高中數(shù)學(xué)：學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊組合數(shù)

2.4組合數(shù)導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會應(yīng)用公式解決簡單的組合問題..能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實際問題.能解決有限制條件的組合問題.【自主學(xué)習(xí)】知識點組合數(shù)與組合數(shù)公式組合數(shù)定義及表示從〃個不同元素中取出加（"赤〃）個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從〃個不同元素中取出勿個元素的組合數(shù)，用符號c表示.組合數(shù)公式乘積形式「，， 1）（〃一2）…（〃—加+1）m\階乘形式r._n\"m\（77—zn）!性質(zhì)5-LJ-rm——Ln12_n備注規(guī)定C=i【合作探究】探究一組合數(shù)的計算與證明【例1】⑴計算C：0-C”A；；(2)證明：E 4 310X9X8X7解⑴原式=C；lA；=/=Qi?？?~一7X6X5=210-210=0./、皿 〃！(2)M〃=勿?-T- -(〃一切！〃?(〃-1)!(加一1)!(〃一防！(〃—1)!…=n? 7-7- (/zz—1)!(n—m)!歸納總結(jié)：⑴涉及具體數(shù)字的可以直接用公式計算;⑵涉及字母的可以用階乘式C：=京力計算:(3)計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①c：=c廠;②C+尸c:+cT.【練習(xí)1】(1)計算艱+〉+算+…++0的值為()A.C2015B.C2015C.CC.C；016—1D.C2015-1（2）計算：C?+C?+d+Cg=.【答案】（DC（2）210解析（1）C：+C+C；H FC；0”=C：+C：+C：+C；+…+C；015—C：=C；+CH FC；oi5—1=?,?=C；015+C；015—1=C；016—1（2）C；+C；+C；+C；=C；+C；+C；=C；+婿=《0=0=210.探究二簡單的組合應(yīng)用題【例2】男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）既要有隊長，又要有女運動員.解（1）第一步：選3名男運動員，有《種選法；第二步：選2名女運動員，有C；種選法，故共有CMC；=120（種）選法.（2）方法一（直接法）：“至少有1名女運動員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計數(shù)原理知共有C：?c：+d?C+c：?c；+c：?0246種選法.方法二（間接法）：不考慮條件，從10人中任選5人，有制種選法，其中全是男運動員的選法有戊種，故“至少有1名女運動員”的選法有C；°-C=246（種）.(3)當(dāng)有女隊長時，其他人選法任意，共有C；種選法；不選女隊長時，必選男隊長，共有C；種選法，其中不含女運動員的選法有C：種，故不選女隊長時共有C；一索種選法.所以既有隊長又有女運動員的選法共有C；+C-C；=191(種).歸納總結(jié)：.解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)..要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類和分步時，一定要注意有無重復(fù)或遺漏.【練習(xí)2】在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級培訓(xùn)I.在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加.解(1)從中任取5人是組合問題，共有d=792種不同的選法.(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需從另外9人中選2人，是組合問題，共有心=36種不同的選法.(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C；=126種不同的選法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分為兩步：選從甲、乙、丙中選1人，有C；=3種選法，再從另外9人中選4人，有C；種選法，共有C；C；=378(種)不同的選法.探究三不同元素分組、分配問題【例3】有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？(1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；(3)分成三組，每組都是2本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本.解(1)分三步：先選一本有爆種選法，再從余下的5本中選兩本有仁種選法，最后余下的三本全選有C：種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，分配方式共有C；CC；=60(種).(2)由于甲、乙、丙是不同的三個人，在(1)問的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問題.因此，分配方式共有ChCMCMA；=360(種).(3)先分三組，有C；Cg種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為4B,C,D,E,F,若第一組取了4,B,第二組取了C,D,第三組取了E,F,則該種方法記為C48CD,哥)，但CMC種分法中還有(46,EF,CD),(CD,AB,E4,(CD,EF,A扮,(EF,CD,M),{EF,AB,CD),共A；種情況，而這A；種情況只能作為一種分法，故分配方式有「a=15(種).(4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式「a：?用=90(種).歸納總結(jié)：【練習(xí)3】將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社

會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有種.【答案】12解析將4名學(xué)生均分為兩個小組,解析將4名學(xué)生均分為兩個小組,共有至

"aT=3(種)分法；將兩個小組的同學(xué)分給兩名教師，共有&=2種分法；最后將兩個小組的人員分配到甲、乙兩地，有用=2種分法，故不同的安排方案共有3X2X2=12(種).探究四相同元素分配問題[例4]6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù).(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子；(3)恰有兩個空盒子.解(1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有C；=10(種).(2)恰有一個空盒子，插板分兩步進行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，^|0|000|00|,有森種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000|[00],有C；種插法，故共有C；?C；=40(種).(3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板,有種插法，如100100001,然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，如Iloo1100001，有C種插法.②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|,有C；種插法.故共有C；?C+C；）=30（種）.歸納總結(jié)：（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.（2）將〃個相同的元素分給加個不同的對象血，有CT：種方法.可描述為n-\個空中插入m—1塊板.【練習(xí)4】某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（ ）A.4種 B,10種C.18種 D.20種【答案】B解析由于只剩一本書，且這些畫冊、集郵冊分別相同，可以從剩余的書的類別進行分析.又由于排列、組合針對的是不同的元素，應(yīng)從4位朋友中進行選取.第一類：當(dāng)剩余的一本是畫冊時，相當(dāng)于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友，只有1位朋友得到畫冊.即把4位朋友分成人數(shù)為1,3的兩隊，有1個元素的那隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C：種分法.第二類：當(dāng)剩余的一本是集郵冊時，相當(dāng)于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友，有2位朋友得到畫冊，即把4位朋友分成人數(shù)為2,2的兩隊,一隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C：種分法.因此，滿足題意的贈送方法共有C：+C：=4+6=10（種）.課后作業(yè)A課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題.C+竊的值為（ ）A.72B.36C.30D.42【答案】B解析c；+c：=d+d6X57X62X16X57X62X1+2X115+21=36..西:小?等于（）bioo?Cioo1A.~B.101C.ttzD.6b 107【答案】DAT,，r-Aioi A；O1A：0|：i解析~Ir97=Tc-Ir：l=r'=A;j=6.LiooT-^IOOI^IOOI^IOObiol3.某地招募了20名志愿者，他們編號分別為1號，2號，…，19號，20號，如果要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個編號較大的人在另一組，那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數(shù)是（）A.16 B.21C.24 D.90【答案】B解析分2類:第1類，5號與14號為編號較大的一組，則另一組編號較小的有C=6種選取方法.第2類，5號與14號為編號較小的一組，則編號較大的一組有仁=15種選取方法.由分類加法計數(shù)原理得，共有戲+森=6+15=21（種）選取方法.4.把5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案有（）A.80種 B.120種C.140種 D.50種【答案】A解析當(dāng)甲組中有3人，乙、丙組中各有1人時，有C；C；=20（種）不同的分配方案；當(dāng)甲組中有2人，乙組中也有2人，丙組中只有1人時，有C：C；=30（種）不同的分配方案；當(dāng)甲組中有2人，乙組中有1人，丙組中有2人時，有C：C；=30（種）不同的分配方案.故共有20+30+30=80種不同的分配方案.5.從2,3,…，8七個自然數(shù)中任取三個數(shù)組成有序數(shù)組，a,b,c且水沃c,則不同的數(shù)組有（）A.35組 B.42組C.105組 D.210組【答案】A解析不同的數(shù)組，有C；=35（組）..凸十邊形的對角線的條數(shù)為（）A.10 B.35D.90C.45D.90【答案】B解析瑤。-10=35（條），所以選B..北京《財富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（）A.C：黑便； B.此心尺/nl2z>1 1「 8 八z>12z>4z-?I*3筋 U.V14L12V8A8【答案】A解析首先從14人中選出12人共C；：'種,然后將12人平均分為3組共種，然后這兩步相乘，得0； 將三組分配下去共C：M%?如種.故選A.二、填空題.C；+C：+C；+…+或=.【答案】7315解析原式=C：+C；+C+…+C；：=C；+C：+…+點=以+鑿=。=以=7315..已知C,C：,C成等差數(shù)列，則Cf=.【答案】91解析?:c,C,燥成等差數(shù)列， p4_i_?乙5一"丁"，n\A2X--~~—5!（〃一5）! n\ n\ =4!（/7-4）!+6!（77-6）!整理得萬一2"+98=0,解得〃=14,〃=7（舍去），則比=《=91.10.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有種.【答案】75解析第一步，先從6名男醫(yī)生中選出2名男醫(yī)生有C：=15種選法；第二步，從5名女醫(yī)生中選出1名有C；=5種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組的不同選法共有森C；=15X5=75種.11.5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現(xiàn)從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1,2號中至少有1名新隊員的排法有種.【答案】48解析兩老一新時，有C；C；A；=12（種）排法；兩新一老時，有CC揮=36（種）排法.故共有48種排法.三、解答題12.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，求不同取法的種數(shù).解若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有C；XC：XC：=64（種），若2張同色，則有C：XC；XC：XC；=144（種），若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有色XC：XC：XC；=192（種）,剩余2張同色，則有C；XC；XC=72（種）,所以共有64+144+192+72=472（種）不同的取法.13.高二（1）班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動.（1）其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2）其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？（3）恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（4）至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（5）至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？解（1）從余下的34名學(xué)生中選取2名，有備=561（種）.，不同的取法有561種.（2）從34名可選學(xué)生中選取3名，有點種.或者點一注=d=5984（種）.，不同的取法有5984種.（3）從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有以）Cl=2100（種）.，不同的取法有2100種.（4）選取2名女生有C；°C：5種，選取3名女生有C%種，共有選取方式及=以Cs+C*=2100+455=2555（種）.不同的取法有2555種.⑸選取3名的總數(shù)有C3因此選取方式共有N=C：5-C；5=6545-455=6090（種）.不同的取法有6090種.14B組能力提升一、選擇題1.在“海上聯(lián)合一2013”中俄聯(lián)合軍演中，中方參加演習(xí)的有4艘軍艦、3架飛機，俄方有5艘軍艦、2架飛機，若從中、俄兩方各選出2個單位（1架飛機或1艘軍艦都作為1個單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機兩兩不同），且選出的4個單位中恰有1架飛機的不同選法共有（）A.80種 B.120種C.180種 D.38種【答案】C解析若中方選出1架飛機，則選法有C：C；C；=120（種）；若俄方選出1架飛機,則選法有C?C：=60（種），故不同選法共有120+60=180（種）..假如北京大學(xué)給中山市某三所重點中學(xué)7個自主招生的推薦名額，則每所中學(xué)至少分到一個名額的方法數(shù)為（）A.30B.21C.10D.15【答案】D解析用“隔板法”.在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，有森=15種分配方法..某校將5名插班生甲、乙、丙、丁、戊編入3個班級，每班至少1人，則不同的安排方案共有（ ）A.150種 B.120種 C.240種 D.540種【答案】A【解析】由題意可知，可分以下兩種情況討論，①5名插班生分成：3,1,1三組；②5名插班生分成：2,2，1三組，當(dāng)5名插班生分成：3,1,1三組時，共有（C；C；N=6O種方案;當(dāng)5名插班生分成:2,當(dāng)5名插班生分成:2,2,1三組時,?G6=90種方案;所以，共有60+90=150種不同的安排方案.故選：A..將含有甲、乙、丙、丁等共8人的浙江援鄂醫(yī)療隊平均分成兩組安排到武漢的力、6兩所醫(yī)院，其中要求甲、乙、丙3人中至少有1人在力醫(yī)院，且甲、丁不在同一所醫(yī)院，則滿足要求的不同安排方法共有（ ）A.36種 B.32種 C.24種 D.20種【答案】A【解析】從甲、乙、丙3人在4醫(yī)院的人數(shù)進行分類：若三人中只有一人在力醫(yī)院，則甲在4醫(yī)院時有。；=4種方案，乙、丙兩人之一在A醫(yī)院時有=12種方案；若三人中只有兩人在力醫(yī)院，則含有甲時有C；C：=12種方案，乙、丙兩人同時在4醫(yī)院時有C；=4種方案；若三人均在/醫(yī)院，則有C；=4種方案；所以共有36種安排方案.故選：A..（多選）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（ ）A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為可B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C；C；C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為C；-C；D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為C；C；-C；

【答案】ABD【解析】若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為C；,故A錯誤若物理和化學(xué)至少選一門，選