2022年數(shù)學(xué)八年級(jí)上《提公因式法2》課件(新人教版)

14.3因式分解14.3.1提公因式法14.3因式分解1．了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系．2．理解提公因式法并能熟練地運(yùn)用提公因式法分解因式．3．通過學(xué)生自行探求解題途徑，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和創(chuàng)新能力，深化學(xué)生逆向思維能力.1．了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)整式的乘法計(jì)算以下各式:x(x+1)=(x+1)(x－1)=x2+xx2－1整式的乘法計(jì)算以下各式:x2+xx2－1請(qǐng)把以下多項(xiàng)式寫成整式的乘積的形式:(1)x2+x=__________;(2)x2–1=__________.x(x+1)(x+1)(x-1)

上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式,像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.整式的乘法與因式分解有什么關(guān)系？請(qǐng)把以下多項(xiàng)式寫成整式的乘積的形式:x(x+1)(x+1)(x2-1

因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解與整式乘法是方向相反的變形.x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解與整

由p(a+b+c)=pa+pb+pc可得:pa+pb+pc=p(a+b+c)這樣就把pa+pb+pc分解成兩個(gè)因式乘積的形式,其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式p,另一個(gè)因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p所得的商.

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式p,我們把因式p

叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的_______.pa+pb+pc

公因式由p(a+b+c)=pa+pb+pc可得:pa【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公因式1.系數(shù)的最大公約數(shù)

42.找相同字母aｂ3.相同字母的最低指數(shù)a1b2

公因式為：4ab2【解析】8a3b2+12ab3c

=4ab2?2a2+4ab2?3bc

=4ab2(2a2+3bc).【例題】【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公【解析】a〔x－3〕+2b〔x－3〕=(x－3)(a+2b).【例2】把a(bǔ)〔x－3〕+2b〔x－3〕分解因式.分析：這個(gè)多項(xiàng)式整體而言可分為兩大項(xiàng)，即a(x－3)與2b(x－3)，每項(xiàng)中都含有〔x－3〕,因此可以把(x－3)作為公因式提出來.【解析】a〔x－3〕+2b〔x－3〕【例2】把a(bǔ)〔x－3〕+把以下各式分解因式:1.a〔x－y〕+b〔y－x〕;分析：雖然a〔x－y)與b(y－x)看上去沒有公因式，但仔細(xì)觀察可以看出〔x－y)與(y－x〕互為相反數(shù)，如果把其中一個(gè)提取一個(gè)“－〞號(hào)，那么可以出現(xiàn)公因式，如：y－x=－〔x－y〕【解析】a〔x－y〕+b〔y－x〕=a〔x－y〕－b〔x－y〕=〔x－y〕〔a－b〕.【跟蹤訓(xùn)練】把以下各式分解因式:分析：雖然a〔x－y)與b(y－x)看上【解析】6〔m－n〕3－12〔n－m〕2=6〔m－n〕3－12［－〔m－n〕］2=6〔m－n〕3－12〔m－n〕2=6〔m－n〕2〔m－n－2〕.2.6〔m－n〕3－12〔n－m〕2【解析】6〔m－n〕3－12〔n－m〕22.6〔m－n〕3請(qǐng)?jiān)谝韵赂魇降忍?hào)右邊的括號(hào)前填入“+〞或“－〞號(hào)，使等式成立:〔1〕2－a=______〔a－2〕;〔2〕y－x=_____〔x－y〕;〔3〕b+a=______〔a+b〕;〔4〕〔b－a〕2=_____〔a－b〕2;〔5〕－m－n=_____〔m+n〕;〔6〕－s2+t2=_____〔s2－t2〕.--++----++--2.〔蘇州·中考〕分解因式a2－a=．【解析】a2－a=a(a-1).答案：a(a-1)3.〔鹽城·中考〕因式分解

【解析】用提公因式法因式分解：答案：2a(a-2)

2.〔蘇州·中考〕分解因式a2－a=．3.〔鹽城·4.寫出以下多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.〔1〕ma+mb〔2〕4kx－8ky〔3〕5y3+20y2〔4〕a2b－2ab2+abm4k5y2ab4.寫出以下多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.m4k5y2ab〔1〕8x－72〔2〕a2b－5ab〔3〕4m3－6m2〔4〕a2b－5ab+9b〔5〕－a2+ab－ac=8〔x－9〕=ab〔a－5〕=2m2〔2m－3〕=b〔a2－5a+9〕=－〔a2－ab+ac〕=－a〔a－b+c〕=8〔x－9〕=ab〔a－5〕=2m2〔2m－3〕=b〔a2我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)。現(xiàn)在你能答復(fù)我一些問題嗎？我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)?，F(xiàn)在你能答復(fù)我一些問題嗎一、復(fù)習(xí)：1、等腰三角形的性質(zhì)定理是什么？等腰三角形的兩個(gè)底角相等。〔可以簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角〕2、這個(gè)定理的逆命題是什么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。3、這個(gè)命題正確嗎？你能證明嗎？一、復(fù)習(xí)：1、等腰三角形的性質(zhì)定理是什么？等腰三角形的兩個(gè)底導(dǎo)入新課如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠A=∠B．如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能大約同時(shí)趕到出事地點(diǎn)〔不考慮風(fēng)浪因素〕？導(dǎo)入新課如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？現(xiàn)在我們把這個(gè)問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？為什么它們所對(duì)的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明．

我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等。反過來，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

思考

現(xiàn)在我們把這個(gè)問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

為什么它們所對(duì)的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明．

在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)：△ABC中，∠B=∠C求證：AB=AC證明：作∠BAC的平分線AD在△

BAD和△

CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD∴△BAD≌△CAD〔AAS〕∴AB=AC〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕1ABCD2：△ABC中，∠B=∠C求證：AB=AC證明：作∠BAC的平等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等〔簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊〞〕．注意：使用“等邊對(duì)等角〞前提是－－－在同一個(gè)三角形中等腰三角形的判定方法：注意：使用“等邊對(duì)等角〞前提是－－－在例2求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。ABCDE12：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，

AD∥BC。求證：AB=AC分析：從求證看：要證AB=AC，可先證明∠B=∠C，因?yàn)椤?=∠2，所以可以設(shè)法找出∠B，∠C與∠B，∠C的關(guān)系。課本P78例2求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于ABCDE12：證明：∵AD∥BC，ABCDE12∴∠1=∠B〔兩直線平行，同位角相等〕，∠2=∠C〔兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕。又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC〔等邊對(duì)等角〕。證明：∵AD∥BC，ABCDE12∴∠1=∠B〔兩直線平行，例3，〔課本P78)等腰三角形邊長為a，底邊上的高為h，求作這個(gè)等腰三角形。ahCMABDN作法：〔1〕作線段AB=a；〔2〕作線段AB的垂直平分線MN，于AB相交于點(diǎn)D；〔3〕在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h〔4〕連接AC，BC，那么△ABC就是所求作的等腰三角形例3，〔課本P78)等腰三角形邊長為a，底邊上的高為h，求作練習(xí)：課本P79練習(xí)1題2題3題4題練習(xí)：課本P79練習(xí)談?wù)勀愕氖斋@！談?wù)勀愕氖斋@！2、等腰三角形的判定方法有下列幾種：。3、等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理的區(qū)別是

。4、運(yùn)用等腰三角形的判定定理時(shí)，應(yīng)注意

。1、等腰三角形的判定定理的內(nèi)容是什么？小結(jié)①定義，②判定定理?xiàng)l件和結(jié)論剛好相反。在同一個(gè)三角形中2、等腰三角形的判定方法有下列幾種：。3、等腰三角形的判定定家庭作業(yè)：課本P82--83：5題，6題，10題，13題（選做）家庭作業(yè)：課本P82--83：敬請(qǐng)各位老師指導(dǎo)再見敬請(qǐng)各位老師指導(dǎo)再見練習(xí)1BADC已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC。求證：AB=AD解答練習(xí)1BADC已知：如圖，解答B(yǎng)ADC證明：∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∵∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∴AB=ADBADC證明：∵AD∥BC[例2]如圖〔1〕，標(biāo)桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它的中點(diǎn)C向地面上與點(diǎn)B距離相等的D、E兩點(diǎn)拉兩條繩子，使得D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，繩子CD和CE要多長？[例2]如圖〔1〕，標(biāo)桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由這是一個(gè)與實(shí)際生活相關(guān)的問題，解決這類型問題，需要將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型．此題是在等腰三角形中等腰三角形的底邊和底邊上的高，求腰長的問題．

解：選取比例尺為1：100〔即為1cm代表1m〕．

〔1〕作線段DE=4cm；

〔2〕作線段DE的垂直平分線MN，與DE交于點(diǎn)B；

〔3〕在MN上截取BC=2.5cm；

〔4〕連接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的長，就可以算出要求的繩長．這是一個(gè)與實(shí)際生活相關(guān)的問題，解決這類型問題，需要將實(shí)際問題練習(xí)2CBAD12已知：如圖，∠A=∠DBC=360，∠C=720。計(jì)算∠1和∠2，并說明圖中有哪些等腰三角形？∠1=720∠2=360等腰三角形有：△ABC，△

ABD，△

BCD練習(xí)2CBAD12已知：如圖，∠A=∠DBC=360，練習(xí)32．如圖，把一張矩形的紙沿對(duì)角線折疊．重合局部是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？練習(xí)32．如圖，把一張矩形的紙沿對(duì)角線折疊．重合局部是一個(gè)等14.3因式分解14.3.1提公因式法14.3因式分解1．了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系．2．理解提公因式法并能熟練地運(yùn)用提公因式法分解因式．3．通過學(xué)生自行探求解題途徑，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和創(chuàng)新能力，深化學(xué)生逆向思維能力.1．了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)整式的乘法計(jì)算以下各式:x(x+1)=(x+1)(x－1)=x2+xx2－1整式的乘法計(jì)算以下各式:x2+xx2－1請(qǐng)把以下多項(xiàng)式寫成整式的乘積的形式:(1)x2+x=__________;(2)x2–1=__________.x(x+1)(x+1)(x-1)

上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式,像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.整式的乘法與因式分解有什么關(guān)系？請(qǐng)把以下多項(xiàng)式寫成整式的乘積的形式:x(x+1)(x+1)(x2-1

因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解與整式乘法是方向相反的變形.x2-1因式分解整式乘法(x+1)(x-1)因式分解與整

由p(a+b+c)=pa+pb+pc可得:pa+pb+pc=p(a+b+c)這樣就把pa+pb+pc分解成兩個(gè)因式乘積的形式,其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式p,另一個(gè)因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p所得的商.

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式p,我們把因式p

叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的_______.pa+pb+pc

公因式由p(a+b+c)=pa+pb+pc可得:pa【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公因式1.系數(shù)的最大公約數(shù)

42.找相同字母aｂ3.相同字母的最低指數(shù)a1b2

公因式為：4ab2【解析】8a3b2+12ab3c

=4ab2?2a2+4ab2?3bc

=4ab2(2a2+3bc).【例題】【例1】把8a3b2+12ab3c分解因式.分析：找公【解析】a〔x－3〕+2b〔x－3〕=(x－3)(a+2b).【例2】把a(bǔ)〔x－3〕+2b〔x－3〕分解因式.分析：這個(gè)多項(xiàng)式整體而言可分為兩大項(xiàng)，即a(x－3)與2b(x－3)，每項(xiàng)中都含有〔x－3〕,因此可以把(x－3)作為公因式提出來.【解析】a〔x－3〕+2b〔x－3〕【例2】把a(bǔ)〔x－3〕+把以下各式分解因式:1.a〔x－y〕+b〔y－x〕;分析：雖然a〔x－y)與b(y－x)看上去沒有公因式，但仔細(xì)觀察可以看出〔x－y)與(y－x〕互為相反數(shù)，如果把其中一個(gè)提取一個(gè)“－〞號(hào)，那么可以出現(xiàn)公因式，如：y－x=－〔x－y〕【解析】a〔x－y〕+b〔y－x〕=a〔x－y〕－b〔x－y〕=〔x－y〕〔a－b〕.【跟蹤訓(xùn)練】把以下各式分解因式:分析：雖然a〔x－y)與b(y－x)看上【解析】6〔m－n〕3－12〔n－m〕2=6〔m－n〕3－12［－〔m－n〕］2=6〔m－n〕3－12〔m－n〕2=6〔m－n〕2〔m－n－2〕.2.6〔m－n〕3－12〔n－m〕2【解析】6〔m－n〕3－12〔n－m〕22.6〔m－n〕3請(qǐng)?jiān)谝韵赂魇降忍?hào)右邊的括號(hào)前填入“+〞或“－〞號(hào)，使等式成立:〔1〕2－a=______〔a－2〕;〔2〕y－x=_____〔x－y〕;〔3〕b+a=______〔a+b〕;〔4〕〔b－a〕2=_____〔a－b〕2;〔5〕－m－n=_____〔m+n〕;〔6〕－s2+t2=_____〔s2－t2〕.--++----++--2.〔蘇州·中考〕分解因式a2－a=．【解析】a2－a=a(a-1).答案：a(a-1)3.〔鹽城·中考〕因式分解

【解析】用提公因式法因式分解：答案：2a(a-2)

2.〔蘇州·中考〕分解因式a2－a=．3.〔鹽城·4.寫出以下多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.〔1〕ma+mb〔2〕4kx－8ky〔3〕5y3+20y2〔4〕a2b－2ab2+abm4k5y2ab4.寫出以下多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.m4k5y2ab〔1〕8x－72〔2〕a2b－5ab〔3〕4m3－6m2〔4〕a2b－5ab+9b〔5〕－a2+ab－ac=8〔x－9〕=ab〔a－5〕=2m2〔2m－3〕=b〔a2－5a+9〕=－〔a2－ab+ac〕=－a〔a－b+c〕=8〔x－9〕=ab〔a－5〕=2m2〔2m－3〕=b〔a2我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)。現(xiàn)在你能答復(fù)我一些問題嗎？我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)。現(xiàn)在你能答復(fù)我一些問題嗎一、復(fù)習(xí)：1、等腰三角形的性質(zhì)定理是什么？等腰三角形的兩個(gè)底角相等?！部梢院?jiǎn)稱：等邊對(duì)等角〕2、這個(gè)定理的逆命題是什么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。3、這個(gè)命題正確嗎？你能證明嗎？一、復(fù)習(xí)：1、等腰三角形的性質(zhì)定理是什么？等腰三角形的兩個(gè)底導(dǎo)入新課如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠A=∠B．如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能大約同時(shí)趕到出事地點(diǎn)〔不考慮風(fēng)浪因素〕？導(dǎo)入新課如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？現(xiàn)在我們把這個(gè)問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？為什么它們所對(duì)的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明．

我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等。反過來，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

思考

現(xiàn)在我們把這個(gè)問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

為什么它們所對(duì)的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明．

在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)：△ABC中，∠B=∠C求證：AB=AC證明：作∠BAC的平分線AD在△

BAD和△

CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD∴△BAD≌△CAD〔AAS〕∴AB=AC〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕1ABCD2：△ABC中，∠B=∠C求證：AB=AC證明：作∠BAC的平等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等〔簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊〞〕．注意：使用“等邊對(duì)等角〞前提是－－－在同一個(gè)三角形中等腰三角形的判定方法：注意：使用“等邊對(duì)等角〞前提是－－－在例2求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。ABCDE12：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，

AD∥BC。求證：AB=AC分析：從求證看：要證AB=AC，可先證明∠B=∠C，因?yàn)椤?=∠2，所以可以設(shè)法找出∠B，∠C與∠B，∠C的關(guān)系。課本P78例2求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于ABCDE12：證明：∵AD∥BC，ABCDE12∴∠1=∠B〔兩直線平行，同位角相等〕，∠2=∠C〔兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕。又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC〔等邊對(duì)等角〕。證明：∵AD∥BC，ABCDE12∴∠1=∠B〔兩直線平行，例3，〔課本P78)等腰三角形邊長為a，底邊上的高為h，求作這個(gè)等腰三角形。ahCMABDN作法：〔1〕作線段AB=a；〔2〕作線段AB的垂直平分線MN，于AB相交于點(diǎn)D；〔3〕在MN上取一點(diǎn)C，使DC=h〔4〕連接AC，BC，那么△ABC就是所求作的等腰三角形例3，〔課本P78)等腰三角形邊長為a，底邊上的高為h，求作練習(xí)：課本P79練習(xí)1題2題3題4題練習(xí)：課本P79練習(xí)談?wù)勀愕氖斋@！談?wù)勀愕氖斋@！2、等腰三角形的判定方法有下列幾種：。3、等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理的區(qū)別是

。4、運(yùn)用等腰三角形的判定定理時(shí)，應(yīng)注意