學(xué)習(xí)-大三下固體物理

1§3.3簡正振動聲子一、簡正振動（簡正坐標(biāo)，引入聲子）2理論力學(xué)拉伸量，拉格朗日量：哈密頓量：正則方程：正則動量：運動方程一對傅立葉變換，Q(q)的物理意義3簡正坐標(biāo)Q(q)下，諧振子的運動方程（簡諧近似）對于一維晶體，晶格振動可以等效成為N個獨立的諧振子的振動，諧振子的振動頻率為q,q可以取N個，q和q’之間沒有交叉項，相互之間不交換能量，可以分離變量。三維對應(yīng)3N個獨立的諧振子。非簡諧之間會有交叉。二、晶格振動能聲子（準(zhǔn)粒子）能量本征值：4聲子簡正振動能級量子化，能量激發(fā)單元，元激發(fā)振動能量總和：格波是一種原子的集體運動形式，在晶格中傳播可以輸運能量，但所有原子仍圍繞其平衡位置作微振動，總體上沒有形成質(zhì)量的定向運動。準(zhǔn)動量：5波矢為q的格波的總動量：6在溫度T下，頻率為的諧振子振動平均能量為：處于能級為的幾率歸一化波色子，同一能級上數(shù)目不受限制7當(dāng)T=0K時，n()=0,當(dāng)溫度很高時：§3.4晶格振動譜的實驗測定方法一、光子散射二、中子散射3.6.1晶體比熱的一般理論本節(jié)主要內(nèi)容：3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型3.6.3晶體比熱的德拜模型§3.6晶格振動熱容理論83.6晶體的比熱分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。晶體比熱的實驗規(guī)律(1)在高溫時，晶體的比熱為3NkB(N為晶體中原子的個數(shù),kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時，晶體的比熱按T3趨于零。晶體的定容比熱定義為：3.6.1晶體比熱的一般理論---晶體的平均內(nèi)能9達(dá)到熱平衡時條件，統(tǒng)計平均晶格振動比熱晶體電子比熱通常情況下，本節(jié)只討論晶格振動比熱。1.Dulong-Petit(杜隆--珀替定律)(經(jīng)典理論)根據(jù)能量均分定理，每一個自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個原子，則總自由度為：3N。低溫時，和考慮電子比熱時，經(jīng)典理論不再適用。它是一個與溫度和材料類型無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆-珀替定律。102.晶格振動的量子理論晶體可以看成是一個熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下，晶格中原子的熱振動可以看成是相互獨立的簡諧振動。每個諧振子的能量都是量子化的。第i個諧振子的能量為：ni是頻率為i的諧振子的平均聲子數(shù)：第i個諧振子的能量為：11晶體由N個原子組成，晶體中包含3N個簡諧振動，總振動能為對于宏觀晶體,原胞數(shù)目N很大，波矢q在簡約布里淵區(qū)中有N個取值，所以波矢q近似為準(zhǔn)連續(xù)的，頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的。零點能12因此上式可以用積分來表示（重點是找出積分上下限）：若為，則波長0，但是不能<a，連續(xù)介質(zhì)）133.頻率分布函數(shù)(模式密度)設(shè)晶體有N個原子,則(1)定義:其中m是最高頻率，又稱截止頻率。(2)計算因為頻率是波矢的函數(shù)，所以我們可以在波矢空間內(nèi)求出模式密度的表達(dá)式。包含在內(nèi)的振動模式數(shù)為：單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)。14波矢密度兩個等頻率面間的體積每一支格波的振動模式數(shù)Δn每一支格波的模式密度晶格總的模式密度兩個等頻率面間的波矢數(shù)qyqx體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離,ds：面積元。波矢空間單位體積內(nèi)波矢數(shù)目15體積元包含的波矢數(shù)目（也即考慮一支時模式數(shù)目）：由梯度定義知:代入上式得1617S為等頻面q的取值有N個，計算數(shù)據(jù)量很大，需要簡化3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型(1)晶體中晶格振動是相互獨立的；(2)所有振動模式都具有同一頻率。1.模型設(shè)晶體由N個原子組成，因為每個原子可以沿三個方向振動，共有3N個頻率為的振動。2.計算(1)比熱表達(dá)式1819通常用愛因斯坦溫度E代替頻率，定義為kB

E=，愛因斯坦比熱函數(shù)愛因斯坦溫度E的確定：選取合適的E值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與實驗數(shù)據(jù)盡可能符合。對于大多數(shù)固體材料，E在100300k的范圍內(nèi)。2021高溫時，當(dāng)T>>E時，(1)3.高低溫極限討論22(2)低溫時，當(dāng)T<<E時，但CV比T3趨于零的速度更快。是什么原因使愛因斯坦模型在低溫時不能與實驗相吻合呢?23很快趨向于0按愛因斯坦溫度的定義，愛因斯坦頻率E=kB

E/大約為1013Hz，處于遠(yuǎn)紅外光頻區(qū)，相當(dāng)于長光學(xué)波極限。在甚低溫度下，格波的頻率很低，屬于長聲學(xué)波，也即，在甚低溫度下，晶體的比熱主要由長聲學(xué)波決定。因此愛因斯坦模型在低溫時不能與實驗相吻合。在低溫下，低頻的聲子多，頻率低的振動對熱容量的貢獻(xiàn)大。平均熱動能:24253.6.3晶體比熱的德拜模型（1）晶體視為連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波（低頻聲子的貢獻(xiàn)，

色散關(guān)系已知）；1.模型:（2）有一支縱波兩支橫波；（3）晶格振動頻率在之間(D為德拜頻率)。2.計算(1)模式密度表達(dá)式由彈性波的色散關(guān)系：=vq在波矢空間，等頻率面是半徑為q的球面，S26模式密度為:彈性波有1支縱波、2支橫波,共3支格波。所以總的模式密度為：27(2)比熱表達(dá)式28D為德拜溫度取---德拜比熱函數(shù)29(1)當(dāng)T>>D時，x<<1，3.高低溫極限情況討論30高溫時與實驗規(guī)律相吻合。(2)低溫時，當(dāng)T<<D時，由上