立體幾何計算：求體積歸類2021-2022學年高一下學期題型歸納與變式演練(人教A版2019必修第二冊)（解析版）

專題11立體幾何大題計算：求體積歸類目錄TOC\o"1-5"\h\z一、熱點題型歸類 1【題型一】體積1:常規(guī)型（直接法） 1【題型二】體積2：體積轉化（等體積型，夾縫體積型） 6【題型三】 體積3：多面體型（切割與補形） 10【題型四】體積4：異形體積比 15【題型五】體積應用1：點到面的距離 19【題型六】體積應用2：最值（難點） 22【題型七】體積應用3：翻折型 28【題型八】體積綜合型 32二、最新?？碱}組練 36盤隨熱點致型忸他［題型二1體積1:常規(guī)型（直接法）【例1】如圖,在圓錐PO中，A,B,C為底面圓上的三個點，OC〃AB,且PO=3OC=2A8=6,PE=2BE.（1）證明：CE〃平面尸AO.（2）求四棱錐E-ABCO的體積.【答案】（1）證明見解析⑵亞6【分析】（1）設線段AP上靠近A的三等分點為尸，連接EF,OF,再結合條件證明四邊形OCE尸為平行四邊形，分析求解即可；（2）作OGL48于點G,則G為A8的中點，再求出梯形A8C0的面積，由圓錐性質得E到平面ABCO的距離為;P。，再利用公式求解即可.如圖，設線段AP上靠近A的三等分點為F,連接EF,OF.PFPF2 2因為二二==；，所以aPEFs/BA，所以“7/AE，且=PBPA3 32因為OC7/AB,h.OC=-AB,所以EF〃OC,且EF=OC,所以四邊形OCE尸為平行四邊形，所以CE//OF因為CE<Z平面PAO,OFu平面尸AO,所以CE〃平面尸AO. 作OG_LAB于點G,則G為A8的中點，所以06=/22-1|）=,，所以梯形ABC。的面積為生=迫，2 2 4因為PE=2BE,所以E到平面ABCO的距離為|PO=2,所以四棱錐E-ABCO的體積為2x2=偵.3 4 6【例2】已知正三棱柱ABC-AB|G中，AB=2,“是的中點.

(1)求證：AG〃平面AMB；(2)點P是直線AG上的一點，當AG與平面ABC所成的角的正切值為2時，求三棱錐的體積.【答案】⑴證明見解析⑵氈3【分析】(1)連接A四交A.B于點N,連接MN,利用中位線的性質可得出MN//AG，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；(2)利用線面角的定義可求得CC,的長，分析可知點尸到平面AMB的距離等于點G到平面AMB的距離，可得出匕^“8=%-.8=%-43,結合錐體的體積公式可求得結果.(1)證明：連接A4交4出于點N,連接MN,因為四邊形小,8聲為平行四邊形，ABqAB=N,則N為AB1的中點,因為M為B.C,的中點，則MJV//AC,,(346仁平面4朋8,MVu平面AMB,故4C”平面AMB.⑵解：因為CCJ平面ABC,與平面ABC所成的角為NCAG，

cc則tan/CAG=—L=2,AC因為cc則tan/CAG=—L=2,AC.CCtABC,ACu平面ABC,aCC,±AC,所以，CC,=2AC=4,點P到平面\MB的距離等于點C,到平面AtMB的距QAG〃平面4幽8,PgAC,,所以,離，因為M為81點P到平面\MB的距離等于點C,到平面AtMB的距制1/ ,,v1c171G2g則VP-A,MB=VC,-A,MB-%-AGM=gBB「S—c附=§*4X彳=.【例3】已知四棱錐P-A6CD的底面A8C￡＞是菱形，PDJ_平面ABCD,AD=PD=\,ZDAB=60,F,G分別為尸。，BC中點，ACr\BD=O.(1)求證：尸G〃平面R4B；(2)求三棱錐G-刊汨的體積；(3)求證：0P與A8不垂直.【答案】(1)證明見解析⑵且48(3)證明見解析【分析】(I)連接OF，OG,證明。尸〃平面R4B,OG〃平面R4B后由面面平行的判窟定理得證；(2)由體積公式變換％_.稗=；%一.稗=5%.??)，然后計算可得；C3》假設OP?LAB,由線面垂直的判定定理得線面垂直,然后又樨線線垂直,得出矛盾,從而可得結論.證明：如圖，連接。尸，OG,是80中點，尸是中點，AOF//PB.。尸0平面上48，PBu平面R4B,則OF〃平面R48.是AC中點，G是BC中點,：.OdHAB,OGZ平面R4B，AB\平面P4B,則OG〃平面R4B.又(％7口0尸=0,OG,OFu平面OFG,平面OFG〃平面PAB,又FGu平面OFG,則尸G〃平面上鉆.

證明：；POJ_底面ABCD,COu底面ABCD,；.PDA.CO,又四邊形ABC。為菱形，：.CO±BD.又PDp\DB=D,PD、DBu平面PDB,COJ"平面P￡)8,且CO=@,2而尸為RD的中點，.,,lvlv111..>/3x/3,*Vg-pfb=2 = =4X^X2XXX^-=48!證明：假設OPLAB，,/PD_L底面ABCD,ABI底面ABCD,：.PD±AB,且OPnPO=P，OP,POu平面...A8J■平面PDB,而QBu平面PDB,則AB_LDB，與NAB￡)=60"矛盾.???假設錯誤，故OP與AB不垂直.【例4】在如圖所示的幾何體中，底面四邊形ABEF為等腰梯形，〃所，側面四邊形ABCO是矩形，且平面A88_L平面ABE/，EF=2AB=4丘.BC=BE=2.D（1）求證：AF_L平面BCE；（2）求三棱錐A-CEF的體積.【答案】（I）證明見解析;【分析】（1）取E尸的中點為連接BM,證明80，平面8￡。，原題即得證;（2）利用匕-cw=^C-AEF計算即得解.（1）證明：取E尸的中點為“，連接8M ABHMF,:.AFIIBM,,:BE=BM=2,EM=2應，：.BE1+BA/2=EM2,:.BM1BE,因為平面48。。_1平面48防,8（7_148,平面ABC￡）ri平面AB斯=AB.BCu平面ABCDS'fl以BC_L平面ABEF,BC±BM,-.-BCp\BE=B,BC,BEu平面BEC,所以BMJ_平面BEC.AF_L平面BEC⑵解：匕-C￡F =gxgx4夜x夜x2=g【題型二】體積2：體積轉化（等體積型，夾縫體積型）（重點）授課時歸納基本變化型.等體積轉化，多為三棱錐.點轉化型：（1）同底等高：平行線轉化：（2）同底不等高：比列線段轉化；（3）“夾縫型”【例1】如圖所示，在正方體ABCO-A4G。中，E為。R中點.(1)求證：平面AEC；(2)若正方體棱長為2,求三棱錐R-AEC的體積.【答案】(1)證明見解析【分析】(1)連接20交4c于。，連接0E,即可得到OE//B。，從而得證；(2)根據正方體的性質及h_aec=匕一*c=1久p°? 計算可得；證明：連接8D交AC丁-O,連接?！晁?E是的中位線，所以OE//8R,又OEu面A￡C,面AEC,所以平面AEC；解：正方體A8CO-A鳥GA中，4。_1平面￡^6。，所以%TEc=%fEc=gsA*c.AQ=gxgxRExCZ)=；x：xlx2x2=g；【例2】如圖，在棱長為2的正方體ABCD-Ag0R中，設E是CJ的中點.

（1）過點A,C且與平面BRE平行的平面a與此正方體的面相交，交線圍成一個三角形，在圖中畫出這個三角形（說明畫法，不用說明理由）：（2）求四棱錐E-A5GA的體積.【答案】（1）答案見解析:【分析】（1）根據面面平行的性質作圖即可；（2）根據三棱錐的體積比可得％-ABC.=2%用宇再計算即可.取。。的中點“，連接AM,CM,易知“皿為所作三角形.D A因為A8〃C,D,且A8=CQ,四邊形ABCR為平行四邊形.11 4V￡ABCa=2VeBca=2VbDtCE=2x-x-xD.C.xC.ExBC=~,C.-nDy-yU^ C—DC O-L^C|C 32 34故四棱錐E-A8GA的體枳為§.【例3】如圖，在三棱錐P-ABC中，B41.平面ABC,aABC是直角三角形，AC=BC,PA=AB=6.D,E分別是棱PB,PC的中點.(1)證明：平面B4CJ■平面AOE.(2)求三棱錐P-A￡)E的體積.【答案】(1)證明見解析【分析】(1)由題意易知AC_L8C,PA1BC,從而可證BCL平面周C,而由中位線定理可得。E〃BC,于是￡>E_L平面B4C,最后由面面垂直的判定定理可證得平面R1CJ■平面ADE.(2)由等體積法可知三棱錐尸-ADE'J：.棱錐O-R4E的體枳相等，求出三棱錐P-ADE的體積即可求出答案，證明，因為aABC是直角三角形，且AC=8C,所以ACLBC.因為PA_L平面A8C,且BCu平面ABC,所以R4J.BC.因為尸Au平面力C,ACu平面以C,且PADAC=A,所以BC_L平面以C.因為。，E分別是棱P8,PC的中點，所以。E〃BC.因為BC_L平面隙C,所以DE_L平面網C.因為。Eu平面AOE,所以平面R4cL平面AOE._解：因為AB=6,所以AC=BC=3&.因為PAJ■平面ABC,且尸A=6,所以三棱錐P-ABC的體積V=lx1x3&x3&x6=18.32連接8,因為。是棱PB的中點，所以三棱錐?！猂4c的體積Vj=gv=；xl8=9.因為E是棱PC的中點，1 1 9所以三棱錐?！猌4E的體積匕=5匕=2、9=5.因為三棱錐P-ADE與三棱錐力-84￡是同一個三棱錐，9所以P-ADE的體積為-.【例4】如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4_L平面ABCC,四邊形ABCD為正方形，點、F為線段PC上的點，過A,D,F三點的平面與PB交于點E.(1)證明：歷〃平面A8C4；(2)若E為尸8中點，且AB=R4=2,求四棱錐P-AE田的體積.【答案】(1)證明見解析：⑵L【分析】(1)利用線面平行的判定證明AD〃平面PBC,再利用線面平行的性質、判定推理作答.(2)利用線面垂直的性質、判定證明ADJ■平面PAB,進而證得PB_L平面AD尸￡,再借助錐體體積公式計算作答.正方形ABCO中，AD//BC,而BCu平面P8C,平面PBC,4)〃平面PBC,乂ADu'F面.ADFE,平血PBCn平面皿西=在：，則行E尸〃AD,而ADu'l'：面ABCD,所《平面43。。，所以所〃平面ABCD.⑵因R4J■平面ABC￡>,ADu平面A8CO,則A￡>_LB4,又 ABr\PA=A,A及H4u平面則A￡)_L平面E4B,尸8,AEu平面PAB.于是得AE_LA￡>,P5_1_4)，因AS=R4=2,E為尸8中點，則尸BJ_AE,PE=AE=丘，而AEnA￡)=A,AE,AOu平面4)/花，因此，P8J■平面4)/芯，由(1)知E尸〃8C,則有EF=；8c=1, ADFE^^iS=-(EF+AD)-AE=—,所以四棱錐P—AEFD的體積V=，S?PE=，x±^xJ^=l.3 3 2【題型三】體積3:多面體型(切割與補形)規(guī)律：多面體切割，多從表面四邊形對角線處“下刀”【例1】如圖，在四棱柱ABCO-A8G。中，點M是線段4。上的一個動點，E,F分別是8C,CM的中點.(1)設6為棱。。上的一點，問：當G在什么位置時，平面GEF〃平面8。。用？⑵設三棱錐C-曲的體積為匕，四棱柱4BCO-A8CQ的體積為匕，求，【答案】(DG為。中點時，平面GM〃平面以比>由；【分析】(1)G為CD中點時，先證E尸〃平面再證GE〃平面8。。百，即可證得平面GEF〃平面冉；(2)由VC_BDF=VF_BDC—~Vw-bzx?,結合B、D\"T'IlliBCDfj^m-bdc=%-bdc=q匕即u1求得⑴G為CO中點時，平面GM〃平面BO04,理由如下：連接BM,取8的中點G,連接EG,FG,因為E,尸分別是8CCM的中點，則EF〃BM，所二平面8。。百，平面B3D百，則EF〃平面8?！ň€，同理可得GE〃8O，GE<Z平面B0U平面則GE〃平面8。。#,又GEcEF=E,GE,EFu平面GE尸，則平面GE尸〃平面8。。片：由尸是CM的中點得力力.=匕50cm/Lyx，又B、DJBD，8￡>u平面BCD，片〃仁平面BCD,則BQ〃平面BC。，乂點M是線段8]￡>[上的?個動點,則匕f-BDc=%_BOC=5%-ABCO=5X3匕BCD_A4c自=1匕,則 2,則【例2】七面體玩具是一種常見的兒童玩具.在幾何學中，七面體是指七個面組成的幾何體,常見的七面體有六棱錐、五棱柱、正三角錐柱、Szilassi多面體等.在拓撲學中共有34種拓撲結構差異的凸七面體，它們可以看成由一個棱柱經過簡單的切割而得到.在如圖所示的七面體中E4_L平面ABC。，EA//FC,ABLAD,AD//BC,AB=2AD=2,BC=AE=CF=3.

B(1)求二面角E—8￡)—A的正切值;B(2)求該七面體的體積.【答案Mg(2)8【分析】(1)在平面ABCQ中，作連接E4,由線面垂直得到E4_LB￡>，即可得到B。，了血E4H,即：面角A的平面角是NEH4，再根據銳角三角函數計算可得；(2)將七面體補成宜四棱柱ABGD-EM&V,則2丫=VaBCD-EMFN—(Vd-EFN+匕-MEF)=§^ABCD' ,從而計算可得；(1)解：在平面ABC。中，作AH上BD,連接E4_L平面ABC。，BOu平面ABC。,AEA1BD,XA//nE4=A,A”,E4u平面￡4//,，二面角E-3￡)—A的平面角是NEH4,因為A3=2,BD=\I12+21=y/5>所以BD_L平面E4”.4)=1,ZBAD=90°,所以所以BD_L平面E4”.4)=1,ZBAD=90°,所以tanEHA=—AH33小 = 2 2.忑(2)解：依題意將七面體補成直四棱柱tanEHA=—AH33小 = 2 2.忑(2)解：依題意將七面體補成直四棱柱ABCD-EM/W,；V-I-V .4F+—V.AF=—V.AFVD-EFN十VB-MEF 33EFN十^/FM 30ABCDTOC\o"1-5"\h\z?*?丫=VabcD-EMFN_(%-￡FN+^B-MEF)=SabCD'AEo又SaBCD=~ =4?2AV=-S.flCDAE=-x4x3=8adcu 3【例打如圖所示,正方形A￡>￡尸與梯形ABC。所在的平面互相垂直，已知A8//C。，AD±CD,AB=2AD=-CD=2.2

⑴求證：BF〃平面COE；(2)連接CF,求多面體ABCDEF的體積.【答案】(I)證明見解析［分析］(1)依題意可得AF//DE，AB//O即可得到平面W〃平面COE,再根據面面平行的性質得證；(2)由面面垂直的性質得到COJ■平面ADEF,DEL平面ABC。，再根據^ABCDEF=^F-ABCD+^C-DEF計算可得；證明：由正方形與梯形ABC。，可得AF〃DE,ABHCD,因為AF<z'\'-\\\\CDE,且DEu平面COE,所以AFU,KHfliCDE,又因為平面CDE,且COu平面CDE,所以AB〃平面CDE,乂由AFcAB=A,且AF,48u平面C￡)E,所以平面ABF〃平面CDE,因為8Fu平面A8尸，所以85〃平面COE.解：W為平面ADE/，平面ABCD,平面A￡>EFn平面ABCD=AD,且C￡)J_A￡>,CZ)u平面ABC。，所以CO_L平面4%產，同理可證0EL平面ABCD.連接CF,故多面體AB8EF的體積匕bccm=/一^+匕“針=；xS梯般.”4尸+9久的*。。=：、；*(2+4*以1+1*；、以1><4=1故多面體J J J J JA8COE尸的體積為g.【例4】如圖所示，在以A、B、C、。、E、尸為頂點的五面體中，平面C￡>EF_L平面ABC。,EF//CD,BF=CF,四邊形ABC。為平行四邊形，且N8CO=45’.

(1)求證：BF±CD；(2)若AS=2,EF=DE=1,BC=&，求此五面體的體積.【答案】(1)證明見解析⑵I【分析】(1)K4作盧O_LCD交8于。，根據面面垂直可得FOJ■平面ABCD,根颯■形個券可得。B=OC,『是。SLOC,從而OCJ?平面08尸，于是CDLM；(2)取AB中點G,連接燈,0G.根據％面體"-AMO=/檢MWG-OM+%極堆F-OCBC即可得出答案.證明：過尸作田_LC￡＞交CD于0,連接8。，由平面CDEF±平面ABCD,平面CDEFD平面ABCD=CD,得尸0_L平面A8C￡),又BOu平面ABCD, FO上BO,VBF=CF,FO=FO,NFOC=NFOB=90",：.ABFOgACFO,：.BO=CO,由已知NBCO=45。得aBOC為等腰直角三角形，，BOLCD,又FOLCD,BOcFO=O,BO、FOu平面8F0,8_1_平面8/0,又BFu平面BFO,ICDLBF；解：取AB中點G,連接尸G、OG,由(1)可知，OD=EF=1,又EFUCD,四邊形ODE/為平行四邊形,棱柱OFG-OE4為斜棱柱且OBF為此斜棱柱的直截面，在四棱錐尸-0C8G中，由(1)知I,FOLCD,尸。_1平面。(溝。，,,乙而體EF-A8CO=.斜拔&OFG-OE4+%棱維F-OCBG=hBFO'EF+—?S叫邊形0cBe'OF【題型四】體積4：異形體積比【例1】如圖所示的五面體ABCDEF中，平面CDEF±平面ABCD,四邊形CDEF為正方形,AB//CD,ZADC=ZBCD=120°,AB=2AD.(1)求證：8。1平面ADE；(2)若AZ>=1,求多面體ABCDEF的體積.【答案】(1)證明見解析⑵當3【分析】(1)根據線面垂直的判定定理結合面面垂直的性質定理即可證明；(2)把多面體拆成一個三棱錐和一個四棱錐即可求體積.證明：如圖，因為ED_LZ)C,平面C￡)E尸，平面ABC。，平面CDEFCl平面ABCD=DC.DEu平面CDEF,所以_L平面ABCD.因為B￡>u平面ABC￡),所以在△ABD中，因為NADC=120°,故N￡HB=60。，不妨設AB=2A￡>=2,所以由余弦定理，^BD2=AB2+AD2-2ABADcos60=3.則50=石，所以AD2+BD2=AB2<所以AO_L8。，又￡DcA￡>=￡>,所以8。_L平面ADE.如圖，若A￡)=l,則。C=C8=1,由(1)知BO_L平面ADE,所以80為三棱錐8-ADE的高，而三棱錐8-CDM的高為點B到平面CO￡下的距離，因為平面CDEFJ.平面4B8,

所以點B到平面CDEF的距離就是點B到白線8的距離也，2故Vefabcd=Vb-ade+Vb-cdeF=；x；xlxlxG+gxlxlx*=q.【例2】如圖，A8CO為矩形，點A、E、B、尸共面，和aAB尸均為等腰直角三角形,且NBAE=ZAFB=90°,若平面ABC。J?平面AEBF.(1)證明:平面BCFJ■平面ADF(2)問在線段EC上是否存在一點G,使得8G〃平面CDF?若存在，求出此時三棱錐GMBE與三棱錐C-AB尸的體積之比，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；4(2)存在，G是線段EC的靠近點C的一個三等分點，【分析】(I)利用面面垂直、線面垂直的性質證得AF_LBC,再利用線面垂直、面面垂直的判斷推理作答.(2)延長E8至〃，使BH=AF，連C”,過8作BG〃C〃交CE于G,再利用點G,C到平面岫尸的距離關系及底面積關系，結合體積計算作答.矩形ABC。中，BC1AB,乂平面ABC￡)_L平面A￡BF,平面ABCOD平面A￡BF=A8,8Cu平面ABC。，則8CJ.平面 而AFu平面A￡BF,因此，AFA.BC,因乙4陽=90"，即叱_LAF，而BCClBF=B,BC,BFu平面8CF,則瓶，平面BCF,又A尸u平面A￡>尸，所以平面BCF_L平面ADF.因△ABE■和aAB廠均為等腰直角三角形，且N8AE=NAF8=90"，則4BE=NE48=45。，即仃AF〃鹿，井II.仃BE=&A8=2AF，延長EB至從使B〃=AF,連CH,如圖，DHB E山8H//A尸知，四邊形A8”尸為平行四邊形，則有切〃m〃CD,且尸”=A5=C￡),于是得四邊形CDF"是平行四邊形，仃C”〃。兒在平面CE”內過點8作BG〃CH交CE于G,因此8G〃OF,而DFu平面COE,BG<z平面C￡)/;1,從而得BG〃平面COr,TOC\o"1-5"\h\z2顯然= 則GE=gCE,即點G是線段CE的靠近點C的一個三等分點，3,. . 2 2于是得點G到平面AEBF的距離人是點C到平面AEBF的距離8c的1，即/1=嚴，而醺神=(4*=^AF)2=2S^bf,

1 1 2 41 4 y(-ARF4Vcabf=-SARF-h=--2Sabf-BC=-(-Sabf-BC)=-Vcam，即=t，GABE34AB匕 3nAUr3 3、3aA”/，3C-Aor1y 3所以線段EC的靠近點C的一個三等分點G,能使BG//平面CD/，三棱錐G-ABE與三棱4錐C-ABF的體積之比為【例3】如圖所示，斜三棱柱ABC-A中，點R為A&上的中點.⑴求證：⑴求證：8G〃平面A8Q.求匕?⑵設多面體A8C81A的體積為匕，三棱柱ABC-A^Q的體積為匕,【答案】⑴證明見解析求匕?【分析】(I)連接交AB/于點。，連接0。/,可得OQ〃BG,由線面平行的判定定理即可證明8?！ㄆ矫鍭B/。；⑵由匕=匕-展，日昌-展￡向，匕一人用口=；匕加向匕，匕謝向=g%-As,c,=.匕可得答案.答案.(1)證明：連接4/B交AB/于點O,連接OD/,則在平形四邊形AB8/4中，點。為4/B的中點，又點。為的中點，所以又OD/u平面A8/。，8/C<Z平面A8/。/,所以8?！ㄆ矫鍭8/D/.(2)因為乂=匕-匕-A^o,一l一,匕—AB1A=5匕-AMi=%匕，％—gq=]%一，i i 7 Vo所以乂=匕_2匕_公匕=可匕所以'=?.6 6 3 匕3【例4】如圖四棱錐P-A8CC的底面為平行四邊形，E是尸8的中點，過4,D,E的平面a與平面尸8c的交線為/.(1)證明：/〃平面出￡)；(2)求平面a截四棱錐P-ABCO所得的上、下兩部分幾何體的體積之比.【答案】(1)證明見解析(2)3:5【分析】(1)由A0〃5C,得到45〃平面P8C,根據平面a與平面PBC的交線為/,結合線面平行的性質定理，即可證得/〃平面PAD；(2)設/與PC交于點凡則F為PC的中點，連接￡)F,DE,DB,EC,設四棱錐尸-ABC。V V的體積為匕得到%一配=至，進而求得平面。截四棱錐RA8CD所得4 8的下面部分的幾何體的體積，求得上、下兩部分幾何體的體積之比.證明：因為A￡)〃8C,且ADO平面「8C,BCu平面PBC,所以AD〃平面P8C,又平面a與平面P8C的交線為/,且A￡>u平面a,則AD//1,乂/(Z平面PA。，A￡)u平面尸AO，故/〃平面PAO.解：設/與尸C交于點八則F為PC的中點，連接OF,DE,DB,EC,設四棱錐P-ABCD的體積為V,則VE_ABD=VE_BDC=5.又由^E-BDC~Vd—BEC=^D-EFC>則^D-EFC=Q,oVVVw所以平面a截四楂錐PA8CO所得的下面部分的幾何體的體積為J+=+三=3，448 83V所以上面部分幾何體的體積為小,O故平面a截四棱錐P-A8CC所得的上、卜兩部分幾何體的體枳之比為3:5.p【題型五】體積應用1:點到面的距離【例1】在如圖所示的長方體A8C0-A4CQ中，底面ABC。是邊長為2的正方形，AA]=2m,點E、尸分別為。R、80的中點.（1）若m=l,求證：￡F_L平面片CF；（2）若三棱錐4-CEF的體積為|,求AA的長.【答案】（1）證明見解析（2）3【分析】（1）證明CFJ_8D,BB,1CF,可證得CFJ_平面跳比＞冉，從而可得EF上CF,再利用勾股定理證得EF±B}F,再根據線面垂出的判定定理即可得證；（2）根據S出讓=S四邊形B044-S,q*-鶴f-Sq0r求得aB[EE的面積，再根據!-cef=%/肝結合已知求得m的值，即可得出答案.（1）證明：：四邊形A8CO是正方形，尸是8。的中點，，C戶_L8D,"L平面ABCD.CFu平面ABCD,：.BBt±CF,又BBqBD=B,；.CFJ■平面8。。內，而EFuBDD、B\，:.EF1CF,當機=1時，EF=&B、F=屈,BtE=3,:.EF?+Bp=B、E2，:.EFLB\F,又B[FcCF=F,BF、C尸u平面片。尸，所_L平面8c產；

(2)解：由(1)可知，CFL平面8。"及，=S四邊彩BDD1sl~S.B10tE~S,BBJ-^DEF= - yjltn-sfltTl=―-—-CEF=Vc-%EF=-SW￡f.CF=-x^^xV2=-CEF=Vc-%EF3通“3 23 ?,m=—,AA=3.2【例2】如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A8CQ是梯形，AB//CD,ADLAB,AB=AD=PD=^CD,P￡)_L平面ABC。，點E是棱PC上的一點.⑴證明：平面PBO_L平面PBC：(2)是否存在一點E,使得PA〃平面BDE?若存在，請說明點E的位置，并證明你的結論;若不存在，請說明理由：Q(3)若三棱錐P-BCD的體積是求點。到平面PAB的距離.【答案】(1)證明見解析：⑵存在，尸E=gPC,證明見解析；⑶應【分析】(1)由線面垂直性質知PD_LBC：聰CD的中點M,由長度和平行關系可證得四邊形ABMD是平行四邊形，進而利用勾股定理證.得DBLBC,由線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結論；(2)由三角形相似/=鬻=：,則只需PE=：PC即可根據平行線分線段成比例得到PA1/EO,由線面平行的判定知/W/平面從而確定存在.(3)利用三棱錐的體積公式及等體積法求出點。到平面附8的距離即可.(D?.?PDJ■平面ABCD,設AB=a,則AD=a,CD=la,BD=42a-取CO的中點M,連結8M，

又DM//AB.，四邊形是平行四邊形，.?.8M=A￡)=a,.?.8C=&a，則BD1+BC2=2a2+2a2=4a2=CD2,：.DBLBC.;PDRDB=D,PD,DBu平面PBD,平面PBD.,：BCu平面PBC,平面PBC_L平面PBD.(2)當點E為PC邊上靠近點〃的三等分點時(即PE=gpC)時，E4//平面3OE.理由如下:.fAOBs衛(wèi)OD,連結AC交30于點。，.fAOBs衛(wèi)OD,AO AB 1 ”1” PE 1 AO PETOC\o"1-5"\h\z =——=—.?:PE=-PC,——=—,/. =——CO CD 2 3 CE 2 CO CE?.?EOu平面BOE,尸人(Z平面8￡>E,/.EV/平面BOE.1 1 1 4(3)因為AB//CD.AB=CD,所以S^ABD=- ,故4加=耳^p-bcd=§*又吃"=g-P"S△謝喙=；解得a=2,因為48_14。/。_14民叨04。=。.所以._1平面以。，所以ABLRt設點。到平面以8的距離力，山匕>abd=匕)pab=―，〃，S&，ab=—,h—PA-AB——2\/2x2h=一,r—f\DLf U—rnB3 t\D3 2 6 3解得〃=&.即點c到平面PAB的距離為正.【例3】如圖，四棱錐P-A8C。中，底面A8C。為矩形，陽J?平面A8C￡>,E為P￡)的中點.(1)證明：P8〃平面4EC；(2)設AP=1,AD=4i，三棱錐尸-AB。的體積V=走，求A到平面PBC的距離.4【答案】(1)證明見解析⑵Ml13【分析】(1)線面平行的證明，面外的直線與面內的直線平行，PB與平面4EC中的O￡平行,利用中位線即可.(2)點到面的距離法一是直接法，法二是等體積法.(1)證明：如圖，設8。與AC的交點為。，連接EO因為四邊形A8C。為矩形，所以點。為8。的中點.又點E為PD的中點,所以EO〃PB.因為EOu平面AEC,尸困平面AEC,所以P8〃平面A￡C.(2)作AHA.PB于點H.：以J_平面ABCD,PA±BC,PA±AB又ABCD為矩形，AD±AB,AP=\,AD=y/3,V=-APABAD=—AB6 6由丫=立，可得4 2由題設知BCJ_平面所以BC_LAH,故44_L平面F8C,即A4的長就是點A到平面PBC的距離.因為* +病=恒,所以ah=4￡W￡=土叵.2 PB13【題型六】體積應用2：最值(難點)【例1】如圖，等腰梯形ABCC中，AD=DC=BC=2,AB=4,E為AB的中點，將aAOE沿。E折起、得到四錐P—OEBC,F為PC的中點，M為EB的中點(1)證明：FM〃平面PDE；(2)證明：DE1PC；(3)當四棱錐P-ZJEBC的體積最大時，求三棱錐E-OCF的體積.【答案】(I)證明見解析；(2)證明見解析；(3)y.【分析】(1)連接CM并延長與￡>E延長線交于G,在△CPG中月W//PG,根據線面平行的判定即可證結論.(2)”為QE中點，連接/W,C”，易得OEBC為平行四邊形、△/>￡>￡為等邊三角形且ZEOC=60°,進而可得CHIDE,再根據線面垂直的判定、性質證明結論.(3)首先確定四棱錐P—OEBC的體積最大時面PQEJjhiOEBC,再確定P-CEBC的體高，并求得/到面DEBC的距離，由及棱錐的體積公式求體積.連接CM并延長與DE延長線交于G,則G在面尸￡)￡內,M為E8的中點，則”為CG中點，在4CPG中FM"PG,乂PGu面尸￡>E,根0面尸。E,所以〃平面尸。￡若H為DE中點"連接P",C"，由題設CD//EB且CD=￡B=2,即OE8C為平行四邊形，則OE=8C=2,所以△PDE為等邊三角形，故又A8CO為等腰梯形，則NEBC=60°所以NE￡)C=60。，又DH=1,8=2,易知：CH±DE,又PHCCH=H,則DEL面P//C,PCu面"C,故OEJ.PC.當四棱錐尸一OE8C的體積最大時，面「￡出，面。E8C,則4POE的高P”即為四棱錐P—OEBC的體高，又尸為PC的中點，所以尸到面。EBC的距離/1="=立，由(2)易知DE8C為邊長為2的菱形，2 2乂S*OEC=_Sdebc=6,所以Ve-DCF=匕'-DEC=3電詆=1【例2】已知：直四棱柱ABC。-AdGA所有棱長均為2,ND4B=60。.在該棱柱內放置一個球。，設球。的體積為匕，直四棱柱去掉球。剩余部分的體積為匕.⑴求三棱錐的A-A4R的表面積S：(2)求費的最大值.(只要求寫出必要的計算過程，不要求證明)【答案】（i）s=4+JJ+J7；【分析】（1）求出三棱錐的A-A用。的各個面的面積即得解；（2）設直四棱柱ABCO-A8CA的體積為V，串球半徑R最大時，匕最大時，）取到最大值，求出匕最大值即得解.解：因為直四棱柱ABCO-A4GR,所以A4,_L平面A8Q,AA為三棱錐的的高，tl|ZDAB=60°,所有棱長為2,小4。為等邊三角形，所以％四小去*2'々,RtA^ABpRtA^AD,中，S,a做=；x2x2=2,S.4=gx2x2=2,△ABR中,4〃=2,做=明=20,過A作A”_L8Q|于“，AH=@,S,A%n=-x2x>/7=>/7,2,SiMM=-x2x2=2,，S=4+6+77.BM=W_1解：設直四棱柱abco-abcq的體積為y,所以匕v-v,v_p匕所以當K最大時，*取到最大值，V2即求棱柱內放置-個球。體積匕最大，即球半徑R最大，若球。與棱柱側面相切，則半徑R即為菱形ABCD的內切圓半徑，連接AC與8。交于點E,AC1BD,△ABE中，AE=&BE=1,R,=^^-=—,1 2 2若球。與棱柱上、下底面相切，則半徑為g=1,4>4，所以球。半徑最大為r=*,此時球。體積匕最大，匕=：萬￡V=M-5ABCD=2xlx2x/3x2=4>^,匕=丫一乂=46一=%，此時"=-=一 2匕.-史萬8一1

【例3】如圖，圓柱。。的軸截面A8CO為正方形，AB=2,E尸是圓柱上異于A。，BC的母線，P，。分別為線段8F,EO上的點.(1)若P，Q分別為BF,EO的中點，證明：P。〃平面CCF；BpdoCF(2)若左=7"=又高,求圖中所示多面體尸DQPC的體積V的最大值.rrQEDr【答案】(1)證明見解析(2)最大值【分析】(1)連接CE,根據圓柱的性質可得四邊形3EFC為平行四邊形，即可得到產為CE的中點，從而得到PQ〃C。，即可得證；(2)設NC。尸=夕，,即可得到C尸=2sin。，DF=2cos^,再根據比例關系，表示出工農一S：，表示出三棱錐Q-CFZAj-：棱錐Q-PCF的高，根據錐體的體積公式得到%皿=Vq-cfd+VQ-DCF=Isin26?|-+-~v 令x=tan0<xV1,則tan0+1(tan0+l)~J11,z4 x+~+證明：如圖連接CE, 證明：如圖連接CE,Vcdfpq=W7 K7 i A>再令"=x+—+123,根據函數的性質求出最大值；('+*+”) X

根據圓柱的性質可得BC〃)且所以四邊形BE尸。為平行四邊形，因為P為SF的中點，所以尸為CE的中點，又Q為ED的中點，所以尸?！?,因為2。二平面CD/7,CDu平面C￡>b,所以「。〃平面CO尸，(2)解：RsCDF'3(2)解：RsCDF'3設NCD/=6,則CruZsine,DF=2cos6,?BP_DQCF_2sin0.?BP_DQCF_2sin0.M以 = = = =tan6《1,PFQEDF2cos(9所以51什=/CF?。/=2sin8cose=sin2e,q=q4#CF°WFq=q4#CF°WFtanO+1=—x2sin^x2x22sin0tan^+1tan04-1設三棱錐設三棱錐Q-CFO高為力，設三棱錐Q-Pb高為s,由比例關系，可知力=￡：由比例關系，可知力=￡：/?tan，2tan。tan0+1tan+12cos。tan8+1所以,^Q-CFD所以,^Q-CFD1_ ,_2sin2/9tan6>5sM=§13ne+i| _2 sin2-3aPCFV=3(tan^+1)2VyCDFPQ=%5+VyCDFPQ=%5+ =?in*(tan")，)???sin26=2tan。

tan26+14tan^(tan2〃+tan6+1)"""3(l+tan?夕)(tan6+l)24x^x2+X+1)3(1+X2)(X+1)2?4x^x2+X+1)3(1+X2)(X+1)2?v??VCDFPQ令〃=x+」+l》3,當且僅當x=l時取等號，則%。。="〃7)(“+1)=§KI又％DOQ關于〃在［3,+O0)上單調遞減，???當〃=3,即x=l,即6=45°時，匕力fpq取到最大值，【例4】如圖，ABC。為圓柱。0'的軸截面，E尸是圓柱上異于AO,8c的母線.⑴證明：BE1平面。所；(2)若AB=BC=2,當三棱錐3-￡)￡尸的體積最大時，求二面角B-OF-E的余弦值.【答案】(1)證明見解析【分析】(1)證明5E1DF*再證明防_LBE,根據線面垂直的判定定理可證明結論;(2)先推出三棱錐8—￡>EF的體枳最大時，點E,尸分別是AB，CC的中點，由此再求二面角B—DF—E的余弦值；法一：通過證線面垂直可說叨NW石是：面角3-OF-E的平面角，解直角△班E即可求得答案：法二：建立空間直角坐標系，求出相關各點的坐標，再求出平面OE尸初平面BCF的法向量，根據向量的夾角公式求得答案.證明：如右圖，連接4E,由題意知AB為OO的直徑，所以4E_L8￡因為AC,E尸是圓柱的母線，所以AQ〃砂且A￡>=EE所以四邊形AEFD是平行四邊形.所以AE〃OF,所以BELDF.因為EF是圓柱的母線，所以打，平面ABE,又因為5Eu平面ABE,所以￡F_LBE.又因為。尸口所=/，DF,EFu平面DEF,所以BE1平面DEF.(Il(1)知8E是三棱錐8-0E尸底面DE尸上的高，由(1)知EF1.AE,AE//DF-所以EF_L￡)F，即底面三角形。EF是直角三角形.設。尸=AE=x,BE=y,則x?+y2=4,由z1/ ■cor.1/1c、? 1x2+y22所以Xg-DEF=-S^DEF-BE=-x(-xxx2)xy=-xy?=->J J4 JJ X* J當且僅當x=y=也時等號成立，即點E,尸分別是4B，CO的中點時，三棱錐8-￡>￡尸的體積最大，下面求二面角3-￡>F-E的余弦值：法一：由(1)得BE1平面DEF,因為DFu平面DEF,所以BE1DF.又因為EF_L￡>F,EFCBE=E,所以_L平面8EF.因為BFu平面BEF,所以5尸_LD尸,所以ZBFE是:面角B-DF-E的平面角,由(1)知aBEF為直角三角形，則BF=瓜/乖/=瓜故cosZ.BFE= =~^== ,BFR3所以二面角/一E的余弦值為好.【題型七】體積應用3：翻折型【例1】如圖1,有一個邊長為4的正六邊形A8CDE/"將四邊形4)砂沿著AD翻折到四邊形AZ)G”的位置，連接54,CG,形成的多面體A8CDG〃如圖2所示.圖1 圖2(1)證明：ADVBH.⑵若BH=2娓,M是線段CG上的一個動點(M與C,G不重合)，試問四棱錐與M-ADGH的體積之和是否為定值？若是，求出這個定值.若不是，請說明理由，【答案】(1)證明見解析：(2)是定值，定值為24.【分析】(1)作"，AQ,垂足為K,連接8K,證明A￡)L平面可得結論成立；(2)類似K點的形成得出N點，平面CGN與與平面4X力和平面ADGH都垂直，過M作交線的垂線MP,A/。，得其為平面的垂線，在:！NCG中證明MP+M。為定值，然后由棱錐體積公式計算可得.(1)作“K_LA￡>,垂足為K,連接BK,因為/V7=AS,AK=AK,ZHAK=ABAK.所以！三！ABK,TV所以NAK8=ZAK"=-,即BK_LAD,2KHRKB=K,KH,KBu平面BHK,所以A￡>1.平面8%,

又BKu平面BHK,所以A￡)_L8H；⑵實際上KH,KB是由原正六邊形ABCDEF中對角線所折疊過來的,同理原正六邊形ABCDEF中對角線CE折疊之后形成GM&V,如圖，同理有AD_L平面GCN,乂4D在平面ADCB和平面AQG“匕所以平面CGN與平面ADCB和平面ADG”都垂直，平面CGN與平面ADCB和平面ADG”的交線分別是CN,GN,因此在平面CGN內過M作心_LaV,作MQ_LGN,P,。分別是垂足，則MQ±平面ADGH,MP_L平面ADCB,因為正六邊形ABC。防的邊長為4,所以GN=CN=4sin]=26,又CG=B4=2#,所以GNrCN'CG2,所以GNLCN,即！NCG是等腰直角三角形，則APCM.!QGM都是等腰直角三角形，MPNQ是矩形，MP=NQ,QM=QG,所以MP+MQ=GQ+NQ=GN=2百,45=8，S,0cB=SA0c“=1(4+8)x26=126，乙“0cB+%-=gSy?MP+；S.h.MQ=；x126Mp+|xl2GMQ=4^(MP+MQ)=45/5x26=24.【例2】如圖所示，邊長為2的正方形ABC。中，點E是48的中點，點廠是BC的中點,將^AED,ADCF分別沿DE,DF折起，使AC兩點重合于點4.(1)求證:ADTEF;(2)求三棱錐A'-￡電＞的體積.【答案】(I)證明見解析⑵g【分析】(1)由已知可得AO_LA尸，AD±AE,從而有A。，平面A后，進而可得結論：(2)由勾股定理可得AEJ_AF,從而易得△A'E尸的面積，乂由(1)知4。_1_平面A好，從而根據匕，_斯。=VD.AEF即可求解.證明：由正方形A8CD知，ZZX?F=ZmE=90°,.-.A：D±AF,AD±AE,?.?AEDA'F=A',A!E.A'Fu平面A”,AOJ_平面A0EF,乂???EFu平面A”,.-.A!D±EF.解：?.?A'F=A'E=1,EF=>[2A!F2+A!E2=2=EF2,可得A'E_LA'尸，△A'EF的面積為!xlxl=1，2 2又由(1)A￡)_L平面&EF,.?.AD是三棱錐￡>-AEF的底面4EF上的高線，所以三棱錐4一￡FD的體積為：匕田°=VD.AEF=|xlx2=l.【例3】如圖1,在等腰梯形48C。中，AB//CD,NC=45。，AE1CD,BFLCD.WMDE與ABB分別沿AE,M折起，使得點。、C重合(記為點P),形成圖2,且APEF是等腰直角三角形.圖1 圖2(1)證明：平面PAEJ?平面依廠；(2)求二面角P-AB-F的正弦值；(3)若A8=&，求四棱錐P-AB/年的體積.【答案】⑴證明見解析;【分析】(1)先證PF_L平面PAE,即可證明面面垂直.⑵證明NP8即為二面角尸-A3-尸的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面積和高，即可求解.解：由題意得：AE1PF,{PELPF,AEcPE=E，極PF±T;|fllPAE：又尸產u平面PBF，故平面PAEJ?平面PBF；如圖，連接尸C、CD,DP,C、￡>分別為AB、E尸的中點，由(1)知故尸C，AB,又C。/M￡,AE，AB,所以C￡>_LA8,

故NPCD即為二面角P-AB—尸的平面角，由（1）知，AE_L平面PEF.乂AEu平面ABFE.{'lT'llllABFE±平面PFE.又平面ABFED平面PFE=EF.PDLEF,所以&5_L平面ABEF,設EF=2a,則PE=EA=^2a,PA=>JpE2+EA2=2a,PC=-JPA2-AC2= ?PD=ED=a,故二面角P—A6—尸的正弦值為：sinNPCO=g=g.(3)由(2)得，PD_L平面ABEE又AB=&，所以AE=1,PO=也，2故四棱錐P-AB在;的體積為』xlx0xY?=L3 2 3【例4】如圖，在直角梯形ABC。中，AD//BC,AB1BC,8￡)JL0C,點E是BC的中點.將△ABO沿8。折起，使AB_LAC,連接AE、AC.DE,得到三棱錐A-88.(2)若A￡>=1,二面角8-A￡)-E的大小為60。，求三棱錐A-BCD的體積.【答案】(I)證明見解析喈【分析】(1)證明ABJ■平面ACD,得到AB_LC￡>,再證明COJ■平面曲，得到證明.(2)尸,G分別為B￡),AZ>的中點，證明NEG尸為二面角B—AD—E的平面角，設尸G=a,根據等面積法得到°=也，計算體積得到答案.2AB1AC,AB±AD,AC[}AD=A,故A8J?平面ACO,CDu平面AC。，故ABLCD,BD1DC.AB[}BD=B,故C0_L平面ABD,C￡)u平面BCD,故平面A8Z〃平面BCD.⑵如圖所示：EG分別為的中點，連接E￡FG,GE,E,F分別為8C,B￡>中點，故防〃CD,CDLT:|fliABD,故砂_1,平面ABD，AOu平面ABD,故AO_L￡7L6,尸分別為4。,8。中點，故FGPAB,AB1AD,故FGJ.A。，EFcFG=E,故A￡>_L平面EFG,故/EGF為二面角8—45—E的平面角，即NEGF=60。，設FG=a,則AB=2a,EF=島,GE=2a,CD=26a,BD=j4a、l,BC=y/\6a2+\>根據△BC￡)的等面積法：zEaxMa1+T=2axJ16a2+l，解得a=￡.%cz>=X3xABAD|c=：x&xlx指邛.【題型八】體積綜合型【例1】求一個棱長為正的正四面體的體積，常有如下解法：構造一個棱長為1的正方體,我們稱之為該四面體的“生成正方體”(如圖一)，則四面體8QAG是棱長為五的正四面體,四面體BDA}C}的體積/面體則C|二“1E方體——%-BCD—%-A4G~^D-AIC,DI?圖一 圖二(1)求四面體BD41G的體積；(2)模仿(1),對一個已知四面體，構造它的“生成平行六面體”，記兩者的體積依次為%而體和叢成平行六面體，試給出這兩個體積之間的一個關系式，不必證明；(3)一個相對棱長都相等的四面體，通常稱之為等腰四面體(如圖二)，其三組對棱長分別為石，M,x/13.求此四面體的體積.

【答案】⑴:⑵唳面體成平行六面體(3)2【分析】(1)根據棱錐的體積公式計算可得結果:⑵根據％面體8041G="上成平行六面體一匕I-ABD~%-BCD-%-A4G一力-AGA計算可得結果;(3)構造該四面體的“生成長方體”可求出結果.)%1面體皿MG=/方體-K\-abd-^Ci-BCD-Vb-aMi~匕J-AGA11x111x111x111x1 1=1 X X X X =—.323232323設生成平行六面體的底面積為S,高為力，則其體積為S/?,則加面體fflMiG=/成平行六面體~^A,-ABD—%-BCZ>一匕-劣函一匕>~464則%面體aw1G=Sh——--Sh——-—S——-—Sh——--Sh=—Sh,1 32 32 32 32 3艮口%面體=§V生成平行六面體?如圖，構造該四面體的''生成長方體”，設棱長分別為x,>,z,x2+y2=5則有《x2+z2=10,解得：\y=2z2+y2=13z=3=lxlx2x3=2.3則有%I面體8?AC1二z=3=lxlx2x3=2.3【例2】如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCC是正方形，側面底面ABCD,若點E為線段P。上靠近點P的三等分點，且PA=PD=A￡>=3.(1)求證：AELCD；(2)若線段A8上存在一點凡使得E/平行于平面P8C,求三棱錐尸-PBC的體積.【答案】(1)證明見解析；⑵地.4【分析】(1)根據面面垂直性質可證CDJ?平面皿),從而證得A￡_LCD；(2)如圖分別取48、CO的三等分點尺G,即可證明平面EFG〃平面P8C,結合錐體的體積公式進而求解?:棱錐尸-P8C的體積.(1)證明：因為四邊形4BCO為正方形，則CD_LAE>,因為側面PAO_L底面ABC。，平面PA。。平面ABC￡)=4),CDu平面A8C￡),所以CO_L平面以〃，又A￡u平面以。，所以CDJLAE.⑵如圖分別取A8、CO的三等分點F、G,結合題意可得：EG//PC,FG//BC,乂因為PCu平面尸8C,EG<Z平面尸8C,所以EG//平面PBC,同理FGH平面PBC因為EGu平面EFG,FGu平面EFG,平面EGnFG=G,所以平面EFGH平面PBC,又因為EFu平面EFG所以EFH平面PBC,此時F為AB靠近點B的三等分點.而卜“ v 1 1 1c「八1 ，36所以VF_PKC=匕8c=-VP_ADC=-VC,MO=-x-SAMD-CD=-x—x3=—?【例3】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，ZADB=NPDC=90°,平面P4￡)J_底面ABC。，M是棱PC上的點.⑴證明：底面A8CO；(2)若三棱錐A-的體積是四棱錐P-ABCO體積的!，設尸例=/MC,試確定f的值.【答案】(1)詳見解析：(2)/=1.【分析】(1)利用面面垂直的性質定理，膏簿皿_L平面RU),然后利用線面垂直的判定定理即證；(2)由題可得VA_BDM=VM_ABD=1VP_ABCD,進而可得MC=gPC，即得.(1),/ZADB=90°,平面PAD，底面ABCD,：.AD1B￡>. ABCD=AD,8￡>u底面A8C￡),，601平面PAD,P￡)u平面PAO, BD1PD,乂NPDC=90。,：.PD1DC,BD\DC=D,：.PD上底面ABCD；⑵設PD=/z,M到底面ABC。的距離為“，???三棱錐A-BZW的體積是四棱錐P-ABCO體積的：，4,?^A-BDM=Vw-A初=W^P-ABCD'乂^M-ABD=]^ABD,',^P-ABCD=§OABCD/'^ABD=]S048c7?'h'=-h,故MC=」PC,又PM=tMC,所以f=l.2 2【例4】已知三棱柱ABC-48c, 底面ABC,AB=AC=AA,,ABVAC,。為線段AC的中點.(2)平面48。把三棱柱分成了兩部分，求三棱錐4-和剩下部分幾何體的體積比.【答案】(1)證明過程見解析；(2)1:5.【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明：(2)利用錐體和柱體的體積公式分別求出三棱錐A-AB。和三棱柱A8C-A旦G的體積,進而求出體積比.證明：連接交于E,連接OE,如圖所示由題知，三棱柱側面為平行四邊形則AE=EB],又。為AC中點.?.在VAgC中，BtC//DE乂BtCU平面B\D,且￡)￡u平面BAD：.與?！ㄆ矫妫ァ?解：由題意，設4B=AC=M=2因為例J.底面ABC,ABLAC,。為線段AC的中點.所以匕-卡。=：'/人841)/14,=3'3'2'1'2=]^c-^c,=y^ACM=1x2x2x2=42所以三棱錐a-ab。和剩下部分幾何體的體積比為：4--53即體積比為1:5.雙w素新程考敦殂稱1.如圖，在長方體ABC。-A'夕CD中，AB=BC=2,A4'=3,點E,尸分別是棱48,BC的中點.\D)4人 卜——為??、 ??I/、、 ixBFC(1)求三棱錐尸-ACE的體積；(2)點E,F,W確定的平面為a,試作出平面a截長方體ABC。-A9C'。的截面圖，并計算該截面的面積(不必寫出畫法和理由).【答案】(■(2)作圖見解析，拽2【分析】(1)由％A4=展.=卜5回＞＜。'(7直接求解，(2)延長CC交EF于點”，延長D4交所于點V,DM，交CC)與點M,DN交AA'于點N,則五邊形￡7力〃)''為求的截面，S截面=Sqmn-2xS.fmmm，(1)^F-AC'E=^C-AEF=TX\aEF乂CC=-x-AExBFxC'C=~,32 2...三棱錐尸—ACE是體積為g.⑵延長DC交￡F于點M',延長D4交E尸于點V,DM'交.CC與點M,DM交AV于點M平面a截正方體A8co-A'B'C'。'的截面圖為五邊形EQW/XV(如圖所示).由相似三角形的知識可知，|ANl=g|Aq,|4耳=；|以)1,同理|CMl=g|C￡)|，|CM|=[q￡)1，易求得|。知1=\D'N'\=\MN[=J32+32=3夜，\mm'\=\fm'\=\mf\=|麗[=I硒]=網=拒，,,S截面=Sqmn，—2xS/mm，＞???該截面的面積為拽.22.如圖，四棱錐P-A8CO中，B4J_底面ABC。，AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AO上一點，AM=2MD,N為PC的中點.P(1)證明：MV〃平面以8：(2)求四面體N-BCM的體積.【答案】(1)證明見解析⑵逋3【分析】(1)過構造平面平行于平面印8即可；(2)根據題中條件，求出底面積及高即可求出體積.取BC中點E,連接EMEM,為PC的中點，...NE是APBC的中位線 :.NE//PB,又,：AD//BC,J.BE//AD,AB=AD=AC=3,B4=BC=4,Af為線段 上一點，AM=2MD,：.BE=^BC=AM=2,：.四邊形ABEM是平行四邊形，C.EM//AB,二平面NEM〃平面B48,;MNu平面NEM, 〃平面用8.取4C中點F,連接NF, ?.?Nf1是△E4C的中位線，：.NF//PA,NF=-PA=2,乂：網_1_面A8CO,，NF_L面A8CD,2如圖，延長8c至G,使得CG=AM,連接MG,^.^AM〃CG且A〃=CG,.??四邊形ACGM是平行四邊形，：.AC=MG=3,又?.?ME=3,EC=CG=2,二ZXMEG的高〃=右，S^BCM=—xBCxh=—x4x#)=2卡,2 2二四面體N-BCM的體積VNBCM=-xS皿xNF=、x2有x2=拽.3皿3 33.已知在四棱錐P-ABC0中，^BAD=90,ABI/CD,PA=AD=CD=2AB=2,E為PD的中點，若正視圖方向與向量麗的方向相同時，四棱錐尸-ABC。的正視圖為三角形PA￡).

(1)證明：P￡)_L平面ABE；(2)若三角形PAO為直角三角形，求三棱錐E-P8C的體積.【答案】(1)證明見解析【分析】(1)由已知可得出A8J■平面PAO,利用線面垂直的定義可得出BDJ.AB，利用等腰三角形三線合一的性質可得出尸DLAE，再利用線面垂直的判定定理可證得結論成立;(2)推導出PA_L平面ABCD,分析可知瞑一尸穴:^吟一sc。，結合錐體的體積公式可求得結果.證明：因為正視圖方向與向量而的方向相同時，四棱錐P-ABC。的正視圖為三角形PAD,則AB_L平面PAD,Q叨u平面PAZ),r.尸￡>_LA8,因為A4=A￡>,E為尸。的中點，所以，PD1AE,QABlAE=A,,平面ABE.解：因為A4=A￡>且三角形PAO為直角三角形，則必_LA￡>，又因為R4_LAB,ABcA￡)=A,平面A5CO,因為/fi4￡>=90,AB//CD,PA^AD^CD=2AB=2,所以，Sabcd=^CDAD=2,因為E為尸。的中點，則匕一MC=；%-/w=；%-"6=；XJX .PA=：X2X2=；.2 2 23 6 34.如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且48=BC=BO=2./ABC=NZ)8C=120。,E,F,G分別為AC,DC,A。的中點.(1)求證：后/_1_平面8。6；(2)求三棱錐D-BCG的體積.【答案】(1)證明見解析(2)y.【分析】(D根據已知條件可得AC=OC,利用等腰三角形的性質可得4。，平面8GC,又EF//AD,即可證明EF_L平面BCG.(2)以△8C￡>為底，過A點做底面8C￡>的垂線為高，利用錐體的體積公式即可求解.(1)證明：:AB=BC=BD=2,ZABC=ZDfiC=120°,:.△AB8/\DBC,：.AC=DC.：G為AO的中點，，CG_L4。.同理BGJ_AO,'：CGf]BG=G,CG,BGu平面8GC,，A￡)_L平面8GC.又E,尸分別是AC,CO的中點，：.EF//AD,，￡：尸_1平面BCG.解：在平面ABC內，作AO_LCB,交CB的延長線于O,二?.?△4BC和△8CO所在平面互相垂直，平面A8CD平面8C￡>=8C,且AOu平面ABC,：.AO1.平面BCD.'.'G為AD的中點，；.G到平面BCD的距離h是AO長度的一半.在A4OB中，4O=A8sin60°=x/j,；.6=立.在△8CO中，8尸=BOcos60°=2x'=1,2 2DF-ABsin60°=>/3, DC=2>/3,故 =-BF?DC=-x1x26=GVDBCG=VGBCD=—SDCBh=—x5/3x——=—.Lf-oCCfCj-dCU3^LK-D3 , 2 25.在正三棱錐。一ABC中，O,E,尸分別是線段AC,AD,3。的中點，G是OC的中點，且￡>A=4,A5=6.13（1）在BC上是否存在一點〃？使得平面「G”〃平面BOE；（2）若點M是FG的靠近點尸的三等分點，求三棱錐E-80河的體積.【答案】（1）存在”為BC中點，使面9G"〃面80E；⑵班.4【分析】（1）H為EC中點,連接用,GH,由中位線性質及線面、曲面'I'行的判定證得面FGH”而BOE,即可判斷存在性.（2）由（I）易得FG〃面8OE,根據已知中點有％=：匕-應用錐體的體積公式O求體積即可.若H為8c中點，連接M,G〃，乂0,E,F,G分別是AC,AD,BD,0C的中點，則O￡7/C￡>,/7/〃C。，故切〃OE,ROB//GH,而面6OE,0￡u面3OE,則"7〃面BOE,又面80E,OBu面BOE,則G”〃面BOE,由FH[}GH=H,則面FGH//面BOE,所以，存在H為BC中點，便面尸G"〃面8OE；由(1)知：面FGH//面BOE,而FGu面FGH,則尸G〃面80￡,用以Vr-bom=匕/-BOE=Vf-boe~^E-BOD~^A-BOD~g^D-ABC,在正三棱錐。一ABC中，DA=4,AB=6,B|JDB=DC=4,BC=AC-6,所以OD_LAC,OB_LAC,ODcOB=O,則ACJ■面BOO,ACu面ABC,所以面A5C_L面BO￡),故三棱錐。-ABC的體高即為△BOD底邊OB上的高八，而08=3』，又底面A8c為等邊三角形，則。在底面的投影為底面中心在08上且到各頂點距離，即外接圓半徑r=|oB=2G,所以h=jDB?-尸=J16-12=2, =^x6x6xsin60°=9>/3,

D(1)求證：BCLAC；(2)若PA=AC=CB=2,M,N分別為尸B,PC的中點，求三棱錐N-AMC的體積.【答案】(1)見解析【分析】(1)過A作PC的垂線交PC與。點，然后證明8。_1面24。，從而得到BC1AC<2)V^AMC=VM_ANC=^VM_PAC=^VP_AK，計算三棱錐P-ABC的體積即可得出答案如圖所示，過A作PC的垂線交PC與。點，?.P4上面ABC:.PA1BC:平面R4C_L平面PBC,平面PACA平面尸8C=PC且ADJ.PC,r.AO_L面PBCADIBC?：PA^AD=A，且尸A,A￡)u平面尸AC.?.BC_L面尸AC,..BCrAC由(1)知，8c_1面上4。，且分別為的中點

??^N-AMC=^M-ANC=TVlf-E4C=~7^P-ABC1 1 1 12 4 =-x-x(-x2x2)x2=-432 37.如圖，已知圓錐的頂點為P,O是底面圓心，A8是底面圓的直徑.(1)若猿=；,求圓錐側面積與底面積的比和圓錐側面展開圖扇形圓心角的弧度數;(2)經過圓錐的高PO的中點O作平行于圓錐底面的截面，記圓臺。0'的體積為匕，以尸O為直徑的球的體積為匕，且5=7,求NAPB的余弦值.%【答案】(1)圓錐側面積與底面積的比為3,圓心角的弧度為手;(2)-【分析】(1)若留錐側面積、底面積分別為*邑，結合圓錐的表面積公式得興=3,根據圓錐側面展開扇形弧長與底面周長關系求圓心角的弧度數.(2)利用圓臺、球的體積公式求得底面半徑與圓錐體高的數量關系，進而應用余弦定理求NAPB的余弦值.S,若圓錐側S,若圓錐側面積、底面枳分別為岳，52，則古=2PB~AB設展開圖扇形的圓心角為a,由圓錐的側面展扇形的弧長等于圓錐的底面圓周長,所以4? = ,故a= 九=—.PB3設截面圓半徑為r,下底面圓的半徑為2八圓臺的高為力,所以匕=3萬〃(/+2/+4,)=：兀〃,，匕=g4〃'V又，=7,可得r=2〃，即AB=8〃，PB=2y/5h,* ,人 +PB2-AB23在^A8尸中，余弦定理得cosNAP8= =--2PAPB58.已知在正方體ABC。-A4GA中，截下一個四棱錐E-A8CD,朋=2,E為棱cq中點.Di CtA B(1)求四棱錐E-ABCD的表面積；(2)求四棱錐E-ABCD的體積與剩余部分的體積之比;(3)若點尸是A8上的中點，求三棱錐COEF的體積.【答案】(1)6+26(2)1:5【分析】(1)求出正方形A8CD和四個宜角三角形的面積，相加即為結果；(2)求出四棱錐E-4BCD的體積，正方體的體積，得到兩者的比值，從而求出求四棱錐E-ABCO的體積與剩余部分的體積之比；(3)等體積法求解三棱錐C-CE尸的體積.四棱錐的表面由正方形ABCD和四個直角三角形所圍成，△A8E與AADE全等，4BCE與4DCE全等,因為梟皿=22=4,SABC￡=^CCE=lx2xl=l,BE=y1BC2+CE2=y[5>S/=；AB.BE=gx2x^=布卜斤以S=5ABe0+S&8cg+0c￡+ +S4Ao￡=4+2xl+2x>/5=6+2>/5因為EC為四棱柱E-ABCD的高，且EC=\~ 1 1 4所以％-AM?。=§Sa8co，EC=§x4xl=§又正方體體積■=23=8,4VE-ABCO-Vl=§：8=1:6設剩余部分的體積為匕，所以％-3)：V=1：5S.CDF=萬^ABCD=2,其中CE_L平面4BCZ),1 1 ?故匕叫叫皿=/“gyx'9.如圖所示，矩形ABC。中，AB=3,BC=4.E>尸分別在線段8c和A。上，AB//EF,將矩形ABEF沿EF折起.記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEFX平面ECDF.⑴求證：NC〃平面MF￡>；(2)若EC=3,求證：NDLFC；(3)求四面體NFEC體積的最大值【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)2【分析】(1)耍證線面平行，先證線線平行，先證四邊形A/NCD是平行四邊形，即可.(2)要證線線垂直，先證線面垂直，先證FCJ_平面NED即可.⑶設NE=尤，四面體NFEC的體積為匕皿=g1(x-2)2+可,即可求最值.證明：???四邊形MNEF,ECD尸都是矩形，AMN//EF//CD,MN=EF=CD,二四邊形MVCD是平行四邊形，NC//MD, NC<z平面MFD, NC//平面MFD:證明：連接即，設￡￡>riFC=O,?.?平面MNEF_L平面EC￡)尸，且NELEF,：.NE_L平面ECDF,：.NEJ.FC,又EC=AB=3,，四邊形EC￡>F為正方形，FC±￡D,，FCJ■平面NED,又NDu平面NED,:.ND工FC,解：設NE=x,則EC=4-x,其中0<x<4,由(1)得NEL平面尸EC,四面體NFEC的體積為：%謝=gs皿?NE=；x(4-x)=g(-x2+4x)=g[-(x-2『+4],x=2時，四面體NFEC的體積最大，其最大值為2.10.如圖，四