2021年整理自主招生數(shù)學試題及答案

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（第9題圖）第11題圖（第9題圖）第11題圖）（第12題圖）(三、解答題（本大題共3小題，滿分40分）13、（本題共12分）如圖，在^ABC中，/C=900,以AB13、（本題共12分）如圖，在^ABC中，/BC相切于點D,分別交AGAB于點E、F。（1）若AC=qAB=10,求。。的半徑;（2）連接OEEDDF、EF,若四邊形BDEF是平行四邊形，i3c判斷四邊形OFDE勺形狀，并說明理由。14、（本題共14分）（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC,點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且/DEC力DCE若/A=6C0（如圖①）,求證：EB=AD（2）若將（1）中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其它條件不變（如圖②），（1）的結(jié)論是否成立，并說明理由；（3）若將（1）中的“若/A=60°”改為“若/A=90°”，其它條件不變，則里的值是多少？（直AD接寫出結(jié)論，不要求寫解答過程）

15、（本題共14分）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2—x+39金0）交乂軸于A、B兩點，交y軸于點C,且對稱軸為直線x=—2.（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）若點P（0,t）是y軸上的一個動點，請進行如下探究：探究一：如圖1,設乙PAD的面積為S,令W=t?S,當0Vt<4時，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時t的值；如果沒有，說明理由；探究二：如圖2,是否存在以P、A、D為頂點的三角形與Rt^AOCf似？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由。2017年自主招生數(shù)學試題參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的）1、C2、D3、A4、A5、D6、B二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）7、L<k<1;8、-4或6;9、2或2。5或1.4;210、m>—6且mW-4;11、2;12、6點6。三、解答題（本大題共3小題，滿分40分）13、解：（1）連接OD,設。。的半徑為r,=BC切。。于點D,「.ODLBC,??/C=90，?二OD//AC???△OBM△ABC,；y=(2)四邊形OFDE1菱形,???四邊形BDE支平行四邊形,DEFWB,丁/DEF=/DOB/B=ZDOBvZODB=90,/DOB+B=90°,/DOB=60，=DE//AB,/ODE=60,?.OD=OE「.4ODE^等邊三角形，OD=DE?.OD=OF??DE=OF一?四邊形OFDEt平行四邊形，.「OE=OF」.平行四邊形OFDE?菱形14、(1)證明：作DF//BC交AC于F,如圖1所示:貝U/ADF4ABC/AFDWACB/FDCWDCE,V△ABC是等腰三角形，/A=60,「.△ABC是等邊三角形，ABC4ACB=60,?./DBE=120,/ADF之AFD=60=/A,?.△ADF是等邊三角形，/DFC=120,aAD=DFvZDEC?DCE/FDC士DECED=CD在△DBEfflACFD中，由/DECWFDC/DBE=TDFC=120,ED=CD..△DB草△CFD(AAS,?.EB=DF..EB=AD;(2)EB=AD￡立；理由如下:作DF//BC交AC的延長線于F,如圖2所示：同(1)得:AD=DF,/FDC4ECD/FDC力DEC,ED=CD又.?/DBE4DFC=60,??在△DBE和4CFD中，由/DECWFDC/DBE4DFC,ED=CD..△DB草△CFD(AAS,?.EB=DF..EB=AD;(3)-EB=V2;理由如下:15、解：(1)二.拋物線y=at2-x+3(0)的對稱軸為直線x=(3)-EB=V2;理由如下:15、解：(1)二.拋物線y=at2-x+3(0)的對稱軸為直線x=-2,卜二二父一x+3,

4m-zo；(2)探究一:當Ou<4時，W有最大值,?.?拋物線y=——/―交x軸于A、B兩點,I4|交y軸于點C,4-40)5(270),c(aa),0<r<4時，作dm_L衛(wèi)軸于m,則m/二i,0n二4,P(ar),?尸二乙九出二Q1F-0P二4一1.,?1P=S臂切小-S—8-S」mfp一L,二二：」」一一」一一一廠,—(2+6)x4——xfixf——x2x(4-^)—12—2f..W=r(12-2z)=-2C/-3)1+18.二當，二3時,W有最大值，/為==18AD作DF//BC交AC于F,如圖3所示：同(1)得：△DB草ACFED(AAS,EB=DFV△ABC是等腰直角三角形,DF//BC,??.△ADF是等腰直角三角形，?-DF=v12AD,?-DF=^2,=^=2~2.ADAD探究二：存在，分三種情況：①當/取M=90'時，作門e1/軸于E,則。E=2,口內(nèi)=*"EW=90",?「三乙5衛(wèi)三45\和三JIdE三4能,”其=4及-乙3=緲-45°=45°???n〃L2軸，。3Li軸，.?.OaUql——-...,,二，學”—..「af.5「寸j一b,百幺/三0￡三2，冊三五DM三2拒,,此時生=3"=莊，又因為4OC="5二90：wAD4LI.[RtZ^m/JsRtAaoc..?？硕！耙辉轮贫?一2二2,Y(0J),.?.當/月"=90”時，存在點pi,使民心凡碑6打44℃,此時Pi點的坐標為（0,2）;n