幾何圖形的歸納,猜想,證明問(wèn)題

幾何圖形的歸納，猜想，證明問(wèn)題【前言】實(shí)行新課標(biāo)以來(lái)，中考加大了對(duì)考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察，所以大多放在填空壓軸題來(lái)出。根據(jù)學(xué)生反映，這種問(wèn)題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇+填空就只錯(cuò)了這一道。對(duì)于這類(lèi)歸納總結(jié)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，思考的方法是最重要的，所以一下我們通過(guò)今年的一二模真題來(lái)看看如何應(yīng)對(duì)這種新題型。第一部分真題精講【例1】如圖，n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B2DC的面積為S，擔(dān)3D2c2的面積為$，ABn+DnCn的面積為Sn，則S=；Sn=——（用含n的式子表示）.【思路分析】拿到這種題型，第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出，不至于看錯(cuò)。但是如果不標(biāo)就會(huì)有同學(xué)誤以為所求的面積是△B2AC2,皿3AC3這種的，第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先S2所代表的三角形的底邊C2D2是三角形AC2D2的底邊，而這個(gè)三角形和△AC3&是相似的.所以邊長(zhǎng)的比例就是AC2與AC3的比值.于是S=1圖1葭=2叵.接下來(lái)通過(guò)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)所求的~23三角形有一個(gè)最大的共性就是高相等，為點(diǎn)（連接上面所有的B點(diǎn)，將陰影部分放在反過(guò)來(lái)的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問(wèn)題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點(diǎn)連線的邊都是平行的，于是自然可以得出Dn自然是所在邊上的n+1等分點(diǎn).例如D2就是B2C2的一個(gè)三等分點(diǎn).于是nP=n+1_1.（n+1-1是什么意思？為什么要DnCn-2減1?)112n-3nSbec”=一DnCn33=22n1n1［例2］在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱(chēng)邊長(zhǎng)為1且頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點(diǎn)正方形，如圖，麥形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（_80）,（04）,（80），（0.）,則菱形ABCD能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)是個(gè)；若菱形△n的（0）-4）AnBnCnDn四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（_2n,0），（0,n），（2n,0），（0,—n）（n為正整數(shù)），則菱形AnBnCnDn能覆蓋的單位格點(diǎn)正方形的個(gè)數(shù)為（用含有n的式子表示）.【思路分析】此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提供一種方法，其他方法大家可以自己去想想看。因?yàn)榍蟮氖橇庑伟恼叫蝹€(gè)數(shù)，所以只需求出被X,Y軸所分的四個(gè)三角形包涵的個(gè)數(shù)，再乘以4即可。比如我們來(lái)看第二象限那個(gè)三角形。第二象限菱形那條邊過(guò)（-2n,0）（0,n）,自然可以寫(xiě)出直線解析式為1,，斜率1意味著什么？看上圖，注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形，這些RT三角形一y二一xn,22共有2n/2=n個(gè)，他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是1?而且這些直角三角形都是全2等的，面積均為兩個(gè)單位格點(diǎn)正方形的一半.那么整個(gè)的△AOB的面積自然就是1。，所2nn‘2有n個(gè)空白小三角形的面積之和為n121,相減之后自然就是所有格點(diǎn)正方形的面積222.n-n,也就是數(shù)量了.所以整個(gè)菱形的正方形格點(diǎn)就是4n-4n.

【例3】如圖，ZAOB=45。，過(guò)OA上到點(diǎn)O的距離分別為1,3,57911...的點(diǎn)作0A的垂線與OB相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為GGGG….則第一個(gè)黑色梯形的面積SIsS2sS3sS4，S=;觀察圖中的規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）個(gè)黑色梯形的面積GSn一【思路分析】本題方法也比較多樣。所有陰影部分都是一個(gè)直角梯形，而因?yàn)?AOB=45?,所以梯形的上下底長(zhǎng)度分別都對(duì)應(yīng)了垂足到0點(diǎn)的距離，而高則是固定的2。-1,CC■第一個(gè)梯形上底是1,下底是3,所以SI=-I+3）2=4.第二個(gè)梯形面積11S2=2e7）2=12第三個(gè)是&=萬(wàn)（9）2=2。，至此，我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實(shí)就是上下底的和.而且各個(gè)梯形的上底都是前一個(gè)梯形上底加上4。于是第n個(gè)梯形的上—匕「A3J-ki3iy1-—11—-j——D3I一)A22D211Ai1Di1F=1T1-3-2-1O231xB1-1ciii?■J--B2-2C211B311-3T—Ct!一1底就是1+4（n-1）=4n-3,（第一個(gè)梯形的上底1加上（n-1）個(gè)4.）下底自然就是4n-1,于是&就是8n-4.【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn).請(qǐng)你觀察圖中正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3C3D3……每個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).按此規(guī)律推算出正方形A10B10C10D10四條邊上的整點(diǎn)共有個(gè).【思路分析】此題看似麻煩，但是只要把握住“正方形”這個(gè)關(guān)鍵就可以了。對(duì)于ABnCnDn來(lái)說(shuō)，每條邊的長(zhǎng)度是2n,那么自然整點(diǎn)個(gè)數(shù)就是2n+1,所以四條邊上整點(diǎn)一共有（2n+1）x4-4=8n（個(gè)）（要減去四個(gè)被重復(fù)算的頂點(diǎn)）,于是A0B10G0D10就是80個(gè).［例5］如圖，4ABC中，ZACB=90,AC=BC=1,取斜邊的卜中點(diǎn)，向斜邊做垂線，畫(huà)出一個(gè)新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去,直到所畫(huà)直角三角形的斜邊與4ABC的BC邊重疊為止，此時(shí)這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為【思路分析】本題依然要找出每個(gè)三角形和上一個(gè)三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點(diǎn)”“垂線”“等腰直角”。這就意味著每個(gè)三角形的銳角都是45度，并且直角邊都是上一個(gè)三角形直角邊的一半。繞一圈是360度，包涵了8個(gè)45。。于是繞到第八次就可以和1BC重疊了，此時(shí)邊長(zhǎng)為△ABC的—，故而得解。8【例6】如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形△，再以等腰直角三角形△的斜邊為直角ABA］ABA）邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形ABB，，，，如此作下去，若0A=OB=1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積S=（n為正整數(shù)）.【思路分析】和上題很類(lèi)似的幾何圖形外延拓展問(wèn)題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得S=",S2=2,S3=4...,分子就是1,2,4,8,16這樣的數(shù)列。于是S=22222【總結(jié)】幾何圖形的歸納總結(jié)問(wèn)題其實(shí)就包括了代數(shù)方面的數(shù)列問(wèn)題，只不過(guò)需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么，然后找出各個(gè)未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過(guò)程中，哪些變了，哪些沒(méi)有變。最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項(xiàng)去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問(wèn)題時(shí)，不妨先寫(xiě)出第一項(xiàng)，第二項(xiàng)，第三項(xiàng)然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6就是一例，如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化，直接列出前幾項(xiàng)的面積就可以大膽的猜測(cè)出來(lái)結(jié)果了。這類(lèi)題目計(jì)算量往往不大，重在思考和分析的方法，還請(qǐng)考生細(xì)心掌握。

第二部分發(fā)散思考【思考1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，巳（01）,b（03）,&（0,6），b4第二部分發(fā)散思考【思考1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，巳（01）,b（03）,&（0,6），b4（0,10），…以bB2為對(duì)角線作第一個(gè)正方形Ab1cle2，以口口為對(duì)角線作第二個(gè)正方形ARrR，以aa為對(duì)角線作第三個(gè)正L^B3^^2B2c2B3B3B4方形A3B3c3B4…如果所作正方形的對(duì)角線BB斗都在y軸上，且B&平的長(zhǎng)度依次增加1個(gè)單位，頂點(diǎn)4都在第一象限內(nèi)5>1,且門(mén)為整數(shù)）.那An么a的縱坐標(biāo)為;用n的代數(shù)式表示八的縱坐標(biāo):An【思考2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點(diǎn)p處開(kāi)始跳動(dòng)，第次跳到點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)口處，接著跳到點(diǎn)p關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2處，第三次再跳到點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)處,如此循環(huán)下去.當(dāng)跳動(dòng)第2009次時(shí)，棋子落點(diǎn)處的坐標(biāo)是【思考3】對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)n的平方進(jìn)行如下“分裂”，分裂成n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù)72的分裂數(shù)中最大的數(shù)是,自然數(shù)n2的分裂數(shù)中最大的數(shù)是【思考4】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及x軸、y軸上運(yùn)動(dòng),在第一秒鐘,它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（。,1），然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，即（0q）t（0,1）T（"）-）（1,0）T…，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是21y31n【思考5】如圖，將邊長(zhǎng)為——（n=1,2,3,…）的正方形紙片從左到右順次擺放,2其