全國各地中考數(shù)學(xué)分類解析159套63專題目專題目31折疊問題目00001

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精益求精，善益求善。全國各地中考數(shù)學(xué)分類解析159套63專題目專題目31折疊問題目000012012中考試卷解析模板.doc2012中考試卷解析模板.docPAGEPAGE522012中考試卷解析模板.docPAGE2012年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題）專題31：折疊問題一、選擇題1.（2012廣東梅州3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=【】A．150°B．210°C．105°D．75°【答案】A?！究键c】翻折變換（折疊問題），三角形內(nèi)角和定理。【分析】∵△A′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。故選A。2.（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=600，將紙片折疊，點A、D分別落在A’、D’處，且A’D’經(jīng)過B，EF為折痕，當D’FCD時，的值為【】A. B. C. D.【答案】A。【考點】翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】延長DC與A′D′，交于點M，∵在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。∴∠D=180°-∠A=120°。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°?！逥′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°?！摺螧CM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°?！唷螩BM=∠M?！郆C=CM。設(shè)CF=x，D′F=DF=y，則BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴?！唷９蔬xA。3.（2012江蘇連云港3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是【】A．＋1B．＋1C．2.5D．【答案】B?！究键c】翻折變換(折疊問題)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥俊邔⑷鐖D所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∵還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝＝22.5°?！唷螰AB＝67.5°。設(shè)AB＝x，則AE＝EF＝x，∴an67.5°＝tan∠FAB＝t。故選B。4.（2012廣東河源3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合．若∠A＝75o，則∠1＋∠2＝【】A．150oB．210oC．105oD．75o【答案】A?！究键c】折疊的性質(zhì)，平角的定義，多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊對稱的性質(zhì)，∠A′＝∠A＝75o。根據(jù)平角的定義和多邊形內(nèi)角和定理，得∠1＋∠2＝1800－∠ADA′＋1800－∠AEA′＝3600－（∠ADA′＋∠AEA′）＝∠A′＋∠A＝1500。故選A。5.（2012福建南平4分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點B、D恰好都將在點G處，已知BE=1，則EF的長為【】A．B．C．D．3【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理。【分析】∵正方形紙片ABCD的邊長為3，∴∠C=90°，BC=CD=3。根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EG=BE=1，GF=DF。設(shè)DF=x，則EF=EG＋GF=1＋x，F(xiàn)C=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2。在Rt△EFC中，EF2=EC2＋FC2，即（x＋1）2=22＋（3－x）2，解得：?！郉F=，EF=1＋。故選B。6.（2012湖北武漢3分）如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在邊BC的點F處．若AE＝5，BF＝3，則CD的長是【】A．7B．8C．9D．10【答案】C?！究键c】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊的性質(zhì)，EF=AE＝5；根據(jù)矩形的性質(zhì)，∠B=900。在Rt△BEF中，∠B=900，EF＝5，BF＝3，∴根據(jù)勾股定理，得?！郈D=AB=AE＋BE=5＋4=9。故選C。7.（2012湖北黃石3分）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為【】A.B.C.D.【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】設(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2＋D′F2，即x2=62＋（8－x）2，解得：x=。故選B。8.（2012湖北荊門3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為【】A．8B．4C．8D．6【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，∵正方形ABCD的對角線長為2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD?cos∠ABD=BD?cos45°=2?！郃B=BC=CD=AD=2。由折疊的性質(zhì)：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴圖中陰影部分的周長為A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故選C。9.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為【】A.15B.20C.25D.30【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形和折疊的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)矩形和折疊的性質(zhì)，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，則陰影部分的周長即為矩形的周長，為2（10+5）=30。故選D10.（2012四川資陽3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，則四邊形MABN的面積是【】A．B．C．D．【答案】C。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，【分析】連接CD，交MN于E，∵將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，∴MN⊥CD，且CE=DE。∴CD=2CE?！進N∥AB，∴CD⊥AB?！唷鰿MN∽△CAB?！??！咴凇鰿MN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴∴?！唷９蔬xC。11.（2012貴州黔東南4分）如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點D落在BC上的F處，已知AB=6，△ABF的面積是24，則FC等于【】A．1B．2C．3D．【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥坑伤倪呅蜛BCD是矩形與AB=6，△ABF的面積是24，易求得BF的長，然后由勾股定理，求得AF的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求得AD，BC的長，從而求得答案：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC?！逜B=6，∴S△ABF=AB?BF=×6×BF=24。∴BF=8?！?。由折疊的性質(zhì)：AD=AF=10，∴BC=AD=10?！郌C=BC﹣BF=10﹣8=2。故選B。12.（2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【】A．B．C．D．【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點E作EM⊥BC于M，交BF于N?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四邊形ABME是矩形?！郃E=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM?！摺螮NG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）?！郚G=NM?！逧是AD的中點，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM?！逧M∥CD，∴BN：NF=BM：CM?！郆N=NF?！郚M=CF=?！郚G=?！連G=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣?！郆F=2BN=5∴。故選B。13.（2012山東泰安3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2，BC=3，則△FCB′與△B′DG的面積之比為【】A．9：4B．3：2C．4：3D．16：【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥吭O(shè)BF=x，則由BC=3得：CF=3﹣x，由折疊對稱的性質(zhì)得：B′F=x?！唿cB′為CD的中點，AB=DC=2，∴B′C=1。在Rt△B′CF中，B′F2=B′C2+CF2，即，解得：，即可得CF=?！摺螪B′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F?！郣t△DB′G∽Rt△CFB′。根據(jù)面積比等于相似比的平方可得：。故選D。14.（2012山東濰坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將ΔABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=【】．A．B．C.D．2【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)。【分析】∵矩形ABCD中，AF由AB折疊而得，∴ABEF是正方形。又∵AB=1，∴AF=AB=EF=1。設(shè)AD=x，則FD=x－1?！咚倪呅蜤FDC與矩形ABCD相似，∴，即。解得，（負值舍去）。經(jīng)檢驗是原方程的解。故選B。15.（2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△CDN的面積與△CMN的面積比為1︰4，則的值為【】A．2 B．4C． D．【答案】D。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點N作NG⊥BC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案：過點N作NG⊥BC于G，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC?！郈D=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN?！郃M=AN?！郃M=CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形?！逜M=CM，∴四邊形AMCN是菱形?！摺鰿DN的面積與△CMN的面積比為1：4，∴DN：CM=1：4。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x?！郆M=x，GM=3x。在Rt△CGN中，，在Rt△MNG中，，∴。故選D。16.（2012河北省3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=70°，將平行四邊形折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于【】A．70°B．40°C．30°D．20°【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的定義?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AB∥CD?！吒鶕?jù)折疊的性質(zhì)可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°?！唷螦MF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°。故選B。17.（2012青海西寧3分）折紙是一種傳統(tǒng)的手工藝術(shù)，也是每一個人從小就經(jīng)歷的事，它是一種培養(yǎng)手指靈活性、協(xié)調(diào)能力的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段．在折紙中，蘊涵許多數(shù)學(xué)知識，我們還可以通過折紙驗證數(shù)學(xué)猜想．把一張直角三角形紙片按照圖①～④的過程折疊后展開，請選擇所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論【】A．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等B．在直角三角形中，如果一個銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半C．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半D．如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題）。【分析】如圖②，∵△CDE由△ADE翻折而成，∴AD=CD。如圖③，∵△DCF由△DBF翻折而成，∴BD=CD?！郃D=BD=CD，點D是AB的中點?！郈D=AB，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。故選C。二、填空題1.（2012上海市4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，點D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，如果AD⊥ED，那么線段DE的長為▲．【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊咴赗t△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴?！邔ⅰ鰽DB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD?！逜D⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDB=∠ADB=?！唷螩DB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°?！摺螩=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°。∴CD=BC=1?！郉E=AD=AC﹣CD=。2.（2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，點C沿EF折疊后與點O重合，則∠CEF的度數(shù)是▲．【答案】50°?！究键c】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進而求出即可：連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線。∴BO＝CO?！摺螧AC＝50°，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，∴∠OAB＝∠OAC＝25°?！叩妊鰽BC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°?！唷螼BC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°?！唿cC沿EF折疊后與點O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。3.（2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將△ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在EB′與AD的交點C′處．則BC：AB的值為▲?！敬鸢浮俊！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥窟B接CC′，∵將△ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B′處，又將△CEF沿EF折疊，使點C落在EB′與AD的交點C′處,∴EC=EC′，∴∠EC′C=∠ECC′，∵∠DC′C=∠ECC′，∴∠EC′C=∠DC′C.∴CC′是∠EC'D的平分線?！摺螩B′C′=∠D=90°，C′C=C′C，∴△CB′C′≌△CDC′（AAS）?！郈B′=CD。又∵AB′=AB，∴B′是對角線AC中點，即AC=2AB。∴∠ACB=30°?！鄑an∠ACB=tan30°=?！郆C：AB=。4.（2012浙江臺州5分）如圖，將正方形ABCD沿BE對折，使點A落在對角線BD上的A′處，連接A′C，則∠BA′C=▲度．【答案】67.5?！究键c】折疊問題，折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角定義?！痉治觥坑烧郫B的對稱和正方形的性質(zhì)，知△ABE≌△A′BE，∴∠BEA′=67.50，△A′DE是等腰直角三角形。設(shè)AE=A′E=A′D=x，則ED=。設(shè)CD=y，則BD=?！唷！唷Ｓ帧摺螮DA′=∠A′DC=450，∴△EDA′∽△A′DC?！唷螪A′C=∠DEA′=67.50＋450=112.50。∴∠BA′C=1800－112.50=67.50。5.（2012江蘇宿遷3分）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C’，D’處，C’E交AF于點G.若∠CEF=70°，則∠GFD’=▲°.【答案】40?！究键c】折疊問題矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠DFE=∠D’FE。∵ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠GFE=∠CEF=70°，∠DFE=1800－∠CEF=110°?！唷螱FD’=∠D’FE－∠GFE=110°－70°=40°。6.（2012江蘇鹽城3分）如圖,在△ABC中，D,、E分別是邊AB、AC的中點,∠B=50°o.現(xiàn)將△ADE沿DE折疊，點A落在三角形所在平面內(nèi)的點為A1,則∠BDA1的度數(shù)為▲°.【答案】80?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行的性質(zhì)?！痉治觥俊逥、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE∥BC（三角形中位線定理）?！唷螦DE=∠B=50°（兩直線平行，同位角相等）。又∵∠ADE=∠A1DE（折疊對稱的性質(zhì)），∴∠A1DA=2∠B?！唷螧DA1=180°－2∠B=80°。7.（2012江蘇揚州3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，如果，那么tan∠DCF的值是▲．【答案】。【考點】翻折變換(折疊問題)，翻折對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，∵將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，∴CF＝BC，∵，∴?！嘣O(shè)CD＝2x，CF＝3x，∴?！鄑an∠DCF＝。8.（2012湖北荊州3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為▲【答案】8?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，∵正方形ABCD的對角線長為2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，∴AB=BD?cos∠ABD=BD?cos45°=2?！郃B=BC=CD=AD=2。由折疊的性質(zhì)：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，∴圖中陰影部分的周長為A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。9.（2012湖南岳陽3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折疊，使點B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD=▲．【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題）?！痉治觥咳鐖D，點E是沿AD折疊，點B的對應(yīng)點，連接ED，∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，∴?！郋C=AC﹣AE=5﹣3=2。設(shè)BD=ED=x，則CD=BC﹣BD=4﹣x，在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4﹣x）2=x2+4，解得：x=。∴BD=。10.（2012四川達州3分）將矩形紙片ABCD，按如圖所示的方式折疊，點A、點C恰好落在對角線BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，則AB的長為▲.【答案】。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，菱形和矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)BD與EF交于點O。∵四邊形BEDF是菱形，∴OB=OD=BD?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠C=90°。設(shè)CD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：OB=OD=CD=x，即BD=2x，在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。∴AB=CD=。11.（2012貴州黔西南3分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，則重疊部分△DEF的面積為▲cm2?！敬鸢浮?。【考點】折疊問題，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)ED=x，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，得A′E=AE=5－x，A′D=AB=3。根據(jù)勾股定理，得，即，解得?！啵╟m2）。12.（2012河南省5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=3，點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB邊于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當△AEF為直角三角形時，BD的長為▲【答案】1或2。13.（2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，將△ABC紙片的一角沿DE向下翻折，使點A落在BC邊上的A′點處，且DE∥BC，下列結(jié)論：①∠AED＝∠C；=2\*GB3②；③BC=2DE；④。其中正確結(jié)論的個數(shù)是▲個。【答案】4?！究键c】折疊問題，折疊對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥竣佟逥E∥BC，∴根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得∠AED＝∠C?！啖僬_。=2\*GB3②∵根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，A′D=AD，A′E=AE?！逥E∥BC，∴根據(jù)兩直線分線段成比例定理，得?！??！?2\*GB3②正確。③連接AA′，∵根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，A，A′關(guān)于DE對稱?！郃A′⊥DE?！逥E∥BC，∴AA′⊥BC?！逜′D=AD，∴∠DAA′＝∠DA′A?！唷螪BA′＝∠DA′B?！郆D=A′D?！郆D=AD?！郉E是△ABC的中位線。∴BC=2DE?！啖壅_。④∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE。∵由③BC=2DE，∴?！吒鶕?jù)折疊對稱的性質(zhì)，△ADE≌△A′DE。∴。∴，即?！啖苷_。綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)是4個。14.（2012黑龍江綏化3分）長為20，寬為a的矩形紙片（10＜a＜20），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止．當n=3時，a的值為▲.【答案】12或15。【考點】翻折變換（折疊問題），正方形和矩形的性質(zhì)，剪紙問題，分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥扛鶕?jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。當10＜a＜20時，矩形的長為20，寬為a，所以，第一次操作時，所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20－a，a。第二次操作時，由20－a＜a可知所得正方形的邊長為20－a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20－a，a－（20－a）=2a－20?！撸?0－a）－（2a－20）=40－3a，∴20－a與2a－20的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進行討論。第三次操作時，①當20－a＞2a－20時，所得正方形的邊長為2a－20，此時，20－a－（2a－20）=40－3a，∵此時剩下的矩形為正方形，∴由40－3a=2a－20得a=12。①當2a－20＞20－a時，所得正方形的邊長為20－a，此時，2a－20－（20－a）=3a－40，∵此時剩下的矩形為正方形，∴由3a－40=20－a得a=15。故答案為12或15。15.（2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西3分）如圖所示，沿DE折疊長方形ABCD的一邊，使點C落在AB邊上的點F處，若AD=8，且△AFD的面積為60，則△DEC的面積為▲【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，BC=AD=8，CD=AB?！摺鰽FD的面積為60，即AD?AF=60，解得：AF=15?！?。由折疊的性質(zhì)，得：CD=CF=17?！郃B=17?！郆F=AB－AF=17－15=2。設(shè)CE=x，則EF=CE=x，BE=BC－CE=8－x，在Rt△BEF中，EF2=BF2＋BE2，即x2=22＋（8－x）2，解得：x=，即CE=，∴△DEC的面積為：CD?CE=×17×。三、解答題1.（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設(shè)BP=t．（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=300時，求點P的坐標；（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90°，OB=6。在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t?！逴P2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．∴點P的坐標為（，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP?！唷螼PB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°?！摺螧OP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ?！?。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．∴?！啵?＜t＜11）。（Ⅲ）點P的坐標為（，6）或（，6）?！究键c】翻折變換（折疊問題），坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚á瘢└鶕?jù)題意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（Ⅲ）首先過點P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值：過點P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°?！唷螾C′E+∠EPC′=90°?！摺螾C′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A?！唷鱌C′E∽△C′QA?！唷！逷C′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，∴?！??！?，即，∴，即。將代入，并化簡，得。解得：。∴點P的坐標為（，6）或（，6）。2.（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：△AND≌△CBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC?！唷螪AC=∠BCA。又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM?！唷鰽ND≌△CBM（ASA）。（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM，∴FN=EM。又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，∴FN∥EM?！嗨倪呅蜯FNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=900，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM?！郌M＞EM?！嗨倪呅蜯FNE不是菱形。（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC得3x＋5x=12，解得x=，即DN=BM=。過點N作NH⊥AB于H，則HM=4－3=1。在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=?！逷Q∥MN，DC∥AB，∴四邊形NMQP是平行四邊形?！郚P=MQ，PQ=NM=。又∵PQ=CQ，∴CQ=。在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。【考點】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。【分析】（1）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用ASA即可得到△AND≌△CBM。（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。（3）設(shè)DN=x，則由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。過點N作NH⊥AB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在△CBQ中，應(yīng)用勾股定理求得BQ=1。從而求解。3.（2012廣東省9分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．（1）求證：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的長．【答案】（1）證明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB=C′D，∠ABG=∠ADC′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。設(shè)AG=x，則GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=?！唷＃?）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD?！郒D=AD=4。∵tan∠ABG=tan∠ADE=。∴EH=HD×=4×。∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位線。∴HF=AB=×6=3。∴EF=EH+HF=?！究键c】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出結(jié)論。（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長，從而得出tan∠ABG的值。（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據(jù)tan∠ABG的值即可得出EH的長，同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結(jié)果。4.（2012廣東深圳8分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.(1)求證：四邊形AFCE為菱形；(2)設(shè)AE=a，ED=b，DC=c.請寫出一個a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。由折疊的性質(zhì)，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。∴CF=CE?！郃F=CF=CE=AE?！嗨倪呅蜛FCE為菱形。

（2）解：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。理由如下：由折疊的性質(zhì)，得：CE=AE?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠D=90°?！逜E=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式可寫為：a2=b2+c2?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形ABCD與折疊的性質(zhì)，易證得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形AFCE為菱形。（2）由折疊的性質(zhì)，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。（答案不唯一）5.（2012廣東珠海9分）已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．【答案】解：（1）PO與BC的位置關(guān)系是PO∥BC。（2）（1）中的結(jié)論PO∥BC成立。理由為：由折疊可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。又∵∠A與∠PCB都為所對的圓周角，∴∠A=∠PCB?！唷螩PO=∠PCB?！郟O∥BC。（3）證明：∵CD為圓O的切線，∴OC⊥CD。又∵AD⊥CD，∴OC∥AD?！唷螦PO=∠COP。由折疊可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。又∵OA=OP，∴∠A=∠APO?！唷螦=∠APO=∠AOP?！唷鰽PO為等邊三角形?！唷螦OP=60°。又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。又∵OC=OB，∴△BC為等邊三角形?！唷螩OB=60°?！唷螾OC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。又∵OP=OC，∴△POC也為等邊三角形?！唷螾CO=60°，PC=OP=OC。又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。【考點】折疊的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。6.（2012福建龍巖12分）如圖1，過△ABC的頂點A作高AD，將點A折疊到點D（如圖2），這時EF為折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再將△BED和△CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH（如圖3），我們稱矩形EFGH為△ABC的邊BC上的折合矩形．（1）若△ABC的面積為6，則折合矩形EFGH的面積為；（2）如圖4，已知△ABC，在圖4中畫出△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；（3）如果△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD=，正方形EFGH的對角線長為．【答案】解：（1）3。（2）作出的折合矩形EFGH：（3）2a；。【考點】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）由折疊對稱的性質(zhì)，知折合矩形EFGH的面積為△ABC的面積的一半，（2）按題意，作出圖形即可。（3）由如果△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形邊長為a，BC邊上的高AD為EFGH邊長的兩倍2a。根據(jù)勾股定理可得正方形EFGH的對角線長為。7.（2012福建龍巖13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF．（1）當A′與B重合時（如圖1），EF=；當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長；（2）觀察圖3和圖4，設(shè)BA′=x，①當x的取值范圍是時，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．【答案】解：(1)5。由折疊（軸對稱）性質(zhì)知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=900。在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴。∴A′B=BC－A′C=5－4=1。∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=900，∴∠BEA′=∠FA′C。又∵∠B=∠C=900，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。∴，即∴。在Rt△A′EF中，。（2）①。②證明：由折疊（軸對稱）性質(zhì)知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。又∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′?！唷螦EF=∠AFE?！郃E=AF?！郃E=A′E=AF=A′F?！嗨倪呅蜛EA′F是菱形。【考點】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥?1)根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，當A′與B重合時（如圖1），EF=AD=5。根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的長，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF求得，在Rt△A′EF中，由勾股定理求得EF的長。（2）①由圖3和圖4可得，當時，四邊形AEA′F是菱形。②由折疊和矩形的性質(zhì)，可得AE=A′E，AF=A′F。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AF。從而AE=A′E=AF=A′F。根據(jù)菱形的判定得四邊形AEA′F是菱形。8.（2012湖北恩施8分）如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B′，因而EB′=EB．類似地，在AB上折出點B″使AB″=AB′．這是B″就是AB的黃金分割點．請你證明這個結(jié)論．【答案】證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，∴BE=1。∴。又B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1。又∵AB″=AB′，∴AB″=﹣1?！??！帱cB″是線段AB的黃金分割點?！究键c】翻折（折疊）問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊對稱的性質(zhì)，黃金分割?！痉治觥吭O(shè)正方形ABCD的邊長為2，根據(jù)勾股定理求出AE的長，再根據(jù)E為BC的中點和翻折不變性，求出AB″的長，二者相比即可得到黃金比。9.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．（1）求拋物線解析式及點D坐標；（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應(yīng)點為Q′．是否存在點P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，∴，解得：?！鄴佄锞€解析式為。當y=2時，，解得：x1=3，x2=0（舍去）?！帱cD坐標為（3，2）。（2）A，E兩點都在x軸上，AE有兩種可能：①當AE為一邊時，AE∥PD，∴P1（0，2）。②當AE為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，可知P點、D點到直線AE（即x軸）的距離相等，∴P點的縱坐標為﹣2。代入拋物線的解析式：，解得：。∴P點的坐標為（，﹣2），（，﹣2）。綜上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）。（3）存在滿足條件的點P，顯然點P在直線CD下方。設(shè)直線PQ交x軸于F，點P的坐標為（），①當P點在y軸右側(cè)時（如圖1），CQ=a，PQ=。又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，∴，即，解得FQ′=a﹣3∴OQ′=OF﹣FQ′=a﹣（a﹣3）=3，。此時a=，點P的坐標為（）。②當P點在y軸左側(cè)時（如圖2）此時a＜0，，＜0，CQ=﹣a，PQ=。又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°?！唷鰿OQ′∽△Q′FP?！啵?，解得FQ′=3﹣a?！郞Q′=3，。此時a=﹣，點P的坐標為（）。綜上所述，滿足條件的點P坐標為（），（）。【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點D的坐標。（2）分兩種情況進行討論，①當AE為一邊時，AE∥PD，②當AE為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點P坐標。（3）結(jié)合圖形可判斷出點P在直線CD下方，設(shè)點P的坐標為（），分情況討論，①當P點在y軸右側(cè)時，②當P點在y軸左側(cè)時，運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進行求解即可。10.（2012湖北宜昌11分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E為底AD上一點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在梯形對角線BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．（1）點E可以是AD的中點嗎？為什么？（2）求證：△ABG∽△BFE；（3）設(shè)AD=a，AB=b，BC=c①當四邊形EFCD為平行四邊形時，求a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系；②在①的條件下，當b=2時，a的值是唯一的，求∠C的度數(shù)．【答案】解：（1）不可以。理由如下：根據(jù)題意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED?！郃E＜ED?！帱cE不可以是AD的中點。（2）證明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，∵由折疊知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG?！唷螮BF=∠BEF?！郌E=FB，∴△FEB為等腰三角形?！摺螦BG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB。在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，∴∠BAG=∠FBE。∴△ABG∽△BFE。（3）①∵四邊形EFCD為平行四邊形，∴EF∥DC?！哂烧郫B知，∠DAB=∠EGB=90°，∴∠DAB=∠BDC=90°。又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。∴△ABD∽△DCB?！??！逜D=a，AB=b，BC=c，∴BD=∴，即a2+b2=ac。②由①和b=2得關(guān)于a的一元二次方程a2﹣ac+4=0，由題意，a的值是唯一的，即方程有兩相等的實數(shù)根，∴△=0，即c2﹣16=0?！遚＞0，∴c=4?！嘤蒩2﹣4a+4=0，得a=2。由①△ABD∽△DCB和a=b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，∴∠C=45°。【考點】翻折變換（折疊問題），直角梯形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直線平行的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得DE＞EG，從而判斷點E不可能是AD的中點。（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEB=∠EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，從而判斷出△FEB為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明。（3）①根據(jù)勾股定理求出BD的長度，再利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解。②把b=2代入a、b、c的關(guān)系式，根據(jù)a是唯一的，可以判定△=c2﹣16=0，然后求出c=4，再代入方程求出a=2，然后由①△ABD∽△DCB和a=b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，得出∠C=45°。11.（2012湖南株洲6分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O．（1）求證：△COM∽△CBA；（2）求線段OM的長度．【答案】解：（1）證明：∵A與C關(guān)于直線MN對稱，∴AC⊥MN?！唷螩OM=90°。在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B。又∵∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA。（2）∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴由勾股定理得AC=10。∴OC=5?！摺鰿OM∽△CBA，∴，即?！郞M=?！究键c】折疊問題，對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】（1）根據(jù)A與C關(guān)于直線MN對稱得到AC⊥MN，進一步得到∠COM=90°，從而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后證得△COM∽△CBA；（2）利用（1）的相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到比例式后即可求得OM的長。12.（2012湖南益陽10分）已知：如圖，拋物線y=a（x﹣1）2+c與x軸交于點A和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P'（1，3）處．（1）求原拋物線的解析式；（2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P'作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）．請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果可保留根號）【答案】解：（1）∵P與P′（1，3）關(guān)于x軸對稱，∴P點坐標為（1，﹣3）?！邟佄锞€y=a（x﹣1）2+c頂點是P（1，﹣3），∴拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣3?！邟佄锞€y=a（x﹣1）2﹣3過點A，∴a（﹣1）2﹣3=0，解得a=1?！鄴佄锞€解析式為y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣2x﹣2。（2）∵CD平行x軸，P′（1，3）在CD上，∴C、D兩點縱坐標為3。由（x﹣1）2﹣3=3，解得：。∴C、D兩點的坐標分別為?！郈D=?！唷癢”圖案的高與寬（CD）的比=（或約等于0.6124）?！究键c】二次函數(shù)的應(yīng)用，翻折對稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系。【分析】（1）利用P與P′（1，3）關(guān)于x軸對稱，得出P點坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可。（2）根據(jù)已知求出C，D兩點坐標，從而得出“W”圖案的高與寬（CD）的比。13.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH。（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）?！郃P=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）?！郈H=QH?！唷鱌HD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°?！唷螮FM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即?！唷Ｓ帧咚倪呅蜳EFG與四邊形BEFC全等，∴?！撸喈攛=2時，S有最小值6?！究键c】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案。（2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可。14.（2012山東菏澤6分）如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8．在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D，E兩點的坐標．【答案】依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，，∴CE=4，∴E（4，8）。在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD，∴（8﹣OD）2+42=OD2?！郞D=5?！郉（0，5）。【考點】翻折變換（折疊問題），坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理。【分析】先根據(jù)勾股定理求出BE的長，從而可得出CE的長，求出E點坐標。在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的長，從而得出D點坐標。15.（2012山東威海10分）（1）如圖=1\*GB3①，ABCD的對角線AC、BD交于點O。直線EF過點O，分別交AD、BC于點E、F求證：AE=CF。（2）如圖=2\*GB3②，將ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A1處，點B落在點B1處。設(shè)FB1交CD于點G，A1B1分別交CD、DE于點H、I。求證：EI=FG?！敬鸢浮孔C明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC?！唷螮AO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC?！唷鰽OE≌△COF（AAS）?！郃E=CF。（2）由（1）得，AE=CF?！哂烧郫B性質(zhì)，得AE=A1E，∴A1E=CF?！摺螦1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，∴∠EIA1=∠DIH=1800－∠D－∠DHI=1800－∠B1－∠B1HG=∠B1GH=∠FGC。在△EIA1和△FGC中，∵∠A1=∠C，∠EIA1=∠FGC，A1E=CF，∴△EIA1≌△FGC（AAS）?！郋I=FG?！究键c】平行四邊形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)?！痉治觥浚?）要證AE=CF，只要△AOE和△COF全等即可。一方面由平行四邊形對邊平行的性質(zhì)和平行線內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO；另一方面由平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，可得OA=OC。從而根據(jù)AAS可證。（2）要證EI=FG，只要△EIA1和△FGC全等即可。一方面由（1）可得AE=CF；另一方面由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等的性質(zhì)，可得∠A1=∠C，∠EIA1=∠FGC。從而根據(jù)AAS可證。16.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF?！郋F=EG=AG。∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，∴ON⊥BC?！唿cO是AE的中點，∴ON是梯形ABCE的中位線?！帱cN是線段BC的中點。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2?！郃E=AB=4。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴?！郌G=?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。（3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30°，在Rt△EFO中求出FO，從而可得出FG的長度。17.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF?！郋F=EG=AG?！嗨倪呅蜛GEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，∴ON⊥BC?！唿cO是AE的中點，∴ON是梯形ABCE的中位線?！帱cN是線段BC的中點。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2?！郃E=AB=4。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴?！郌G=?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。（3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30°，在Rt△EFO中求出FO，從而可得出FG的長度。18.（2012江西南昌12分）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時，求O′A的長度；②如圖2，當折疊后的經(jīng)過圓心為O時，求的長度；③如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設(shè)點O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設(shè)點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2。②當經(jīng)過圓O時，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A．OA．O′B，OB，OO′?！摺鱋O′A，△OO′B為等邊三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。∴的長度。③如圖3所示，連接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB為等邊三角形。過點O作OE⊥AB于點E，∴OE=OA?sin60°=?！鄨A心O到弦AB的距離為。（2）①如圖4，當折疊后的與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交AB于點H、交于點E，交CD于點G、交于點F，即點E、H、P、O、G、F在直徑EF上?！逜B∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF。又∵EF=4，∴點O到AB．CD的距離之和d為：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。②如圖5，當AB與CD不平行時，四邊形是OMPN平行四邊形。證明如下：設(shè)O′，O″為和所在圓的圓心，∵點O′與點O關(guān)于AB對稱，點O″于點O關(guān)于CD對稱，∴點M為的OO′中點，點N為OO″的中點。∵折疊后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過切點P。∵折疊后的與所在圓與⊙O是等圓，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，∴四邊形OMPN是平行四邊形?！究键c】翻折變換（折疊問題）相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計算，解直角三角形，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長度。②如圖2，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA．OB．A