系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，還依賴于系統(tǒng)在過去某一個時間段的狀態(tài)量。由于時滯的出現(xiàn)，系統(tǒng)在平衡點附近的線性近似系統(tǒng)的特征方程就由一般的有限次多項式代數(shù)方程變?yōu)槌椒匠?。特征根也由有限個變?yōu)闊o限多個，解空間也成為無限維。時滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)討論時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性主要有頻域和時域兩種方法。3.1頻域方法當(dāng)h=0時，系統(tǒng)(2.1)為無時滯系統(tǒng)，頻域方法對于這類系統(tǒng)的討論非常成熟。眾所周知，這類系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是心A+Ad)<0。當(dāng)h>0時，很自然地想到也用頻域方法來討論這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到的結(jié)論是：系統(tǒng)(2.1)穩(wěn)定的充要條件是特征方程f(人)=de(人I-A-Ae-h人)=0(3.1)d的根均具有負(fù)實部。然而，方弒3.1)是一超越方程，求解并不容易，并且當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性以及時滯隨時間變化時，求解非常困難。因此，用頻域方法研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有較強的局限性。3.2時域方法時域方法主要思想是通過構(gòu)造一個合適的Lyapunov-Krasovskii泛函或Lyapunov函數(shù)，獲得系統(tǒng)(2.1)穩(wěn)定的充分條件，這一方法具有非常重要的理論意義。用Lyapunov能量函數(shù)分析時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性有兩類充分條件：一類條件獨立于時滯大小，即與時滯大小無關(guān)，即被視為時滯無關(guān)條件。例如，Lyapunov-Krasovskii泛函取為TOC\o"1-5"\h\zV(t,尤)=xt(t)Px(t)+j'xt(s)Qx(s)ds(3.2)1tt-h其中P=PT〉0，Q=Qt>0均為正定對稱矩陣。對匕(t,氣)沿系統(tǒng)(2.1)求導(dǎo)數(shù)并令其小于零，即得到系統(tǒng)(2.1)穩(wěn)定的時滯無關(guān)條件為'FtP+PE呵v0(3.3)LAP-QJ不等式(3.3)關(guān)于矩陣變量P、Q是線性的，因此稱為線性矩陣不等式，簡稱為LMI。利用MATLAB的LMI工具箱，如果LMI(3.3)關(guān)于矩陣變量P和Q有解，則知系統(tǒng)(3.1)是漸進穩(wěn)定的。時滯無關(guān)條件不含時滯信息，對于小時滯系統(tǒng)，這類條件具有較強的保守性。于是人們開始關(guān)注時滯相關(guān)條件。在(3.2)中增加一個二次型雙積分項，即V(t,尤)=xt(t)Px(t)+ftxt(s)Qx(s)ds+f0jtxt(s)&x(s)dsd0(3.4)2tt-h-ht+0對匕(t,七)求導(dǎo)，得到V(t,X)=]x(；)J]ATP+:/+hRPA][x(?J-「xt(s)Rx(s)ds(3.5)2tx(t-h)AtP-Qx(t-h)t-hd由于增加了二重積分項，可以看出能量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與時滯相關(guān)，所以又叫時滯相關(guān)條件，保守性有所降低。但正是在能量函數(shù)中增加了二重積分項，在導(dǎo)數(shù)中就增加了積分項。如何處理這一積分項，成為問題的焦點。國際上針對時滯相關(guān)問題的研究方法，可分為三類：離散Lyapunov-Krasovskii泛函方法、確定模型變換方法和參數(shù)化模型變換方法。本文只討論模型變化方法。常用的模型變化有一下四種:模型變換1TOC\o"1-5"\h\zx(t)=(A+A)x(t)-Ajt(Ax(s)+Ax(s-h))ds(3.6)ddt-hd模型變換2d「x(t)+Ajtx(s)ds]=(A+A)x(t)(3-7)dtLdt-h」d模型變換3x(t)=(A+Ad)x(t)-Adjtx(s)ds(3-8)模型變換4t-"(3.9)x(t)=y(t)y(t)=(A+A)x(t)-Ajty(s)ds〔ddt-h以上四種模型變換都沒有改變系統(tǒng)方程，本質(zhì)都是在系統(tǒng)方程中引入積分項，這樣將其代入到泛函的導(dǎo)數(shù)中，就會在導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn)交叉項。(3.9)3.3標(biāo)稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析為獲得時滯相關(guān)穩(wěn)定條件，取如下Lyapunov-Krasovskii泛函：(t,x)=XT(t)尸X(t)+jtXT(也x(s)ds+j0『N必X(s)dsde，i-ht+e(3.10)+J-hJtxT(s)Rx(s)dsdeTOC\o"1-5"\h\z-2ht+e1對V(t,xt)沿系統(tǒng)(2.1)求導(dǎo)數(shù)，得到V(t,=w+?+q—JtXT()Hx()s-dfs-hxT()Rx()sds(3.11)其中t"S中二xt(t)[2P(A+A「+Q+hR+R1)]x()-xt(—t)Qx(-t)h門]二—2Jtxt(t)PAdAx(s)ds門=-2Jt-hxt(t)PAAx(s)ds2t-2hd七、門2稱為交叉項。然后利用基本不等式進行界定，即基本不等式對Va,beRn,R=Rt〉0，有如下不等式成立：-2atb<atRa+btR-b(3.12)得到門]<hxt(t)PA^AR-1AtAtPx(t)+frxt(s)Rx(s)ds門<hxt(t)PAAR-1AtAtPx(t)+Jt-hxt(s)Rx(s)ds2dd1ddt-2h1將其代入式(3.11)，這樣式(3.11)中的積分項被抵消，從而獲得時滯相關(guān)條件。2.取如下Lyapunov-Krasovskii泛函：(t,x)=xt(t)Px(t)+Jtxt(s)Qx(s)ds+J0Jtxt(s)Rx(s)dsde(3.13)tt-h-ht+e對V(t,xt)求導(dǎo)數(shù)，得到V(t,x)=?+門-JtxT(s)Rx(s)ds(3-14)其中t8=xt(t)[2P(A+A「+Q]x()一xt(-)Qx(-1)+hxG)Rjt()t門3=-2Jtxt(t)PAdx(s)ds利用基本不年式對門3進行界定，可得門3<hxT(t)PAdR-1AtPx(t)+JtxT(s)Rx(s)ds上述處理過程，從本質(zhì)上可以-歸納為一下兩點：模型變換的目的是讓系統(tǒng)方程中產(chǎn)生積分項，這樣對Lyapunov-Krasovskii泛函沿系統(tǒng)求導(dǎo)數(shù)就導(dǎo)致交叉項與二次型積分項的同時出現(xiàn)；對交叉項的界定可以抵消Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中的二次型積分項，從而獲得時滯相關(guān)條件。3.4中立系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

討論如下的中立時滯系統(tǒng)(3.15)X(t)-Cx(t-t)=Ax(t)+A1x(t-t)+Bu(t),t〉0x(t)=Mt),te[-t,0]其中，尤(t)氣n為狀態(tài)變量；U(t)氣m為控制輸入；T〉0為系統(tǒng)恒定時滯；初始條件"t)為連續(xù)可微向量函數(shù)；A,A】，C九nxn，Beyxm為恒定系統(tǒng)矩陣。(3.15)構(gòu)造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：(3.16)V(七)二￡T(t)PG(t)+jtpT(s)Qp(s)ds+f0jtpT(s)zp(s)dsd0(3.16)+j0j0jtxt(s)Rx(s)dsd人d0-T0t+X其中：p(s)=[x(s)]—p(s)=[x(s)]—x(s)—G(t)=x(t-t)，jtx(s)ds—t-T—對式(3.16)沿式(3.15)求導(dǎo)數(shù)，得到V對式(3.16)沿式(3.15)求導(dǎo)數(shù)，得到V(七)二2gt(t)PG(t)+pt(t)Qp(t)-pt(t-T)Qp(t-t)+tpt(t)Zp(t)-jtpT(s)Zp(s)ds+1t2xT(t)Rx(t)-j0jtxT(s)Rx(s)dsd0t-T2-Tt+0采用自由權(quán)矩陣方法，引入模型變換2夕(t)Yx(t)-x(t-t)-jtx(s)ds—t-T—2§t(t)Ntx(t)-jtx(s)ds-j0jtx(s)dsd02St(t)M■-t-Tt-T-Tt+0x(t)+Ax(t)+A.x(t-t)=0+Cx(t-T)卜0(3.17)(3.18)(3.19)(3.20)其中x(t)_x(t)xx(t)_x(t)x(t-t)

x(t-t)M1M2M3M—4N1N2N3N—4Y1Y2YY34—將上述模型變換加到V(氣)中，得到V(x)=2Gt(t)PG(t)+pt(t)Qp(t)-pt(t-t)Qp(t-T)+Tpt(t)Zp(t)jtpT(s)Zp(s)ds+1t2xT(t)Rx(t)-j0jtxT(s)Rx(s)dsd0t-T22戶(t)Yx(t)-x(t-t)-jtx(s)dst-T2扣t)N\tx(t)-jtx(s)ds-j0jtx(s)dsd0一t-T-Tt+0-Ut(t)M[-x(t)+Ax(t)+Ax(t-t)+Cx(t-t)]-Tt+0(3.21)t-Tt-T+用基本不等式對交叉項進行界定，得-2^T(OrfzK(S)*-2戶(由口x(s)dsxt(s)*Ptk(D+2?P-2^T(OrfzK(S)*-2戶(由口x(s)dsxt(s)*Ptk(D+2?Pxt(5)^Ptx(^-t+2jzkt(s)*prx(0-x(^-t)~|t-x33L」<T-i^T(0flZ-iQt￡(，+『0T(s)Zp(s)dsCC(3.22)—x(s)dsd6-Tt+Q<-T2§t(t)NiNt§(，+j。卜XT(s)Rx(s)dsde2-TZ+0將(3.22)和(3.23)代入認(rèn)尤)中，整理得到t0+tZOt+-tNR