數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第9章-定積分

§1

定積分的概念

在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要求一類特殊和式的極限:這類特殊極限問題導(dǎo)出了定積分的概念.返回§1定積分的概念在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要三個典型問題1.

設(shè)求曲邊梯形

A的面積S(A),其中yxO三個典型問題1.設(shè)求曲邊梯形A的面積S(A),其2.

已知質(zhì)點運動的速度為求從時刻3.已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為求線狀物體的質(zhì)量

m.顯然,這就是說,在“常值”、“均勻”、“不變”的情況下，a到時刻

b,質(zhì)點運動的路程

s.2.已知質(zhì)點運動的速度為求從時刻3.已知質(zhì)可以用簡單的乘法進行計算.而現(xiàn)在遇到的問題以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類問題中心思想：是“非常值”、“不均勻”、“有變化”的情形，如何來解決這些問題呢？合理地歸為一類特殊和式的極限.把曲邊梯形看作許許多多小的曲邊梯形之和，每個小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來替可以用簡單的乘法進行計算.而現(xiàn)在遇到的問題以下我們以求代，雖然為此會產(chǎn)生誤差，但當分割越來越細的一分為二時候，矩形面積之和就越來越接近于曲邊梯形面積.yxO代，雖然為此會產(chǎn)生誤差，但當分割越來越細的一分為二時候，矩形一分為四yxO一分為四yxO一分為八yxO一分為八yxO一分為

n可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積.yxO一分為n可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積.過程呢？這可以分三步進行.1.

分割：把曲邊梯形A分成n個小曲邊梯形a即在上找到個分點如何嚴格地定義這一越來越逼近曲邊梯形面積的過程呢？這可以分三步進行.1.分割：把曲邊梯形A分2.近似:2.近似:3.逼近：不管分割多么細，小曲邊梯形終究不是S總有差別.當分割越來越細時，和式問題是：越細？就會越來越小.下面依次討論這兩個問題.與曲邊梯形的面積矩形，因此黎曼和3.逼近：不管分割多么細，小曲邊梯形終究不是S總有差別.來表示分割T越來越細,因為可能某些的長度不趨于

0.就能保證分割越來越細.來表示分割T越來越細,因為可能某些的長度不趨于0.總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.對于另外兩個實際問題,也可類似地歸結(jié)為黎曼和給定的能夠找到的極限.總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.對于另外兩個實際問題,也可定義1并稱

J為

f在

[a,b]上的及任意定積分,記作定義1并稱J為f在[a,b]上的及任意定積分,記作數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分注1列極限，也不是函數(shù)極限.注2

中,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時,顯然要求因此定積分既不是數(shù)關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點：f(x)在每個小區(qū)間[xi–1,xi]上變化不大,這相當于要求f(x)有某種程度上的連續(xù)性.

注1列極限，也不是函數(shù)極限.注2中,我們把小曲邊梯形近似看[a,b]上的一致連續(xù)性,可證f(x)在[a,b]上可積.下面舉例來加深理解用定義求定積分的方法.解例1存在.為方便起見,令以后將知道

f(x)在[a,b]上連續(xù)時,利用f(x)在[a,b]上的一致連續(xù)性,可證f(x)在[a,b則此時黎曼和的極限化為的極限.則此時黎曼和的極限化為的極限.于是注這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性.因為可積,所以可取特殊的分割(等分)和特殊的介點于是注這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性.因為可積,所以可取特殊的

顯然,按定義計算定積分非常困難,§2

牛頓－萊布尼茨公式須尋找新的途徑計算定積分.在本節(jié)中,介紹牛頓－萊布尼茨公式,從而建立了定積分與不定積分之間的聯(lián)系,大大簡化了定積分的計算.返回顯然,按定義計算定積分非常困難,§2牛頓－萊布尼若質(zhì)點以速度

v=

v(t)作變速直線運動,由定積分注意到路程函數(shù)

s(t)是速度函數(shù)v(t)的原函數(shù),定義,質(zhì)點從時該a到b所經(jīng)過的路程為.另一方面,質(zhì)點從某時刻

a

到時刻

b所經(jīng)過的路于是程記為

s(b)-

s(a),則

因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來了,這就是下面的牛頓—萊布尼茨公式.若質(zhì)點以速度v=v(t)作變速直線運動,由定積分注定理9.1(牛頓—萊布尼茨公式)函數(shù)f在[a,b]上滿足條件:(i)f在[a,b]上連續(xù),(ii)f在[a,b]上有原函數(shù)F,則(1)f在[a,b]上可積;定理9.1(牛頓—萊布尼茨公式)函數(shù)f在[a,b]證因f在[a,b]上一致連續(xù),則任取又F在上滿足拉格朗日中值定理條件,于是證因f在[a,b]上一致連續(xù),則任取又F數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分注1以后將證明,若f在[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]注2條件(i)不是必要條件,以后將舉例說明,存在例2解上必有原函數(shù)F(x).因此條件(ii)是多余的.函數(shù)f

在[a,b]上有間斷點,但f在[a,b]上仍可積.注1以后將證明,若f在[a,b]上連續(xù),則例3解例4解用牛頓—萊布尼茨公式還可以求一些和式的極限.例3解例4解用牛頓—萊布尼茨公式還可以求一些和式的極限.例5解上黎曼和的極限.其中分割和介點分別為例5解上黎曼和的極限.其中分割和介點分別為因此例6解令因此例6解令因此則因此則判別一個函數(shù)

f(x)

在[a,b]上是否可積,就是判別§3

可積條件的性質(zhì)（例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等）來判別極限是否存在.在實際應(yīng)用中，直接按定義來判定是困難的.我們希望由函數(shù)本身函數(shù)的可積性.為此,先給出可積準則,并以此證明有界性是可積的必要條件而非充分條件,連續(xù)性是可積的充分條件而非必要條件.返回判別一個函數(shù)f(x)在[a,b]上是否可積,就是判定理9.1

(可積必有界）若函數(shù)在上可積，則在上必有界.證設(shè)由定義,對于是定理9.1(可積必有界）若函數(shù)在數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分于是矛盾.以下例子告訴我們,有界性并不是可積的充分條件.于是矛盾.以下例子告訴我們,有界性并不是可積的充分條件.證若D(x)在

[a,b]上可積,則證若D(x)在[a,b]上可積,則于是而這與相矛盾,所以于是而這與相矛盾,所以稱為

f關(guān)于分割

T的上和,其中稱為

f關(guān)于分割

T的下和,其中對任意分割定義2稱為f關(guān)于分割T的上和,其中稱定理9.3（可積準則）函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條件是：此定理將在本章第六節(jié)定理

9.15中證明.在用它振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍,是一個與連續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念.證明可積性問題時,有多種方法可使定理9.3（可積準則）函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條常見的有三種方法,下面分別作出介紹.每個，從而第一種方法:定理9.4（連續(xù)必可積）連續(xù)，則可積.若連續(xù),從而一致連續(xù).于證常見的有三種方法,下面分別作出介紹.每個，從而第一種方法:定從而因此當從而因此當?shù)诙N方法:第二種方法:定理9.5（單調(diào)必可積）證不妨設(shè)是非常值的增函數(shù)，則對任意分割于是因此,若是非常值的增函數(shù)，則對任意分割于是因此,若第三種方法:第三種方法:于是于是定理9.6（有限個間斷點的有界函數(shù)必可積）若有界,且只有有限多個不連續(xù)點，此時可用第三種方法證明

f可積.

f

在[a,b]上可積.只有一個間斷點,且為

b.證不妨設(shè)若有界,且只有有限多個不連續(xù)點，此時可用第三種方法證明f使則存在分割使則存在分割令則例2

證明黎曼函數(shù)令則例2證明黎曼函數(shù)上可積,且證的有理數(shù)只有有限多個,設(shè)它們?yōu)榉指钍沟男^(qū)間至多有2k

個,記為因此這些小區(qū)間長度之和為上可積,且證的有理數(shù)只有有限多個,設(shè)它們?yōu)榉指钍沟男^(qū)間至多從而從而數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分復(fù)習(xí)思考題1.f(x)為[a,b]上的有界函數(shù),

其不連續(xù)點的集合求證f在[a,b]上可積.2.f(x)在[a,b]上不連續(xù)點的集合為,它們在試問f在[a,b]上是否一定不可積？[a,b]中稠密,即為E0.若復(fù)習(xí)思考題1.f(x)為[a,b]上的有界函數(shù)§4

定積分的性質(zhì)一、定積分的性質(zhì)

本節(jié)將討論定積分的性質(zhì),包括定積分的線性性質(zhì)、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、積分不等式與積分中值定理,這些性質(zhì)為定積分研究和計算提供了新的工具.二、積分中值定理返回§4定積分的性質(zhì)一、定積分的性質(zhì)本節(jié)將討論定證一、定積分的性質(zhì)從而性質(zhì)1

k為常數(shù),則kf若

f在

[a,b]上可積，證一、定積分的性質(zhì)從而性質(zhì)1k為常數(shù),則kf若因此性質(zhì)2

可積,且證因此性質(zhì)2可積,且證從而因此，f±g在[a,b]上可積,且從而因此，f±g在[a,b]上可積,且性質(zhì)3證性質(zhì)3證并而成的新分割),則于是并而成的新分割),則于是因此fg在

[a,b]上可積.性質(zhì)4f在[a,b]上可積的充要條件是:證(充分性)若

f在

[a,c]與

[c,b]上可積,則因此fg在[a,b]上可積.性質(zhì)4f在[a(必要性)因此,f在[a,b]上可積.在T上加入分點

c得到新的分割由§3習(xí)題第1題,知道(必要性)因此,f在[a,b]上可積.在T上加入因此，f在

[a,c]與

[c,b]上都可積.若

f在

[a,b]上可積,由必要性證明,若分割

T使點因此，f在[a,c]與[c,b]上都可積.若性質(zhì)5證注性質(zhì)5證注因此推論證因此推論證

若

f在

[a,b]上可積,則

|

f|在

[a,b]上也性質(zhì)6證即可積,且若f在[a,b]上可積,則|f|因此證得注1一般不能推得上連續(xù)，則可得到嚴格不等式因此證得注1一般不能推得上連續(xù)，則可得到嚴格不等式例1證由連續(xù)函數(shù)的局部保號性質(zhì),由此推得例1證由連續(xù)函數(shù)的局部保號性質(zhì),由此推得即即此結(jié)論,由本章總練習(xí)題10證明.注3注2此結(jié)論,由本章總練習(xí)題10證明.注3注2二、積分中值定理定理9.7(積分第一中值定理)

證由于f在[a,b]上連續(xù)，因此存在最大值M和最小值m.由于二、積分中值定理定理9.7(積分第一中值定理)證由注1內(nèi)取到,事實上若由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，則由連續(xù)函數(shù)的介值定理,必恒有注1內(nèi)取到,事實上若由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，則由連續(xù)函數(shù)的因此因此注2

積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示:注2積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示:定理9.8

(推廣的積分第一中值定理）定理9.8(推廣的積分第一中值定理）證證數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分復(fù)習(xí)思考題1.2.復(fù)習(xí)思考題1.2.§5

微積分學(xué)基本定理

一、變限積分與原函數(shù)的存在性

本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理,并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性.在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法.

三、泰勒公式的積分型余項

二、換元積分法與分部積分法返回§5微積分學(xué)基本定理一、變限積分與原函數(shù)的存在一、變限積分與原函數(shù)的存在性積分;類似稱為變下限的定積分.定理9.9(變上限定積分的連續(xù)性)證則為變上限的定一、變限積分與原函數(shù)的存在性積分;類似稱為變下限的定積分.于是定理9.10（微積分學(xué)基本定理)若f在

[a,b]上連續(xù),上處處可導(dǎo),且由

x的任意性,

f在

[a,b]上連續(xù).于是定理9.10（微積分學(xué)基本定理)若f在[a,b證由于

f在

x處連續(xù)，因此注1

本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個表面上似續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)”這個重要結(jié)論.乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,也證明了“連證由于f在x處連續(xù)，因此注1本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定注2

由于f的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù),定理9.11(積分第二中值定理)設(shè)

f在[a,b]上可積.(i)若函數(shù)

g在

[a,b]上單調(diào)減,且則存所以當f為連續(xù)函數(shù)時,它的任一原函數(shù)F必為注2由于f的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù),定理9(ii)若函數(shù)

g在

[a,b]上單調(diào)增,

且則存證這里只證

(i),類似可證(ii).證明分以下五步:(1)對任意分割

T：(ii)若函數(shù)g在[a,b]上單調(diào)增,且則存證數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分(4)綜合

(2),(3),得到(4)綜合(2),(3),得到推論即推論即證若

g為單調(diào)遞減函數(shù)，則h非負、單調(diào)減,由定理

9.11(i)，因此證若g為單調(diào)遞減函數(shù)，則h非負、單調(diào)減,由定理9即得即得二、換元積分法與分部積分法則證定理9.12（定積分換元積分法）的一個原函數(shù).因此二、換元積分法與分部積分法則證定理9.12（定積分換元積分注與不定積分不同之處:定積分換元后不一定要例1解（不變元,不變限）元積分法時，引入了新變量，此時須改變積分限.保留原積分變量，因此不必改變積分限;用第二換用原變量代回.一般說來，用第一換元積分法時，注與不定積分不同之處:定積分換元后不一定要例1解（不變元例2解（變元,變限）例2解（變元,變限）例3解（必須注意偶次根式的非負性）例3解（必須注意偶次根式的非負性）例4解例4解因此,定理9.13（定積分分部積分法）若

u(x),v(x)為

[a,b]上的連續(xù)可微函數(shù),則有定因此,定理9.13（定積分分部積分法）若u(x),v(x)積分的分部積分公式：證因為

uv是在

[a,b]上的一個原函數(shù),移項后則得所以積分的分部積分公式：證因為uv是在[a,b]上例5解例5解例6解于是例6解于是其中其中若

u(x),v(x)在

[a,b]上有

(n+1)階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則三、泰勒公式的積分型余項由此可得以下帶積分型余項的泰勒公式.若u(x),v(x)在[a,b]上有(n+1)階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則則定理9.14階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則則定理9.14注由推廣的積分第一中值定理,可得拉格朗日型注由推廣的積分第一中值定理,可得拉格朗日型由積分第一中值定理,可得由積分第一中值定理,可得此式稱為泰勒公式的柯西型余項.若記此式稱為泰勒公式的柯西型余項.若記復(fù)習(xí)思考題復(fù)習(xí)思考題(2)給出正確證明(提示:需要借助變限積分).要求:(1)指出其中三處錯誤;(2)給出正確證明(提示:需要借助變限積分).要*§6

可積性理論補敘一、上和與下和的性質(zhì)

本節(jié)首先證明達布定理,然后用達布定理證明函數(shù)可積的第一、第二、第三充要條件,其中第二充要條件即為第三節(jié)中介紹的可積準則.二、可積的充要條件返回*§6可積性理論補敘一、上和與下和的性質(zhì)本一、上和與下和的性質(zhì)

有相應(yīng)的上和與下和:由§2,一、上和與下和的性質(zhì)有相應(yīng)的上和與下和:由§2,其中其中上和的幾何意義:曲邊梯形“外接”矩形下和的幾何意義:曲邊梯形“內(nèi)接”矩形面積之和.面積之和.xyOxyO上和的幾何意義:曲邊梯形“外接”矩形下和的幾何意義:曲邊梯形性質(zhì)1證性質(zhì)1證數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分性質(zhì)2證性質(zhì)2證由于由于數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分性質(zhì)3性質(zhì)4證由性質(zhì)2可直接得到:性質(zhì)3性質(zhì)4證由性質(zhì)2可直接得到:性質(zhì)5定義3都存在,分別稱為

f在[a,b]上的上積分與下積分.定理9.14(達布定理)證性質(zhì)5定義3都存在,分別稱為f在[a,b]上的上因此由性質(zhì)2和性質(zhì)3,得到因此由性質(zhì)2和性質(zhì)3,得到二、可積的充要條件定理9.15(可積的第一充要條件)證(必要性)二、可積的充要條件定理9.15(可積的第一充要條件)證(充分性)(充分性)定理9.16(可積的第二充要條件)定理9.16(可積的第二充要條件)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分證(必要性)(充分性)證(必要性)(充分性)定理9.17(可積的第三充要條件)于是證(必要性)定理9.17(可積的第三充要條件)于是證(必要性)(充分性)(充分性)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分例1證因此有例1證因此有數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分證例2證例2數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分復(fù)習(xí)思考題1.

可積第二充要條件的以下兩種敘述是等價的:請予以證明.復(fù)習(xí)思考題1.可積第二充要條件的以下兩種敘述是等價的:請予§1

定積分的概念

在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要求一類特殊和式的極限:這類特殊極限問題導(dǎo)出了定積分的概念.返回§1定積分的概念在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要三個典型問題1.

設(shè)求曲邊梯形

A的面積S(A),其中yxO三個典型問題1.設(shè)求曲邊梯形A的面積S(A),其2.

已知質(zhì)點運動的速度為求從時刻3.已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為求線狀物體的質(zhì)量

m.顯然,這就是說,在“常值”、“均勻”、“不變”的情況下，a到時刻

b,質(zhì)點運動的路程

s.2.已知質(zhì)點運動的速度為求從時刻3.已知質(zhì)可以用簡單的乘法進行計算.而現(xiàn)在遇到的問題以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類問題中心思想：是“非常值”、“不均勻”、“有變化”的情形，如何來解決這些問題呢？合理地歸為一類特殊和式的極限.把曲邊梯形看作許許多多小的曲邊梯形之和，每個小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來替可以用簡單的乘法進行計算.而現(xiàn)在遇到的問題以下我們以求代，雖然為此會產(chǎn)生誤差，但當分割越來越細的一分為二時候，矩形面積之和就越來越接近于曲邊梯形面積.yxO代，雖然為此會產(chǎn)生誤差，但當分割越來越細的一分為二時候，矩形一分為四yxO一分為四yxO一分為八yxO一分為八yxO一分為

n可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積.yxO一分為n可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積.過程呢？這可以分三步進行.1.

分割：把曲邊梯形A分成n個小曲邊梯形a即在上找到個分點如何嚴格地定義這一越來越逼近曲邊梯形面積的過程呢？這可以分三步進行.1.分割：把曲邊梯形A分2.近似:2.近似:3.逼近：不管分割多么細，小曲邊梯形終究不是S總有差別.當分割越來越細時，和式問題是：越細？就會越來越小.下面依次討論這兩個問題.與曲邊梯形的面積矩形，因此黎曼和3.逼近：不管分割多么細，小曲邊梯形終究不是S總有差別.來表示分割T越來越細,因為可能某些的長度不趨于

0.就能保證分割越來越細.來表示分割T越來越細,因為可能某些的長度不趨于0.總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.對于另外兩個實際問題,也可類似地歸結(jié)為黎曼和給定的能夠找到的極限.總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.對于另外兩個實際問題,也可定義1并稱

J為

f在

[a,b]上的及任意定積分,記作定義1并稱J為f在[a,b]上的及任意定積分,記作數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分注1列極限，也不是函數(shù)極限.注2

中,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時,顯然要求因此定積分既不是數(shù)關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點：f(x)在每個小區(qū)間[xi–1,xi]上變化不大,這相當于要求f(x)有某種程度上的連續(xù)性.

注1列極限，也不是函數(shù)極限.注2中,我們把小曲邊梯形近似看[a,b]上的一致連續(xù)性,可證f(x)在[a,b]上可積.下面舉例來加深理解用定義求定積分的方法.解例1存在.為方便起見,令以后將知道

f(x)在[a,b]上連續(xù)時,利用f(x)在[a,b]上的一致連續(xù)性,可證f(x)在[a,b則此時黎曼和的極限化為的極限.則此時黎曼和的極限化為的極限.于是注這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性.因為可積,所以可取特殊的分割(等分)和特殊的介點于是注這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性.因為可積,所以可取特殊的

顯然,按定義計算定積分非常困難,§2

牛頓－萊布尼茨公式須尋找新的途徑計算定積分.在本節(jié)中,介紹牛頓－萊布尼茨公式,從而建立了定積分與不定積分之間的聯(lián)系,大大簡化了定積分的計算.返回顯然,按定義計算定積分非常困難,§2牛頓－萊布尼若質(zhì)點以速度

v=

v(t)作變速直線運動,由定積分注意到路程函數(shù)

s(t)是速度函數(shù)v(t)的原函數(shù),定義,質(zhì)點從時該a到b所經(jīng)過的路程為.另一方面,質(zhì)點從某時刻

a

到時刻

b所經(jīng)過的路于是程記為

s(b)-

s(a),則

因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來了,這就是下面的牛頓—萊布尼茨公式.若質(zhì)點以速度v=v(t)作變速直線運動,由定積分注定理9.1(牛頓—萊布尼茨公式)函數(shù)f在[a,b]上滿足條件:(i)f在[a,b]上連續(xù),(ii)f在[a,b]上有原函數(shù)F,則(1)f在[a,b]上可積;定理9.1(牛頓—萊布尼茨公式)函數(shù)f在[a,b]證因f在[a,b]上一致連續(xù),則任取又F在上滿足拉格朗日中值定理條件,于是證因f在[a,b]上一致連續(xù),則任取又F數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分注1以后將證明,若f在[a,b]上連續(xù),則f在[a,b]注2條件(i)不是必要條件,以后將舉例說明,存在例2解上必有原函數(shù)F(x).因此條件(ii)是多余的.函數(shù)f

在[a,b]上有間斷點,但f在[a,b]上仍可積.注1以后將證明,若f在[a,b]上連續(xù),則例3解例4解用牛頓—萊布尼茨公式還可以求一些和式的極限.例3解例4解用牛頓—萊布尼茨公式還可以求一些和式的極限.例5解上黎曼和的極限.其中分割和介點分別為例5解上黎曼和的極限.其中分割和介點分別為因此例6解令因此例6解令因此則因此則判別一個函數(shù)

f(x)

在[a,b]上是否可積,就是判別§3

可積條件的性質(zhì)（例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等）來判別極限是否存在.在實際應(yīng)用中，直接按定義來判定是困難的.我們希望由函數(shù)本身函數(shù)的可積性.為此,先給出可積準則,并以此證明有界性是可積的必要條件而非充分條件,連續(xù)性是可積的充分條件而非必要條件.返回判別一個函數(shù)f(x)在[a,b]上是否可積,就是判定理9.1

(可積必有界）若函數(shù)在上可積，則在上必有界.證設(shè)由定義,對于是定理9.1(可積必有界）若函數(shù)在數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分于是矛盾.以下例子告訴我們,有界性并不是可積的充分條件.于是矛盾.以下例子告訴我們,有界性并不是可積的充分條件.證若D(x)在

[a,b]上可積,則證若D(x)在[a,b]上可積,則于是而這與相矛盾,所以于是而這與相矛盾,所以稱為

f關(guān)于分割

T的上和,其中稱為

f關(guān)于分割

T的下和,其中對任意分割定義2稱為f關(guān)于分割T的上和,其中稱定理9.3（可積準則）函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條件是：此定理將在本章第六節(jié)定理

9.15中證明.在用它振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍,是一個與連續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念.證明可積性問題時,有多種方法可使定理9.3（可積準則）函數(shù)f在[a,b]上可積的充要條常見的有三種方法,下面分別作出介紹.每個，從而第一種方法:定理9.4（連續(xù)必可積）連續(xù)，則可積.若連續(xù),從而一致連續(xù).于證常見的有三種方法,下面分別作出介紹.每個，從而第一種方法:定從而因此當從而因此當?shù)诙N方法:第二種方法:定理9.5（單調(diào)必可積）證不妨設(shè)是非常值的增函數(shù)，則對任意分割于是因此,若是非常值的增函數(shù)，則對任意分割于是因此,若第三種方法:第三種方法:于是于是定理9.6（有限個間斷點的有界函數(shù)必可積）若有界,且只有有限多個不連續(xù)點，此時可用第三種方法證明

f可積.

f

在[a,b]上可積.只有一個間斷點,且為

b.證不妨設(shè)若有界,且只有有限多個不連續(xù)點，此時可用第三種方法證明f使則存在分割使則存在分割令則例2

證明黎曼函數(shù)令則例2證明黎曼函數(shù)上可積,且證的有理數(shù)只有有限多個,設(shè)它們?yōu)榉指钍沟男^(qū)間至多有2k

個,記為因此這些小區(qū)間長度之和為上可積,且證的有理數(shù)只有有限多個,設(shè)它們?yōu)榉指钍沟男^(qū)間至多從而從而數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分復(fù)習(xí)思考題1.f(x)為[a,b]上的有界函數(shù),

其不連續(xù)點的集合求證f在[a,b]上可積.2.f(x)在[a,b]上不連續(xù)點的集合為,它們在試問f在[a,b]上是否一定不可積？[a,b]中稠密,即為E0.若復(fù)習(xí)思考題1.f(x)為[a,b]上的有界函數(shù)§4

定積分的性質(zhì)一、定積分的性質(zhì)

本節(jié)將討論定積分的性質(zhì),包括定積分的線性性質(zhì)、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、積分不等式與積分中值定理,這些性質(zhì)為定積分研究和計算提供了新的工具.二、積分中值定理返回§4定積分的性質(zhì)一、定積分的性質(zhì)本節(jié)將討論定證一、定積分的性質(zhì)從而性質(zhì)1

k為常數(shù),則kf若

f在

[a,b]上可積，證一、定積分的性質(zhì)從而性質(zhì)1k為常數(shù),則kf若因此性質(zhì)2

可積,且證因此性質(zhì)2可積,且證從而因此，f±g在[a,b]上可積,且從而因此，f±g在[a,b]上可積,且性質(zhì)3證性質(zhì)3證并而成的新分割),則于是并而成的新分割),則于是因此fg在

[a,b]上可積.性質(zhì)4f在[a,b]上可積的充要條件是:證(充分性)若

f在

[a,c]與

[c,b]上可積,則因此fg在[a,b]上可積.性質(zhì)4f在[a(必要性)因此,f在[a,b]上可積.在T上加入分點

c得到新的分割由§3習(xí)題第1題,知道(必要性)因此,f在[a,b]上可積.在T上加入因此，f在

[a,c]與

[c,b]上都可積.若

f在

[a,b]上可積,由必要性證明,若分割

T使點因此，f在[a,c]與[c,b]上都可積.若性質(zhì)5證注性質(zhì)5證注因此推論證因此推論證

若

f在

[a,b]上可積,則

|

f|在

[a,b]上也性質(zhì)6證即可積,且若f在[a,b]上可積,則|f|因此證得注1一般不能推得上連續(xù)，則可得到嚴格不等式因此證得注1一般不能推得上連續(xù)，則可得到嚴格不等式例1證由連續(xù)函數(shù)的局部保號性質(zhì),由此推得例1證由連續(xù)函數(shù)的局部保號性質(zhì),由此推得即即此結(jié)論,由本章總練習(xí)題10證明.注3注2此結(jié)論,由本章總練習(xí)題10證明.注3注2二、積分中值定理定理9.7(積分第一中值定理)

證由于f在[a,b]上連續(xù)，因此存在最大值M和最小值m.由于二、積分中值定理定理9.7(積分第一中值定理)證由注1內(nèi)取到,事實上若由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，則由連續(xù)函數(shù)的介值定理,必恒有注1內(nèi)取到,事實上若由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，則由連續(xù)函數(shù)的因此因此注2

積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示:注2積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示:定理9.8

(推廣的積分第一中值定理）定理9.8(推廣的積分第一中值定理）證證數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分復(fù)習(xí)思考題1.2.復(fù)習(xí)思考題1.2.§5

微積分學(xué)基本定理

一、變限積分與原函數(shù)的存在性

本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理,并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性.在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法.

三、泰勒公式的積分型余項

二、換元積分法與分部積分法返回§5微積分學(xué)基本定理一、變限積分與原函數(shù)的存在一、變限積分與原函數(shù)的存在性積分;類似稱為變下限的定積分.定理9.9(變上限定積分的連續(xù)性)證則為變上限的定一、變限積分與原函數(shù)的存在性積分;類似稱為變下限的定積分.于是定理9.10（微積分學(xué)基本定理)若f在

[a,b]上連續(xù),上處處可導(dǎo),且由

x的任意性,

f在

[a,b]上連續(xù).于是定理9.10（微積分學(xué)基本定理)若f在[a,b證由于

f在

x處連續(xù)，因此注1

本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個表面上似續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)”這個重要結(jié)論.乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,也證明了“連證由于f在x處連續(xù)，因此注1本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定注2

由于f的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù),定理9.11(積分第二中值定理)設(shè)

f在[a,b]上可積.(i)若函數(shù)

g在

[a,b]上單調(diào)減,且則存所以當f為連續(xù)函數(shù)時,它的任一原函數(shù)F必為注2由于f的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù),定理9(ii)若函數(shù)

g在

[a,b]上單調(diào)增,

且則存證這里只證

(i),類似可證(ii).證明分以下五步:(1)對任意分割

T：(ii)若函數(shù)g在[a,b]上單調(diào)增,且則存證數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制--第9章-定積分(4)綜合

(2),(3),得到(4)綜合(2),(3),得到推論即推論即證若

g為單調(diào)遞減函數(shù)，則h非負、單調(diào)減,由定理

9.11(i)，因此證若g為單調(diào)遞減函數(shù)，則h非負、單調(diào)減,由定理9即得即得二、換元積分法與分部積分法則證定理9.12（定積分換元積分法）的一個原函數(shù).因此二、換元積分法與分部積分法則證定理9.12（定積分換元積分注與不定積分不同之處:定積分換元后不一定要例1解（不變元,不變限）元積分法時，引入了新變量，此時須改變積分限.保留原積分變量，因此不必改變積分限;用第二換用原