《高等代數(shù)與解析幾何》教學(xué)大綱

《高等代數(shù)與解析幾何》教學(xué)大綱適用范圍：2017本科人才培養(yǎng)方案課程代碼：13110181/13110191課程類別：通識(shí)教育必修課學(xué)分：9學(xué)分學(xué)時(shí)：144學(xué)時(shí)先修課程：初等數(shù)學(xué)適用專業(yè)：金融數(shù)學(xué)教材：《高等代數(shù)與解析幾何》（第二版），同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2016開(kāi)課單位：基礎(chǔ)部一、課程的性質(zhì)與任務(wù)課程性質(zhì)：本課程是金融數(shù)學(xué)專業(yè)本科學(xué)生的通識(shí)教育必修課?！陡叩却鷶?shù)》是在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象的進(jìn)一步擴(kuò)充，主要包括線性代數(shù)和多項(xiàng)式代數(shù)兩個(gè)部分?！督馕鰩缀巍穭t是初等數(shù)學(xué)通向高等數(shù)學(xué)的橋梁，是大部分?jǐn)?shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)?？臻g解析幾何是用坐標(biāo)法，把數(shù)學(xué)的基本對(duì)象與數(shù)量關(guān)系緊密地聯(lián)系起來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了重要作用。課程任務(wù)：其任務(wù)主要是討論行列式、矩陣、向量代數(shù)、線性方程組、多項(xiàng)式理論、二次型、向量空間、線性變換、歐氏空間、二次型、常見(jiàn)曲面的基本理論與一般分析方法。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握高等代數(shù)與解析幾何的基本概念、基本理論和基本方法，提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、想象能力、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用能力，同時(shí)為學(xué)習(xí)后續(xù)課程打下必要的基礎(chǔ)。二、課程的基本內(nèi)容及要求（一）一元多項(xiàng)式1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）多項(xiàng)式定義和多項(xiàng)式的表達(dá)式、次數(shù)概念、帶余除法和幾個(gè)整除性質(zhì)；（2）最高公因式、輾轉(zhuǎn)相除法的計(jì)算格式、最高公因式的表達(dá)式、互素概念；（3）不可約多項(xiàng)式的概念、因式分解的唯一性定理、標(biāo)準(zhǔn)分解式、導(dǎo)數(shù)和重因式的判定；（4）余數(shù)定理、根與一次因式的關(guān)系、代數(shù)基本定理、復(fù)因式分解定理、實(shí)因式分解定理、本原多項(xiàng)式、Gauss引理、Eisenstein判別法。2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):帶余數(shù)除法；對(duì)簡(jiǎn)單多項(xiàng)式作有無(wú)重因式的判定；代數(shù)基本定理；復(fù)因式分解定理；實(shí)因式分解定定理；判定有理數(shù)域上的簡(jiǎn)單的不可約多項(xiàng)式。難點(diǎn):用輾轉(zhuǎn)相除法求最高公因式的表達(dá)式、Eisenstein判別法、判定有理數(shù)域上的簡(jiǎn)單的不可約多項(xiàng)式。3．課程教學(xué)要求（1）了解多項(xiàng)式的概念和次數(shù)關(guān)系；掌握帶余除法和了解有關(guān)多項(xiàng)式整除的性質(zhì)。（2）理解最高公因式和互素概念；了解輾轉(zhuǎn)相除法；會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法求最高公因式的表達(dá)式。（3）了解不可約多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)；理解因式和因式分解的唯一性定理；會(huì)作簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解；會(huì)對(duì)簡(jiǎn)單多項(xiàng)式作有無(wú)重因式的判定。（4）了解余數(shù)定理；了解根與一次因式的關(guān)系；理解代數(shù)基本定理；了解復(fù)因式分解定理；理解實(shí)因式分解定理；了解本原多項(xiàng)式和Gauss引理；了解Eisenstein判別法；會(huì)判定不可約的復(fù)多項(xiàng)式和實(shí)多項(xiàng)式；會(huì)判定有理數(shù)域上的簡(jiǎn)單的不可約多項(xiàng)式。（二）空間解析幾何1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）笛卡兒坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)、向量等概念；（2）向量的數(shù)量積及其性質(zhì)、向量的投影、向量的向量積、向量的混合積；（3）曲面方程和曲線方程、空間平面方程、空間直線方程；（4）點(diǎn)到直線和平面的距離公式、平面與平面的關(guān)系、直線與平面的關(guān)系、直線與直線的關(guān)系；（5）柱面的方程、錐面的方程旋轉(zhuǎn)面的方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線；（6）九種二次曲面的方程形式、直紋面的定義和兩種直紋面。2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):向量的向量積的計(jì)算；空間平面方程的求法和空間直線方程的求法。難點(diǎn):空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的求法。3．課程教學(xué)要求（1）理解笛卡兒坐標(biāo)系的建立、了解各卦限的位置、了解柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)、理解向量及其運(yùn)算；（2）掌握向量的數(shù)量積的計(jì)算、了解向量的投影、掌握向量的向量積的計(jì)算、了解向量的混合積及其計(jì)算；（3）了解曲面方程和曲線方程的概念、掌握空間平面方程的求法和空間直線方程的求法、了解過(guò)已知直線的平面束；（4）了解點(diǎn)到直線和平面的距離公式、了解平面與平面的夾角、平行和垂直關(guān)系、理解直線與平面的位置關(guān)系、會(huì)求直線與平面的交角、了解直線與直線的位置關(guān)系、會(huì)求兩異面直線的夾角和距離；（5）了解柱面方程的求法、了解錐面方程的求法、了解旋轉(zhuǎn)面方程的求法、了解空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的求法；（6）了解九種二次曲面的名稱及對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程形式、了解直紋面的定義和兩種直紋面的驗(yàn)證。（三）矩陣代數(shù)1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）矩陣的定義、矩陣的加法和乘法的定義和示例、矩陣的轉(zhuǎn)置和性質(zhì)、矩陣乘法的應(yīng)用；（2）矩陣分塊的定義與分塊乘法的要求、矩陣的初等變換與初等方陣；（3）可逆矩陣的定義與性質(zhì)、矩陣的等價(jià)關(guān)系、矩陣逆的求法、分塊求逆和矩陣方程；（4）線性方程組的矩陣即增廣矩陣的作用、線性方程組解的情況、線性方程組可解判別法。2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):矩陣的乘法、矩陣的逆、線性方程組可解判別法。難點(diǎn):矩陣可逆的判定及其求法、線性方程組解的判別。3．課程教學(xué)要求（1）理解矩陣的定義；理解矩陣的加法和乘法的定義；理解矩陣乘法的性質(zhì)；掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。（2）了解矩陣分塊的概念與分塊乘法的要求；理解矩陣的初等變換；掌握初等方陣的作用。會(huì)用初等變換對(duì)矩陣進(jìn)行化簡(jiǎn)。（3）理解可逆矩陣的定義；掌握可逆矩陣的性質(zhì)；了解矩陣的等價(jià)關(guān)系和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形；熟練掌握矩陣逆的求法。（4）理解線性方程組的增廣矩陣的作用；了解線性方程組解的情況；掌握線性方程組可解判別法；會(huì)用初等變換解線性方程組。（四）方陣的行列式1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）排列、排列的逆序數(shù)的概念、偶排列與奇排列的概念與性質(zhì)、n階行列式；（2）初等變換對(duì)行列式的作用、方陣乘積的行列式；（3）余子式及代數(shù)余子式的定義、行列式按一行（列）展開(kāi)定理；（4）伴隨矩陣的定義、矩陣逆的表示、Cramer法則。2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):行列式的性質(zhì)及計(jì)算、矩陣逆的表示、Cramer法則。難點(diǎn):n級(jí)行列式的定義及性質(zhì)應(yīng)用。3．課程教學(xué)要求（1）了解排列和排列的逆序數(shù)的概念；了解偶排列與奇排列的概念與性質(zhì)；理解n階行列式的定義；能用行列式的定義計(jì)算簡(jiǎn)單n階行列式。（2）掌握初等變換對(duì)行列式的作用形成的性質(zhì)；理解方陣乘積的行列式的性質(zhì)。（3）理解余子式及代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按一行（列）展開(kāi)定理的論述及公式；記住Vandermonde行列式的結(jié)論。（4）理解伴隨矩陣的概念；掌握矩陣逆的表示定理；理解Cramer法則；能用Cramer法則解線性方程組。（五）矩陣的秩與線性方程組1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）線性組合的定義、向量線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義、線性相關(guān)性的判定以及有關(guān)性質(zhì)；（2）向量組的表示和向量組的等價(jià)、極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩；（3）矩陣的秩的概念、初等變換對(duì)矩陣秩的影響；（4）線性方程組解的結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)解系的作用和求法。2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):線性相關(guān)性的判定以及有關(guān)性質(zhì)；矩陣的秩的概念。難點(diǎn):線性方程組解的結(jié)構(gòu)；基礎(chǔ)解系的作用和求法。3．課程教學(xué)要求（1）了解線性組合的概念；理解向量線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的概念；掌握線性相關(guān)性的判定以及有關(guān)性質(zhì)。（2）了解向量組的表示和向量組的等價(jià)；理解極大無(wú)關(guān)組的概念和向量組的秩的概念；會(huì)求向量組的大無(wú)關(guān)組和向量組的秩。（3）了解矩陣的秩的概念；會(huì)用初等變換求矩陣的秩。（4）理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理；會(huì)求基礎(chǔ)解系和用基礎(chǔ)解系表示線性方程組的解。（六）線性空間1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）線性空間的定義和線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)；（2）子空間的定義、子空間的判定、子空間的交與和；（3）線性組合、線性表示的概念、向量組的線性相關(guān)性、基與維數(shù)的概念、空間維數(shù)與子空間維數(shù)的關(guān)系的定理；（4）基變換和過(guò)渡矩陣、一向量在兩個(gè)基下的坐標(biāo)之間的關(guān)系；（5）直和的概念及其判定定理；（6）空間同構(gòu)的定義、兩空間同構(gòu)的條件；（7）線性函數(shù)的定義和例子、對(duì)偶空間的定義及其對(duì)偶基2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):線性空間的定義；向量組的線性相關(guān)性；線性空間的基；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。難點(diǎn):線性空間的定義；向量組的線性相關(guān)性的判定。3．課程教學(xué)要求（1）掌握線性空間的概念；掌握線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)。（2）理解子空間的概念；會(huì)判定子集合是否子空間；理解交子空間與和子空間的概念；會(huì)計(jì)算兩個(gè)子空間的和子空間與交子空間。（3）理解線性組合和線性表示的概念；會(huì)判定向量組的線性相關(guān)性；掌握基與維數(shù)的概念了解空間維數(shù)與子空間維數(shù)的關(guān)系的定理；會(huì)用定理的思想求交子空間與和子空間的基與維數(shù)。（4）掌握基變換公式和能求兩個(gè)基間的過(guò)渡矩陣；掌握坐標(biāo)變換公式。（5）理解直和的概念；了解直和的判定定理以及推廣形式。（6）理解空間同構(gòu)的概念；掌握兩空間同構(gòu)的定理。（7）了解線性函數(shù)的概念；了解對(duì)偶空間和對(duì)偶基的概念。（七）

線性變換與相似矩陣1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）線性變換的定義、線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)、線性變換的代數(shù)可逆線性變換；（2）線性變換在基下的矩陣、相似矩陣的概念；（3）特征值與特征向量的概念、特征子空間的概念、特征多項(xiàng)式的概念、求特征值與特征向量的方法；（4）可對(duì)角化的充要條件、代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)；（5）不變子空間的概念、不變子空間的分解；2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):線性變換在基下的矩陣；特征值與特征向量的求解方法；可對(duì)角化的充要條件求；求解可對(duì)角化的方陣的對(duì)角形及其相應(yīng)的相似變換矩陣。難點(diǎn):特征值與特征向量的求解方法；可對(duì)角化的充要條件；求解可對(duì)角化方陣的對(duì)角形和相應(yīng)的相似變換矩陣。3．課程教學(xué)要求（1）理解線性變換的概念；掌握線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)；理解線性變換所成的代數(shù)；認(rèn)識(shí)可逆線性變換。（2）會(huì)寫(xiě)線性變換在基下的矩陣；理解矩陣的相似概念。（3）理解特征值與特征向量的概念；了解特征子空間的概念；會(huì)求線性變換與矩陣的特征值與特征向量。（4）會(huì)判定方陣可否對(duì)角化；會(huì)求可對(duì)角化時(shí)的對(duì)角形和相應(yīng)的相似變換矩陣。（5）了解不變子空間的概念；了解不變子空間的分解情況。（九）內(nèi)積空間1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）內(nèi)積和歐氏空間的定義、向量的模和模的有關(guān)性質(zhì)、夾角的定義和正交性；（2）正交向量組的定義、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、正交化方法和矩陣的QR分解；（3）子空間的正交和直和分解、垂線最短定理、最小二乘問(wèn)題的解；（4）正交變換的定義、正交變換的性質(zhì)、歐氏空間的同構(gòu)條件、正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣；（5）對(duì)稱變換和對(duì)稱矩陣、對(duì)稱變換的特征值、對(duì)稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形；（6）二次曲面的分類及九種曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程、實(shí)二次型的定義和實(shí)二次型的主軸問(wèn)題。2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):歐氏空間的定義；正交變換與正交矩陣的關(guān)系；對(duì)稱變換的特征值；對(duì)稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形。難點(diǎn):正交變換與正交矩陣的關(guān)系、對(duì)稱變換的特征值、對(duì)稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形。3．課程教學(xué)要求（1）理解內(nèi)積和歐氏空間的概念；會(huì)求向量的長(zhǎng)度和掌握長(zhǎng)度的有關(guān)性質(zhì)；會(huì)求夾角和判定正交性。（2）理解正交向量組的概念；理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念；掌握正交化方法和了解矩陣的QR分解的概念及其方法。（3）了解正交子空間的概念和直和分解定理；了解垂線最短定理；了解最小二乘問(wèn)題的解。（4）理解正交變換的概念；掌握正交變換的性質(zhì)；掌握歐氏空間的同構(gòu)條件；掌握正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣。（5）理解對(duì)稱變換的概念和對(duì)稱矩陣；掌握對(duì)稱變換的特征值和求法；會(huì)求對(duì)稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形及相應(yīng)的正交矩陣。（6）了解二次曲面的分類及九種曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程；理解實(shí)二次型的概念和實(shí)二次型的主軸問(wèn)題的概念。（十）雙線性函數(shù)與二次型1．課程教學(xué)內(nèi)容（1）雙線性函數(shù)的定義、對(duì)稱雙線性函數(shù)的定義、雙線性函數(shù)的度量矩陣、對(duì)稱雙線性函數(shù)與二次型；（2）二次型的替換、矩陣的合同及合同標(biāo)準(zhǔn)形、化簡(jiǎn)二次型；（3）復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形、實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形和慣性定理、符號(hào)差；（4）正定二次型的定義、正定二次型的判定條件、正定矩陣及其判定。2．課程重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型（合同化簡(jiǎn)及正交化簡(jiǎn)）；復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形；實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形和慣性定理；正定矩陣及其判定。難點(diǎn):正交化簡(jiǎn)；慣性定理。3．課程教學(xué)要求（1）了解雙線性函數(shù)和對(duì)稱雙線性函數(shù)的概念、對(duì)稱雙線性函數(shù)與二次型的關(guān)系；理解雙線性函數(shù)的度量矩陣的概念。（2）了解二次型的替換理解矩陣的合同及合同標(biāo)準(zhǔn)形；會(huì)化簡(jiǎn)二次型。（3）了解復(fù)數(shù)域上的規(guī)范形的概念；理解實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形和掌握慣性定理；會(huì)算符號(hào)差中的相關(guān)參數(shù)。（4）理解正定二次型的概念；掌握正定二次型的判定條件；掌握正定矩陣的判定。三、課程學(xué)時(shí)分配教學(xué)章節(jié)理論實(shí)踐（驗(yàn)）討論、習(xí)題一、一元多項(xiàng)式124二、空間解析幾何144三、矩陣代數(shù)104四、方陣的行列式124五、矩陣的秩與線性方程組124六、線性空間124七、線性變換與相似矩陣144九、內(nèi)積空間104十、雙線性函數(shù)與二次型124總計(jì)10836四、大綱說(shuō)明1．本大綱的制定依據(jù)非數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)制定的2014版“金融學(xué)類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”。2．本大綱為進(jìn)行《高等代數(shù)與解析幾何》課程教學(xué)的指導(dǎo)性文件，大綱的基本要求是學(xué)習(xí)本課程應(yīng)達(dá)到的最低要求。3．對(duì)本課程的概念、理論的要求由低到高用“了解”、“理解”表述；方法、運(yùn)算的要求由低到高用“會(huì)”和“掌握”表述。4．適當(dāng)注意教學(xué)自身的系統(tǒng)性和邏輯性。對(duì)于在金融行業(yè)中應(yīng)用較多的基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法和基本技能應(yīng)重點(diǎn)加強(qiáng)，使學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決專業(yè)課中的相關(guān)問(wèn)題。5．注意基本運(yùn)算技能的訓(xùn)練。五、課程考核考核方式和考核時(shí)間：本課程采用閉卷筆試考核方式，考試時(shí)間120分鐘?？己嘶疽螅嚎己丝偝煽?jī)由期末試卷成績(jī)和作業(yè)評(píng)價(jià)等過(guò)程化成績(jī)組成。其中：期末試卷成績(jī)?yōu)?00分（權(quán)重80%），試題類型為填空題、選