復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)(Complexnumberandfunctionofthecomplexvariable)第一講授課題目：§1.1復(fù)數(shù)§1.2復(fù)數(shù)的三角表示教學(xué)內(nèi)容：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)平面、復(fù)數(shù)的模和輻角、復(fù)數(shù)的三角不等式、復(fù)數(shù)的表示、復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方.學(xué)時(shí)安排：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：12、切實(shí)理解掌握復(fù)數(shù)的輻角3、掌握復(fù)數(shù)的表示教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘方、開(kāi)方運(yùn)算及它們的幾何意義教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的輻角教學(xué)方式：多媒體與板書相結(jié)合.

思考題：1、2、3.習(xí)題一：1-927板書設(shè)計(jì)：一、復(fù)數(shù)的模和輻角二、復(fù)數(shù)的表示三、復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方參考資料：1、《復(fù)變函數(shù)》，西交大高等數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社.2課后記事：1、基本掌握復(fù)數(shù)的乘方、開(kāi)方運(yùn)算2、不能靈活掌握復(fù)數(shù)的輻角（要輔導(dǎo)）3、能靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)過(guò)程：引言復(fù)數(shù)的產(chǎn)生和復(fù)變函數(shù)理論的建立1、1545Cardan17、1821777Euler現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的iEuler319CauchyRiemannWeierstrass知直到今天都是比較完善的.420與亞純函數(shù)理論、解析函數(shù)的邊值問(wèn)題、復(fù)變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、單葉解析函數(shù)論等等，并廣泛用于理論物理、彈性物理和天體力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)等領(lǐng)域.5推廣和發(fā)展，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意它們相似之處和不同之處的比較.第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)(Complexnumber)一、復(fù)數(shù)的概念（Theconceptofcomplex）11xiyxyRi1常記為zxiy；

是虛數(shù)單位；通2xyzxRez，yImz；3xyzxiy(xyR為純虛數(shù)；當(dāng)Imz0zxiyImz0zx就是一個(gè)實(shí)數(shù)；4、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：復(fù)數(shù)z

xiy

x

相等是指它1 1 1 2 2 2們的實(shí)部與虛部分別相等.5zzzxiyxiy為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（Conjugate，記作zx1：例如，設(shè)i0，則ii0i，即10，矛盾.200i0二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（Complexnumberarithmetic）設(shè)za1 1

ib1

za2

ib 則2z z1 2

(a1

ib1

)(a2

ib2

)(a1

a)i(b2

b)2zz (a12 1

ib1

)(a2

ib2

)(aa1

bb12

)i(ab12

ab)21z1(a

) aa b2

abab)

z01 1 1

12i 2

12 （ ）z (a2 2

ib2

) a2

b2

a2b2 22 2容易驗(yàn)證下列公式：

z z (1)zz

zz

，(2)zz

zz

，(3)

1)

z0，1 2 1 2

1 2 1

z z 22 2(4)zz2Re(z),zz2iIm(z)，zzx2y2(Rez)2(Imz)2，zz zz (5)Rez

, ，(6)zz.2 顯然，復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律.C三、復(fù)平面（Complexplane）作映射：CR2:zxiy(x,y)，則在復(fù)數(shù)集與平面R21-1虛軸；把實(shí)軸和虛軸決定的整個(gè)坐標(biāo)平面我們稱為復(fù)平面（Complexplane）或Z平面.3zw-平面等.§1.2(Therepresentationofcomplexnumber)一、復(fù)數(shù)的模和輻角（ComplexmodulusandArgument）zxiy用向量op來(lái)表示.向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)x2y2數(shù)zxiy的模，記作：|zx2y2向量與正實(shí)軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)zxiy輻角（ArgumentArz.P(x,y)yzrox xo由于任意非零復(fù)數(shù)有無(wú)限多個(gè)輻角，用argz表示符合條件argz的一個(gè)角，稱為復(fù)數(shù)zxiy主輻角（MainArgument）.即的主值，于是Argzargz2k k0,2,z此時(shí)有z

z ArgzArgz. z

zz4當(dāng)z0時(shí)輻角無(wú)意義.z0（argz

arctan

y）arctan

y,當(dāng)x0,y0;x

2 x 2 , 當(dāng)x0y2 yargz

arctan

,當(dāng)x0,y0;z0 arctany

,當(dāng)x0,y0;其中

arctany2 x 2例1求Arg(2i)及Arg(-34i)解 Arg(22i)arg(22i)2k2arctan22k2 2k (k0,2,)Arg3)ar3)arctan42k3 4(2karctan3

(k0,1,2,)二、復(fù)數(shù)模的三角不等式（Pluraltriangleinequality）關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)z 與z1 2

的和與差的模，有下列不等式：（1）|zz1 （3）|zz1

z1z1

||z2||z2

|（2）|zz1 |（4）|zz1

z1z1

||z2||z2

||；||；（5）|Rez|z|,|Imz|z|（6）|z|2zz.例2設(shè)zz1 2

是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：|zz1 2

|2|z1

|2|z2

|22Re(zz),12證明z1

z2

z1

z2

z2z21

z 2

zz z12

z2z1 1

z 2

zz1

zz12z21

z 2

2Rezz12三、復(fù)數(shù)的三角表示（Representationofcomplexnumbers）1、復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示（PluralPoint）zxiyy，另一方面，在平面直y也對(duì)應(yīng)有序?qū)崝?shù)對(duì)，因此復(fù)數(shù)zxiy可yzz同義2、復(fù)數(shù)的向量表示（Complexvectorthat）我們已經(jīng)知道復(fù)數(shù)zxiy等同于平面中的向量op復(fù)數(shù)zxiy可用向量op來(lái)表示，3、復(fù)數(shù)的三角表示（Complextrianglethat）z0z的模為rz角，則zisin),z的注5：一個(gè)復(fù)數(shù)的三角表示不是唯一的例3寫出復(fù)數(shù)1i的三角表示解因?yàn)?i

i242

，所以 1i 2cos isin 4 4也可以表示為 1i 2cos isin 4 4例4設(shè)zrcosisin 1求復(fù)數(shù)

的三角表示z解因?yàn)? z, zr,zisin，所以z z211isin1iz r r4、復(fù)數(shù)的指數(shù)表示（Saidpluralindex）由歐拉公式，可得復(fù)數(shù)zisinz例5將復(fù)數(shù)1cosisin化為指數(shù)式解

0 1cosisin2sin2 2isin cos 2 2 22sinsinicos22 22sincosisin

2 2 2

2 2 2sin

e2 2 2四、用復(fù)數(shù)的三角表示作乘除法（Withthecomplextrianglethatmakemultiplicationanddivision）利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們表示復(fù)數(shù)的乘法與除法：設(shè)z，1z 是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，則有2z |z1 1

|(cos1

isin) z1

|z2

|(cos2

isin)2則有zz |z ||z |[cos( )isin( )]12 1 2 1 2 1 2有|zz1 2

||z1

||z2

|，Arg(zz12

)Argz1

Argz2

，后一個(gè)式子應(yīng)理解為集合相等.同理，對(duì)除法有z1zz1 [cos(z1zz 1

)isin(2

)]2即|z1z2

2z1z，z1z2

2z1)Argzz 12

，后一個(gè)式子也應(yīng)理2解為集合相等.五、復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方（Involutionandevolutionofcomplexnumbers）1、復(fù)數(shù)的乘方（Apowercomplex）設(shè)復(fù)數(shù)zrcosisin，則對(duì)正整數(shù)nznrnisinn （1）當(dāng)r1時(shí)，即icosnisinn （2）（2）式稱為棣莫弗（DeMoivre）公式2、復(fù)數(shù)的開(kāi)方（Evolutionofcomplexnumbers）開(kāi)方是乘方的逆運(yùn)算，設(shè)wnzwzzn次方根.記作nz1wzn （z0）nz1令zisin wisin于是就有

ncoisinnrcoisi由此推出1rn,1

12kn

k0,1,2,故得1wzn1

n|z|[cos(12kisin(12kn nk2, （3）當(dāng)k1w有n個(gè)互不相同的值.（3）可寫成1wzn1

n|z|[cos(12kisin(12kn nk2,,n1 （4）例6求

的所有值4(14(1i)解：由于1i 2(cos isin )，所以有4 44(14(1i)82[cos (

2k)

1isin (

2k)]4 4 4 44i) k 4i)82[cos( )isin( 16 2 16 2k0,1,2,3.7z23iz(3i)0 94(3i)解z2 94(3i)z

3i(2i) 2 2 z1(22i)1i, z1 2

1(24i)121、復(fù)數(shù)的概念（zxiy）2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算3、復(fù)平面4、復(fù)數(shù)的模和輻角x2yx2y2Argzargz2k k2,5、復(fù)數(shù)的三角不等式6、復(fù)數(shù)的表示法（代數(shù)表示、三角表示、指數(shù)表示）7、復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方znrn

isin

zn

znArgzn

nArgz1wzn1

|z|[cos(12kisin(12knn nnk0,1,2,2 1§1.3平面點(diǎn)集的一般概念§1.4復(fù)球面與無(wú)窮大§1.5復(fù)變函數(shù)開(kāi)集與閉集、區(qū)域、平面曲線、復(fù)球面、復(fù)變函數(shù)的概念、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)、一致連續(xù)性、有界閉區(qū)域E上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).1、了解復(fù)平面上點(diǎn)集的一般概念2、理解復(fù)球面與復(fù)平面的關(guān)系3、充分理解關(guān)于單值函數(shù)、多值函數(shù)的概念4、理解復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)無(wú)窮大與復(fù)球面講授法多媒體與板書相結(jié)合P習(xí)題一：10-1628一、復(fù)球面與無(wú)窮大二、復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)三、有界閉區(qū)域E《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解1、基本掌握復(fù)變函數(shù)的極限運(yùn)算2、能夠理解關(guān)于單值函數(shù)、多值函數(shù)的概念3、基本理解復(fù)球面與復(fù)平面的關(guān)系第二講授課題目：§1.3平面點(diǎn)集的一般概念§1.4復(fù)球面與無(wú)窮大§1.5復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)、一致連續(xù)性、有界閉區(qū)域E上連學(xué)時(shí)安排：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、了解復(fù)平面上點(diǎn)集的一般概念2、理解復(fù)球面與復(fù)平面的關(guān)系3、充分理解關(guān)于單值函數(shù)、多值函數(shù)的概念4、理解復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)教學(xué)難點(diǎn)：無(wú)窮大與復(fù)球面教學(xué)方式：多媒體與板書相結(jié)合作業(yè)布置：P習(xí)題一：10-1628板書設(shè)計(jì)：一、復(fù)球面與無(wú)窮大二、復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)E參考資料：1、《復(fù)變函數(shù)》，西交大高等數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社.2等教育出版.課后記事：1、基本掌握復(fù)變函數(shù)的極限運(yùn)算2、能夠理解關(guān)于單值函數(shù)、多值函數(shù)的概念3、基本理解復(fù)球面與復(fù)平面的關(guān)系教學(xué)過(guò)程：§1.3復(fù)平面上點(diǎn)集的一般概念(Elementaryconceptionofpointsetincomplexplane)一、開(kāi)集與閉集（Opensetandclosedset）設(shè)zC,0，點(diǎn)集0{z||zz ,zC},0稱為點(diǎn)z0

的鄰域，記作U(z0

,)注1：U(a,r){z||zz ,zC},設(shè)GC,zC，0 0若0，使得U(z,)G，則稱z 為G的內(nèi)點(diǎn)0 0（Interiorpoint；若0,U(z,G中既有屬于G的點(diǎn)，又有不屬于0G的點(diǎn)，則稱z0

為G的邊界點(diǎn)（Boundarypoints；集G的全部邊界點(diǎn)所組成的集合稱為G的邊界（r記為；若0U(z,G{zz為G的孤0 0 0立點(diǎn)（Outlier；的一定是G的（Boundarypoints）如果G的所有點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，那么稱G為開(kāi)集；如果0GU(0,,則稱G是（Boundedset，否則稱G是無(wú)界集；例1圓盤U(z0

,)是有界開(kāi)集；2集合G{z||zz0|rz0r的圓周，G是圓盤U(z

,r)和閉圓盤U(z0

,r)的邊界.03復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸是無(wú)界集，復(fù)平面是無(wú)界開(kāi)集.4點(diǎn)集Gz|0zz}z0 0是點(diǎn)集G的邊界點(diǎn).它是G的孤立點(diǎn)，二、區(qū)域（Region）復(fù)平面C上的點(diǎn)集D是一個(gè)區(qū)域，如果滿足：（1）D是開(kāi)集；DD線連起來(lái).換句話說(shuō)：區(qū)域就是連通的開(kāi)集區(qū)域D內(nèi)及其邊界上全部點(diǎn)所組成的點(diǎn)集稱為 閉區(qū)域（Closedarea）.記作G5點(diǎn)集Gz|2Rez通的無(wú)界區(qū)域，其邊界為直線Rez2及Rez3.例6點(diǎn)集G{z|2arg(zi)3}為一角形區(qū)域，它是一個(gè)連通無(wú)界區(qū)域，其邊界為半射線arg(zi2及arg(zi3三、平面曲線（Planecurve）設(shè)zz(t)(atb) 如果Rez(t) 和Imz(t都在閉區(qū)間[a,b上連續(xù)，則稱點(diǎn)集{z(t|t[a,b]}為一條連續(xù)曲線（Continuouscurve）.如果對(duì)[a,b]上任意不同兩點(diǎn)t及t1 2

，但不同時(shí)是[a,b]的端點(diǎn)，我們有z(t1

)z(t2

)，那么上述點(diǎn)集稱為一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線（Simplecontinuousclosedcurve，或約當(dāng)曲線（curvez(a)zb)（continuousclosedcurve，或約當(dāng)閉曲線（Jordancurve）.約當(dāng)定理（JordanTheorem：復(fù)平面分成兩個(gè)沒(méi)有公共點(diǎn)的區(qū)域：一個(gè)有界的稱為該區(qū)域的界.光滑曲線（SmoothcurvextRezt)和Imz(t都在閉區(qū)間[a,b上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在[a,b]z'(t)0{z(t|t[a,b為一（Smoothcurve由有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線成為逐段光滑曲線.設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，若在D內(nèi)無(wú)論怎樣劃簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于DD為單連通區(qū)域（Simplyconnected（Multi-connectedregion）7集合{z|2|zi}|zi2及|zi2.§1.4復(fù)球面與無(wú)窮大1、復(fù)球面（Complexsphere）在點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y,u) 的三維空間中，把XOY面看作就是z平面.考慮單位球面Sx2y2u21O（南極）zOz平面的直線與球面交于一點(diǎn)Nz平面上的點(diǎn)y,0的直線,即復(fù)平面上的點(diǎn)Ax,y,0都對(duì)應(yīng)球面上的點(diǎn).反過(guò)來(lái)也成立.那么N(0,0,1)與復(fù)平面上的哪一點(diǎn)對(duì)應(yīng)？約定:在復(fù)平面上有一個(gè)理想的點(diǎn),稱之為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),其投影為N(0,0,1).（下圖形是錯(cuò)的）A'(x',y',u')A(x,y,0)

uNyxOS(0,0,1)2、無(wú)窮大（Infinity）N引入一個(gè)新的非正常復(fù)數(shù)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)C{為擴(kuò)充復(fù)平面（Extendedcomplexplane，記為C復(fù)球面（Complexsphere；.關(guān)于新“數(shù)”無(wú)窮大（Infinity），作如下幾點(diǎn)規(guī)定其實(shí)部、虛部、輻角無(wú)意義，模等于；基本運(yùn)算為（a為有限復(fù)數(shù)：aa； aa (a0)；aa

aa平面包含點(diǎn).注：擴(kuò)充復(fù)平面上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域，包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足zM0的所有點(diǎn)的集合:zM稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足zM0的所有點(diǎn)的集合:zM稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域§1.5復(fù)變函數(shù)(Complexanalysis)一、復(fù)變函數(shù)的概念（Theconceptofcomplexfunction）CGzxiyG，如果存在一fwuivCfG上的一個(gè)單值復(fù)變數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為復(fù)變函數(shù)，記為wf(z).不是單值復(fù)變數(shù)函數(shù)的復(fù)變數(shù)函數(shù)稱為多值復(fù)變數(shù)函數(shù).點(diǎn)集G稱為復(fù)變數(shù)函數(shù)wf(z體稱為復(fù)變數(shù)函數(shù)wf(zD注：一個(gè)復(fù)變函數(shù)等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變量的實(shí)值函數(shù)：zxiywRef(ziImf(z)u(xyiv(xy)，則wf(z等價(jià)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)uu(xy和vv(xy.wf(zGD把集合G表示在一個(gè)復(fù)平面上，稱為zwf(zw-平面.wf(z)z0

G映射成為wf(z0 0

)D，wAz0

和G的象，而稱z0

和GwD0的原象.8f(z)

x1

1 x2y2

iy1

1 x2y2將f(z)表示成z的函數(shù).解1 1設(shè)zxiy,則x

(zz),y2

(zz)2i

f(z)z1.z二、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)（LimitsandcontinuityofComplexfunctions）復(fù)變函數(shù)的極限定義（Definition）1.1設(shè)函數(shù)wf(z)在點(diǎn)z 的去心鄰0域z0|zz 內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的復(fù)常數(shù)A.0如果任給0，總存在正數(shù)()0，對(duì)任意z：0|zz0

|，有|f(z)A，則稱A為函數(shù)f(z)當(dāng)z趨于z 時(shí)的極限（limits，記作：0limf(z)A或f(z)A(當(dāng)zz).zz 00類似于實(shí)函數(shù)極限的性質(zhì)，有設(shè)limf(z)A limg(z)B,則zz0

zz 0lim f(z)gz AB0zz0limf(z)gzABzz0fz A(3)limzz0

gz

B0.B定理1.1f(z)u(x,yiv(xy在點(diǎn)集G上有定義，z0

x iy0

AaiblimfzAaib的zzG(z0G充要條件是

lim u(x,y)

lim v(x,y)(x,y)(x0

,y)00

(x,

,y)00(x,y0證明（略